單因素試驗的方差分析.ppt

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1、 在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)和科研活動中，我們經(jīng)常遇到這 樣的問題：影響產(chǎn)品產(chǎn)量、質(zhì)量的因素很多，例如 影響農(nóng)作物的單位面積產(chǎn)量有品種、施肥種類、施 肥量等許多因素。我們要了解這些因素中哪些因素 對產(chǎn)量有顯著影響，就要先做試驗，然后對測試結(jié) 果進行分析，作出判斷。方差分析就是分析測試結(jié) 果的一種方法。 引 言 基 本 概 念 試驗 指標 試驗結(jié)果。 可控 因素 在影響試驗結(jié)果的眾多因素中，可人為 控制的因素。 水平 可控因素所處的各種各種不同的狀態(tài)。每個 水平又稱為試驗的一個處理。 單因素試驗 如果在一項試驗中只有一個因素改變，

2、 其它的可控因素不變，則該類試驗稱為 單因素試驗。 引例 例 1 （燈絲的配料方案優(yōu)選）某燈泡廠用四種配料方案制成的燈 絲生產(chǎn)了四批燈泡，在每批燈泡中作隨機抽樣，測量其使用壽 命（單位：小時），數(shù)據(jù)如下： 燈泡 壽命 燈絲 1 2 3 4 5 6 7 8 甲 1600 1610 1650 1680 1700 1720 1800 乙 1580 1640 1640 1700 1750 丙 1460 1550 1600 1620 1640 1740 1660 1820 丁 1510 1520 1530 1570 1680 16

3、00 燈泡的使用壽命 試驗指標 燈絲的配料方案 試驗因素 （唯一的一個） 四種配料方案（甲乙丙?。? 四個水平 因此，本例是一個 四水平的單因素試驗 。 引 例 用 X1， X2， X3， X4分別表示四種燈泡的使用壽命，即為 四個總體。假設(shè) X1， X2， X3， X4相互獨立，且服從方差 相同的正態(tài)分布，即 XiN（ i， 2）（ i=1， 2， 3， 4） 本例問題歸結(jié)為檢驗假設(shè) H0： 1= 2= 3= 4 是否成立 我們的目的是通過試驗數(shù)據(jù)來判斷因素 A 的不 同水平對試驗指標是否有影響。 設(shè) A 表示欲考察的因素，它的 個不

4、同水平，對 應(yīng)的指標視作 個總體 每個水平下 ,我 們作若干次重復試驗： （可等重復也可不 等重復），同一水平的 個結(jié)果，就是這個總體 的一個樣本： r r 12, , . . . .rX X X 12, , . . . .rn n n in 12, , . . . .ii i inX X X iX 單因素試驗的方差分析 12, , ... ii i inX X X 因此， 相互獨立，且與 iX 同分布。 單因素試驗資料表 其中諸 可以不一樣， 1 r i i nn in 水平 重復 12 ... r

5、A A A 1 ... ni 12 11 21 1 12 ... ... ... ... ... ... r r n n rn X X X X X X 1 in i ij j TX 列和 12 ... rT T T i i iX T n列平均 1 r i i T 總和 1 1 r ii i X n Xn 12 ... rX X X（水平組內(nèi)平均值） （總平均值） 試驗結(jié)果 縱向個體間的差異稱為 隨機誤差（組內(nèi)差異）， 由試驗造 成；橫向個體間的差異稱為 系統(tǒng)誤差（組間差異）， 由因素的 不同水平造成。 品種 重復 1 2 3 4 5A A A A A 1 2 3

6、 4 1 3 3 3 8 3 7 3 1 3 9 3 7 3 5 3 9 3 4 4 0 3 5 3 5 3 8 3 4 3 1 ij j x 1 2 0 1 0 5 1 0 8 1 1 4 9 9 ix 4 0 3 5 3 6 3 8 3 3 53 11 546ij ij x 例：五個水稻品種單位產(chǎn)量的觀測值 P165 53 11 15 36 .4ij ij x 由于同一水平下重復試驗的個體差異是隨機誤差， 所以設(shè)： , 1 , 2 , . . . , 1 , 2 , . . .i j i i j iX j n i r 其中 為試驗誤差，相互獨立且服從正態(tài)分布

7、 ij 2 0 ,ij N 線性統(tǒng)計模型 單因素試驗的方差分析的數(shù)學模型 21 . , , 1 , 2 , . . .iiX N i r 具有 方差齊性。 122 . , , . . . rX X X 相互獨立，從而各子樣也相互獨立。 首先，我們作如下假設(shè)： 即 令 （其中 ）稱為 一般平均值 。 11 1 ,rr i i i ii n n nn ,ii 稱為因素 A的 第 個水平 的效應(yīng) 。 iiA , 1 , 2 , . . . , 1 , 2 , . . .i j i i j iX j n i

8、r 則 線性統(tǒng)計模型 變成 于是檢驗假設(shè)： 0 1 2: . . . rH 等價于檢驗假設(shè)： 0 1 2: . . . 0rH 顯然有： 1 1 1 0 r r r i i i i i i i i i n n n n 整個試驗的均值 考察統(tǒng)計量 2 11 inr T ij ij S S X X 經(jīng)恒等變形，可分解為： T A ES S S S S S 其中 22A 1 1 1 SS inrr i iii i j i X X n 組間平方和（系 統(tǒng)離差

