《數(shù)列與不等式》PPT課件.ppt

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1、安徽省合肥一中 2013屆 文科數(shù)學考前講座 鄭漢洲 2013.5 知識網(wǎng)絡構建 二、數(shù)列與不等式 1、 數(shù)列通項及求和 主干知識整合 1 數(shù)列通項求解的方法 ( 1 ) 公式法 ； ( 2 ) 根據(jù)遞推關系求通項公式有 ： 疊加法 ； 疊乘法 ； 轉化法 ( 3 ) 不完全歸納 法即從特殊到一般的 歸納法 ； ( 4 ) 用 a n S 1 n 1 S n S n 1 n 2 求解 2 數(shù)列求和的基本方法： ( 1 ) 公式法 ； ( 2 ) 分組法 ； ( 3 ) 裂項相消法 ； ( 4 ) 錯位相減 法 ； ( 5 ) 倒序相加法 要點熱點探究 探究點一 公式法 如果所給數(shù)列滿足等差或者

2、等比數(shù)列的定義，則可 以求出 a 1 ， d 或 q 后，直接代入公式求出 a n 或 S n . 例 1 ( 1 ) 已知正數(shù) 數(shù)列 a n 對任意 p ， q N * ， 都有 a p q a p a q ， 若 a 2 4 ， 則 a n ________. , ( 2 ) 數(shù)列 a n 為正項等比數(shù)列 ， 若 a 2 1 ， 且 a n a n 1 6 a n 1 ( n N ， n 2 ) ， 則此數(shù)列的前 n 項和 S n ________. ( 1 ) 2 n ( 2 ) 2 n 1 1 2 【解析】 ( 1 ) 由 a p q a p a q ， a 2 4 ， 可得 a 2

3、a 2 1 4 a 1 2 ， 所以 a p 1 a p a 1 ， 即 a p 1 a p a 1 2 ， 即 數(shù)列 a n 為等比數(shù)列 ， 所以 a n a 1 q n 1 2 2 n 1 2 n . ( 2 ) 設等比數(shù)列的公比為 q ， 由 a n a n 1 6 a n 1 知 ， 當 n 2 時 ， a 2 a 3 6 a 1 . 再由數(shù)列 a n 為正項等比數(shù)列 ， a 2 1 ， 得 1 q 6 q ， 化簡得 q 2 q 6 0 ， 解得 q 3 或 q 2. q 0 ， q 2 ， a 1 1 2 ， S n 1 2 1 2 n 1 2 2 n 1 1 2 . 【點評】 這

4、兩題都是由 “ a p q a p a q ” 和 “ a n a n 1 6 a n 1 ” 推出其他條件來確定基本量 ， 不過第 ( 1 ) 小問中首先要確定該 數(shù)列的特征 ， 而第 ( 2 ) 小問已經(jīng)明確是等比數(shù)列 ， 代入公式列方 程求解即可 探究點二 根據(jù)遞推關系式求通項公式 如果所給數(shù)列遞推關系式，不可以用疊加法或疊乘法，在 填空題中可以用不完全歸納法進行研究 例 2 (1) 已知數(shù)列 a n 滿足 a 1 2 ， a n 1 5 a n 13 3 a n 7 ( n N * ) ，則數(shù)列 a n 的前 100 項的和為 ________ (2) 已知數(shù)列 a n ， b n 滿

5、足 a 1 1 ， a 2 2 ， b 1 2 ，且 對任意的正整數(shù) i ， j ， k ， l ，當 i j k l 時，都有 a i b j a k b l ，則 1 2010 i 1 2 0 1 0 ( a i b i ) 的值是 ________ ( 1 ) 200 ( 2 ) 2012 【解析】 ( 1 ) 由 a 1 2 ， a n 1 5 a n 13 3 a n 7 ( n N * ) 得 a 2 5 2 13 3 2 7 3 ， a 3 5 3 13 3 3 7 1 ， a 4 5 1 13 3 1 7 2 ， 則 a n 是周期 為 3 的數(shù)列 ， 所以 S 1 0 0 (

6、 2 3 1 ) 33 2 200. ( 2 ) 由題意得 a 1 1 ， a 2 2 ， a 3 3 ， a 4 4 ， a 5 5 ； b 1 2 ， b 2 3 ， b 3 4 ， b 4 5 ， b 5 6. 歸納得 a n n ， b n n 1 ； 設 c n a n b n ， c n a n b n n n 1 2 n 1 ， 則數(shù)列 c n 是首項為 c 1 3 ， 公差為 2 的等差數(shù) 列 ， 問題轉化為求數(shù)列 c n 的前 2010 項和的平均數(shù) 所以 1 2010 i 1 2 0 1 0 ( a i b i ) 1 2010 2010 3 4021 2 2012. 【點

7、評】 根據(jù)數(shù)列的遞推關系求數(shù)列的通項 ， 除了常 規(guī)的方法外 ， 還可以用不完全歸納法進行研究 ， 如數(shù)列周期 性的研究 探究點三 數(shù)陣問題 數(shù)陣問題主要指的是不僅僅是將數(shù)排成一列的數(shù)列，而是 既有行的排列也有列的排列的數(shù)字規(guī)律變換的研究 例 3 所有正奇數(shù)如下數(shù)表排列 ( 表中下一行中的數(shù)的個數(shù) 是上一行中數(shù)的個數(shù)的 2 倍 ) ： 第一行 1 第二行 3 5 第三行 7 9 11 13 則第 6 行中的第 3 個數(shù)是 ________ 67 【解析】 先計算第六行第三個數(shù)為正奇數(shù)排列的第幾個 數(shù) ， 由 1 2 4 8 16 3 34 得所求的數(shù)為第 34 個 ， 所以 2 34 1 67

8、. 【點評】 數(shù)陣問題中第 m 行的第 n 個數(shù)的研究，需要分兩 步研究，第一步研究每一行的數(shù)變換規(guī)律，第二步再研究列的變 換規(guī)律本題實為將一個等差數(shù)列分成了若干部分進行研究 探究點四 數(shù)列的特殊求和方法 數(shù)列的特殊求和方法中以錯位相減法較為難掌握，其中通 項公式 a n b n 的特征為 a n 是等差數(shù)列， b n 是等比數(shù)列 例 4 在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列 a n 中 ， 已知 a 2 2 a 1 3 ， 且 3 a 2 ， a 4 , 5 a 3 成等差數(shù)列 ( 1 ) 求數(shù)列 a n 的通項公式 ； ( 2 ) 設 b n lo g 3 a n ， 求數(shù)列 a n b n 的前 n

