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1、第九章 第 6課時 課 前 自 助 餐 授 人 以 漁 課 時 作 業(yè) 高三數(shù)學(xué) （人教版） 高考調(diào)研 新課標(biāo)高考總復(fù)習(xí) 第 6課時 直線與橢圓 第九章 第 6課時 課 前 自 助 餐 授 人 以 漁 課 時 作 業(yè) 高三數(shù)學(xué) （人教版） 高考調(diào)研 新課標(biāo)高考總復(fù)習(xí) 1能夠把研究直線與橢圓位置關(guān)系的問題轉(zhuǎn)化為研究方程解的 問題，會根據(jù)韋達(dá)定理及判別式解決問題 2通過對橢圓的學(xué)習(xí)，進(jìn)一步體會數(shù)形結(jié)合的思想 . 2011考綱下載 第九章 第 6課時 課 前 自 助 餐 授 人 以 漁 課 時 作 業(yè) 高三數(shù)學(xué) （人教版） 高考調(diào)研 新課標(biāo)高考總復(fù)習(xí) 作為高考熱點(diǎn)的直線與圓錐曲線的位置關(guān)系主要體現(xiàn)在
2、直線與橢圓 中，所以我們必需對直線與橢圓的位置關(guān)系要熟練掌握，并適度強(qiáng) 化 . 請注意 ! 第九章 第 6課時 課 前 自 助 餐 授 人 以 漁 課 時 作 業(yè) 高三數(shù)學(xué) （人教版） 高考調(diào)研 新課標(biāo)高考總復(fù)習(xí) 1 直線與橢圓位置關(guān)系判斷 聯(lián)立 y kx m x 2 a 2 y 2 b 2 1 得： (b 2 a 2 k 2 )x 2 2a 2 kmx a 2 m 2 a 2 b 2 0 該 一 元二次方程的判別式為 . 0 有 兩個 交點(diǎn) 相交 0 一 個切點(diǎn) 相切 b0) 的焦點(diǎn)弦， A(x 1 ， y 1 ) ， B(x 2 ， y 2 ) ，弦中點(diǎn) M(x 0 ， y 0 ) 則弦長
3、 l 2a e(x 1 x 2 ) 2a 2ex 0 ，通徑最短 l min 2b 2 a . AB 為橢圓的 一 般弦， A(x 1 ， y 1 ) 、 B(x 2 ， y 2 ) ，弦中點(diǎn) M(x 0 ， y 0 ) 弦長 l |x 1 x 2 | 1 k 2 |y 1 y 2 | 1 1 k 2 . k AB b 2 x 0 a 2 y 0 . 直線 AB 的方程： y y 0 b 2 x 0 a 2 y 0 (x x 0 ) 第九章 第 6課時 課 前 自 助 餐 授 人 以 漁 課 時 作 業(yè) 高三數(shù)學(xué) （人教版） 高考調(diào)研 新課標(biāo)高考總復(fù)習(xí) 直線 AB 的垂直平分線方程： y y
4、0 a 2 y 0 b 2 x 0 (x x 0 ) 1 已知以 F 1 ( 2,0) ， F 2 (2,0) 為焦點(diǎn)的橢圓與直線 x 3 y 4 0 有且僅有 一 個交點(diǎn)，則橢圓的長軸長為 ( ) A 3 2 B 2 6 C 2 7 D 4 2 解析 解法 一 驗證法： 2a 2 7 時， a 7 ， c 2 ， b 3 ， x 2 7 y 2 3 1 與 x 3 y 4 0 聯(lián)立，得 16y 2 24 3 y 27 0 ， (24 3 ) 2 4 16 27 0. 教材回歸 答案 C 第九章 第 6課時 課 前 自 助 餐 授 人 以 漁 課 時 作 業(yè) 高三數(shù)學(xué) （人教版） 高考調(diào)研 新
