橢圓雙曲線拋物線必背的經(jīng)典結(jié)論

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1、新夢(mèng)想教育輔導(dǎo)講義 學(xué)員編號(hào)（卡號(hào)）： 年 級(jí)： 第 課時(shí) 學(xué)員姓名： 輔導(dǎo)科目： 教師： 課 題 授課時(shí)間： 月 日 備課時(shí)間： 月 日 教學(xué)目標(biāo) 重點(diǎn)、難點(diǎn) 考點(diǎn)及考試要求 教學(xué)內(nèi)容 橢圓 雙曲線拋物線必背的經(jīng)典結(jié)論 橢 圓 1. 點(diǎn)P處的切線PT平分△PF1F2在點(diǎn)P處的外角. 2. PT平分△PF1

2、F2在點(diǎn)P處的外角，則焦點(diǎn)在直線PT上的射影H點(diǎn)的軌跡是以長(zhǎng)軸為直徑的圓，除去長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn). 3. 以焦點(diǎn)弦PQ為直徑的圓必與對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線相離. 4. 以焦點(diǎn)半徑PF1為直徑的圓必與以長(zhǎng)軸為直徑的圓內(nèi)切. 5. 若在橢圓上，則過(guò)的橢圓的切線方程是. 6. 若在橢圓外 ，則過(guò)Po作橢圓的兩條切線切點(diǎn)為P1、P2，則切點(diǎn)弦P1P2的直線方程是. 7. 橢圓 (a＞b＞0)的左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn) 2，點(diǎn)P為橢圓上任意一點(diǎn)，則橢圓的焦點(diǎn)角形的面積為. 8. 橢圓（a＞b＞0）的焦半徑公式： ,( , ). 9. 設(shè)過(guò)橢圓焦點(diǎn)F作直線與橢圓相交 P、Q兩點(diǎn)，A為橢圓長(zhǎng)軸上一個(gè)頂點(diǎn)，連結(jié)A

3、P 和AQ分別交相應(yīng)于焦點(diǎn)F的橢圓準(zhǔn)線于M、N兩點(diǎn)，則MF⊥NF. 10. 過(guò)橢圓一個(gè)焦點(diǎn)F的直線與橢圓交于兩點(diǎn)P、Q, A1、A2為橢圓長(zhǎng)軸上的頂點(diǎn)，A1P和A2Q交于點(diǎn)M，A2P和A1Q交于點(diǎn)N，則MF⊥NF. 11. AB是橢圓的不平行于對(duì)稱軸的弦，M為AB的中點(diǎn)，則， 即。 12. 若在橢圓內(nèi)，則被Po所平分的中點(diǎn)弦的方程是. 13. 若在橢圓內(nèi)，則過(guò)Po的弦中點(diǎn)的軌跡方程是. 雙曲線 1. 點(diǎn)P處的切線PT平分△PF1F2在點(diǎn)P處的內(nèi)角. 2. PT平分△PF1F2在點(diǎn)P處的內(nèi)角，則焦點(diǎn)在直線PT上的射影H點(diǎn)的軌跡是以長(zhǎng)軸為直徑的圓，除去長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn). 3. 以焦

4、點(diǎn)弦PQ為直徑的圓必與對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線相交. 4. 以焦點(diǎn)半徑PF1為直徑的圓必與以實(shí)軸為直徑的圓相切.（內(nèi)切：P在右支；外切：P在左支） 5. 若在雙曲線（a＞0,b＞0）上，則過(guò)的雙曲線的切線方程是. 6. 若在雙曲線（a＞0,b＞0）外 ，則過(guò)Po作雙曲線的兩條切線切點(diǎn)為P1、P2，則切點(diǎn)弦P1P2的直線方程是. 7. 雙曲線（a＞0,b＞o）的左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn) 2，點(diǎn)P為雙曲線上任意一點(diǎn)，則雙曲線的焦點(diǎn)角形的面積為. 8. 雙曲線（a＞0,b＞o）的焦半徑公式：( , 當(dāng)在右支上時(shí)，,. 當(dāng)在左支上時(shí)，, 9. 設(shè)過(guò)雙曲線焦點(diǎn)F作直線與雙曲線相交 P、Q兩點(diǎn)，A為雙曲線

