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1、橢圓及其標準方程 學習目標： 1。理解橢圓的定義及焦點，焦距的概念； 2。能夠正確推導橢圓的標準方程。 情感目標 ： 1。培養(yǎng)自己運動變化的觀點，訓練自己的動手能力； 2。通過小組合作，培養(yǎng)協(xié)作，友愛的精神。 學習重點： 1。橢圓的定義 2。橢圓的標準方程 學習難點： 橢圓標準方程的推導 問題： 2003年 10月 15日，中國 “ 神州 5號 ” 飛船試驗成功，實現(xiàn)了 中國人的千年飛天夢。請問： “ 神州 5號 ” 飛船繞著什么飛 行？運行的軌跡是什么？ 你能列舉幾個生活 中見過的橢圓形狀 的物品嗎？ 橢圓及其標準方程 1。畫橢圓 取一條一定長的細繩，把它的兩端固定在畫板的 F1和 F2兩點
2、， 當繩長大于 F1和 F2的距離時 ，用鉛筆尖把繩子拉緊，使筆尖 在圖板上慢慢移動，就可以畫出一個橢圓。 從上面畫圖的過程中，我們可以看出：不論動點 M運動到什么地方， 它到兩個定點 F1和 F2的距離的和，總是等于一個定長（繩長）。 即 |MF1|+|MF2|=定長（繩長） 由此， 橢圓就是與定點 F1， F2的距離的和等于定長（即這條繩長）的 點的集合 F1 F2 M 2。橢圓的定義 平面內(nèi)與兩個定點 F1， F2的距離的和等于常數(shù) 2a（ 2a|F1F2|)的點 的軌跡叫做 橢圓 . 這兩個定點叫做 橢圓的焦點 ,兩個焦點的距離叫做 焦距 2c. 為什么 2a 必須要大 于 |F1F2
3、|? 特別注意 : 當 2a|F1F2|時 ,軌跡是橢圓 ; 當 2a=|F1F2|時 ,軌跡是線段 F1F2; 當 2a2c,即 ac，所以 0 22ac 令 ，其中 b0 ,代入上式，得 ： 2 2 2a c b 2 2 2 2 2 2b x a y a b兩邊同除以 22ab 得 22 2 2 2 1 ( 0 , )22xy a b c a b ab 令 不僅 可以使方程變得簡單 整齊，同時在下一節(jié) 討論橢圓的幾何性質 時，它還有明確的幾 何意義 2 2 2abc 222242422 ycxycxaaycx （ 4）橢圓的標準方程 22 2 2 2 1 ( 0 , )22xy a b c
4、 a b ab 這個方程叫做橢圓的標準方程。它表示的 橢圓的焦點在 x軸上 ，焦點是 F1（ -C， 0）， F2（ C， 0）， 在這里 如果我們選定方案二，我們又將得到什么樣的結果呢？ 這時，點 F1， F2在 Y軸上，點 F1， F2的坐標分別為 F1（ 0， -C） F2（ 0， C），如圖， a , b 的意義同上，那么所得的方程變?yōu)?22 2 2 2 1 ( 0 , )22yx a b c a b ab 這個方程也是橢圓的標準方程，它表示的 橢圓的焦點在 Y軸上 ，焦點 是 F1（ 0。 -C）， F2（ 0， C）。 同樣， 判斷： 與 的焦點位置？ 2 2 2c a b 2 2
5、 2c a b 22 1 1 6 9 xy 22 1 9 1 6 xy 思考：如何由橢圓的標準方程來判斷它的焦點是在 X軸上還是 Y軸上？ 結論： 看標準方程中 的分母的大小，哪個的分母大就在哪一條 軸上。 22,xy （ 5）例題講解 例 1 判斷下列橢圓的焦點的位置，并指出焦點的坐標。 （ 1） （ 2） （ 3 ） 22 1 94 xy 222 5 1 6 4 0 0 xy 22 1 ( 0 )xy mn mn x軸上； y軸上； X軸上； 5 ,0 0, 3 ,0mn 例 2 求適合下列條件的橢圓的標準方程 : （ 1）兩個焦點的坐標分別是（ -4， 0），（ 4， 0），橢圓上一點
6、P到 兩焦 點的距離的和等于 10； （ 2）兩個焦點的坐標分別是（ 0， -2），（ 0， 2），并且橢圓經(jīng)過點 35,22 解：（ 1）因為橢圓的焦點在 X軸上，所以設它的標準方程為 22 1 ( 0 ) 22 xy ab ab 因為 2a=10, 2c=8 ， 所以 a=5 , c=4, 故所求的橢圓的標準方程為 22 12 5 9xy （ 2）因為橢圓的焦點在 Y軸上，所以設它的方程為 22 1 ( 0 ) 22 yx ab ab 2 2 2 2 25 4 9b a c 由橢圓的定義知： 2 2 2 23 5 3 52 2 2 2 1 02 2 2 2a 所以 又 c=2, 所以 10
7、a 2 2 2 10 4 6b a c 故所求的橢圓的標準方程為 22 110 6yx （ 6）課堂小結 1 。橢圓的定義及焦點，焦距的概念； 2。橢圓 的標準方程： （ 1）當焦點在 X軸上時， （ 2）當焦點在 Y軸上時， 3。橢圓標準方程中的 a, b ,c 的關系： 4。如何有橢圓的標準方程判斷焦點的位置： 看標準方程中 的分母的大小，哪個的分母大就在哪一條軸上。 5。求給定條件下的橢圓的方程，關鍵是先看焦點的位置 , 然后確定標準方程的類型，最后求出 a , b . 22 1 ( 0 )22xy ab ab 22 1 ( 0 )22yx ab ab 2 2 2b a c 22,xy (7)課后作業(yè) 課本 P96 習題 8。 1： T1， T2。 預習課本 P94-95的例 2，例 3。
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