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1、 優(yōu) 翼 課 件 要點梳理 考點講練 課堂小結(jié) 課后作業(yè) 八年級數(shù)學下（ BS） 教學課件 小結(jié)與復習 第一章 三角形的證明 (4)_、底邊上的中線和底邊上的高互相重 合， 簡稱“三線合一” . 頂角平分線 (3)兩個 _相等，簡稱“等邊對等角” ; 底角 (2)軸對稱圖形 ,等腰三角形的 頂角平分線所在的直線 是它的對稱軸 ; 一、等腰三角形的性質(zhì)及判定 1.性質(zhì) (1)兩腰相等 ; 要點梳理 2.判定 (1)有兩邊相等的三角形是等腰三角形 ; (2)如果一個三角形中有兩個角相等 ,那么這兩個角 所對的邊也相等 （簡寫成“ _”） . 等角對等邊 二、等邊三角形的性質(zhì)及判定 1.性質(zhì) 等邊三
2、角形的三邊都相等 ; 等邊三角形的三個內(nèi)角都相等 ,并且每一個角都 等于 _; 是 軸對稱圖形 ，對稱軸是三條高所在的直線 ; 任意角平分線、角對邊上的中線、對邊上的高 互相重合，簡稱“三線合一” . 60 2.判定 三條邊都相等的三角形是等邊三角形 . 三個角都相等的三角形是等邊三角形 . 有一個角是 60 的 _是等邊三角形 . 等腰三角形 (5)在直角三角形中， 30 的角所對的直角邊等 于斜邊的一半 . 直角三角形的性質(zhì)定理 1 直角三角形的兩個銳角 _. 互余 直角三角形的判定定理 1 有兩個角 _的三角形是直角三角形 . 互余 三、直角三角形 勾股定理表達式的常見變形： a2 c2
3、 b2, b2 c2 a2， . 勾股定理分類計算：如果已知直角三角形的兩邊是 a,b(且 a b)，那么，當?shù)谌?c是斜邊時， c _； 當 a是斜邊時，第三邊 c _. 四、勾股定理 勾股定理：直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的 . 即：對于任意的直角三角形，如果它的兩條直角邊分別 為 a、 b，斜邊為 c ，那么一定有 . 平方 注意 只有在直角三角形里才可以用勾股定理，運用時要 分清直角邊和斜邊 2 2 2 2 2 2,c a b a c b b c a a2 b2 c2 22ab 22ab 五、勾股定理的逆定理 如果三角形的三邊長 a、 b、 c有關(guān)系： a2 b2 ， 那么這
4、個三角形是直角三角形 利用此定理判定直角三角形的一般步驟： (1)確定最大邊； (2)算出最大邊的平方與另兩邊的 ； (3)比較最大邊的平方與另兩邊的平方和是否相等，若相等， 則說明這個三角形是 三角形 到目前為止判定直角三角形的方法有： (1)說明三角形中有一個角是 ； (2)說明三角形中有兩邊互相 ； (3)用勾股定理的逆定理 平方和 直角 直角 垂直 注意 運用勾股定理的逆定理時，要防止出現(xiàn)一開始就寫 出 a2 b2 c2之類的錯誤 c2 1互逆命題 在兩個命題中，如果第一個命題的條件是第二個命 題的 ，而第一個命題的結(jié)論是第二個命題 的 ，那么這兩個命題叫做互逆命題 2逆命題 每一個命
5、題都有逆命題，只要將原命題的條件改 成 ，并將結(jié)論改成 ，便可以得到原 命題的逆命題 結(jié)論 條件 結(jié)論 條件 六、逆命題和互逆命題 3逆定理 如果一個定理的逆命題經(jīng)過證明是真命題，那么， 它也是一個定理，這兩個定理叫做互逆定理，其中一 個叫做另一個的 定理 注意 每個命題都有逆命題，但一個定理不一定有 逆定理如“對頂角相等”就沒有逆定理 逆 1.線段垂直平分線的性質(zhì)定理： 線段中垂線上的點到線段兩端點的距離相等 . 2.逆定理： 到線段兩端點的距離相等的點在 線段的垂直平分線上 . 七、線段的垂直平分線 3常見的基本作圖 (1)過已知點作已知直線的 ； (2)作已知線段的垂直 線 垂線 平分
6、4.三角形的三邊的垂直平分線的性質(zhì)： 三角形的三邊的垂直平分線相交于一點，且到三個頂點 的距離相等 . 1.性質(zhì)定理： 角平分線上的點到角兩邊的距離相等 . 2.判定定理： 在一個角的內(nèi)部，到角兩邊距離相等的點在角的平 分線 . 3.三角形的三條內(nèi)角平分線的性質(zhì)： 三角形的三條內(nèi)角平分線相交于一點，且到三邊的 距離相等 . 八、角平分線的性質(zhì)與判定 考點一 等腰（等邊）三角形的性質(zhì)與判定 例 1 如圖所示，在 ABC中， AB=AC,BD AC于 D. 求證 ： BAC = 2 DBC. A B C D 1 2 E 【 分析 】 根據(jù)等腰三角形“三線合一”的 性質(zhì)，可作頂角 BAC的平分線，來
