《線性代數(shù)課件4-5線性方程組解的結(jié)構(gòu)》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《線性代數(shù)課件4-5線性方程組解的結(jié)構(gòu)（37頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、課件 1 課件 2 理解齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系、通 解（全部解）和解空間的概念。掌握 求齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系和通解 的方法。 主要內(nèi)容 理解非齊次線性方程組的解的結(jié)構(gòu)，掌 握求非齊次線性方程組通解的方法。 課件 3 解向量的概念 設(shè)有齊次線性方程組 0 0 0 2211 2222121 1212111 nmnmm nn nn xaxaxa xaxaxa xaxaxa 一、齊次線性方程組解的性質(zhì) 方程組可寫成向量方程 0Ax 1 1 1 2 2 1 1, , , nnx x x 若 為方程 的 0Ax 解，則 1 1 1 2 1 1( , , , ) Tnx 稱為方程組的解向量，它也就是向
2、量方程的解 課件 4 齊次線性方程組解的性質(zhì) 也是 的解 . （ 1）若 為 的解，則 21 x,x 0Ax 21 x 0Ax 證明 12()A 1 0,A 12 0.x A x 故 也 是 的 解 2 0A 12AA 0 課件 5 （ 2）若 為 的解， 為實數(shù)，則 也是 的解 1x 0Ax k 1kx 0Ax 證明 1()Ak 由以上兩個性質(zhì)可知，方程組的全體解向 量所組成的集合，對于加法和 乘 數(shù)運算是封閉 的，因此構(gòu)成一個向量空間，稱此向量空間為 齊次線性方程組 的 解空間 0Ax 1()kA 0k 0 課件 6 12, , , 0 , t Ax 稱 為 齊 次 線 性 方 程 組 的
3、 基 礎(chǔ) 解 系 如 果 12( 1 ) , , , 0 ;t Ax 是 的 一 組 線 性 無 關(guān) 的 解 12( 2 ) 0 , , , .tAx 的 任 一 解 都 可 由 線 性 表 示 基礎(chǔ)解系的定義 二、基礎(chǔ)解系及其求法 注：方程組的基礎(chǔ)解系也是方程組解空間的基底。 課件 7 0 12, , , 0 , t Ax Ax 如 果 為 齊 次 線 性 方 程 組 的 一 組 基 礎(chǔ) 解 系 那 么 的 通 解 可 表 示 為 ttkkkx 2211 12, , , .tk k k其 中 是 任 意 常 數(shù) 課件 8 線性方程組基礎(chǔ)解系的求法 1 1 1 , 1, 10 01 00 00
4、 nr r r n r bb bb AB 設(shè)齊次線性方程組的系數(shù)矩陣為 ，并不妨 設(shè) 的前 個列向量線性無關(guān) r A A 于是 的行最簡形矩陣為 A 課件 9 111 1 , 2 1, 1 0 0 0 01 00 0 0 0 nr r r n r n xbb x bb x 1 1 1 1 1 , 1 1 , r n r n r r r r n r n x b x b x x b x b x 0Ax 現(xiàn)對 取下列 組數(shù)： 1 ,rnxx rn n r r x x x 2 1 0 0 , 1 , 0 1 0 , 0 0 1 課件 10 11 1 1 ,1 0 0 r b b 12 2 2 ,0 1
5、 0 r b b 1, , 0 0 1 nr r n r nr b b 從而求得原方程組的 個解， rn , 1 1 1 1 1 , 1 1 , r n r n r r r r n r n x b x b x x b x b x 課件 11 下面證明 是齊次線性方程組解 空間的一個基 12, , , nr 1 0 0 , 0 1 0 , 0 0 1 由于 個 維向量 rn rn 線性無關(guān)， 所以 個 維向量 亦線性無關(guān) . rn n 12, , , nr 12( 1 ) , , , .n 證 明 線 性 無 關(guān) 11 1 1 1 0 0 r b b 課件 12 12( 2) , , , . n
