《線性代數(shù)課件-ch-4-2齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《線性代數(shù)課件-ch-4-2齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)（23頁珍藏版）》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、 North University of China 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 設(shè)有 n 元線性方程組 , , , 2211 22222121 11212111 mnmnmm nn nn bxaxaxa bxaxaxa bxaxaxa ( 4 . 1 ) 其增廣矩陣 B 1 1 1 2 1 1 2 1 2 2 2 2 12 () n n m m m n m a a a b a a a b Ab a a a b B 設(shè)有 n 元線性方程組 1 1 1 1 2 2 1 2 1 1 2 2 2 2 1 1 2 2 0, 0, 0, nn nn m m m n n a x a x a x a x
2、a x a x a x a x a x ( 4 . 4 ) 11 12 1 21 22 2 12 0 0 0 n n m m m n a a a a a a Ab a a a B North University of China 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 B 上階梯形矩陣 增廣矩陣 求解（ 4.4）的步驟 行變換 判斷 ( ) ( )r R A R B ？ 唯一解 （無窮解） rn rn 不成立，即無解 成立，即有解 同解方程組 確定出 nr 個自由未知量，移項(xiàng) 寫出通解 系數(shù)矩陣 A North University of China 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 本節(jié) 討論 當(dāng) 齊次
3、線性方程組 有 無窮 多 組 解 時(shí) 解 的結(jié) 構(gòu)問題 第二節(jié) 齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu) 設(shè)齊次線性方程組 .0 ,0 ,0 2211 2222121 1212111 nmnmm nn nn xaxaxa xaxaxa xaxaxa ( 4. 4 ) 其 矩陣形式： Ax ( 4. 5 ) North University of China 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 .0 ,0 ,0 2211 2222121 1212111 nmnmm nn nn xaxaxa xaxaxa xaxaxa ( 4. 7 ) 顯然齊次線性方程組 ( 4 . 4 ) 有解 （ 至少有零解 ） 由 上節(jié) 易得下列
4、結(jié)論： ( 1 ) 若 () A R r n，則齊次線性方程組 ( 4 . 4 ) 僅有零解； ( 2 ) 若 () A R r n，則齊次線性方程組 ( 4 . 4 ) 有無窮多組解 定理 2 設(shè)線性方程組 ( 4. 1) 有解 , 即 rBRAR )()( ，則 (1) 當(dāng) nr 時(shí)，線性方程組 ( 4. 1) 有惟一解； (2) 當(dāng) nr 時(shí)，線性方程組 ( 4. 1) 有無窮多組解 .0 ,0 ,0 2211 2222121 1212111 nmnmm nn nn xaxaxa xaxaxa xaxaxa ( 4 . 4 ) 本節(jié)討論當(dāng) () A R r n時(shí)，齊次線性方程組 ( 4
5、. 4 ) 解的結(jié)構(gòu) North University of China 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 定義 1 若 1212111 , nnxxx 為某 n 元線性 方程組的解，則稱向量 為該方程組的解向量，簡稱為解 11 21 1 1n x North University of China 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 性質(zhì) 1 若 12 , 都是齊次線性方程組 Ax 的解，則 12x 也是該方程組的解 證 因 1 2 1 2() A A A， 故 12x 是 Ax 的解 證畢 性質(zhì) 2 若 1 是齊次線性方程組 Ax 的一個解 ， k 為 任意常數(shù)，則 1k x 也是該方程組的解 證
6、因 11( ) ( )k k k AA ， 故 1k x 是 Ax 的解 證畢 注意 若 12 , , , s 是齊次線性方程組 Ax 的解， skkk , 21 ， 為任意 常 數(shù)，則線性組合 1 1 2 2 ssk k k 也是 Ax 的解 North University of China 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 若記 S 為齊次線性方程組 Ax 的全體解向量的集合， 即 S 對于向量的加法和數(shù)乘運(yùn)算封閉，所以 S 是一個向 量空間 稱此向量空間 S 為齊次線性方程組 Ax 的 解空間 則 ( 1 ) 若 12 SS ， ，則 12 S ； ( 2) 若 1 Sk ， R ，則 1
7、kS North University of China 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 定義 2 若齊次線性方程組 Ax 的有限個解 12 , , , s 滿足： 則稱解向量組 12 , , , s 為齊次線性方程組 Ax 0 的 一個基礎(chǔ)解系 注意 齊次線性方程組 Ax 的一個基礎(chǔ)解系即為解 空間 S 的一組基 ( 1) 12, , , s 線性無關(guān)； ( 2 ) Ax 的任意一個解均可由 12 , , , s 線性表示， North University of China 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 若 12 , , , s 是齊次線性方程組 Ax 的一個基 礎(chǔ)解系，則 1 1 2 2
8、ssk k k x 稱為齊次線性方程組 Ax 的 通解 ，其中 skkk , 21 ， 為任意常數(shù) 定理 對齊次線性方程組 Ax ，若 () A R r n， 則該方程組的基礎(chǔ)解系一定存在，且每個基礎(chǔ)解系中所 含解向量的個數(shù)均等于 rn 證明 North University of China 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 注意 上述定理的證明過程給出了求齊次線性方程組 ( 4 . 4 ) 的 一個 具體方法 ： 推論 當(dāng) ()A R r n 時(shí)，齊次線性方程組 ( 4. 7) 的解空間 S 是 rn 維向量空間 North University of China 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束