5、課標(biāo)高考總復(fù)習(xí) 解法二 設(shè)橢圓方程 x 2 a 2 y 2 b 2 1(ab0) 由 b 2 x 2 a 2 y 2 a 2 b 2 0 ， x 3 y 4 0 ， 得 (a 2 3b 2 )y 2 8 3 b 2 y 16b 2 a 2 b 2 0 ， 由 0 ，可得 a 2 7 ， 2a 2 7 . 2 若直線 mx ny 4 與 O ： x 2 y 2 4 沒有交點(diǎn)，則 過點(diǎn) P(m ， n) 的直線與橢圓 x 2 9 y 2 4 1 的交點(diǎn)個數(shù)是 ( ) A 至多為 1 B 2 C 1 D 0 答案 B 第九章 第 6課時 課 前 自 助 餐 授 人 以 漁 課 時 作 業(yè) 高三數(shù)學(xué)
6、（人教版） 高考調(diào)研 新課標(biāo)高考總復(fù)習(xí) 解析 直線 mx ny 4 與圓 x 2 y 2 4 沒有交點(diǎn) |4| m 2 n 2 2 ， m 2 n 2 0 ，得 3 2 m3 2 ， 此時直線與橢圓 C 有兩 個不同的公共點(diǎn)； 第九章 第 6課時 課 前 自 助 餐 授 人 以 漁 課 時 作 業(yè) 高三數(shù)學(xué) （人教版） 高考調(diào)研 新課標(biāo)高考總復(fù)習(xí) (2) 由 0 ，得 m 3 2 ，此時直線與橢圓 C 有且只 有 一 個公共點(diǎn)； (3) 由 0 ，得 m3 2 ，此時直線與橢圓 C 沒有公共點(diǎn) 綜上所述，當(dāng) 3 2 m3 2 時，直線 l 與橢圓 C 有兩個 不重合的公共點(diǎn)； 當(dāng) m 3 2
7、時，直線 l 與橢圓 C 有且只有 一 個公共 點(diǎn)； 當(dāng) m3 2 時，直線 l 與橢圓 C 沒有公共點(diǎn) 第九章 第 6課時 課 前 自 助 餐 授 人 以 漁 課 時 作 業(yè) 高三數(shù)學(xué) （人教版） 高考調(diào)研 新課標(biāo)高考總復(fù)習(xí) 思考題 1 直線 l ： (m 2)x (m 1)y 2m 1 0 與橢圓 x 2 2 y 2 3 1 的位置關(guān)系為 ( ) A 相交 B 相切 C 相離 D 與 m 值有關(guān) 【解析】 直線 l 過定點(diǎn) (1,1) ，而 (1,1) 在橢圓內(nèi)部 選 A. 【 答案 】 A 探究 1 直線與橢圓的公共點(diǎn)個數(shù)存在三種可能：有兩個不同的公共點(diǎn)；有且只 有一個公共點(diǎn) (其實是兩
8、個公共點(diǎn)重合為一點(diǎn) )；沒有公共點(diǎn)常見判斷方法：利用 一元二次方程的判別式 來判斷 第九章 第 6課時 課 前 自 助 餐 授 人 以 漁 課 時 作 業(yè) 高三數(shù)學(xué) （人教版） 高考調(diào)研 新課標(biāo)高考總復(fù)習(xí) 例 2 (1)(2011 北京海淀區(qū)期末 ) 已知 F 1 為橢圓 C ： x 2 2 y 2 1 的左焦點(diǎn)，直線 l ： y x 1 與橢圓 C 交于 A 、 B 兩點(diǎn)，那么 |F 1 A| |F 1 B| 的值為 _ 【解析】 8 2 3 設(shè)點(diǎn) A ( x 1 ， y 1 ) ， B ( x 2 ， y 2 ) ， 則由 x 2 2 y 2 1 y x 1 消去 y 整理得 3 x 2
9、4 x 0 ， 解得 x 1 0 ， 題型二 弦長問題 第九章 第 6課時 課 前 自 助 餐 授 人 以 漁 課 時 作 業(yè) 高三數(shù)學(xué) （人教版） 高考調(diào)研 新課標(biāo)高考總復(fù)習(xí) x 2 4 3 ，易得點(diǎn) A(0 ， 1) 、 B( 4 3 ， 1 3 ) 又點(diǎn) F 1 ( 1,0) 因此 |F 1 A| |F 1 B| 1 2 ( 1 ) 2 ( 7 3 ) 2 ( 1 3 ) 2 8 2 3 . (2)(2010 遼寧卷，理 ) 設(shè)橢圓 C ： x 2 a 2 y 2 b 2 1(a b 0) 的右焦點(diǎn)為 F ，過 F 的直線 l 與橢圓 C 相交于 A ， B 兩點(diǎn)，直線 l 的傾斜角為