6、r 證 明 解 空 間 的 任 一 解 都 可 由 線 性 表 示 11( , , , , , ) .Tr r nx 設(shè) 為 方 程 組 的 一 個 解 12, , , ,nr 再 做 的 線 性 組 合 1 1 2 2r r n n r 由于 是 的解 ,故 也是 的解 . 12, , , nr 0Ax 0Ax 下 面 來 證 明 1 1 2 2r r n n r 課件 13 0,Ax 由 于 與 都 是 方 程 的 解 1 11 1 1 , 1 1 , , r n r n r r r r n r n x b x b x x b x b x 即 與 都 是 同 解 方 程 組 的 解 1 1
7、 2 r r r n c c 1 1 2 r r r n 由 1 1 1 1 1 , 1 1 , r n r n r r r r n r n bb bb 1 11 1 1 , 1 1 , r n r n r r r r n r n c b b c b b 11 , , ,rrcc .即 課件 14 1 1 2 2 .r r n n r 即 是齊次線性方程組解空間的一個基 . 1 , nr 綜 上 課件 15 定理 6 0 , ( ) , . mn mn nx A S R r S n rA 元 齊 次 線 性 方 程 組 的 全 體 解 所 構(gòu) 成 的 集 合 是 一 個 向 量 空 間 當 系
8、 數(shù) 矩 陣 的 秩 時 解 空 間 的 維 數(shù) 為 ( ) , , ( , 0 ) ; R A n當 時 方 程 組 只 有 零 解 故 沒 有 基 礎(chǔ) 解 系 此 時 解 空 間 只 含 一 個 零 向 量 為 維 向 量 空 間 12 1 1 2 2 1 1 1 1 2 ( ) , , , , , , , , , , , , , . nr n r n r nr n r n r n r R A r n n r x k k k kk S x k k k k k 當 時 方 程 組 必 有 含 個 向 量 的 基 礎(chǔ) 解 系 此 時 方 程 組 的 解 可 表 示 為 其 中 為 任 意 實
9、數(shù) 解 空 間 可 表 示 為 課件 16 說明 解空間的基不是唯一的 課件 17 例 1 求齊次線性方程組 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 0 2 5 3 2 0 7 7 3 0 x x x x x x x x x x x x 的基礎(chǔ)解系與通解 . 解 1 1 1 1 2 5 3 2 7 7 3 1 A 先將系數(shù)矩陣化為最簡形，求得基礎(chǔ)解系 13 7r r 1 1 1 1 12 2r r 0 1 4 1 0 8 0 7 5 4 1 1 1 1 23 2r r 00002 1() 7r 5401 77 54 01 77 0 0 0 0 21r r 2310 77 課件 18 1
10、 3 4 2 3 4 23 77 54 77 x x x x x x 得 同 解 方 程 組 3 4 10 , 01 x x 令 及 12 23 77 54 , 77 10 01 基 礎(chǔ) 解 系 為 1 2 1 2 1 2 3 4 23 77 54 , ( , ) . 77 10 01 x x c c c c x x 綜 上 ， 通 解 為 課件 19 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 4 3 0 2 3 5 5 0 3 2 0 3 5 6 7 0 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 解 方 程 組 解
11、1 1 1 4 3 2 1 3 5 5 1 1 3 2 1 3 1 5 6 7 A 練 習(xí) 4 3 1 13r r r r 1 1 1 4 3 12 2r r 0 2 2 6 2 0 1 1 3 1 0 2 2 6 2 課件 20 23 2r r 1 1 1 4 3 0 1 1 3 1 34r r 00000 00000 0 1 1 3 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 21r r 1 0 2 1 2 2 ( 1)r 1 3 4 5 2 3 4 5 22 3 x x x x x x x x 得 同 解 方 程 組 3 4 5 x x x 令 0 1, 0 1 0, 0 0 0 1 得