7、獲取 角的數(shù)量關(guān)系 . 考點講練 A B C D 1 2 E 證明：作 BAC的平分線 AE,交 BC于點 E,如圖所示， 則 1 1 = 2 = .2 BAC AB=AC, AE BC. 2+ ACB=90 . BD AC, DBC+ ACB=90 . 2= DBC. BAC= 2 DBC. 等腰三角形的性質(zhì)與判定是本章的重點之一，它 們是證明線段相等和角相等的重要依據(jù)，等腰三角形 的特殊情形 等邊三角形的性質(zhì)與判定應用也很廣泛， 有一個角是 30 的直角三角形的性質(zhì)是證明線段之間 的倍份關(guān)系的重要手段 . 方法總結(jié) 1. 如圖，在 ABC中， AB=AC時， (1) AD BC， _= _
8、;_=_. (2) AD是中線， _ _; _= _. (3) AD是角平分線， _ _;_=_. B A C D BAD CAD BD CD AD BC BAD CAD AD BC BD CD 針對訓練 例 2 在 ABC中，已知 BD是高， B 90， A、 B、 C的對邊分別是 a、 b、 c，且 a 3， b 4， 求 BD的長 解： B 90 ， b 是斜邊， 則在 Rt ABC中，由勾股定理，得 又 S ABC bBD ac， 2 2 2 24 3 7 ,c b a 6 7 3 7 . 84 acBD b 12 12 考點二 勾股定理 在直角三角形中，已知兩邊的長求斜邊上的高時，先
9、 用勾股定理求出第三邊，然后用面積求斜邊上的高較為簡 便在用勾股定理時，一定要清楚直角所對的邊才是斜邊， 如在本例中不要受勾股數(shù) 3， 4， 5的干擾 方法總結(jié) 2已知一個直角三角形的兩邊長分別為 3和 4， 則第三邊長的平方是（ ） A.25 B.14 C.7 D.7或 25 針對訓練 D 例 3 已知在 ABC中， A， B， C的對邊分 別是 a， b， c， a n2 1， b 2n， c n2 1(n 1)， 判斷 ABC是否為直角三角形 考點三 勾股定理的逆定理 解：由于 a2 b2 (n2 1)2 (2n)2 n4 2n2 1， c2 (n2 1)2 n4 2n2 1， 從而 a
10、2 b2 c2， 故可以判定 ABC是直角三角形 運用勾股定理的逆定理判斷一個三角形是否是 直角三角形的一般步驟：先判斷哪條邊最大； 分別用代數(shù)方法計算出 a2 b2和 c2的值 (c邊最大 )； 判斷 a2 b2和 c2是否相等，若相等，則是直角三角 形；若不相等，則不是直角三角形 方法總結(jié) 3.已知下列圖形中的三角形的頂點都在正方形 的格點 上，可以判定三角形是直角三角形的 有 _ 針對訓練 (2)(4) 例 4 判斷下列命題的真假，寫出這些命題的逆命 題并判斷它們的真假 (1)如果 a 0，那么 ab 0； (2)如果點 P到線段 AB兩端點的距離相等，那么 P在 線段 AB的垂直平分線
11、上 解： (1)原命題是真命題 原命題的逆命題是： 如果 ab 0，那么 a 0.逆命題為假 (2)原命題是真命題 原命題的逆命題是： 如果 P在線段 AB的垂直平分線上，那么 點 P到線段 AB兩端點的距離相等其逆命題也是真命題 考點四 命題與逆命題 針對訓練 4.寫出下列命題的逆命題，并判斷其真假： （ 1）若 x=1，則 x2=1；（ 2） 若 |a|=|b|，則 a=b. 解： （ 1）逆命題： 若 x2=1，則 x=1是假命題 . （ 2） 逆命題： 若 a=b，則 |a|=|b|是真命題 . 解： AD 是 BC 的垂直平分線， AB =AC， BD=CD. 點 C 在 AE 的垂
12、直平分線上， AC =CE, AB=AC=CE, AB+BD=DE. 例 5 如圖 ， AD是 BC的垂直平分線 ， 點 C 在 AE 的 垂直平分線上 ， AB， AC， CE 的長度有什么關(guān)系 ？ AB+BD與 DE 有什么關(guān)系 ？ A B C D E 考點五 線段的垂直平分線 5.如圖，在 ABC中， DE是 AC的垂直平分 線， AC=5厘米， ABD的周長等于 13厘米， 則 ABC的周長是 . A B D E C 18厘米 常常運用線段的垂直平分線的性質(zhì)“線段垂直平分線上的 點到線段兩端的距離相等 ” 進行線段之間的轉(zhuǎn)換來求線段之間 的關(guān)系及周長的和差等 ,有時候與等腰三角形的 “