10、60 ， AF 2 FB . 1) 求橢圓 C 的離心率； 2) 如果 |AB| 15 4 ，求橢圓 C 的方程 第九章 第 6課時 課 前 自 助 餐 授 人 以 漁 課 時 作 業(yè) 高三數(shù)學(xué) （人教版） 高考調(diào)研 新課標(biāo)高考總復(fù)習(xí) 【解析】 設(shè) A(x 1 ， y 1 ) ， B(x 2 ， y 2 ) ，由題意知 y 1 0 ， y 2 0. 1) 直線 l 的方程為 y 3 (x c) ，其中 c a 2 b 2 . 聯(lián)立 y 3 ( x c ) ， x 2 a 2 y 2 b 2 1 得 (3a 2 b 2 )y 2 2 3 b 2 cy 3b 4 0. 解得 y 1 3 b 2 (
11、 c 2a ) 3a 2 b 2 ， y 2 3 b 2 ( c 2a ) 3 a 2 b 2 . 因為 AF 2 FB ，所以 y 1 2y 2 . 第九章 第 6課時 課 前 自 助 餐 授 人 以 漁 課 時 作 業(yè) 高三數(shù)學(xué) （人教版） 高考調(diào)研 新課標(biāo)高考總復(fù)習(xí) 即 3 b 2 ( c 2a ) 3a 2 b 2 2 3 b 2 ( c 2a ) 3a 2 b 2 . 得離心率 e c a 2 3 . (2) 因為 |AB| 1 1 3 |y 2 y 1 | ，所以 2 3 4 3 ab 2 3a 2 b 2 15 4 . 由 c a 2 3 得 b 5 3 a. 所以 5 4 a
12、15 4 ，得 a 3 ， b 5 . 橢圓 C 的方程為 x 2 9 y 2 5 1 第九章 第 6課時 課 前 自 助 餐 授 人 以 漁 課 時 作 業(yè) 高三數(shù)學(xué) （人教版） 高考調(diào)研 新課標(biāo)高考總復(fù)習(xí) 探究 2 ( 1) 由已知點(diǎn)設(shè)直線方程時，要注意斜率存在和 不存在的情況，適當(dāng)時候要分類討論 (2) 在解決有關(guān)弦長問題時，常用設(shè)而不求思想 思考題 2 (2010 新課標(biāo)全國，文 ) 設(shè) F 1 ， F 2 分別是橢圓 E ： x 2 y 2 b 2 1(0 b 1) 的左、右焦點(diǎn)，過 F 1 的直線 l 與 E 相 交于 A ， B 兩點(diǎn)，且 |AF 2 | ， |AB| ， |BF
13、 2 | 成等差數(shù)列 第九章 第 6課時 課 前 自 助 餐 授 人 以 漁 課 時 作 業(yè) 高三數(shù)學(xué) （人教版） 高考調(diào)研 新課標(biāo)高考總復(fù)習(xí) (1) 求 |AB| ； (2) 若直線 l 的斜率為 1 ，求 b 的值 【解析】 (1) 由橢圓定義知 |AF 2 | |AB| |BF 2 | 4 ， 又 2|AB| |AF 2 | |BF 2 | ，得 |AB| 4 3 . (2)l 的方程為 y x c ，其中 c 1 b 2 . 設(shè) A(x 1 ， y 1 ) ， B(x 2 ， y 2 ) ，則 A ， B 兩點(diǎn)坐標(biāo)滿足方程組 y x c ， x 2 y 2 b 2 1. 化簡得 (1
14、b 2 )x 2 2cx 1 2b 2 0. 第九章 第 6課時 課 前 自 助 餐 授 人 以 漁 課 時 作 業(yè) 高三數(shù)學(xué) （人教版） 高考調(diào)研 新課標(biāo)高考總復(fù)習(xí) 則 x 1 x 2 2c 1 b 2 ， x 1 x 2 1 2b 2 1 b 2 . 因為直線 AB 的斜率為 1 ，所以 |AB| 2 |x 2 x 1 | ， 即 4 3 2 |x 2 x 1 |. 則 8 9 (x 1 x 2 ) 2 4x 1 x 2 4 ( 1 b 2 ) ( 1 b 2 ) 2 4 ( 1 2b 2 ) ( 1 b 2 ) 8b 4 ( 1 b 2 ) 2 ， 解得 b 2 2 . 第九章 第 6課
