（江蘇專用）2020高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專項強化練（九）數(shù)列

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1、專項強化練(九)　數(shù)　列 A組——題型分類練 題型一　等差、等比數(shù)列的基本運算 1．設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}的前n項和，若a2＝7，S7＝－7，則a7的值為________． 解析：因為等差數(shù)列{an}滿足a2＝7，S7＝－7，所以S7＝7a4＝－7，a4＝－1，所以d＝＝－4，所以a7＝a2＋5d＝－13. 答案：－13 2．(2018鹽城高三模擬)設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若Sn＝2an＋n(n∈N*)，則數(shù)列{an}的通項公式為an＝________. 解析：Sn＝2an＋n(n∈N*)?、伲?dāng)n＝1時，得a1＝－1，當(dāng)n≥2時，Sn－1＝2an－1＋n－1?、冢伲?/p>

2、②，得an＝2an－2an－1＋1(n≥2)，即an－1＝2(an－1－1)(n≥2)，則數(shù)列{an－1}是以－2為首項，2為公比的等比數(shù)列，則an－1＝－22n－1＝－2n，a1＝－1符合上式．所以數(shù)列{an}的通項公式為an＝1－2n. 答案：1－2n 3．已知等比數(shù)列{an}的各項均為正數(shù)，若a4＝a，a2＋a4＝，則a5＝________. 解析：法一：設(shè)等比數(shù)列{an}的首項為a1(a1>0)，公比為q(q>0)， 由題意解得 所以a5＝a1q4＝. 法二：(整體思想)依題意由得16a＋16a2－5＝0，即(4a2＋5)(4a2－1)＝0，又等比數(shù)列{an}各項均為正數(shù)，

3、所以a2＝，從而a4＝，從而由q2＝＝，又q>0，所以q＝，a5＝a4q＝＝. 答案： [臨門一腳] 1．等差、等比數(shù)列的通項公式及前n項和公式，共涉及五個量a1，an，d，n，Sn，知其中三個就能求另外兩個，體現(xiàn)了用方程的思想解決問題． 2．在等差、等比混合后考查基本量的計算容易造成公式和性質(zhì)混淆，從而造成計算失誤． 3．等差、等比數(shù)列的通項公式： 等差數(shù)列{an}的通項公式為an＝a1＋(n－1)d＝am＋(n－m)d；等比數(shù)列{an}的通項公式為an＝a1qn－1＝amqn－m(a1≠0，q≠0)． 4．等差、等比數(shù)列的前n項和： (1)等差數(shù)列的前n項和為：Sn＝＝na

4、1＋d＝n2＋n(二次函數(shù))． 特別地，當(dāng)d≠0時，Sn是關(guān)于n的二次函數(shù)，且常數(shù)項為0，即可設(shè)Sn＝an2＋bn(a，b為常數(shù))． (2)等比數(shù)列的前n項和為： Sn＝ 特別地，若q≠1，設(shè)a＝，則Sn＝a－aqn，要注意對q是否等于1討論． 題型二　等差、等比數(shù)列的性質(zhì) 1．(2019東臺中學(xué)模擬)已知Sn是等差數(shù)列{an}的前n項和，若a3＋a6＋a12＝2 019，則S13＝________. 解析：法一：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，因為a3＋a6＋a12＝2 019，所以(a1＋2d)＋(a1＋5d)＋(a1＋11d)＝2 019，即a1＋6d＝673，所以S13＝＝

5、＝13(a1＋6d)＝8 749. 法二：因為a3＋a6＋a12＝2 019，所以3a7＝2 019，所以a7＝673，所以S13＝＝13a7＝8 749. 答案：8 749 2．設(shè)Sn是等比數(shù)列{an}的前n項和，若＝3，則＝________. 解析：設(shè)S2＝k，S4＝3k，由數(shù)列{an}為等比數(shù)列，得S2，S4－S2，S6－S4為等比數(shù)列，∴S2＝k，S4－S2＝2k，S6－S4＝4k，∴S6＝7k，∴＝＝. 答案： 3．若等比數(shù)列{an}的各項均為正數(shù)，且a10a11＋a9a12＝2e5，則ln a1＋ln a2＋…＋ln a20＝________. 解析：因為a10a11

6、＋a9a12＝2a10a11＝2e5，所以a10a11＝e5.所以ln a1＋ln a2＋…＋ln a20＝ln(a1a2…a20)＝ln[(a1a20)(a2a19)…(a10a11)]＝ln(a10a11)10＝10ln(a10a11)＝10ln e5＝50ln e＝50. 答案：50 4．已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，且an>0，若a1＋a2＋…＋a100＝500，則a50a51的最大值為________． 解析：法一：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d(d≥0)，由題意得，100a1＋4 950d＝500，所以a1＝5－49.5d，所以a50a51＝(a1＋49d)(a1＋50d)＝(5