12、原方程組的基礎(chǔ)解系 , 0 0 1 1 2 1 , 0 1 0 3 1 2 . 1 0 0 1 2 3 課件 21 綜上，原方程組的通解為 1 2 3 2 1 2 1 3 1 ,1 0 0 0 1 0 0 0 1 x c c c 1 2 3, , .c c c其 中 為 任 意 常 數(shù) 課件 22 1 2 1 2( 1 ) , 0. x x A x b x Ax 設(shè) 及 都 是 的 解 則 為 對 應(yīng) 的 齊 次 方 程 的 解 證明 12( ) 0 .A b b 12 0.x A x 即 滿 足 方 程 12,A b A b 非齊次線性方程組解的性質(zhì) 三、非齊次線性方程組解的性質(zhì) 證明 ()
13、A A A 0,bb .x A x b 所 以 是 方 程 的 解 ( 2) , 0 , . x A x b x A x x A x b 設(shè) 是 方 程 的 解 是 方 程 的 解 則 仍 是 方 程 的 解 課件 23 11 n r n rx k k 其中 為對應(yīng)齊次線 性方程組的通解， 為非齊次線性方程組的任 意一個特解 . 11 n r n rkk 非齊次線性方程組的通解 非齊次線性方程組 Ax=b的通解為 課件 24 3線性方程組的解法 （ 1）應(yīng)用克萊姆法則 （ 2）利用初等變換 特點：只適用于系數(shù)行列式不等于零的情形， 計算量大，容易出錯，但有重要的理論價值，可 用來證明很多命題
14、特點：適用于方程組有唯一解、無解以及有 無窮多解的各種情形，全部運算在一個矩陣（數(shù) 表）中進行，計算簡單，易于編程實現(xiàn)，是有效 的計算方法 課件 25 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 0 2 3 1 2 3 1 2 x x x x x x x x x x x x 例 求 解 方 程 組 解 先 求 特 解 ， 再 求 齊 次 解 。 1 1 1 1 0 1 1 1 3 1 1 1 2 3 1 2 B 13r r 1 1 1 1 0 12r r 0 0 1 2 1 2 0 0 2 4 1 2 1 2r 1 1 1 1 0 23 1 2r r 00000 0 0 1 2 1 2 1
15、 1 0 1 1 2 0 0 1 2 1 2 0 0 0 0 0 12rr 課件 26 ( ) ( ) 2 , ,R A R B可 見 故 方 程 組 有 解 并 有 同 解 方 程 組 1 2 4 342 12 12 x x x xx 24 0,xx取 即 得 方 程 組 的 一 個 特 解 * 12 0 . 12 0 下 求 齊 次 解 。 2 4 10 , 01 x x 及 1 2 4 34 , 2 x x x xx 在 對 應(yīng) 的 齊 次 線 性 方 程 組 中 取 即 得 對 應(yīng) 的 齊 次 線 性 方 程 組 的 基 礎(chǔ) 解 系 12 11 10 , 02 01 課件 27 于 是
16、 所 求 通 解 為 1 2 1 2 1 2 3 4 1 1 1 2 1 0 0 , ( , ) . 0 2 1 2 0 1 0 x x c c c c x x 課件 28 1 2 3 4 5 1 2 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 2 3 3 5 , 2 2 6 1 , 3 4 5 6 3 1 2 , 3 4 . x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 解 方 程 組 解 1 2 3 1 3 5 2 1 0 2 6 1 3 4 5 6 3 12 1 1 1 3 1 4 B 練 習(xí) 14r r 1 2 3 1 3 5 12 13 2, 3 r
17、 r r r 0 2 4 3 6 3 0 3 6 0 0 9 0 1 2 2 4 1 課件 29 24r r 1 2 3 1 3 5 3 2 2 1 () 3 2, r r r 0 0 0 3 6 3 0 1 2 0 0 3 0 0 0 2 4 2 34 2r r 1 2 3 1 3 5 0 1 2 0 0 3 3 1 3r 0 0 0 1 2 1 000000 21 32 rr r 1 0 1 0 5 2 0 1 2 0 0 3 0 0 0 1 2 1 0 0 0 0 0 0 課件 30 ( ) ( ) 3 , .R A R B由 知 方 程 組 有 解 可得同解方程組 1 3 5 23 4