15、時 課 前 自 助 餐 授 人 以 漁 課 時 作 業(yè) 高三數(shù)學(xué) （人教版） 高考調(diào)研 新課標(biāo)高考總復(fù)習(xí) 例 3 過點(diǎn) P( 1,1) 作直線與橢圓 x 2 4 y 2 2 1 交于 A 、 B 兩點(diǎn)，若線段 AB 的中點(diǎn)恰為 P 點(diǎn)， 求 AB 所在直線的方程 【解析】 解法 一 ： （ 1 ） 2 4 1 2 2 0 恒成立 x 1 x 2 4k ( k 1 ) 1 2k 2 ， 1 x 1 x 2 2 2k ( k 1 ) 1 2k 2 ， k 1 2 AB 所在直線的方程為 y 1 1 2 (x 1) 即 x 2y 3 0. 第九章 第 6課時 課 前 自 助 餐 授 人 以 漁 課
16、時 作 業(yè) 高三數(shù)學(xué) （人教版） 高考調(diào)研 新課標(biāo)高考總復(fù)習(xí) 思考題 3 已知中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在 x 軸上的 一 橢圓與 圓 x 2 y 2 4x 2y 5 2 0 交于 A 、 B 兩點(diǎn)， AB 恰是該圓的直 徑，且 AB 的斜率為 1 2 ，求此橢圓的方程 探究 3 本類型題目常見問題有：過定點(diǎn)被定點(diǎn)平分的弦所在直線的方程； 平行弦中點(diǎn)軌跡；過定點(diǎn)的弦的中點(diǎn)的軌跡解決有關(guān)弦及弦中點(diǎn)問題常用 方法是 “ 韋達(dá)定理 ” 和 “ 點(diǎn)差法 ” 這兩種方法的前提都必須保證直線和橢圓 有兩個不同的公共點(diǎn) 第九章 第 6課時 課 前 自 助 餐 授 人 以 漁 課 時 作 業(yè) 高三數(shù)學(xué) （人教版） 高考
17、調(diào)研 新課標(biāo)高考總復(fù)習(xí) 【解析】 圓的方程化為 (x 2) 2 (y 1) 2 5 2 ， 其圓心為 (2,1) ，直徑 |AB| 10 . 設(shè)橢圓方程為 x 2 a 2 y 2 b 2 1(ab0) ， A 、 B 的坐標(biāo)為 (x 1 ， y 1 ) ， (x 2 ， y 2 ) ，則 x 1 x 2 4 ， y 1 y 2 2. 又 k AB 1 2 ，即 y 1 y 2 x 1 x 2 1 2 . A 、 B 在橢圓上，有 x 2 1 a 2 y 2 1 b 2 1 ， x 2 2 a 2 y 2 2 b 2 1 ， 得 x 2 1 x 2 2 a 2 y 2 1 y 2 2 b 2 0
18、. 第九章 第 6課時 課 前 自 助 餐 授 人 以 漁 課 時 作 業(yè) 高三數(shù)學(xué) （人教版） 高考調(diào)研 新課標(biāo)高考總復(fù)習(xí) b 2 a 2 (y 1 y 2 )(y 1 y 2 ) (x 1 x 2 )(x 1 x 2 ) 1 4 ， a 2 4b 2 . 橢圓方程化為 x 2 4y 2 4b 2 ， 直線 AB 的方程為 y 1 1 2 (x 2) ， 即 y 1 2 x 2. 把直線方程代入橢圓方程得 x 2 4( 1 2 x 2) 2 4b 2 ， 第九章 第 6課時 課 前 自 助 餐 授 人 以 漁 課 時 作 業(yè) 高三數(shù)學(xué) （人教版） 高考調(diào)研 新課標(biāo)高考總復(fù)習(xí) 即 x 2 4x