7、－0.5d)(5＋0.5d)＝－0.25d2＋25.又d≥0，所以當(dāng)d＝0時，a50a51有最大值25. 法二：由等差數(shù)列的性質(zhì)知，50(a50＋a51)＝500，即a50＋a51＝10，所以由基本不等式得a50a51≤2＝25，當(dāng)且僅當(dāng)a50＝a51＝5時取等號，所以a50a51有最大值25. 答案：25 5．已知兩個等差數(shù)列{an}和{bn}的前n項和分別為An和Bn，若＝，則使得為整數(shù)的正整數(shù)n的個數(shù)是________． 解析：由＝＝＝＝＝＝＝7＋.因此n∈N*，∈N*，故n＋1＝2,3,4,6,12，即n共有5個． 答案：5 [臨門一腳] 1．若序號m＋n＝p＋q，在等差

8、數(shù)列中，則有am＋an＝ap＋aq；特別的，若序號m＋n＝2p，則am＋an＝2ap；在等比數(shù)列中，則有aman＝apaq；特別的，若序號m＋n＝2p，則aman＝a；該性質(zhì)還可以運用于更多項之間的關(guān)系． 2．在等差數(shù)列{an}中，Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…成等差數(shù)列，其公差為kd；其中Sn為前n項的和，且Sn≠0(n∈N*)；在等比數(shù)列{an}中，當(dāng)q≠－1或k不為偶數(shù)時Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…成等比數(shù)列，其中Sn為前n項的和(n∈N*)． 題型三　數(shù)列的綜合問題 1．已知等比數(shù)列{an}的前4項和為5，且4a1，a2，a2成等差數(shù)列，若bn＝，則數(shù)列{bnb

9、n＋1}的前10項和為________． 解析：由4a1，a2，a2成等差數(shù)列，可得4a1＋a2＝3a2，則2a1＝a2，則等比數(shù)列{an}的公比q＝＝2，則數(shù)列{an}的前4項和為＝5，解得a1＝，所以an＝2n－1，bn＝＝，則bnbn＋1＝＝－，其前10項和為＋＋…＋＝. 答案： 2．(2019蘇州中學(xué)模擬)對于無窮數(shù)列{an}與{bn}，記A＝{x|x＝an，n∈N*}，B＝{x|x＝bn，n∈N*}，若滿足條件A∩B＝?且A∪B＝N*，則稱數(shù)列{an}與{bn}是無窮互補數(shù)列．已知數(shù)列{an}滿足a1＝3，且對任意的i，j∈N*，都有ai＋j＝aiaj，數(shù)列{bn}滿足對任意的

10、n∈N*，都有bn2 020，所以小于等于2 020的正整數(shù)中有6個是數(shù)列{an}中的項，所以由無窮互補數(shù)列的定義可知b2 020＝2 020＋6＝2 026. 答案：2 026 3．(2018南京四校聯(lián)考)已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝8n－n

11、2，令bn＝anan＋1an＋2(n∈N*)，設(shè)數(shù)列{bn}的前n項和為Tn，當(dāng)Tn取得最大值時，n＝________. 解析：法一：當(dāng)n＝1時，a1＝7；當(dāng)n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝9－2n，經(jīng)檢驗，n＝1時也符合，故an＝9－2n，則bn＝anan＋1an＋2＝(9－2n)(7－2n)(5－2n)，當(dāng)Tn取得最大值時，應(yīng)滿足{bn}的前n項均為非負(fù)項．令bn≥0得，n≤2.5或3.5≤n≤4.5，又n∈N*，所以n＝1,2,4，而T1＝105，T2＝120，T4＝120，故當(dāng)Tn取得最大值時，n＝2或4. 法二：由Sn＝8n－n2知，數(shù)列{an}為等差數(shù)列，且an＝9－2n，即7

12、,5,3,1，－1，－3，－5，－7，…，枚舉知，T1＝105，T2＝120，T3＝117，T4＝120，T5＝105，…，故當(dāng)Tn取得最大值時，n＝2或4. 答案：2或4 4．在等差數(shù)列{an}中，首項a1＝3，公差d＝2，若某學(xué)生對其中連續(xù)10項進(jìn)行求和，在漏掉一項的前提下，求得余下9項的和為185，則此連續(xù)10項的和為________． 解析：由已知條件可得數(shù)列{an}的通項公式an＝2n＋1，設(shè)連續(xù)10項為ai＋1，ai＋2，ai＋3，…，ai＋10，i∈N，設(shè)漏掉的一項為ai＋k,1≤k≤10，由－ai＋k＝185，得(2i＋3＋2i＋21)5－2i－2k－1＝185，即18i