5、長(zhǎng)軸上一個(gè)頂點(diǎn)，連結(jié)AP 和AQ分別交相應(yīng)于焦點(diǎn)F的雙曲線準(zhǔn)線于M、N兩點(diǎn)，則MF⊥NF. 10. 過(guò)雙曲線一個(gè)焦點(diǎn)F的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)P、Q, A1、A2為雙曲線實(shí)軸上的頂點(diǎn)，A1P和A2Q交于點(diǎn)M，A2P和A1Q交于點(diǎn)N，則MF⊥NF. 11. AB是雙曲線（a＞0,b＞0）的不平行于對(duì)稱軸的弦，M為AB的中點(diǎn)，則，即。 12. 若在雙曲線（a＞0,b＞0）內(nèi)，則被Po所平分的中點(diǎn)弦的方程是. 13. 若在雙曲線（a＞0,b＞0）內(nèi)，則過(guò)Po的弦中點(diǎn)的軌跡方程是. 橢圓與雙曲線的對(duì)偶性質(zhì)--（會(huì)推導(dǎo)的經(jīng)典結(jié)論） 橢 圓 1. 橢圓（a＞b＞o）的兩個(gè)頂點(diǎn)為,，與y軸平

6、行的直線交橢圓于P1、P2時(shí)A1P1與A2P2交點(diǎn)的軌跡方程是. 2. 過(guò)橢圓 (a＞0, b＞0)上任一點(diǎn)任意作兩條傾斜角互補(bǔ)的直線交橢圓于B,C兩點(diǎn)，則直線BC有定向且（常數(shù)）. 3. 若P為橢圓（a＞b＞0）上異于長(zhǎng)軸端點(diǎn)的任一點(diǎn),F1, F 2是焦點(diǎn), , ，則. 4. 設(shè)橢圓（a＞b＞0）的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1、F2,P（異于長(zhǎng)軸端點(diǎn)）為橢圓上任意一點(diǎn)，在△PF1F2中，記, ,，則有. 5. 若橢圓（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，左準(zhǔn)線為L(zhǎng)，則當(dāng)0＜e≤時(shí)，可在橢圓上求一點(diǎn)P，使得PF1是P到對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線距離d與PF2的比例中項(xiàng). 6. P為橢圓（a＞b＞0）上任一點(diǎn),

7、F1,F2為二焦點(diǎn)，A為橢圓內(nèi)一定點(diǎn)，則,當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，等號(hào)成立. 7. 橢圓與直線有公共點(diǎn)的充要條件是. 8. 已知橢圓（a＞b＞0），O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P、Q為橢圓上兩動(dòng)點(diǎn)，且.（1）;（2）|OP|2+|OQ|2的最大值為;（3）的最小值是. 9. 過(guò)橢圓（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)F作直線交該橢圓右支于M,N兩點(diǎn)，弦MN的垂直平分線交x軸于P，則. 10. 已知橢圓（ a＞b＞0） ,A、B、是橢圓上的兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線與x軸相交于點(diǎn), 則. 11. 設(shè)P點(diǎn)是橢圓（ a＞b＞0）上異于長(zhǎng)軸端點(diǎn)的任一點(diǎn),F1、F2為其焦點(diǎn)記，則(1).(2) . 12. 設(shè)A、B是橢圓（

8、 a＞b＞0）的長(zhǎng)軸兩端點(diǎn)，P是橢圓上的一點(diǎn)，, ,，c、e分別是橢圓的半焦距離心率，則有(1).(2) .(3) . 13. 已知橢圓（ a＞b＞0）的右準(zhǔn)線與x軸相交于點(diǎn)，過(guò)橢圓右焦點(diǎn)的直線與橢圓相交于A、B兩點(diǎn),點(diǎn)在右準(zhǔn)線上，且軸，則直線AC經(jīng)過(guò)線段EF 的中點(diǎn). 14. 過(guò)橢圓焦半徑的端點(diǎn)作橢圓的切線，與以長(zhǎng)軸為直徑的圓相交，則相應(yīng)交點(diǎn)與相應(yīng)焦點(diǎn)的連線必與切線垂直. 15. 過(guò)橢圓焦半徑的端點(diǎn)作橢圓的切線交相應(yīng)準(zhǔn)線于一點(diǎn)，則該點(diǎn)與焦點(diǎn)的連線必與焦半徑互相垂直. 16. 橢圓焦三角形中,內(nèi)點(diǎn)到一焦點(diǎn)的距離與以該焦點(diǎn)為端點(diǎn)的焦半徑之比為常數(shù)e(離心率). （注:在橢圓焦三角形