9、平方和） 反映的是各水平平均值偏離總平均值的偏離程度。 如果 H0 成立，則 SSA 較小。 , 1 , 2 , . . . , 1 , 2 , . . .i j i j iX j n i r 若 H0成立，則 總離差平方和 見書 P168 1 1 1 1 ,iinnr iij ij i j jn 其中 22E 1 1 1 1 SS iinnrr i iij ij i j i j XX 組內(nèi)平方和 誤差平方和 1 1 1 1 ,iinnr iij ij i j jn 這里 反映的是重復試驗種隨

10、機誤差的大小。 i 表示水平 Ai的隨機誤差； 表示整個試驗的隨機誤差 2,ijXN 0 1 2: . . . 0rH a a a 若假設(shè) 成立，則 由 P106定理 5.1可推得： 2 2 22 2 2 1 , 1 , T A ESS SS SSn r n r 2 2 2,, T A ES S S S S S 將 的自由度分別記作 ,, T A Ed f d f d f 則 1 ,AA EE SS dfF F r n r SS df （記

11、 ，稱作均方和） ,A A A E E ES S d f M S S S d f M S （各子樣同分布） 則 1 ,AA EE SS dfF F r n r SS df （記 ，稱作均方和） ,A A A E E ES S d f M S S S d f M S 對給定的檢驗水平 ，由 1,P F F r n r 得 H0 的拒絕域為： 1,F F r n r F 單側(cè)檢驗 結(jié)論： 方差分析 實質(zhì)上 是假設(shè)檢驗 ，從分析離差 平方和入手，找到 F統(tǒng)計量

12、 ， 對 同方差 的多個正態(tài)總體 的均值是否相等進行假設(shè)檢驗 。單因素試驗中兩個水 平的均值檢驗可用第七章的 T檢驗法。 A E MS MS 思考：為什么此處只做單側(cè)檢驗？ （ 1） 若 ，則稱因素的 差異極顯著 （ 極有 統(tǒng)計意 義），或稱因素 A的影響 高度顯著 ，這時作標記 ； 0.01 FF ** 約 定 * 0 . 0 5 0 . 0 1F F F （ 2）若 ，則稱因素的 差異顯著 （差異 有 統(tǒng)計意義），或稱因素 A的 影響顯著 ，作標記 ； 0 . 1 0 . 0 5F F F * （ 3）若

13、 ，則稱因素 A有一定影響 ，作 標記 （ ） ； 0.10FF （ 4）若 ，則稱因素 A無顯著影響（差異 無 統(tǒng)計意義）。 注意 ：在方差分析表中，習慣于作如下規(guī)定： 單因素試驗方差分析表 方差來源 組間 組內(nèi) 總和 平方和 ASS ESS TSS 自由度 Adf Edf Tdf 均方和 A A A SSMS df E E E SSMS df F 值 A E MSF MS F 值臨介值 1,F r n r 簡便計算公式： 2 2 A 1 SS r i i i T T nn 2 2 E 1 1 1 SS inrr i ij

14、i j i i TX n 1 , in i ij j TX 1 r i i TT 其中 同一水平 下觀測值 之和 所以觀測 值之和 例 2 P195 2 以 A、 B、 C 三種飼料喂豬，得一個月后每豬 所增體重（單位： 500g）于下表，試作方差分析。 飼料 A B C 增重 51 40 43 48 23 25 26 23 28 解 ： 1 2 3 5 1 4 0 4 3 4 8 1 8 2 , 2 3 2 5 2 6 7 4 , 2 3 2 8 5 1 T

15、T T 1 8 2 7 4 5 1 3 0 7T 1 2 , 9 3 6 , 18 AE T d f r d f n r d f n 解： 1 2 31 8 2 , 7 4 , 5 1 , 3 0 7T T T T 2 2 2 2 2 2 A 1 1 8 2 7 4 5 1 3 0 7SS 4 3 2 9 r i i i T T nn 1 1 4 0 6 . 8 3 1 0 4 7 2 . 1 1 9 3 4 . 7 2 2 2 E 1 1 1 SS inrr i ij i j i i TX n 2 2 2

16、51 40 ... 28 11 40 6.8 3 1 1 4 9 7 1 1 4 0 6 . 8 3 2 , 6 , 8A E Td f d f d f 1 1 4 9 7 1 0 4 7 2 . 1 1 1 0 2 4 . 8 9T A ES S S S S S 9 3 4 .7 3 2 4 6 7 .3 6 9 0 .1 7 6 1 5 .0 3 A E MS MS 46 7.3 6 31 .10 15 .03 A E MSF MS 0. 01 0. 052 , 6 10 .9 2 2 , 6 5. 14FF * * 不同的飼料對豬的體重的影響 極有統(tǒng)計

17、意義 。 列方差分析表 方差來源 組間 組內(nèi) 總和 平方和 934.73 90.17 1024.89 自由度 2 6 8 均方和 467.36 15.03 F 值 31.10 ** F 值臨介值 0. 05 2 , 6 5. 14F 0.01 2 , 6 10 .9 2F 例 2的上機實現(xiàn)步驟 1、輸入原始數(shù)據(jù)列，并存到 A， B， C列； 各水平數(shù)據(jù)放同一列 各水平數(shù)據(jù)放在不同列 2、選擇 StatANOVAone-way(unstacked) 0.0 1 0.0 5 不同的飼料對豬的體重的影響極有統(tǒng)計意義。 定理 在單因素方差分析模型中，有 22 1 ( ) ( 1 ) r A i i i E SS r n 2( ) ( ) EE S S n r 如果 H0不成立 ，則 2 1 0 r ii i n 所以， 1 AESS SSEE r n r 即 H0不成立 時， 1A E SS r SS n r 有大于 1的趨勢。 所以 H0為真時的小概率事件應(yīng)取在 F值較大的一側(cè)。