9、 項和 S n . 【解答】 (1) 設 a n 公比為 q ，由題意得 q 0 ， 且 a 2 2 a 1 3 ， 3 a 2 5 a 3 2 a 4 ， 即 a 1 q 2 3 ， 2 q 2 5 q 3 0 ， 解得 a 1 3 ， q 3 或 a 1 6 5 ， q 1 2 ( 舍去 ) ， 所以數(shù)列 a n 的通項公式為 a n 3 3 n 1 3 n ， n N * . (2) 由 (1) 可得 b n log 3 a n n ，所以 a n b n n 3 n . 所以 S n 1 3 2 3 2 3 3 3 n 3 n ， 3 S n 1 3 2 2 3 3 3 3 4 n 3

10、 n 1 . 得， 2 S n 3 (3 2 3 3 3 n ) n 3 n 1 (3 3 2 3 3 3 n ) n 3 n 1 ， 3 1 3 n 1 3 n 3 n 1 3 2 (1 3 n ) n 3 n 1 3 2 n 1 2 3 n 1 . 所以數(shù)列 a n b n 的前 n 項和為 S n 3 4 2 n 1 4 3 n 1 . 【點評】 本題考查等差數(shù)列 、 等比數(shù)列的基礎知識 ， 第 ( 1 ) 問求數(shù)列的通項公式 ， 主要是用解方程組的方法求出首 項和公比 ， 注意取舍 ； 第 ( 2 ) 問 ， 求數(shù)列的前 n 項和 ， 主要考 查錯位相減法 錯位相減時要注意各項的位置要

11、錯開 ， 還要 注意 2 S n 的左邊的系數(shù)要處理后 ， 才算求出 S n ， 最后還需要 用 n 1 , 2 進行檢驗 規(guī)律技巧提煉 1 數(shù)列通項公式的研究主要是研究相鄰項之間的關 系， 江蘇卷對遞推關系的考查不多，填空題中出現(xiàn)復雜遞推關系 時，可以用不完全歸納法研究 在解答題中主要是轉化為等差、 等比數(shù)列的基本量的求解 2 數(shù)列求和問題中特殊求和方法在江蘇卷的考查也不多， 主要還是利用公式法求數(shù)列的前 n 項和，再論證和的性質，故 不過多涉及求和的技巧以及項的變形 2、等差、等比數(shù)列的性質 2. 證明數(shù)列是等差或等比數(shù)列的方法 ( 1 ) 等差數(shù)列 定義法 ： a n 1 a n d (

12、 n N * ) ； 等差中項法 ： 2 a n 1 a n a n 2 ( n N * ) ( 2 ) 等比數(shù)列 定義法 ： a n 1 a n q ( n N * ) ； 等比中項 ： a 2 n 1 a n a n 2 ( n N * ) 要點熱點探究 探究點一 等差、等比中項性質 等差中項和等比中項不僅僅可以解決兩項和 ( 積 ) 之間的 等量關系，也可以進一步推廣至若干項如，若 m n p r s t，則等差數(shù)列有 a m a n a p a r a s a t；等比數(shù)列有 a m a n a p a r a s a t . 例 1 ( 1 ) 2 01 1 廣東卷 等差數(shù)列 a n

13、 前 9 項的和等于前 4 項的和 若 a 1 1 ， a k a 4 0 ， 則 k ________. ( 2 ) 已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列 a n ， a 1 a 2 a 3 5 ， a 7 a 8 a 9 10 ， 則 a 1 a 2 a 9 __ ______. (1) 10 (2)50 3 2 【解析】 (1) 由 S 9 S 4 ，所以 a 5 a 6 a 7 a 8 a 9 0 ，即 5 a 7 0 ，所以 a 7 0 ， 由 a 7 a 1 6 d 得 d 1 6 ，又 a k a 4 0 ， 即 a 1 ( k 1) 1 6 a 1 3 1 6 0 ， 即 ( k 1)

14、1 6 3 2 ，所以 k 1 9 ，所以 k 10. (2) 由等比數(shù)列的性質知 a 1 a 2 a 3 ( a 1 a 3 ) a 2 a 3 2 5 ， a 7 a 8 a 9 ( a 7 a 9 ) a 8 a 3 8 10 ，所以 a 2 a 8 50 1 3 ， 所以 a 1 a 2 a 9 a 9 5 ( a 2 a 8 ) 9 50 3 2 . 【點評】 等差中項和 等比中項的本質是整體思想運用 ， 用來實現(xiàn)等量項之間的代換 這是在數(shù)列運用基本量研究外 的一個重要的處理問題的手段 探究點二 數(shù)列單調性的研究 數(shù)列的單調性研究方法有三種：一是用數(shù)列的單調性的定 義，如 a n 1

15、 a n ；二是若數(shù)列是等差或等比數(shù)列可以觀察其通 項的系數(shù)特征；三是可以構造相應的函數(shù)，通過函數(shù)單調性得 到對應數(shù)列的單調性 例 2 有 n 個首項都是 1 的等差數(shù)列，設第 m 個數(shù)列的第 k 項為 a mk ( m ， k 1,2,3 ， ， n ， n 3) ，公差為 d m ，并且 a 1 n ， a 2 n ， a 3 n ， ， a nn 成等差數(shù)列且 d m (2 m ) d 1 ( m 1) d 2 . (1) 當 d 1 1 ， d 2 3 時，將數(shù)列 d m 分組如下： ( d 1 ) ， ( d 2 ， d 3 ， d 4 ) ， ( d 5 ， d 6 ， d 7 ，