9、中,非焦頂點(diǎn)的內(nèi)、外角平分線與長(zhǎng)軸交點(diǎn)分別稱為內(nèi)、外點(diǎn).） 17. 橢圓焦三角形中,內(nèi)心將內(nèi)點(diǎn)與非焦頂點(diǎn)連線段分成定比e. 18. 橢圓焦三角形中,半焦距必為內(nèi)、外點(diǎn)到橢圓中心的比例中項(xiàng). 橢圓與雙曲線的對(duì)偶性質(zhì)--（會(huì)推導(dǎo)的經(jīng)典結(jié)論） 雙曲線 1. 雙曲線（a＞0,b＞0）的兩個(gè)頂點(diǎn)為,，與y軸平行的直線交雙曲線于P1、P2時(shí)A1P1與A2P2交點(diǎn)的軌跡方程是. 2. 過(guò)雙曲線（a＞0,b＞o）上任一點(diǎn)任意作兩條傾斜角互補(bǔ)的直線交雙曲線于B,C兩點(diǎn)，則直線BC有定向且（常數(shù)）. 3. 若P為雙曲線（a＞0,b＞0）右（或左）支上除頂點(diǎn)外的任一點(diǎn),F1, F 2是焦點(diǎn), , ，則

10、（或）. 4. 設(shè)雙曲線（a＞0,b＞0）的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1、F2,P（異于長(zhǎng)軸端點(diǎn)）為雙曲線上任意一點(diǎn)，在△PF1F2中，記, ,，則有. 5. 若雙曲線（a＞0,b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，左準(zhǔn)線為L(zhǎng)，則當(dāng)1＜e≤時(shí)，可在雙曲線上求一點(diǎn)P，使得PF1是P到對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線距離d與PF2的比例中項(xiàng). 6. P為雙曲線（a＞0,b＞0）上任一點(diǎn),F1,F2為二焦點(diǎn)，A為雙曲線內(nèi)一定點(diǎn)，則,當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線且和在y軸同側(cè)時(shí)，等號(hào)成立. 7. 雙曲線（a＞0,b＞0）與直線有公共點(diǎn)的充要條件是. 8. 已知雙曲線（b＞a ＞0），O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P、Q為雙曲線上兩動(dòng)點(diǎn)，且. （1）;（2

11、）|OP|2+|OQ|2的最小值為;（3）的最小值是. 9. 過(guò)雙曲線（a＞0,b＞0）的右焦點(diǎn)F作直線交該雙曲線的右支于M,N兩點(diǎn)，弦MN的垂直平分線交x軸于P，則. 10. 已知雙曲線（a＞0,b＞0）,A、B是雙曲線上的兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線與x軸相交于點(diǎn), 則或. 11. 設(shè)P點(diǎn)是雙曲線（a＞0,b＞0）上異于實(shí)軸端點(diǎn)的任一點(diǎn),F1、F2為其焦點(diǎn)記，則(1).(2) . 12. 設(shè)A、B是雙曲線（a＞0,b＞0）的長(zhǎng)軸兩端點(diǎn)，P是雙曲線上的一點(diǎn)，, ,，c、e分別是雙曲線的半焦距離心率，則有(1). (2) .(3) . 13. 已知雙曲線（a＞0,b＞0）的右準(zhǔn)線與x

12、軸相交于點(diǎn)，過(guò)雙曲線右焦點(diǎn)的直線與雙曲線相交于A、B兩點(diǎn),點(diǎn)在右準(zhǔn)線上，且軸，則直線AC經(jīng)過(guò)線段EF 的中點(diǎn). 14. 過(guò)雙曲線焦半徑的端點(diǎn)作雙曲線的切線，與以長(zhǎng)軸為直徑的圓相交，則相應(yīng)交點(diǎn)與相應(yīng)焦點(diǎn)的連線必與切線垂直. 15. 過(guò)雙曲線焦半徑的端點(diǎn)作雙曲線的切線交相應(yīng)準(zhǔn)線于一點(diǎn)，則該點(diǎn)與焦點(diǎn)的連線必與焦半徑互相垂直. 16. 雙曲線焦三角形中,外點(diǎn)到一焦點(diǎn)的距離與以該焦點(diǎn)為端點(diǎn)的焦半徑之比為常數(shù)e(離心率). (注:在雙曲線焦三角形中,非焦頂點(diǎn)的內(nèi)、外角平分線與長(zhǎng)軸交點(diǎn)分別稱為內(nèi)、外點(diǎn)). 17. 雙曲線焦三角形中,其焦點(diǎn)所對(duì)的旁心將外點(diǎn)與非焦頂點(diǎn)連線段分成定比e. 18. 雙曲