19、 8 2b 2 0 ， x 1 x 2 4 ， x 1 x 2 8 2b 2 . |AB| 1 k 2 |x 1 x 2 |. 即 10 1 ( 1 2 ) 2 (x 1 x 2 ) 2 4x 1 x 2 5 4 16 4(8 2b 2 ) ， 解之得 b 2 3 ， a 2 12. 所求橢圓方程為 x 2 12 y 2 3 1. 第九章 第 6課時 課 前 自 助 餐 授 人 以 漁 課 時 作 業(yè) 高三數(shù)學(xué) （人教版） 高考調(diào)研 新課標(biāo)高考總復(fù)習(xí) 例 4 設(shè) F 1 、 F 2 分別是橢圓 x 2 4 y 2 1 的左、右焦點(diǎn) (1) 若 P 是該橢圓上的 一 個動點(diǎn)，求 PF 1 PF
20、2 的最大值和最小 值； (2) 設(shè)過定點(diǎn) M(0,2) 的直線 l 與橢圓交于不同的兩點(diǎn) A 、 B ， 且 AOB 為銳角 ( 其中 O 為坐標(biāo)原點(diǎn) ) ，求直線 l 的斜率的取 值范圍 【解析】 (1) 易知 a 2 ， b 1 ， c 3 ， 所以 F 1 ( 3 ， 0) ， F 2 ( 3 ， 0) 設(shè) P(x ， y) ， 則 PF 1 PF 2 ( 3 x ， y) ( 3 x ， y) x 2 y 2 3 x 2 1 x 2 4 3 1 4 ( 3 x 2 8) 題型四 最值與范圍 第九章 第 6課時 課 前 自 助 餐 授 人 以 漁 課 時 作 業(yè) 高三數(shù)學(xué) （人教版）
21、高考調(diào)研 新課標(biāo)高考總復(fù)習(xí) 因為 x 2,2 ，故當(dāng) x 0 ，即點(diǎn) P 為橢圓短軸端點(diǎn)時， PF 1 PF 2 有最小值 2. 當(dāng) x 2 ，即點(diǎn) P 為橢圓長軸端點(diǎn)時， PF 1 PF 2 有最大值 1. (2) 顯然直線 x 0 不滿足題設(shè)條件，可設(shè)直線 l ： y kx 2 ， A(x 1 ， y 1 ) ， B(x 2 ， y 2 ) ， 聯(lián)立 y kx 2 ， x 2 4 y 2 1 ，消去 y ， 第九章 第 6課時 課 前 自 助 餐 授 人 以 漁 課 時 作 業(yè) 高三數(shù)學(xué) （人教版） 高考調(diào)研 新課標(biāo)高考總復(fù)習(xí) 整理得： (k 2 1 4 )x 2 4kx 3 0 ， x
22、1 x 2 4k k 2 1 4 ， x 1 x 2 3 k 2 1 4 . 由 (4k) 2 4(k 2 1 4 ) 3 4k 2 3 0 ， 解得 k 3 2 或 k 3 2 . 又 0 AOB 90 cos AOB 0 OA OB 0. OA O B x 1 x 2 y 1 y 2 0. 第九章 第 6課時 課 前 自 助 餐 授 人 以 漁 課 時 作 業(yè) 高三數(shù)學(xué) （人教版） 高考調(diào)研 新課標(biāo)高考總復(fù)習(xí) 又 y 1 y 2 (kx 1 2)(kx 2 2) k 2 x 1 x 2 2k(x 1 x 2 ) 4 3k 2 k 2 1 4 8k 2 k 2 1 4 4 k 2 1 k 2
23、 1 4 . 3 k 2 1 4 k 2 1 k 2 1 4 0. 即 k 2 4 ， 2 k 2. 故由 ，得 2 k 3 2 或 3 2 k 2. 第九章 第 6課時 課 前 自 助 餐 授 人 以 漁 課 時 作 業(yè) 高三數(shù)學(xué) （人教版） 高考調(diào)研 新課標(biāo)高考總復(fù)習(xí) 探究 4 圓錐曲線中求最值與范圍問題是高考題中的?？紗栴}，解決此類 問題，一般有兩個思路： (1)構(gòu)造關(guān)于所求量的函數(shù)，通過求函數(shù)的值域來 獲得問題的解 (如本題第 (1)問 )； (2)構(gòu)造關(guān)于所求量的不等式，通過解不 等式來獲得問題的解 (如本題第 (2)問 )在解題過程中，一定要深刻挖掘題 目中的隱含條件，如判別式大于
