高中數學必修五 知識點總結【經典】-

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1、 必修五知識點總結 《必修五 知識點總結》 第一章：解三角形知識要點 一、正弦定理和余弦定理 1、正弦定理：在中，、、分別為角、、的對邊，，則有 (為的外接圓的半徑) 2、正弦定理的變形公式： ①，，； ②，，； ③； 3、三角形面積公式：． 4、余弦定理：在中，有，推論： ，推論： ，推論： 二、解三角形 處理三角形問題，必須結合三角形全等的

2、判定定理理解斜三角形的四類基本可解型，特別要多角度（幾何作圖，三角函數定義，正、余弦定理，勾股定理等角度）去理解“邊邊角”型問題可能有兩解、一解、無解的三種情況，根據已知條件判斷解的情況，并能正確求解 1、三角形中的邊角關系 （1）三角形內角和等于180； （2）三角形中任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊； （3）三角形中大邊對大角，小邊對小角； （4）正弦定理中,a=2RsinA, b=2RsinB, c=2RsinC，其中R是△ABC外接圓半徑. （5）在余弦定理中:2bccosA=. （6）三角形的面積公式有:S=ah, S=absinC=bcsin

3、A=acsinB , S=其中，h是BC邊上高，P是半周長. 2、利用正、余弦定理及三角形面積公式等解任意三角形 （1）已知兩角及一邊，求其它邊角，常選用正弦定理. （2）已知兩邊及其中一邊的對角，求另一邊的對角，常選用正弦定理. （3）已知三邊，求三個角，常選用余弦定理. （4）已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩個角，常選用余弦定理. （5）已知兩邊和其中一邊的對角，求第三邊和其他兩個角，常選用正弦定理. 3、利用正、余弦定理判斷三角形的形狀 常用方法是：①化邊為角；②化角為邊. 4、三角形中的三角變換 （1）角的變換 因為在△ABC中，A+B+

4、C=π，所以sin(A+B)=sinC；cos(A+B)=－cosC；tan(A+B)=－tanC。； （2）三角形邊、角關系定理及面積公式，正弦定理，余弦定理。 r為三角形內切圓半徑，p為周長之半 （3）在△ABC中，熟記并會證明：∠A，∠B，∠C成等差數列的充分必要條件是∠B=60；△ABC是正三角形的充分必要條件是∠A，∠B，∠C成等差數列且a，b，c成等比數列. 三、解三角形的應用 1.坡角和坡度： 坡面與水平面的銳二面角叫做坡角，坡面的垂直高度和水平寬度的比叫做坡度，用表示，根據定義可知：坡度是坡角的正切，即. 2.俯角和仰角： 如圖所示，在同一鉛垂面

5、內，在目標視線與水平線所成的夾角中，目標視線在水平視線的上方時叫做仰角，目標視線在水平視線的下方時叫做俯角. 3. 方位角 從指北方向順時針轉到目標方向線的水平角，如B點的方位角為. 注：仰角、俯角、方位角的區(qū)別是：三者的參照不同。仰角與俯角是相對于水平線而言的，而方位角是相對于正北方向而言的。 4. 方向角： 相對于某一正方向的水平角. 5.視角： 由物體兩端射出的兩條光線，在眼球內交叉而成的角叫做視角. 第二章：數列知識要點 一、數列的概念 1、數列的概念： 一般地，按一定次序排列成一列數叫做數列，數列中的每一個數叫做這個數列的項，數列

6、的一般形式可以寫成，簡記為數列，其中第一項也成為首項；是數列的第項，也叫做數列的通項. 數列可看作是定義域為正整數集（或它的子集）的函數，當自變量從小到大取值時，該函數對應的一列函數值就是這個數列. 2、數列的分類： 按數列中項的多數分為： （1） 有窮數列：數列中的項為有限個，即項數有限； （2） 無窮數列：數列中的項為無限個，即項數無限. 3、通項公式： 如果數列的第項與項數之間的函數關系可以用一個式子表示成，那么這個式子就叫做這個數列的通項公式，數列的通項公式就是相應函數的解析式. 4、數列的函數特征： 一般地，一個數列， 如果從第二項起，每一項都大于