16、 d 8 ， d 9 ) ， ( 每組數(shù)的個數(shù)構成 等差數(shù)列 ) 設前 m 組中所有數(shù)之和為 ( c m ) 4 ( c m 0) ，求數(shù)列 2 c n d n 的前 n 項和 S n ； (2) 設 N 是不超過 20 的正整數(shù)，當 n N 時，對于 (1) 中的 S n ， 求 使得不等式 1 50 ( S n 6) d n 成立的所有 N 的值 【解答】 ( 1 ) 當 d 1 1 ， d 2 3 時 ， d m 2 m 1 ( m N * ) 數(shù)列 d m 分組如下 ： ( d 1 ) ， ( d 2 ， d 3 ， d 4 ) ， ( d 5 ， d 6 ， d 7 ， d 8 ，

17、d 9 ) ， 按分組規(guī)律 ， 第 m 組中有 ( 2 m 1 ) 個奇數(shù) ， 所以第 1 組到第 m 組共有 1 3 5 ( 2 m 1 ) m 2 個奇數(shù) 注意到前 k 個奇數(shù)的和為 1 3 5 ( 2 k 1 ) k 2 ， 所以前 m 2 個奇數(shù)的和為 ( m 2 ) 2 m 4 . 即前 m 組中所有數(shù)之和為 m 4 ， 所以 ( c m ) 4 m 4 . 因為 c m 0 ， 所以 c m m ， 從而 2 c m d m ( 2 m 1 ) 2 m ( m N * ) 所以 S n 1 2 3 2 2 5 2 3 7 2 4 ( 2 n 3 ) 2 n 1 ( 2 n 1 )

18、2 n ， 2 S n 1 2 2 3 2 3 5 2 4 ( 2 n 3 ) 2 n ( 2 n 1 ) 2 n 1 ， 故 S n 2 2 2 2 2 2 3 2 2 4 2 2 n ( 2 n 1 ) 2 n 1 2 ( 2 2 2 2 3 2 n ) 2 ( 2 n 1 ) 2 n 1 2 2 2 n 1 2 1 2 ( 2 n 1 ) 2 n 1 ( 3 2 n ) 2 n 1 6. 所以 S n ( 2 n 3 ) 2 n 1 6. ( 2 ) 由 ( 1 ) 知 d n 2 n 1 ( n N * ) ， S n ( 2 n 3 ) 2 n 1 6 ( n N * ) 故不等式

19、1 50 ( S n 6 ) d n 就是 ( 2 n 3 ) 2 n 1 50 ( 2 n 1 ) 考慮函數(shù) f ( n ) ( 2 n 3 ) 2 n 1 50 ( 2 n 1 ) ( 2 n 3 )( 2 n 1 50 ) 10 0. 當 n 1 , 2 , 3 , 4 , 5 時 ， 都有 f ( n ) 0 ， 即 ( 2 n 3 ) 2 n 1 0 ， 注意到當 n 6 時 ， f ( n ) 單調遞增 ， 故有 f ( n ) 0. 因此當 n 6 時 ， ( 2 n 3 ) 2 n 1 50 ( 2 n 1 ) 成立 ， 即 1 50 ( S n 6 ) d n 成立 所以 ，

20、 滿足條件的所有正整數(shù) N 6 , 7 ， ， 20. 【點評】 本題第二小問構造了函數(shù) f ( n ) (2 n 3 )(2 n 1 50) 100 ，其中所構成的函數(shù)為一次函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的乘積函數(shù)，由于 g ( n ) 2 n 3 ， h ( n ) 2 n 1 50 都是單調遞增函數(shù)，但不是恒正，故只有當 n 6 時才能保證恒正，這樣得到的函數(shù) f ( n ) 才是單調遞增函數(shù)，前五 項的性質，可以代入后一一進行比較 探究點三 等差、等比數(shù)列的證明 等差、等比數(shù)列的證明方法有兩種：一是用數(shù)列的定義； 二是等差中項或等比中項，但其本質都是根據(jù)條件尋求相鄰兩 項或幾項之間的關系 例 3 已知

21、數(shù)列 a n ， b n 滿足 b n a n 1 a n ，其中 n 1 ,2,3 ， . (1) 若 a 1 1 ， b n n ，求數(shù)列 a n 的通項公式； (2) 若 b n 1 b n 1 b n ( n 2) ，且 b 1 1 ， b 2 2. 記 c n a 6 n 1 ( n 1) ， 求證：數(shù)列 c n 為等差數(shù)列 【解答】 (1) 當 n 2 時，有 a n a 1 ( a 2 a 1 ) ( a 3 a 2 ) ( a n a n 1 ) a 1 b 1 b 2 b n 1 1 n 1 n 2 n 2 2 n 2 1. 又因為 a 1 1 也滿足上式， 所以數(shù)列 a n

22、 的通項為 a n n 2 2 n 2 1. (2) 因為對任意的 n N * 有 b n 6 b n 5 b n 4 1 b n 3 b n 1 b n 2 b n ， 所以 c n 1 c n a 6 n 5 a 6 n 1 b 6 n 1 b 6 n b 6 n 1 b 6 n 2 b 6 n 3 b 6 n 4 1 2 2 1 1 2 1 2 7( n 1) ， 所以數(shù)列 c n 為等差數(shù)列 【點評】 本題中 c n 是由 a n 構成 ， 而數(shù)列 a n 又由數(shù) 列 b n 構成 ， 所以本題要證明數(shù)列 c n 是等差數(shù)列 ， 其本質還 是論證數(shù)列 b n 的特征 ， 其中 b n

23、6 b n 是數(shù)列周期性的證明 規(guī)律技巧提煉 1 等差、等比數(shù)列性質很多，在江蘇卷的考查中以等差 中項和等比中項的考查為主，在運用該 技巧時，要注意該等式 兩邊的項數(shù)必須相等即兩項與兩項互換，三項與三項互換 2 在運用函數(shù)判斷數(shù)列的單調性時，要注意函數(shù)的自變 量為連續(xù)的，數(shù)列的自變量為不連續(xù)的，所以函數(shù)性質不能夠 完全等同于數(shù)列的性質 有些數(shù)列會出現(xiàn)前后幾項的大小不 一，從某一項開始才符合遞增或遞減的特征，這時前幾項中每 一項都必須研究 3 由一個數(shù)列構造生成的新數(shù)列，再證明其是否是等差 或等比數(shù)列時，如果已經(jīng)有通項公式，則可以直接由通項公式 的特征判斷，如果只有遞推關系，則需要用定義來證明