13、線焦三角形中,半焦距必為內(nèi)、外點(diǎn)到雙曲線中心的比例中項(xiàng). 拋物線 結(jié)論一：若AB是拋物線的焦點(diǎn)弦（過(guò)焦點(diǎn)的弦），且，，則：，。 結(jié)論二：（1）若AB是拋物線的焦點(diǎn)弦，且直線AB的傾斜角為α，則（α≠0）。（2）焦點(diǎn)弦中通徑（過(guò)焦點(diǎn)且垂直于拋物線對(duì)稱軸的弦）最短。 結(jié)論三：兩個(gè)相切：（1）以拋物線焦點(diǎn)弦為直徑的圓與準(zhǔn)線相切。 （2）過(guò)拋物線焦點(diǎn)弦的兩端點(diǎn)向準(zhǔn)線作垂線，以兩垂足為直徑端點(diǎn)的圓與焦點(diǎn)弦相切。 結(jié)論四：若拋物線方程為，過(guò)（，0）的直線與之交于A、B兩點(diǎn)，則OA⊥OB。反之也成立。 結(jié)論五：對(duì)于拋物線，其參數(shù)方程為設(shè)拋物線上動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)為，為拋物線的頂點(diǎn)，顯然，即的幾何意

14、義為過(guò)拋物線頂點(diǎn)的動(dòng)弦的斜率． 基礎(chǔ)回顧 1. 以AB為直徑的圓與準(zhǔn)線相切； 2. ; 3. ; 4. ; 5. ; 6. ; 7. ; 8. A、O、三點(diǎn)共線； 9. B、O、三點(diǎn)共線； 10. ； 11. （定值）； 12. ；； 13. 垂直平分； 14. 垂直平分； 15. ； 16. ； 17. ； 18. ； 19. ; 20. ; 21. . 22. 切線方程 高考資源網(wǎng) 性質(zhì)深究 一)焦點(diǎn)弦與切線 1、 過(guò)拋物線焦點(diǎn)弦的兩端點(diǎn)作拋物線的切線，兩切線交點(diǎn)位置有何特殊之處？ 結(jié)論1：交點(diǎn)在準(zhǔn)線上 先猜后

15、證：當(dāng)弦軸時(shí)，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為在準(zhǔn)線上． 結(jié)論2 切線交點(diǎn)與弦中點(diǎn)連線平行于對(duì)稱軸 結(jié)論3 弦AB不過(guò)焦點(diǎn)即切線交點(diǎn)P不在準(zhǔn)線上時(shí)，切線交點(diǎn)與弦中點(diǎn)的連線也平行于對(duì)稱軸． 2、上述命題的逆命題是否成立？ 結(jié)論4 過(guò)拋物線準(zhǔn)線上任一點(diǎn)作拋物線的切線，則過(guò)兩切點(diǎn)的弦必過(guò)焦點(diǎn) 先猜后證：過(guò)準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)作拋物線的切線，則過(guò)兩切點(diǎn)AB的弦必過(guò)焦點(diǎn)． 結(jié)論5過(guò)準(zhǔn)線上任一點(diǎn)作拋物線的切線，過(guò)兩切點(diǎn)的弦最短時(shí)，即為通徑． 3、AB是拋物線（p＞0）焦點(diǎn)弦，Q是AB的中點(diǎn)，l是拋物線的準(zhǔn)線，，，過(guò)A，B的切線相交于P，PQ與拋物線交于點(diǎn)M．則有 結(jié)論6PA⊥PB． 結(jié)論7PF⊥AB．

16、 結(jié)論8 M平分PQ． 結(jié)論9 PA平分∠A1AB，PB平分∠B1BA． 結(jié)論10 結(jié)論11 二)非焦點(diǎn)弦與切線 思考：當(dāng)弦AB不過(guò)焦點(diǎn)，切線交于P點(diǎn)時(shí)， 也有與上述結(jié)論類似結(jié)果： 結(jié)論12 ①， 結(jié)論13 PA平分∠A1AB，同理PB平分∠B1BA． 結(jié)論14 結(jié)論15 點(diǎn)M平分PQ 結(jié)論16 學(xué)生對(duì)于本次課的評(píng)價(jià)： ○ 特別滿意 ○ 滿意 ○ 一般 ○ 差 學(xué)生簽字： 教師評(píng)定： 1、 學(xué)生上次作業(yè)評(píng)價(jià)： ○ 好 ○ 較好 ○ 一般 ○ 差 2、 學(xué)生本次上課情況評(píng)價(jià)： ○ 好 ○ 較好 ○ 一般 ○ 差 教師簽字： 教學(xué)主管意見： 家長(zhǎng)簽字： ___________ 新夢(mèng)想教務(wù)處