18、5 2 3 5 2 1 2 x x x xx xx 35 0,xx令 得 * 2 3 0 1 0 特 解 對 應(yīng) 的 齊 次 方 程 組 為1 3 5 23 45 5 2 2 x x x xx xx 下求對應(yīng)齊次方程基礎(chǔ)解系 課件 31 3 5 10 , 01 x x 令 :得 12 15 20 ,10 02 01 于 是 所 求 通 解 為1 2 3 1 2 1 2 4 5 1 5 2 2 0 3 , ( , ) .1 0 0 0 2 1 0 1 0 x x x c c c c x x 課件 32 作業(yè)： 習(xí)題四 16、 17、 23 課件 33 書后題講解 3. 舉 例 說 明 下 列 各
19、 命 題 是 錯 誤 的 。 解 1 2 3 1 0 0 0 , 2 , 0 000 a a a 設(shè) 1 2 3 1 2 3, , ,a a a a a a線 性 相 關(guān) ， 但 不 能 用 線 性 表 示 。 1 2 1 2 ( 1 ) m m a a a a aa 若 向 量 組 , , , 是 線 性 相 關(guān) 的 ， 則 可 由 , 線 性 表 示 . 課件 34 解 1 2 1 2 1 0 1 0 0 , 1 , 0 , 1 1 0 1 0 a a b b 設(shè) 12 1 1 1 1 11 ( 2 ) 0 , , , 0 m m m m m mm a a b b a a b b 若 又
20、不 全 為 的 數(shù) ,使 成 立 ， 則 , 線 性 相 關(guān) ， , 亦 線 性 相 關(guān) . 1 2 1 1 2 2 1 1 2 21 , 0a a b b 存 在 使 得 11 mma a b b但 是 , 線 性 無 關(guān) ， , 亦 線 性 無 關(guān) 。 課件 35 解 1 2 1 2 2 1 0 0 0 , 0 , 1 , 1 2 1 0 0 a a b b 設(shè) 12 1 1 1 1 11 ( 3 ) , , , 0 0 m m m m m mm a a b b a a b b 若 只 有 當 全 為 時 ， 等 式 才 能 成 立 ， 則 , 線 性 無 關(guān) ， , 亦 線 性 無 關(guān)
21、. 1 1 2 2 21 1 , 1 21 a b a b 1 2 1 2a a b b但 是 , 線 性 相 關(guān) ， , 亦 線 性 相 關(guān) 。 1 1 2 2,a b a b 線 性 無 關(guān) 。 1 2 1 1 2 2 1 1 2 2, 0 0a a b b 于 是 ,只 有 全 為 時 ， 等 式 才 能 成 立 。 課件 36 解 1 2 1 2 1 2 0 0 , , , 0 0 3 1 a a b b 設(shè) 11 12 1 1 1 1 ( 4 ) 0 , , , 00 mm m m m m m a a b b a a b b 若 , 線 性 相 關(guān) ， , 亦 線 性 相 關(guān) ， 則
22、 有 不 全 為 的 數(shù) ， 使 ， 同 時 成 立 。 1 2 1 2a a b b則 , 線 性 相 關(guān) ， , 亦 線 性 相 關(guān) 。 1 2 1 1 2 2 1 1 2 2, 0 0a a b b 設(shè) 有 ， 使 且 12 12 20 30 即 12 31 A 70 12, 0 . 全 為 課件 37 1 1 2 1 2 1 2 11 5 . , , , , , rr rr b a b a a b a a a a a b b 設(shè) , ， 且 向 量 組 線 性 無 關(guān) ， 證 明 向 量 組 線 性 無 關(guān) . 證 12, , , ,rk k k設(shè) 使 得1 1 2 2 0rrk b k b k b 1 1 2 1 2 1 2, rrb a b a a b a a a 由 已 知 , 得 ： 1 1 2 1 2 1( ) ( ) 0rrk a k a a k a a 1 1 2 2( ) ( ) 0r r r rk k a k k a k a 整 理 得 ： 1 2 0 0 0 r r r kk kk k 1 , raa因 為 線 性 無 關(guān) ， 12 0rk k k 1 , rbb綜 上 ， 向 量 組 線 性 無 關(guān) 。
線性代數(shù)課件4-5線性方程組解的結(jié)構(gòu)