7、它前面的一項，即，那么這個數列叫做遞增數列; 如果從第二項起，每一項都小于它前面的一項，即，那么這個數列叫做遞減數列; 如果數列的各項都相等，那么這個數列叫做常數列. 5、遞推公式： 某些數列相鄰的兩項（或幾項）有關系，這個關系用一個公式來表示，叫做遞推公式． 二、等差數列 1、等差數列的概念： 如果一個數列從第二項起，每一項與前一項的差是同一個常數，那么這個數列久叫做等差數列，這個常數叫做等差數列的公差. 即（常數），這也是證明或判斷一個數列是否為等差數列的依據. 2、等差數列的通項公式： 設等差數列的首項為，公差為，則通項公式為： . 3、等差中項：

8、 （1）若成等差數列，則叫做與的等差中項，且; （2）若數列為等差數列，則成等差數列，即是與的等差中項，且；反之若數列滿足，則數列是等差數列. 4、等差數列的性質： （1）等差數列中，若則，若則； （2）若數列和均為等差數列，則數列也為等差數列； （3）等差數列的公差為，則 為遞增數列，為遞減數列，為常數列. 5、等差數列的前n項和： （1）數列的前n項和=； （2）數列的通項與前n項和的關系： （3）設等差數列的首項為公差為，則前n項和 6、等差數列前n和的性質： （1）等差數列中，連續(xù)m項的和仍組成等差數列，即 ,仍為等差數列（即成等差數列）；

9、 （2）等差數列的前n項和當時，可看作關于n的二次函數，且不含常數項； （3）若等差數列共有2n+1（奇數）項，則若等差數列共有2n（偶數）項，則 7、等差數列前n項和的最值問題： 設等差數列的首項為公差為，則 （1）（即首正遞減）時，有最大值且的最大值為所有非負數項之和； （2）（即首負遞增）時，有最小值且的最小值為所有非正數項之和. 三、等比數列 1、等比數列的概念： 如果一個數列從第二項起，每一項與前一項的比是同一個不為零的常數，那么這個數列就叫做等比數列，這個常數叫做等比數列的公比，公比通常用字母表示（）. 即，這也是證明或判斷一個數列是否為等比數列的依據

10、. 2、等比數列的通項公式： 設等比數列的首項為，公比為，則通項公式為：. 3、等比中項： （1）若成等比數列，則叫做與的等比中項，且; （2）若數列為等比數列，則成等比數列，即是與的等比中項，且；反之若數列滿足，則數列是等比數列. 4、等比數列的性質： （1）等比數列中，若則，若則； （2）若數列和均為等比數列，則數列也為等比數列； （3）等比數列的首項為，公比為，則 為遞增數列，為遞減數列， 為常數列. 5、等比數列的前n項和： （1）數列的前n項和=； （2）數列的通項與前n項和的關系： （3）設等比數列的首項為，公比為，則 由等比數列

11、的通項公式及前n項和公式可知，已知中任意三個，便可建立方程組求出另外兩個. 6、等比數列的前n項和性質： 設等比數列中，首項為，公比為，則 （1）連續(xù)m項的和仍組成等比數列，即,仍為等比數列（即成等差數列）； （2）當時，， 設，則. 四、遞推數列求通項的方法總結 1、遞推數列的概念： 一般地，把數列的若干連續(xù)項之間的關系叫做遞推關系，把表達遞推關系的式子叫做遞推公式，而把由遞推公式和初始條件給出的數列叫做遞推數列. 2、兩個恒等式： 對于任意的數列恒有： （1） （2） 3、遞推數列的類型以及求通項方法總結： 類型一（公式法）：已知（即）求，用

12、作差法： 類型二（累加法）：已知：數列的首項,且，求. 給遞推公式中的n依次取1,2,3，……，n-1,可得到下面n-1個式子： 利用公式可得： 類型三（累乘法）：已知：數列的首項,且，求. 給遞推公式中的n一次取1,2,3，……，n-1,可得到下面n-1個式子： 利用公式可得： 類型四（構造法）：形如、（為常數）的遞推數列都可以用待定系數法轉化為公比為的等比數列后，再求。 ①解法：把原遞推公式轉化為：，其中，再利用換元法轉化為等比數列求解。 ②解法：該類型較要復雜一些。一般地，要先在原遞推公式兩邊同除以，得：引入輔助數列（其中），得：再應用的方法解決。