13、－2k＝66，即9i－k＝33，所以34≤9i＝k＋33≤43,3<≤i≤<5，所以i＝4，此時，由36＝33＋k得k＝3，所以ai＋k＝a7＝15，故此連續(xù)10項的和為200. 答案：200 [臨門一腳] 1．?dāng)?shù)列求和的方法主要有錯位相減法、倒序相加法、公式法、拆項并項法、裂項相消法等． 2．根據(jù)遞推關(guān)系式求通項公式的方法有累加法，累積法，待定系數(shù)法，取倒數(shù)、取對數(shù)等． 3．?dāng)?shù)列單調(diào)性可以用定義研究，也可以構(gòu)造函數(shù)進(jìn)行研究，要注意數(shù)列和所構(gòu)造函數(shù)的定義域的差別． B組——高考提速練 1．設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，若a2＝1，a4＝5，則S5＝________. 解析

14、：法一：由等差數(shù)列的通項公式，得5＝1＋2d，則d＝2，a1＝－1，S5＝5(－1)＋2＝15. 法二：S5＝＝＝＝15. 答案：15 2．(2019連云港模擬)已知數(shù)列{an}中，a1＝a，a2＝2－a，an＋2－an＝2，若數(shù)列{an}單調(diào)遞增，則實數(shù)a的取值范圍為________． 解析：由an＋2－an＝2可知數(shù)列{an}的奇數(shù)項、偶數(shù)項分別遞增，若數(shù)列{an}單調(diào)遞增，則必有a2－a1＝(2－a)－a＞0且a2－a1＝(2－a)－a＜an＋2－an＝2，可得0＜a＜1，故實數(shù)a的取值范圍為(0,1)． 答案：(0,1) 3．在等比數(shù)列{an}中，若a1＝1，a3a5＝4(

15、a4－1)，則a7＝________. 解析：法一：設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，因為a1＝1，a3a5＝4(a4－1)，所以q2q4＝4(q3－1)，即q6－4q3＋4＝0，q3＝2，所以a7＝q6＝4. 法二：設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q, 由a3a5＝4(a4－1)得a＝4(a4－1)，即a－4a4＋4＝0，所以a4＝2，因為a1＝1，所以q3＝2，a7＝q6＝4. 答案：4 4．記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和．若a4＋a5＝24，S6＝48，則{an}的公差為________． 解析：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d， 則由得 即解得d＝4. 答案：4 5．已知等比數(shù)

16、列{an}的前n項和為Sn，公比q＝3，S3＋S4＝，則a3＝________. 解析：因為等比數(shù)列{an}的公比q＝3， 所以S3＋S4＝2S3＋a4＝2a3＋3a3＝a3＝，所以a3＝3. 答案：3 6．設(shè)公差不為0的等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn.若S3＝a，且S1，S2，S4成等比數(shù)列，則a10＝________. 解析：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d(d≠0)，由S3＝a得3a2＝a，解得a2＝0或a2＝3.又由S1，S2，S4成等比數(shù)列可得S＝S1S4.若a2＝0，則S1＝S2＝a1≠0，S2＝S4＝a1，a2＋a3＋a4＝3a3＝0，a3＝0，則d＝0，故a2＝0舍去；

17、若a2＝3，則S1＝3－d，S2＝6－d，S4＝12＋2d，有(6－d)2＝(3－d)(12＋2d)(d≠0)，得d＝2，此時a10＝a2＋8d＝19. 答案：19 7．在等差數(shù)列{an}中，滿足3a4＝7a7，且a1>0，Sn是數(shù)列{an}的前n項和，若Sn取得最大值，則n＝________. 解析：因為3a4＝7a7，所以3(a1＋3d)＝7(a1＋6d)， 所以a1＝－d>0，所以d<0， 所以an＝a1＋(n－1)d＝(4n－37)， 當(dāng)n≤9時，an>0，當(dāng)n≥10時，an<0， 所以使Sn取得最大值的n＝9. 答案：9 8．我國古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問題

18、：“遠(yuǎn)望巍巍塔七層，紅光點點倍加增，共燈三百八十一，請問尖頭幾盞燈？”意思是：一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍，則塔的頂層共有燈________盞． 解析：每層塔所掛的燈數(shù)從上到下構(gòu)成等比數(shù)列，記為{an}，則前7項的和S7＝381，公比q＝2，依題意，得S7＝＝381，解得a1＝3. 答案：3 9．(2019泰州中學(xué)模擬)已知Sn是等差數(shù)列{an}的前n項和，若a1＝－2 014，－＝6，則S2 019＝________. 解析：由等差數(shù)列的性質(zhì)可得也為等差數(shù)列．設(shè)其公差為d，則－＝6d＝6，∴d＝1.故＝＋2 018d＝－2 014＋2 018