24、零等。 第九章 第 6課時 課 前 自 助 餐 授 人 以 漁 課 時 作 業(yè) 高三數(shù)學(xué) （人教版） 高考調(diào)研 新課標(biāo)高考總復(fù)習(xí) 思考題 4 橢圓 x 2 a 2 y 2 b 2 1(a b c) 的兩個焦點(diǎn)為 F 1 ( c,0) ， F 2 (c,0) ， M 是橢圓上 一 點(diǎn)，且滿足 F 1 M F 2 M 0. (1) 求橢圓的離心率 e 的取值范圍 ； (2) 當(dāng)離心率 e 取得最小值時，點(diǎn) N(0,3) 到橢圓上的點(diǎn) 的最遠(yuǎn)距離為 5 2 ，求此時橢圓的方程 【解析】 (1) 設(shè)點(diǎn) M 的坐標(biāo)為 (x ， y) ， 則 F 1 M (x c ， y) ， F 2 M (x c ，
25、y) ， 由 F 1 M F 2 M 0 ，得 x 2 c 2 y 2 0 ， 即 x 2 c 2 y 2 第九章 第 6課時 課 前 自 助 餐 授 人 以 漁 課 時 作 業(yè) 高三數(shù)學(xué) （人教版） 高考調(diào)研 新課標(biāo)高考總復(fù)習(xí) 又由點(diǎn) M 在橢圓上，得 y 2 b 2 b 2 a 2 x 2 . 代入 得 x 2 c 2 b 2 a 2 x 2 b 2 ，即 x 2 a 2 a 2 b 2 c 2 . 0 x 2 a 2 ， 0 a 2 a 2 b 2 c 2 a 2 ， 即 0 2c 2 a 2 c 2 1 ， 0 2 1 e 2 1 ， 解得 2 2 e 1. 又 0e1 ， 2 2 e
26、1. 第九章 第 6課時 課 前 自 助 餐 授 人 以 漁 課 時 作 業(yè) 高三數(shù)學(xué) （人教版） 高考調(diào)研 新課標(biāo)高考總復(fù)習(xí) (2) 當(dāng)離心率 e 取最小值 2 2 時，橢圓方程可表示為 x 2 2b 2 y 2 b 2 1 ， x 2 2b 2 2y 2 . 設(shè)點(diǎn) H(x ， y) 是橢圓上的 一 點(diǎn)，則 |HN| 2 x 2 (y 3) 2 (2b 2 2y 2 ) (y 3) 2 (y 3) 2 2b 2 18( b y b) 若 0b3 ，則 3 b0 ， 當(dāng) y b 時， |HN| 2 有最大值 b 2 6b 9. 由題意知 b 2 6b 9 50 ， 第九章 第 6課時 課 前
27、自 助 餐 授 人 以 漁 課 時 作 業(yè) 高三數(shù)學(xué) （人教版） 高考調(diào)研 新課標(biāo)高考總復(fù)習(xí) b 5 2 3 或 b 5 2 3 ，這與 0b b 0) 的 一 條弦， M ( x 0 ， y 0 ) 是 AB 的中點(diǎn)，則 k AB b 2 x 0 a 2 y 0 . k AB k OM b 2 a 2 . 第九章 第 6課時 課 前 自 助 餐 授 人 以 漁 課 時 作 業(yè) 高三數(shù)學(xué) （人教版） 高考調(diào)研 新課標(biāo)高考總復(fù)習(xí) 3涉及弦長的問題，應(yīng)熟練地應(yīng)用韋達(dá)定理 “ 設(shè)而不求 ” 地去計算弦 長 (即運(yùn)用弦長公式 )，涉及垂直關(guān)系往往也是利用韋達(dá)定理， “ 設(shè)而不 求 ” ，簡化運(yùn)算 第九章 第 6課時 課 前 自 助 餐 授 人 以 漁 課 時 作 業(yè) 高三數(shù)學(xué) （人教版） 高考調(diào)研 新課標(biāo)高考總復(fù)習(xí) 課時作業(yè)（ 45）
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