13、 類型五（倒數法）：已知：數列的首項,且，求. 設， 若則，即數列是以為公差的等差數列. 若則（轉換成類型四①）. 五、數列常用求和方法 1.公式法 直接應用等差數列、等比數列的求和公式，以及正整數的平方和公式，立方和公式等公式求解. 2.分組求和法 一個數列的通項公式是由若干個等差或等比或可求和的數列組成，則求和時可用分組求和法，分別求和而后相加減. 3.裂項相消法 把數列的通項拆成兩項之差，在求和時一些正負項相互抵消，于是前n項和就變成了首尾少數項之和. 4.錯位相減法 如果一個數列的各項是由一個等差數

14、列和一個等比數列對應項的乘積組成的，此時可把式子的兩邊同乘以公比，得到，兩式錯位相減整理即可求出. 5、常用公式： 1、平方和公式： 2、立方和公式： 3、裂項公式： 六、數列的應用 1、零存整取模型： 銀行有一種叫作零存整取的儲蓄業(yè)務,即每月定時存入一筆相同數目的現金,這是零存;到約定日期,可以取出全部本利和,這是整取.規(guī)定每次存入的錢不計復利. 注：單利的計算是僅在原本金上計算利息,對本金所產生的利息不再計算利息.其公式為:利息=本金利率存期.以符號p代表本金,n代表存期,r代表利率,s代表本金和利息和(即本利和),則有s=p(1+nr). 零存整取是等差

15、數列求和在經濟方面的應用. 2、定期自動轉存模型： 銀行有一種儲蓄業(yè)務為定期存款自動轉存.例如,儲戶某日存入一筆1年期定期存款,1年后,如果儲戶不取出本利和.則銀行自動辦理轉存業(yè)務,第2年的本金就是第1年的本利和. 注：復利是把上期末的本利和作為下一期的本金,在計算時每一期本金的數額是不同的.復利的計算公式是:s=p(1+r)n. 定期自動轉存（復利）是等比數列求和在經濟方面的應用. 3、分期付款模型： 分期付款要求每次付款金額相同外,各次付款的時間間隔也相同.分期付款總額要大于一次性付款總額,二者的差額與分多少次付款有關,且付款的次數越少,差額越大.分期付款是等比數列的模

16、型. 采用分期付款的方法，購買售價為a元的商品（或貸款a元），，每期付款數相同，購買后1個月（或1年）付款一次，如此下去，到第n次付款后全部付清，如果月利率（或年利率）為b，按復利計算，那么每期付款x元滿足下列關系： 設第n次還款后，本利欠款數為，則 由知， 數列是以為首項，為公比的等比數列. . 令得：， 第三章：不等式知識要點 一、不等式的解法 1、不等式的同解原理： 原理1：不等式的兩邊都加上（或減去）同一個數或同一個整式，所得不等式與原不等式是同解不等式； 原理2：不等式的兩邊都乘以（或除

17、以）同一個正數或同一個大于零的整式，所得不等式與原不等式是同解不等式； 原理3：不等式的兩邊都乘以（或除以）同一個負數或同一個小于零的整式，并把不等式改變方向后所得不等式與原不等式是同解不等式。 2、一元二次不等式的解法： 一元二次不等式的解集的端點值是對應二次方程的根，是對應二次函數的圖像與x軸交點的橫坐標。 二次函數 （） 的圖象 有兩相異實根 有兩相等實根 無實根 注意： （1）一元二次方程的兩根是相應的不等式的解集的端點的取值，是拋物線與軸的交點的橫坐標； （2）表中不等式的二次系數均為

18、正，如果不等式的二次項系數為負，應先利用不等式的性質轉化為二　 　　　次項系數為正的形式，然后討論解決； （3）解集分三種情況，得到一元二次不等式與的解集。 3、一元高次不等式的解法： 解高次不等式的基本思路是通過因式分解，將它轉化成一次或二次因式的乘積的形式，然后利用數軸標根法或列表法解之。 數軸標根法原則：（1）“右、上”（2）“奇過，偶不過” 4、分式不等式的解法： （1）若能判定分母（子）的符號，則可直接化為整式不等式。 （2）若不能判定分母（子）的符號，則可等價轉化： 5、指數、對數不等式的解法： （1） （2） 6、含絕

