2、X1仍為 AX=0的解 . 證明 : (1) A(X1+X2)=AX1+AX2=0+0=0; (2) A(cX1)=cAX1=c0=0; 更一般地，齊次線性方程組 AX=0解的 任意線性組合仍為解 , 4 即 :若 X1, X2, ...,Xr為 AX=0的解 , 則 k1X1+k2X2+...+krXr也為 AX=0的解 , 其中 ki(i=1, 2,...,r)為任意數(shù) . 由上述性質(zhì)知 : 齊次線性方程組的解集 合關(guān)于向量的加法 , 數(shù)乘構(gòu)成一個線性空 間 , 稱為齊次線性方程組的 解空間 (space of solutions). 為了表示齊次線性方
3、程組的所有解， 現(xiàn)引入基礎(chǔ)解系的概念 . 5 定義 12 向量組 X1, X2, ...,Xt 稱為 AX=0 的一個 基礎(chǔ)解系 (basis set of solutions), (1) X1, X2, ..., Xt 皆為 AX=0的解； (2) X1, X2, ..., Xt 線性無關(guān)； (3) AX=0的任意解皆可由 X1, X2, ..., Xt 線性表出 . 若 X1, X2,..., Xt 為 AX=0的一個基礎(chǔ)解系， 由基礎(chǔ)解系的定義知 1 1 2 2 1 2| , , ,t t tS k X k X k X k k k P 如果 6 正
4、好就是 AX=0的解集合 , 稱 k1X1+k2X2+...+ktXt 為 AX=0的 通解 . 1 2 3 4 53 2 2 0 x x x x x 2 3 4 530 x x x x 2 3 4 52 2 8 0 x x x x 例 1 求下列齊次線性方程組的一個基礎(chǔ)解系 解 ：對系數(shù)矩陣進(jìn)行初等行變換化為 Jordan階梯形矩陣 . 7 1 0 0 1 20 0 1 0 1 5 0 0 1 0 2 B 初 等 行 變 換 1 3 2 2 1 0 1 1 1 3 0 2 1 2 8 A Jordan階梯形 1 0 5 1 10 0 1
5、 1 1 3 0 0 1 0 2 初 等 行 變 換 8 現(xiàn)解 AX=0的同解齊次線性方程組 BX=0. Jordan階梯形 B有 3行不為零， 故 rB=3， 首元所在的列為 B的第 1,2,3列 , 故對 x4, x5 的任意值代入 BX=0都能解出 x1, x2, x3. 把 BX=0的含 x4, x5的項移到等式右邊得到 1 4 5 2 4 5 35 20 5, 2 x x x x x x xx 9 1 ( 1 1 0 1 0 ) , TX 令 x4=1, x5=0, 解得 令 x4=0, x5=1, 解得 2
6、 ( 2 0 5 2 0 1 ) . TX 10 , 01 相同位置上添加 3個分量得到的 , 于是也 線性無關(guān) . 線性無關(guān) , 而 X1, X2是在 10, 01 10 設(shè) X=(c1 c2 c3 k1 k2)T 則 X k1X1 k2X2=(d1 d2 d3 0 0)T 這就推出 d1=d2=d3=0, 為 BX=0的任意解 , 也是 BX=0 的解 . 于是 , X=k1X1+k2X2. 11 定理 9 設(shè) A是 s n矩陣 , rA=r < n, 則齊 次線性方程組 AX=0存在基礎(chǔ)解系 , 且 基礎(chǔ)解系含 n
7、 r個解向量 . 證明 ： A可經(jīng)過一系列初等行變換化為 Jordan階梯形矩陣 B, 顯然 B的前 r行為非 零行 , 后 s r行全為零 . 不失一般性 , 可假設(shè) aii=1(i=1,2,...,r), 即： 12 1 , 1 1 , 2 1 2 , 1 2 , 2 2 , 1 , 2 1 0 ... 0 ... 0 1 ... 0 ... ... ... ... ... ... ... ... ... 0 0 ... 1 ... 0 0 ... 0 0 0 ... 0 ... ... ... ... ... ... ... ... 0 0 ... 0 0 0 ... 0 r