24、3、數(shù)列中的等量關系 主干知識整合 1 等差、等比數(shù)列中常見的等量關系 ( 1 ) a n a 1 a 2 a 1 a n a n 1 及 a n a 1 ( a 2 a 1 ) ( a n a n 1 ) ( 2 ) 2 a n a n 1 a n 1 ； a 2 n a n 1 a n 1 . ( 3 ) a n a m ( n m ) d ； a n a m q n m . ( 4 ) 等差數(shù)列前 n 項和 S n An 2 Bn ( n N * ) ； 等比數(shù)列前 n 項和 S n c c q n ( q 1 ) 2 論證恒等關系的方法和思想 ( 1 ) 方程恒有解 方程 ax b 0

25、 恒有解的充要條件為 a b 0 ； 方程 ax 2 bx c 0 恒有解的充要條件為 a b c 0 ； 方程 a 1 x n b 1 a 2 x n b 2 恒有解的充要條件為 a 1 a 2 ， b 1 b 2 . ( 2 ) 從特殊到一般的思想 對于一些無從下手的恒成立問題 ， 可以先從 n 1 ， n 2 進行研 究得到相應的參數(shù)的值 ， 再論證對于一般的情況也成立 要點熱點探究 探究點一 轉化為等差、等比數(shù)列問題 通過題干所給等式條件，將所研究的數(shù)列問題轉化為等差 或等比數(shù)列進行研究，其中過程需要用等差或等比數(shù)列的定義 進行轉化 例 1 已知 a n 是遞增的等差數(shù)列，滿足 a 2

26、 a 4 3 ， a 1 a 5 4. (1) 求數(shù)列 a n 的通項公式和前 n 項和公式； (2) 設數(shù)列 b n 對 n N * 均有 b 1 3 b 2 3 2 b n 3 n a n 1 成立， 求數(shù)列 b n 的通項公式 【解答】 (1 ) a 1 a 5 a 2 a 4 4 ，再由 a 2 a 4 3 ， 可解得 a 2 1 ， a 4 3 或 a 2 3 ， a 4 1 ， 又 a n 為遞增數(shù)列， a 2 1 ， a 4 3. d a 4 a 2 4 2 1 ， a n 1 1 ( n 2) n 1 ， S n n 2 ( a 2 a n 1 ) n n 1 2 . (2 )

27、 由 b 1 3 b 2 3 2 b n 3 n a n 1 得，當 n 2 時， b 1 3 b 2 3 2 b n 1 3 n 1 a n ， 兩式相減得 b n 3 n a n 1 a n 1 ( n 2) ， b n 3 n ( n 2) . 當 n 1 時， b 1 3 a 2 ， a 2 1 ， b 1 3. 綜合 知 b n 3 n . 【點評】 本題中所給的恒等式 b 1 3 b 2 3 2 b n 3 n a n 1 ， 其本質為數(shù)列 b n 3 n 前 n 項和與 a n 1 之間的關系 ， 利用 a n S 1 n 1 ， S n S n 1 n 2 ， 將其轉化為數(shù)列性

28、質的論證 ， 從而轉化為 等比數(shù)列進行研究 探究點二 子數(shù)列或衍生數(shù)列問題 子數(shù)列和衍生數(shù)列問題都是指由原數(shù)列中的若干項打亂順 序或進行運算后重新組成新的數(shù)列問題 例 2 已知數(shù)列 a n 滿足 a 1 a 2 a n n 2 ( n N * ) ( 1 ) 求數(shù)列 a n 的通項公式 ； ( 2 ) 對任意給定的 k N * ， 是否存在 p ， r N * ( k p r ) 使 1 a k ， 1 a p ， 1 a r 成等差數(shù)列 ？ 若存在 ， 用 k 分別表示 p 和 r ； 若不存在 ， 請說明理由 ； 【解答】 (1) 當 n 1 時， a 1 1 ； 當 n 2 ， n N

29、* 時， a 1 a 2 a n 1 ( n 1) 2 ， 所以 a n n 2 ( n 1) 2 2 n 1 ； 當 n 1 時，也適合 綜上所述， a n 2 n 1( n N * ) (2) 當 k 1 時，若存在 p ， r 使 1 a k ， 1 a p ， 1 a r 成等差數(shù)列，則 1 a r 2 a p 1 a k 3 2 p 2 p 1 . 因為 p 2 ，所以 a r 2. ( 1 ) 證明 ： 數(shù)列 a n 1 為等比數(shù)列 ； ( 2 ) 若 a 2 3 ， 求數(shù)列 a n 的通項公式 ； ( 3 ) 對于 ( 2 ) 中數(shù)列 a n ， 若數(shù)列 b n 滿足 b n l

30、og 2 ( a n 1 )( n N * ) ， 在 b k 與 b k 1 之間插入 2 k 1 ( k N * ) 個 2 ， 得到一個新的數(shù)列 c n ， 試問 ： 是否存在正整數(shù) m ， 使得數(shù)列 c n 的前 m 項的和 T m 201 1 ？ 如果存在 ， 求出 m 的值 ； 如果不存在 ， 說明理由 【解答】 (1) 證明：因為 2 S n pa n 2 n ，所以 2 S n 1 pa n 1 2( n 1) ， 所以 2 a n 1 pa n 1 pa n 2 ，所以 a n 1 p p 2 a n 2 p 2 ，所以 a n 1 1 p p 2 ( a n 1) 因為 2

31、 a 1 pa 1 2 ，所以 a 1 2 p 2 0 ，所以 a 1 1 0 ， 所以 a n 1 1 a n 1 p p 2 0 ，所以數(shù)列 a n 1 為等比數(shù)列 (2) 由 (1) 知 a n 1 p p 2 n ，所以 a n p p 2 n 1 ，又因為 a 2 3 ，所以 p p 2 2 1 3 ， 所以 p 4 ，所以 a n 2 n 1. (3) 由 (2) 得 b n l og 2 2 n ，即 b n n ( n N * ) ，數(shù)列 c n 中， b k ( 含 b k 項 ) 前的所有項的和是： (1 2 3 k ) (2 0 2 1 2 2 2 k 2 ) 2 k k

32、 1 2 2 k 2 ， 當 k 10 時，其和是 55 2 10 2 1077 201 1 ， 又因為 201 1 1 077 934 467 2 ，是 2 的倍數(shù)， 所以當 m 10 (1 2 2 2 2 8 ) 467 988 時， T m 2 01 1 ，所以存在 m 988 使 得 T m 201 1 . 【點評】 在原數(shù)列中插入若干個數(shù)構成的新數(shù)列問題， 關 鍵是弄清楚原數(shù)列的項在新數(shù)列中的特征，插入的若干個數(shù)與原 數(shù)列項之間的關系 探究點三 數(shù)列新定義問題 數(shù)列中的新定義問題主要將其轉化為關于數(shù)列相關參數(shù) 的基 本等式，其實等差數(shù)列也是一個定義其本質是 a n 1 a n d .