13、 三線合一” 結(jié)合起來考查 . 方法總結(jié) 針對訓練 6.下列說法： 若點 P、 E是線段 AB的垂直平分線上兩點，則 EA EB， PA PB； 若 PA PB， EA EB， 則直線 PE垂直平分線段 AB； 若 PA PB， 則點 P必是線段 AB的垂直平分線上的點； 若 EA EB，則經(jīng)過點 E的直線垂直平分線段 AB 其中正確的有 （填序號） . 例 6 如圖，在 ABC中， AD是角平分線，且 BD = CD, DE AB, DF AC.垂足分別為 E , F. 求證： EB=FC. A B C D E F 【 分析 】 先利用角平分線的性質(zhì)定理得 到 DE=DF，再利用“ HL”證
14、明 Rt BDE Rt CDF. 考點六 角平分線的性質(zhì)與判定 A B C D E F 證明： AD是 BAC的角平分線， DE AB, DF AC， DE=DF, DEB= DFC=90 . 在 Rt BDE 和 Rt CDF中， DE=DF， BD=CD， Rt BDE Rt CDF(HL). EB=FC. 8. ABC中 , C=90 , AD平分 CAB,且 BC=8,BD=5,則 點 D到 AB的距離是 . A B C D 3 E 7. 如圖， DE AB， DF BG， 垂足分別是 E， F， DE =DF， EDB= 60 ， 則 EBF= 度， BE= . 60 BF E B
15、D F A C G 針對訓練 9. 如圖所示，已知 ABC中， PE AB交 BC于點 E， PF AC交 BC于點 F， 點 P是 AD上一點，且 點 D到 PE的距離與到 PF的距離 相等，判斷 AD是否平分 BAC，并說明理由 解： AD平分 BAC理由如下： D到 PE的距離與到 PF的距離相等， 點 D在 EPF的平分線上 1 2 又 PE AB， 1 3 同理， 2 4 3 4， AD平分 BAC A B C E F D ( 3 4 1 2 P 考點七 本章的數(shù)學思想與解題方法 例 7 等腰三角形的周長為 20cm,其中兩邊的差為 8cm,求這個等 腰三角形各邊的長 . 【 分析
16、】 要考慮腰比底邊長和腰比底邊短兩種情況 . 解：若腰比底邊長，設腰長為 xcm,則底邊長為 （ x-8)cm， 根據(jù)題意 得 2x+x-8=20, 解得 x= , x-8= ; 若腰比底邊短，設腰長為 ycm,則底邊長為 （ y+8)cm,根據(jù)題意得 2y+y+8=20,解得 y=4, y+8=12,但 4+4=812,不符合題意 . 故此等腰三角形的三邊長分別為 28 3 4 3 28 cm, 3 28 cm, 3 4cm. 3 分類討論思想 10.等腰三角形的兩邊長分別為 4和 6，求它的周長 . 解：若腰長為 6，則底邊長為 4，周長為 6+6+4=16； 若腰長為 4，則底邊長為 6
17、，周長為 4+4+6=14. 故這個三角形的周長為 14或 16. 針對訓練 例 8 如圖，有一張直角三角形紙片，兩直角邊 AC 6 cm， BC 8 cm， 將 ABC折疊，使點 B與點 A重合， 折痕是 DE，求 CD的長 【分析】 欲求的線段 CD在 Rt ACD中， 但此三角形只知一邊，可設法找出另兩 邊的關(guān)系，然后用勾股定理求解 方程思想 解：由折疊知： DA DB， ACD為直角三角形 在 Rt ACD中 ， AC2 CD2 AD2， 設 CD x cm， 則 AD BD (8 x)cm， 代入 式，得 62 x2 (8 x)2， 化簡，得 36 64 16x， 所以 x 1.75
18、， 即 CD的長為 1.75 cm. 7 4 方法總結(jié) 勾股定理可以直接解決直角三角形中已知兩邊求第三邊 的問題；如果只知一邊和另兩邊的關(guān)系時，也可用勾股定 理求出未知邊，這時往往要列出方程求解 針對訓練 11.如圖，在矩形紙片 ABCD中， AB=12， BC=5，點 E在 AB上，將 DAE沿 DE折 疊，使點 A落在對角線 BD上的點 A 處，則 AE的長為 . 103 課堂小結(jié) 三角形 的證明 等腰三角形 等腰三角形的性質(zhì) 等腰三角形的判定 勾股定理 等邊三角形的性質(zhì) 等邊三角形的判定 直角三角形 直角三角形的性質(zhì) 兩個直角三角形全等的判定（ HL） 直角三角形的判定 等邊三角形 勾股定理的逆定理 垂 直 平 分 線 的 性 質(zhì) 角 平 分 線 的 性 質(zhì) 課后作業(yè) 見章末練習
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