19、對值不等式的解法： 對于含有多個絕對值的不等式，利用絕對值的意義，脫去絕對值符號。 二、基本不等式 1、基本不等式： 若，，則，當且僅當時，等號成立． 稱為正數、的算術平均數，稱為正數、的幾何平均數． 變形應用：，當且僅當時，等號成立． 2、基本不等式推廣形式： 如果，則≥≥≥，當且僅當時，等號成立． 3、基本不等式的應用：設、都為正數，則有： ⑴若（和為定值），則當時，積取得最大值． ⑵若（積為定值），則當時，和取得最小值． 注意：在應用的時候，必須注意“一正二定三相等”三個條件同時成立。 4、常用不等式： 三、簡

20、單的線性規(guī)劃問題 1、二元一次不等式表示平面區(qū)域: 在平面直角坐標系中，已知直線Ax+By+C=0，坐標平面內的點P（x0，y0） B＞0時，①Ax0+By0+C＞0，則點P（x0，y0）在直線的上方；②Ax0+By0+C＜0，則點P（x0，y0）在直線的下方 對于任意的二元一次不等式Ax+By+C＞0（或＜0），無論B為正值還是負值，我們都可以把y項的系數變形為正數 當B＞0時，①Ax+By+C＞0表示直線Ax+By+C=0上方的區(qū)域；②Ax+By+C＜0表示直線Ax+By+C=0下方的區(qū)域 2、線性規(guī)劃: 求線性目標函數在線性約束條件下的最大值或最小值的問題，

21、統(tǒng)稱為線性規(guī)劃問題 滿足線性約束條件的解（x，y）叫做可行解，由所有可行解組成的集合叫做可行域（類似函數的定義域）；使目標函數取得最大值或最小值的可行解叫做最優(yōu)解生產實際中有許多問題都可以歸結為線性規(guī)劃問題 3、線性規(guī)劃問題一般用圖解法，其步驟如下： （1）根據題意，設出變量x、y； （2）找出線性約束條件； （3）確定線性目標函數z=f（x，y）； （4）畫出可行域（即各約束條件所示區(qū)域的公共區(qū)域）； （5）利用線性目標函數作平行直線系f（x，y）=t（t為參數）； （6）觀察圖形，找到直線f（x，y）=t在可行域上使t取得欲求最值的位置，以確定最優(yōu)解，給出答案

22、 四、典型解題方法總結 1、線性目標函數問題 當目標函數是線性關系式如（）時，可把目標函數變形為， 則可看作在上的截距，然后平移直線法是解決此類問題的常用方法，通過比較目標函數與線性約束條件直線的斜率來尋找最優(yōu)解，一般步驟如下： （1）做出可行域; （2）平移目標函數的直線系,根據斜率和截距,求出最優(yōu)解. 【例1】設變量滿足約束條件則目標函數的最大值為 2、非線性目標函數問題的解法 當目標函數時非線性函數時，一般要借助目標函數的幾何意義，然后根據其幾何意義，數形結合，來求其最優(yōu)解。近年來，在高考中出現了求目標函數是非線性

23、函數的范圍問題.這些問題主要考察的是等價轉化思想和數形結合思想,出題形式越來越靈活,對考生的能力要求越來越高.常見的有以下幾種： （1）比值問題 當目標函數形如時,可把z看作是動點與定點連線的斜率，這樣目標函數的最值就轉化為PQ連線斜率的最值。 【例2】已知變量x，y滿足約束條件則 的取值范圍是（ ）. （A）[，6] （B）（－∞，]∪[6，＋∞） （C）（－∞，3]∪[6，＋∞） （D）[3，6] （2）距離問題 當目標函數形如時,可把z看作是動點與定點距離的平方，這樣目標函數的最值就

24、轉化為PQ距離平方的最值。 【例3】已知求x2＋y2的最大值與最小值. （3）截距問題 【例4】不等式組表示的平面區(qū)域面積為81，則的最小值為_____ （4）向量問題 【例5】已知點P的坐標（x，y）滿足：及A（2，0），則的最大值是 . 3、線性變換問題 【例6】在平面直角坐標系xOy中，已知平面區(qū)域A＝{（x，y）|x＋y≤1，且x≥0，y≥0}，則平面區(qū)域B＝{（x＋y，x－y）|（x，y）∈A}的面積為 . 4、線性規(guī)劃的逆向問題 【例7】給出平面區(qū)域如圖所示.若當且僅當x＝，y＝ 時，目標函數z＝ax－y取最小值，則實數a的取值范 圍是 . - 19 -