33、 例 4 設數(shù)列 a n 是一個無窮數(shù)列，記 T n i 1 n 2 2 i 1 a i 2 a 1 a 3 2 n 2 a n 1 ， n N * . (1) 若 a n 是等差數(shù)列，證明：對于任意的 n N * ， T n 0 ； (2) 對任意的 n N * ，若 T n 0 ，證明： a n 是等差數(shù)列； (3) 若 T n 0 ，且 a 1 0 ， a 2 1 ，數(shù)列 b n 滿足 b n 2 a n ，由 b n 構成一個新數(shù)列 3 ， b 2 ， b 3 ， 設這個新數(shù)列的前 n 項和為 S n ，若 S n 可以寫成 a b ， ( a ， b N ， a 1 ， b 1) ，

34、則稱 S n 為 “ 好和 ” 問 S 1 ， S 2 ， S 3 ， 中是否存在 “ 好和 ” ，若存在，求出所有 “ 好和 ” ；若 不存在，說明理由 【解答】 (1) 證明：對于任意的正整數(shù) n ， T n i 1 n 2 2 i 1 a i 2 a 1 a 3 2 n 2 a n 1 ， 2 T n 2 i 1 n 2 2 i 1 a i 4 a 1 2 a 3 2 n 3 a n 1 ， 將上面兩等式作差得： T n a 3 a 1 i 1 n 1 2 i ( a i 1 a i ) 2 n 2 ( a n 1 a n 2 ) 數(shù)列 a n 是等差數(shù)列，設其公差為 d ， T n 2

35、 d d i 1 n 1 2 i 2 n 2 d 0 ， T n 0. ( 2 ) 對于任意的正整數(shù) n ， T n i 1 n 2 2 i 1 a i 2 a 1 a 3 2 n 2 a n 1 0 ， T n 1 i 1 n 3 2 i 1 a i 2 a 1 a 3 2 n 3 a n 2 0 ， 將上面兩等式作差得 ： a n 1 2 a n 2 a n 3 0. 由 T 1 i 1 3 2 i 1 a i 2 a 1 a 3 2 3 a 2 0 即 a 3 a 2 a 2 a 1 ， 綜上 ， 對 一切正整數(shù) n ， 都有 a n 1 2 a n a n 1 0 ， 所以數(shù)列 a n

36、 是等差數(shù)列 (3 ) 由 (2 ) 知 a n 是等差數(shù)列，其公差是 1 ， 所以 a n a 1 ( n 1) n 1 ， b n 2 a n 2 n 1 . 當 n 2 時， S n 3 2 4 2 n 1 2 n 1 ， S 1 3 ， 所以對正整數(shù) n 都有 S n 2 n 1. 由 a b 2 n 1 ， a b 1 2 n ， a ， b N ， a 1 ， b 1 ， a 只能是不小于 3 的奇數(shù) 當 b 為偶數(shù)時， a b 1 a b 2 1 a b 2 1 2 n ， 因為 a b 2 1 和 a b 2 1 都是大于 1 的正整數(shù)， 所以存在正整數(shù) t ， s ，使得 a

37、 b 2 1 2 s ， a b 2 1 2 t ， 2 s 2 t 2,2 t (2 s t 1) 2,2 t 2 且 2 s t 1 1 ， t 1 ， s 2 ，相應的 n 3 ，即 有 S 3 3 2 ， S 3 為好和； 當 b 為奇數(shù)時， a b 1 ( a 1) (1 a a 2 a b 1 ) ，由于 1 a a 2 a b 1 是 b 個奇數(shù)之和，仍為奇數(shù)，又 a 1 為正偶數(shù)，所以 ( a 1) (1 a a 2 a b 1 ) 2 n 不成立，這時沒有好和 【點評】 本題中的新定義了 “ 好和 ” ， 其本質為 2 n 1 a b 是否有相應的整數(shù)解 ， 這類問題需要對式

38、子的結構的特征 ， 參數(shù) a ， b ， n 的特征進行分析 ， 多用特殊值先代入常識 ， 再進 行一般的論證 例 201 1 江蘇卷 設 M 為部分正整數(shù)組成的集合 ， 數(shù)列 a n 的首項 a 1 1 ， 前 n 項的和為 S n ， 已知對任意的整數(shù) k M ， 當整數(shù) n k 時 ， S n k S n k 2 ( S n S k ) 都成立 ( 1 ) 設 M 1 ， a 2 2 ， 求 a 5 的值 ； ( 2 ) 設 M 3 , 4 ， 求數(shù)列 a n 的通項公式 【分析】 本題所給的 S n k S n k 2 ( S n S k ) 為前 n 項和 之間的遞推關系式 ， 將該

39、遞推關系式轉化為通項之間的關系 式是本題的關鍵 ， 還需要用到分類 討論的思想 ， 其實本題的 第一小問是本題的簡單化的嘗試 【解 答 】 ( 1 ) 由題設知，當 n 2 時， S n 1 S n 1 2 ( S n S 1 ) ， 即 ( S n 1 S n ) ( S n S n 1 ) 2 S 1 .從而 a n 1 a n 2 a 1 2 ，又 a 2 2 ， 故當 n 2 時， a n a 2 2 ( n 2 ) 2 n 2 ，所以 a 5 的值為 8. ( 2 ) 由題設知，當 k M 3 , 4 ，且 n k 時， S n k S n k 2 ( S n S k ) 且 S n