19、＝4，∴S 2 019＝42 019＝8 076. 答案：8 076 10．設(shè)數(shù)列滿足a1＝1，(1－an＋1)(1＋an)＝1(n∈N*)，則(akak＋1)的值為________． 解析：因為(1－an＋1)(1＋an)＝1，所以an－an＋1－anan＋1＝0，從而－＝1，＝1，所以數(shù)列是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列，所以＝1＋n－1＝n，所以an＝，故anan＋1＝＝－，因此(akak＋1)＝＋＋…＋＝1－＝. 答案： 11．已知Sn是等比數(shù)列{an}的前n項和，若存在m∈N*，滿足＝9，＝，則數(shù)列{an}的公比為________． 解析：設(shè)數(shù)列{an}的公比為q，若q＝

20、1，則＝2，與題中條件矛盾，故q≠1.因為＝＝qm＋1＝9，所以qm＝8.所以＝＝qm＝8＝，所以m＝3，所以q3＝8，所以q＝2. 答案：2 12．(2019金陵中學(xué)模擬)已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1＝1，－＝2 010.若Sm＋Sp＋Sr＝504(正整數(shù)m，p，r互不相等)，對于滿足條件的m，p，r，m＋p＋r的值構(gòu)成的集合為________． 解析：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，則Sn＝na1＋d，＝a1＋d.因為－＝2 010，所以－＝1 005d＝2 010，所以d＝2，所以an＝2n－1，Sn＝n2.因為Sm＋Sp＋Sr＝504為偶數(shù)，所以m，p，r中有兩個奇數(shù)

21、、一個偶數(shù)或m，p，r均為偶數(shù)．①若m，p，r中有兩個奇數(shù)、一個偶數(shù)，不妨設(shè)m＝2x＋1，p＝2y＋1，r＝2z，其中x，y∈N，z∈N*，則(2x＋1)2＋(2y＋1)2＋4z2＝504，所以2(x2＋x＋y2＋y＋z2)＝251，等式左邊為偶數(shù)，右邊為奇數(shù)，矛盾．②若m，p，r均為偶數(shù)，不妨設(shè)m＝2m1，p＝2p1，r＝2r1，其中m1，p1，r1∈N*，則m＋p＋r＝126，繼續(xù)奇偶分析知m1，p1，r1中有兩個奇數(shù)、一個偶數(shù)或m1，p1，r1均為偶數(shù)．易得當(dāng)m1，p1，r1均為偶數(shù)時，不成立．當(dāng)m1，p1，r1中有兩個奇數(shù)、一個偶數(shù)時，不妨設(shè)m1＝2m2＋1，p1＝2p2＋1，r1＝2

22、r2，其中m2，p2∈N，r2∈N*，則m＋m2＋p＋p2＋r＝31，因為m2(m2＋1)＋p2(p2＋1)為偶數(shù)，所以r2為奇數(shù)，且r2的所有可能取值為1,3,5.不妨設(shè)0≤m2

23、數(shù)列{an}的前n項和，an>0，若S6－2S3＝5，則S9－S6的最小值為________． 解析：法一：當(dāng)q＝1時，S6－2S3＝0，不合題意，所以q≠1，從而由S6－2S3＝5得－＝5，從而得＝＝<0，故1－q<0，即q>1，故S9－S6＝－＝(q6－q9)＝，令q3－1＝t>0，則S9－S6＝＝5≥20，當(dāng)且僅當(dāng)t＝1，即q3＝2時等號成立． 法二：因為S6＝S3(1＋q3)，所以由S6－2S3＝5得S3＝>0，從而q>1，故S9－S6＝S3(q6＋q3＋1)－S3(q3＋1)＝S3q6＝，以下同法一． 答案：20 14．已知數(shù)列{bn}的每一項都是正整數(shù)，且b1＝5，b2＝7

24、7，得3－d>0，由d∈N*得d＝1或2，當(dāng)d＝1時，bn＝4n－1＋1，不合題意，當(dāng)d＝2時，bn＝3n－1＋4，符合題意，所以所求d的值為2. 法二：由數(shù)列{abn}是等比數(shù)列得ab1ab3＝a2b2，而abn＝a7＋(bn－7)d，所以，由b1＝5，b2＝7得，(6－2d)[6＋(b3－7)d]＝36，易知d≠3，解得b3－7＝>0，由d∈N*得，d＝1或2，當(dāng)d＝1時，bn＝4n－1＋1，不合題意，當(dāng)d＝2時，bn＝3n－1＋4，符合題意，所以所求d的值為2. 答案：2 9