9、 A 上階梯形矩陣 系數(shù)矩陣 求解（ 4.4）的步驟 行變換 ()r R A 唯一解 無窮解 rn rn 同解方程組 確定出 nr 個自由未知量，并令其為 寫出通解 注： 自由未知量的取法不唯一，故解的表示形式也不 唯 一 1 0 0 0 1 0 , , , 0 0 1 從而得到基礎(chǔ)解系 12, , , nr 1 1 2 2 n r n rx k k k North University of China 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例 1 求下列齊次線性方程組的通解 ： .032 ,03 ,0 4321 4321 4321 xxxx xxxx xxxx 解 對系數(shù)矩陣作初等行變換 ： 1
10、1 1 1 1 1 1 3 1 1 2 3 A 2100 4200 1111 0000 2100 1111 ， North University of China 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 得同解方程組 ： .02 ,0 43 4321 xx xxxx 選取 2x ， 4x 作為自由未知量，移項(xiàng)得 .2 , 43 4231 xx xxxx 0000 2100 1111 North University of China 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 .2 , 43 4231 xx xxxx 令 0 1 4 2 x x ， 解出 0 1 3 1 x x ， 得解向量 1 1 1 0 0 ；
11、令 1 0 4 2 x x ， 解出 2 1 3 1 x x ， 得解向量 2 1 0 2 1 2x ， 4x 作為自由未知量 North University of China 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 12, 為原方程組一個基礎(chǔ)解系，故通解為 ： 12 11 10 02 01 kk x ， 其中 21 , kk 為任意常數(shù) 本節(jié)完 North University of China 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 證 定理 對齊次線性方程組 Ax 0 ，若 () A R r n ， 則該方程組的基礎(chǔ)解系一定存在，且每個基礎(chǔ)解系中所 含解向量的個數(shù)均等于 rn 因 () A R r n ，
12、 故齊次線性方程組 Ax 0 有無窮 多組解 對系數(shù)矩陣 A 作初等行變換， 將其化為上階梯形 矩 陣 不妨設(shè) North University of China 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 11 12 1 1 , 1 1 22 2 2 , 1 2 ,1 0 0 0 0 0 0 A r r n r r n rr r r rn c c c c c c c c c c c c 其中 ric ii ,2,1,0 得同解方程組： North University of China 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 . , , 11, 211,22222 111,11212111 nrnrrrrrr nn
13、rrrr nnrrrr xcxcxc xcxcxcxc xcxcxcxcxc ( 4 . 6 ) 其中 nrr xxx , 21 是自由未知量 當(dāng) 自由未知量 nrr xxx , 21 任意取定一組值時(shí)，由 方程組 ( 4 . 6 ) 可惟一確定 rxxx , 21 的一組值，從而得 齊次 線性方程組 ( 4 . 4 ) 的一個解 North University of China 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 現(xiàn)分別取 1 0 0 , 0 1 0 , 0 0 1 2 1 n r r x x x ， （ 共 rn 組 ） 代入方程組 ( 4 . 6 ) ，依次解得 rnr rn rn rrr
14、b b b b b b b b b x x x , ,2 ,1 2 22 12 1 21 11 2 1 , North University of China 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 1, 11 12 1 2 , 12 , , ,10 0 01 0 00 1 nr r r r n r nr bbb b b b 從而得齊次線性方程組 ( 4 . 4 ) 的 rn 個解： 下 證 12 , , , nr 是齊次線性方程組 ( 4 . 4 ) 的一個基礎(chǔ)解系 North University of China 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 首先因?yàn)?1 0 0 , 0 1 0 , 0 0 1
15、所以在每個向量前面添加 r 個分量而得到的向量 組 12, , , nr 仍線性無關(guān) 線性無關(guān)， North University of China 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 其次證明齊次線性方程組 ( 4 . 4 ) 的任一解 1 1 r r n x 都可由 12, , , nr 線性表示 設(shè) 1 1 2 2 n r n rk k k 一方面， 因?yàn)?12 , , , nr 是齊次線性方程組 ( 4 . 4 ) 的解， 所以 也是齊次線性方程組 ( 4 . 4 ) 的解 North University of China 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 1 1 2 2 n r n rk k k 另一方面， 比較 的后 rn 個分量， 可求出 12 , , , nrk k k ， 從而任意一個解向量都可由 12 , , , nr 線性表示 ， 即 1, 11 12 1 2 , 1112 22 * * 10 0 01 0 00 1 nr r r r n r rnr r n r n b bb b b b kk k k k k 1 1 2 2r r n n r 證畢 因此， 12 , , , nr 是齊次線性方程組 ( 4 . 4 ) 的一個 基礎(chǔ)解系定理成立
線性代數(shù)課件-ch-4-2齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)