40、 1 k S n 1 k 2 ( S n 1 S k ) ， 兩式相減得 a n 1 k a n 1 k 2 a n 1 ， 即 a n 1 k a n 1 a n 1 a n 1 k ， 所以當 n 8 時， a n 6 ， a n 3 ， a n ， a n 3 ， a n 6 成等差數(shù)列，且 a n 6 ， a n 2 ， a n 2 ， a n 6 也成等差數(shù)列， 從而當 n 8 時， 2 a n a n 3 a n 3 a n 6 a n 6 ， ( * ) 且 a n 6 a n 6 a n 2 a n 2 ， 所以當 n 8 時， 2 a n a n 2 a n 2 ， 即 a

41、n 2 a n a n a n 2 ， 于是，當 n 9 時， a n 3 ， a n 1 ， a n 1 ， a n 3 成等差數(shù)列， 從而 a n 3 a n 3 a n 1 a n 1 ， 故由 (*) 式知 2 a n a n 1 a n 1 ，即 a n 1 a n a n a n 1 . 當 n 9 時，設 d a n a n 1 .當 2 m 8 時， m 6 8 ， 從而由 (*) 式知 2 a m 6 a m a m 12 ，故 2 a m 7 a m 1 a m 13 ， 從而 2( a m 7 a m 6 ) a m 1 a m ( a m 13 a m 12 ) ， 于

42、是 a m 1 a m 2 d d d .因此 a n 1 a n d 對任意 n 2 都成立 又由 S n k S n k 2 S n 2 S k ( k 3,4) 可知 ( S n k S n ) ( S n S n k ) 2 S k ， 故 9 d 2 S 3 且 16 d 2 S 4 .解得 a 4 7 2 d ，從而 a 2 3 2 d ， a 1 1 2 d . 因此，數(shù)列 a n 為等差數(shù)列，由 a 1 1 知 d 2 ， 所以數(shù)列 a n 的通項公式為 a n 2 n 1. 規(guī)律技巧提煉 1 數(shù)列中恒等關系和有解問題主要是建立關于數(shù)列中基 本量或相關參數(shù)的方程，再進一步論證該

43、方程是否有整數(shù)解問 題，其中該方程的研究是關鍵，一般可從以下如奇偶數(shù)、約數(shù)、 有理數(shù)、無理數(shù)等方面論證，也可以先利用參數(shù)范圍，代入相 關的整數(shù)研究 2 數(shù)列中的子數(shù)列或衍生數(shù)列問題，需要弄清楚該項在 原數(shù)列中的特征和在新數(shù)列中的特征，代入時要注意分辨清 楚 4、數(shù)列中的不等關系 主干知識整合 一、數(shù)列中的不等關系 1 有關 a n 、 S n 的取值范圍或最值問題 2 有關參數(shù)如 d 或 q 取值范圍的求解 3 有關 a n 與 a m 間的大小關系論證 4 有關 S n 與 S m 間的大小關系論證 二、常見的論證方法 1 構造相應的函數(shù)求解 2 作差或作商直接比較 3 用基本不等式論證 要

44、點熱點探究 有關 a n 或 S n 的最值問題的處理方法有兩種：一是利用定 義論證 a n 或 S n 的單調性后，再得出最值；二是構造對應的函 數(shù)，用函數(shù)思想解決最值，再回到數(shù)列研究 例 1 設數(shù)列 a n 的前 n 項和為 S n ，已知 1 S 1 1 S 2 1 S n n n 1 (n N * ) (1) 求 S 1 ， S 2 及 S n ； (2) 設 b n 1 2 a n ，若對一切 n N * ，均有 k 1 n b k 1 m ， m 2 6 m 16 3 ， 求實數(shù) m 的取值范圍 探究點一 有關 a n 或 S n 的最值問題 【解答】 依題意， n 1 時， S

45、1 2 ； n 2 時， S 2 6. 因為 1 S 1 1 S 2 1 S n n n 1 ( n N * ) ， n 2 時， 1 S 1 1 S 2 1 S n 1 n 1 n ， 所以 1 S n n n 1 n 1 n ，所以 S n n ( n 1) 上式對 n 1 也成立，所以 S n n ( n 1)( n N * ) (2 ) 當 n 1 時， a 1 2 ，當 n 2 時， a n S n S n 1 2 n ， 所以 a n 2 n ( n N * ) b n 1 4 n ， b n b n 1 1 4 ，所以數(shù)列 b n 是等比數(shù)列， 則 k 1 n b k 1 4 1

46、 1 4 n 1 1 4 1 3 1 1 4 n . 因為 1 3 1 1 4 n 隨 n 的增大而增大，所以 1 4 k 1 n b k 1 3 ， 由 1 m 1 4 ， m 2 6 m 16 3 1 3 ， 得 m 4 ， m 1 或 m 5 ， 所以 m 0 且 a 1 ，探究不等式 A n B n 1 A n B n 是否對一切正整數(shù) n 恒成立？ 探究點 二 數(shù)列中比較大小問題 【解答】 (1 ) 因為等差數(shù)列 a n 中， a 1 18 ， d 1 18 ， 所以 a m a 1 ( m 1) d 1 18 m . 因為等差數(shù)列 b n 中， b 14 36 ， d 2 2917

47、 ， 所以 b m 14 b 14 md 2 36 md 2 . 又因為 a 2 m b m 14 45 ，所以 (1 8 m ) 2 md 2 9 ， 故有 d 2 324 m 2 9 m 2917 ，因為 m N * ，所以 m 9 ， m N * ； (2 ) 因為 a k b k 0 ， S 14 2 S k ，所以 b k 1 b k 2 b 14 S k ， 即 b k b k 1 b k 2 b 14 S k ，所以有 15 k 0 36 2 k 18 0 2 ， 解得 k 10. 由 a k a 1 ( k 1) d 1 ， b k b 14 ( k 14) d 2 知， d