8、r n r r n r r r r rn k k k k k k B k k k 未知量 xr+1, xr+2,..., xn(都不在首元所在的 列 )稱為 自由未知量 . BX=0為 AX=0的同解 方程組 . 13 12 1 , 0 , , 0r r nx x x 1 1 , 1 2 2 , 1 , 1, , , .r r r r rx k x k x k 令自由未知變量 代入 BX=0可解得 從而 14 1 , 1 2 , 1 ,1 1 1 0 0 r r rr k k k X 為 BX=0的一個
9、解 . 15 再令自由未知變量 xr+1, ..., xn的值分 別為 (0,1,...,0), ..., (0,0,...,1), 代入 BX=0 可解得 BX=0的解 X2, X3, ...,Xn r, 于是得到 16 1 , 1 1 , 2 1 2 , 1 2 , 2 2 , 1 , 2 12 , , ..., 1 0 0 0 1 0 0 0 1 r r n r r n r r r r rn nr k k k k k k k k k X X X
10、 17 為 AX=0的一組線性無關(guān)的解，要證 明它正好為 AX=0的一個基礎(chǔ)解系， 只需證明 AX=0的任意解即 BX=0的任 意解可用 X1,X2,...,Xn r 線性表示 . 1 1 2 2 12( , , , , 0, 0, , 0 ) r r n n r T r X c X c X c X d d d 設(shè) X=(c1, ..., cr , cr+1,..., cn)T為 AX=0 (BX=0)的任意解，則 為 BX=0的解，代入 BX=0得到 18 1 2 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 r d
11、 d d 1 1 2 2 .r r n n rX c X c X c X 這堆出 di=0(i=1,2,...,r), 于是 綜上， X1,X2,...,Xn r為 AX=0的一個基 礎(chǔ)解系 . 19 說明： 上述定理的證明過程實際上 就是求解齊次線性方程組的步驟 . 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 4 20 2 3 0 2 2 3 0 3 4 0 x x x x x x x x x x x x x x x 例 解線性方程組 20 解 : 1 1 1 2 2 3
12、 1 1 1 2 2 3 3 4 0 1 A 1 1 1 2 0 1 3 5 0 1 3 5 0 1 3 5 1 1 1 2 0 1 3 5 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 4 7 0 1 3 5 0 0 0 0 0 0 0 0 21 12 47 35 ,, 10 01 XX 用基礎(chǔ)解系表達(dá)的所有解為 1 1 2 2 .c X c X 自由未知量為 x3， x4, 分別代入值 (1,0),(0,1)得到方程組的一個基礎(chǔ)解系： 22 推論 設(shè)齊次線性方程組 AX=0的系
13、數(shù) 矩陣 A為 s n矩陣，若 rA=r
14、性表出 , 故線性相關(guān)； 24 (3) 設(shè) (III)為 AX=0的任意 線性無關(guān)的解 , 為 AX=0的任意解 , 則 線性相關(guān)，于是 可 由 (III)線性表出，故 (III)為 AX=0的一個 基礎(chǔ)解系 . 12, , , nr 12, , , ,nr 此外 , 與 AX=0一個基礎(chǔ)解系等價的任意 線性無關(guān)向量組也是 AX=0的基礎(chǔ)解系 . (P85.Q2.) 25 例 3 設(shè) A為 s n矩陣 , B為 n m矩陣 , AB=0, 則 rA+rBn. 分析 ： n rA是齊次線性方程組
15、AX=0的基 礎(chǔ)解系所含向量個數(shù)，故可考慮利用齊次 線性方程組的解的問題來證明 . 12( ) , 0 ( 0 0 0 ) ,m s mB 解 ：對 B和 0 s m矩陣進(jìn)行列分塊 由 AB=0，利用分塊矩陣的乘法得： 12( ) ( 0 0 0 ) ,mA A A 26 0 ( 1 , 2 , , ) .jA j m 于是 為 AX=0的解 . 12, , , m 這就有 若 rA=n, 則 AX=0只有零解 , 故 B=0, 顯然 , rB=0=n rA; 12 12 , , , , , , . Bm n r A rr r X
16、 X X n r 若 rA=r
齊次線性方程組有非零解的條件及解的結(jié)構(gòu).ppt