48、1 2 ， d 2 9 ， 所以 a n 20 2 n ， b n 9 n 90. 因為 a n 20 2 n ， b n 9 n 90 ， 所以 A n aa n a 20 2 n ( a 10 n ) 2 ， B n a 9 n 90 ( a n 10 ) 9 . 又 A n B n 10 且 a 1 ， 當 a 1 時 ， 若 n 10 時 ， ( A n 1 )( B n 1 ) ( a 0 1 )( a 0 1 ) 0 ， 若 n 1 ， a n 10 10 時 ， a 10 n 1 ， 所以 ( A n 1 )( B n 1 ) 0 成立 ， 所以當 a 1 時 ， 對任意 n N

49、 * ， 有 ( A n 1 )( B n 1 ) 0 成立 同理可證 ， 當 0 a 0 且 a 1 時 ， 對任意 n N * ， A n B n 1 A n B n . 【點評】 本題中證 A n B n 1 A n B n 成立，首先做了等價 轉化，即 ( A n 1)( B n 1) 0 ，進而變成了指數(shù)不等式的解的問題， 通過分類討論進行論證兩個因式的正負，從而得到結果 參數(shù)取值范圍問題與函數(shù)中參數(shù)取值范圍處理類似，可以 解關于參數(shù)的不等式，若與恒成立有關的問題，可先參數(shù)分離 再轉化為相關函數(shù)的值域問題 例 3 將數(shù)列 a n 中的所有項按每一行比上一行多兩項的規(guī)則排成如下數(shù)表：

50、a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 a 9 已知表中的第一列數(shù) a 1 ， a 2 ， a 5 ， 構成一個等差數(shù)列，記為 b n ，且 b 2 4 ， b 5 10. 表中每一行正中間一個數(shù) a 1 ， a 3 ， a 7 ， 構成數(shù)列 c n ，其前 n 項和為 S n . (1) 求數(shù)列 b n 的通項公式； (2) 若上表中，從第二行起，每一行中的數(shù)按從左到右的順序均構成等比數(shù)列，公比 為同一個正數(shù)，且 a 13 1. 求 S n ； 記 M n |( n 1) c n ， n N * ， 若集合 M 的元素個數(shù)為 3 ，求實數(shù) 的取值范圍 探究點 三 有關

51、參數(shù)的取值范圍 【解答】 ( 1 ) 設數(shù)列 b n 的公差為 d ， 則 b 1 d 4 ， b 1 4 d 10 ， 解得 b 1 2 ， d 2 ， 所以 b n 2 n . ( 2 ) 設每一行組成的等比數(shù)列的公比為 q . 由于前 n 行共有 1 3 5 ( 2 n 1 ) n 2 個數(shù) ， 且 3 2 134 2 ， 所以 a 10 b 4 8. 所以 a 13 a 10 q 3 8 q 3 ， 又 a 13 1 ， 解得 q 1 2 . 因此 c n 2 n 1 2 n 1 n 2 n 2 . 所以 S n c 1 c 2 c n 1 c n 1 2 1 2 2 0 n 1 2

52、n 3 n 2 n 2 ， 1 2 S n 1 2 0 2 2 1 n 1 2 n 2 n 2 n 1 ， 因此 1 2 S n 1 2 1 1 2 0 1 2 1 1 2 n 2 n 2 n 1 4 1 2 n 2 n 2 n 1 4 n 2 2 n 1 ， 解得 S n 8 n 2 2 n 2 . 由 知 c n n 2 n 2 ，不等式 ( n 1) c n ，可化為 n n 1 2 n 2 . 設 f ( n ) n n 1 2 n 2 ， 計算得 f (1 ) 4 ， f (2 ) f (3 ) 6 ， f (4 ) 5 ， f (5 ) 15 4 ， 因為 f ( n 1) f (

53、 n ) n 1 2 n 2 n 1 ，所以當 n 3 時， f ( n 1) 0 的解集從圖形角度來理解即尋找函數(shù)圖象在 x 軸 上方的圖象所對應的 x 的取值范圍，如圖 17 2 ， f ( x )0 的解集為 ( x 1 ， x 2 ) ( x 3 ， x 4 ) ( x 5 ， ) ，一元 n 次不等式的解法都用的是上述理 論 二、線性規(guī)劃 1 二元一次不等式所表示平面區(qū)域的判斷方法 (1) 特殊點法； (2) 系數(shù)法 2 不等式 ( 組 ) 所表示的平面區(qū)域 (1) 半平面； (2) 多邊形內部； (3) 圓含圓面部分 3 常見幾何意義有：截距 ( 或其 k 倍 ) 如 z x y

54、；斜率如 z y x ；距離如 z x 2 y 2 . 要點熱點探究 探究點一 線性規(guī)劃中的動態(tài)域問題 如果約束條件的不等式組中出現(xiàn)了參數(shù)，則對應的 可行域即為動態(tài)域 動態(tài)域的問題如同動態(tài)函數(shù)，常見 處理方法有兩種：一是運用分類討論的思想分部分研究； 二是運用從特殊到一般的思想從特殊情況研究開始 例 1 不等式組 x 0 ， y 0 ， x y 2 1 0 ， x ky k 0 表示的是一個 對稱四邊形圍成的區(qū)域 ， 則 k ________. 1 【解析】 如圖 ， 顯然當 k 1 時形成的四邊形為 等腰梯形 ， 滿足題意 ； x ky k 0 過定點 ( 0 , 1 ) ， 當 k 0 時

55、 ， 若得到對稱四邊形 ， 則直線 x ky k 0 必與直線 x y 2 1 0 垂直 ， 得 k 1 ， 驗證 ( 0 , 1 ) 到直線 x y 2 1 0 的 距離 d |0 1 2 1| 2 1 ， 滿足題 意 【點評】 本題先畫出一般情形下的可行域，然后再根據(jù)題 目的要求對 k 進行取值本題中 “ 對稱四邊形 ” 的含義不僅僅是 等腰梯形，需要考慮更多的情形 探究點二 用線性規(guī)劃思想解題 線性規(guī)劃思想主要指的是用二元取值范圍的幾何解法，用 類似該思想解題主要有：一是非線性規(guī)劃問題；二是可以轉化 為線性規(guī)劃的問題 例 2 已知 ABC 的三邊長 a ， b ， c 滿足 b 2 c

56、3 a ， c 2 a 3 b ， 則 b a 的取值范圍為 ____ ____ 3 4 ， 5 3 【解析】 依題意可知 b 2 c 3 a ， c 2 a 3 b ， a b c ， a c b ， b c a ， a 0 ， b 0 ， c 0 b a 2 c a 3 ， c a 2 3 b a ， 1 b a c a ， 1 c a b a ， b a c a 1 ， a 0 ， b 0 ， c 0 ， 設 x b a ， y c a ，從而有 x 2 y 3 ， y 2 3 x ， 1 x y ， 1 y x ， x y 1 ， x 0 ， y 0 ， 作出可行域如圖所示，可得 x

57、A b a x C ， 又 x A 3 4 ， x C 5 3 ，即 3 4 b a 0 就是解不等式 例 3 已知 a 為實數(shù) ， 函數(shù) f ( x ) ( 1 ax ) e x ， 函數(shù) g ( x ) 1 1 ax . 令函數(shù) F ( x ) f ( x ) g ( x ) 當 a 0 時 ， 求函數(shù) F ( x ) 的單調區(qū)間 【解答】 函數(shù) F ( x ) 1 ax 1 ax e x ，定義域為 x x 1 a . 當 a 0 時， F ( x ) a 2 x 2 2 a 1 1 ax 2 e x a 2 x 2 2 a 1 a 2 1 ax 2 e x . 令 F ( x ) 0

58、，得 x 2 2 a 1 a 2 . 當 2 a 1 0 ，即 a 1 2 時， F ( x ) 0. 當 a 1 2 時，函數(shù) F ( x ) 的單調減區(qū)間為 ， 1 a ， 1 a ， . 當 1 2 a 0 時，解 x 2 2 a 1 a 2 得 x 1 2 a 1 a ， x 2 2 a 1 a . 1 a 2 a 1 a ， 由 F ( x ) 0 ，得 x ( x 1 ， x 2 ) 當 1 2 a 0 ， b x 0 ，則 ax b x 2 ab . 例 1 (1) 已知 f ( x ) lo g 2 ( x 2) ，若實數(shù) m ， n 滿足 f ( m ) f (2 n ) 3

59、 ，則 m n 的最小值是 __ ______ (2) 不等式 a 2 3 b 2 b ( a b ) 對任意 a 、 b R 恒成立，則實 數(shù) 的最大值為 ________ (1 )7 (2 )2 【解析】 (1 ) 由 lo g 2 ( m 2) lo g 2 (2 n 2) 3 ，得 ( m 2) ( n 1) 4 ，則 m 4 n 1 2 ，所以 m n 4 n 1 2 n 4 n 1 ( n 1) 3 2 4 3 7( 當且僅當 “ n 3 ” 時，取等號 ) ，故 m n 的最小值為 7. (2 ) 因為要求 的最大值，所以只需要考查 b ( a b ) 0 的情況假設 b ( a

60、 b )0 ，所以由 a 2 3 b 2 b ( a b ) a 2 3 b 2 ab b 2 a b 2 3 a b 1 ，設 a b t 0 ， 設 h ( t ) t 2 3 t 1 t 1 2 2 t 1 4 t 1 ( t 1) 4 t 1 2 2 t 1 4 t 1 2 2( 當 t 1 時取等號 ) h ( t ) 的最小值為 2 ，故 的最大值為 2. 【點評】 (1) 本題所給條件中 f ( m ) f (2 n ) 3 是提供 m ， n 之間的關系，然后代入消元后，轉化為 y ax b x 類型的問 題進行研究，其中要注意的是 4 n 1 2 不可以直接用基本不 等式求最

61、小值，應該先構造 “ 積 ” 定 (2) 本題不同于上一題的代入消元，而是運用了整體思想 將 a 2 3 b 2 ab b 2 化成 a b 2 3 a b 1 ，再換元后變成 ( t 1) 4 t 1 2 ，利用 基本不等式求最值 探究點二 多元問題處理 多元問題在處理時方法有三種：一是消元 ；二是整體思 想；三是運用極端假設法去掉某些元素，最終實現(xiàn)減少變元 的目的 例 2 若實數(shù) x ， y ， z ， t 滿足 1 x y z t 10000 ， 則 x y z t 的最小值為 ________ 1 50 【解析】 欲使 x y z t 值越小 ， 必須使分子 x 最小 ， 分母 t 最

62、 大 ， 從而取 x 1 ， t 1 0000 ， 得 x y z t 1 y z 10000 2 z 10000 y 1 50 z y 1 50 ， 所以最小值為 1 50 . 【點評】 本題含有四個變量，只有通過極端原理，將其中兩個 變量確定后，再由基本不等式求最小值對未知數(shù)的認識，可以是 一個字母，也可以是一個整式 例 3 心理學家研究某位學生的學習情況后發(fā)現(xiàn)：若這位學生剛 學完的知識存留量為 1 ，則 x 天后的存留量 y 1 4 x 4 ；若在 t ( t 0) 天 時進行第一次復習，則此時這似乎存留量比未復習情況下增加一 倍 ( 復習的時間忽略不計 ) ，其后存留量 y 2 隨時間

63、變化的曲線恰好為 直線的一部分，其斜率為 a t 4 2 ( a 4) ， 所以 y y 2 y 1 a t 4 2 ( x t ) 8 t 4 4 x 4 ( t 4) (1) 當 a 1 ， t 5 時， y 1 5 4 2 ( x 5) 8 5 4 4 x 4 x 4 81 4 x 4 1 2 4 81 1 5 9 ， 當且僅當 x 14 時取等號， 所以 “ 二次復習最佳時機點 ” 為第 14 天 (2) y a t 4 2 ( x t ) 8 t 4 4 x 4 a x 4 t 4 2 4 x 4 8 t 4 a t 4 t 4 2 2 4 a t 4 2 8 a t 4 ， 當且僅當 a x 4 t 4 2 4 x 4 即 x 2 a ( t 4) 4 時取等號， 由題意 2 a ( t 4) 4 t ，所以 4 a 0 ， b 0) 的值域，主要依據(jù)基本不 等式及函數(shù)的單調性 應用基本不等式求最值，有兩個注意點， 一是等號不成立時，要研究函數(shù)的單調性；二是基本不等式只能 求最大值或最小值，不能求出完整值域