《工程流體力學(xué)》電子教案第四至七章

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1、 工程 流體力學(xué) （第四至七章） 周 云龍 洪文鵬 合編 開 始 第四章 不可壓縮流體的有旋流 動和二維無旋流動 第一節(jié) 流體微團(tuán)運(yùn)動分析 第二節(jié) 有旋流動和無旋流動 第三節(jié) 無旋流動的速度勢函數(shù) 第四節(jié) 二維平面流動的流函數(shù) 第五節(jié) 基本的平面有勢流動 第六節(jié) 平面勢流的疊加流動 歡 迎 進(jìn) 入 第 四 章 的 學(xué) 習(xí) 流體由于具有易變形的特性（易流動性），因此流體 的運(yùn)動要比工程力學(xué)中的剛體的運(yùn)動復(fù)雜得多。在流體運(yùn) 動中，有旋流動和無旋流動是流體運(yùn)動的兩種類型。由流體微團(tuán)運(yùn)動分析可知，有旋流動是指流體微團(tuán)旋轉(zhuǎn)角速度 的流動，無旋流動是指 的流動。 實(shí)際上，黏性流體的流動大多數(shù)是有旋流動，而

2、且有 時(shí)是以明顯的旋渦形式出現(xiàn)的，如橋墩背流面的旋渦區(qū)， 船只運(yùn)動時(shí)船尾后形成的旋渦，大氣中形成的龍卷風(fēng)等等。 但在更多的情況下，流體運(yùn)動的有旋性并不是一眼就能看 得出來的，如當(dāng)流體繞流物體時(shí)，在物體表面附近形成的 速度梯度很大的薄層內(nèi)，每一點(diǎn)都有旋渦，而這些旋渦肉 眼卻是觀察不到的。至于工程中大量存在著的紊流運(yùn)動，更是充滿著尺度不同的大小旋渦。 0 0 流體的無旋流動雖然在工程上出現(xiàn)得較少，但 無旋流動比有旋流動在數(shù)學(xué)處理上簡單 得多，因 此，對二維平面勢流在理論研究方面較成熟。對 工程中的某些問題，在特定條件下對黏性較小的 流體運(yùn)動進(jìn)行無旋處理，用勢流理論去研究其運(yùn) 動規(guī)律，特別是繞流物體

3、的流動規(guī)律，對工程實(shí) 踐具有指導(dǎo)意義和應(yīng)用價(jià)值。因此，本章先闡述 有旋流動的基本概念及基本性質(zhì)，然后再介紹二 維平面勢流理論。 第一節(jié) 流體微團(tuán)運(yùn)動分析 剛體的一般運(yùn)動可以分解為移動和轉(zhuǎn)動 兩部分。流體與剛體的主要不同在于它具 有流 動性，極易變形。因此，任一流體微 團(tuán)在運(yùn)動過程中不但與剛體一樣可以移動 和轉(zhuǎn)動，而且還會發(fā)生變形運(yùn)動。所以， 在一般情況下流體微團(tuán)的運(yùn)動可以分解為 移動、轉(zhuǎn)動和變形運(yùn)動三部分。 一、表示流體微團(tuán)運(yùn)動特征的速度表達(dá)式 在運(yùn)動流體中，在時(shí)刻 t 任取一正交六面體流體微團(tuán)，其邊長分別為 d x 、 d y 、 d z ， 如圖 4 - 1 所示。當(dāng)選取該流體微團(tuán)上的 F

4、( x ， y ， z ) 點(diǎn)為參考點(diǎn)時(shí)，則該點(diǎn)的速度分 量分別為 u ( x ， y ， z ) 、 v ( x ， y ， z ) 、 w ( x ， y ， z ) ，其他各點(diǎn)的速度均可利用泰勒級 數(shù)展開并略去二階及以上無窮小量得到。因此 C( x +d x ， y + d y ， z + d z ) 點(diǎn)的速度分 量可表示為 zzuyyuxxuuu c ddd zzvyyvxxvvv c ddd zzwyywxxwww c ddd 圖 4-1 分析流體微團(tuán)運(yùn)動用圖 為了把流體微團(tuán)的速度進(jìn)行分解，并以數(shù)學(xué) 形式表達(dá)出來，現(xiàn)將上式進(jìn)行改造。在第一 式右邊 y x v d 2 1 、 z x

5、w d 2 1 ，在第二式右邊 x y u d 2 1 、 z y w d 2 1 ， 在第三式右邊 x z u d 2 1 、 y z v d 2 1 ，重新整理后可得 到 yyuxvzxwzuzxwzuyxvyuxxuuu c d21d21d21d21d zzvywxyuxvzywzvxyuxvyvvv c d21d21d21d21dy xxwzuzzvywyzvywxzuxwzzwww c d21d21d21d21d 剪切變形速率 、 、 、 、 、 ， 引入記號，并賦予運(yùn)動特征名稱： 線變形速率 、 、 ， xx 、 yy 、 zz ， z w y v x u zzyyxx , xy

6、yx yz zy xz zx x w z u z v y w y u x v xzzx zyyz yxxy 2 1 2 1 2 1 （ 4-1） （ 4-2） 于是可得到表示流體微團(tuán)運(yùn)動特征的速度表達(dá)式為 旋轉(zhuǎn)角速度 、 、 ， x y z y u x v x w z u z v y w z y x 2 1 2 1 2 1 （ 4-3） xyyxzww zxzxyvv yzzyxuu yxzyzxzzc xzyzyxyyc zyxzxyxxc ddddd ddddd ddddd （ 4-4） 式 (4 - 4) 表明，在一般情況下，流體微團(tuán)的運(yùn)動可分解為三部分：以流體微團(tuán)中 某點(diǎn)的速度作整體平

7、移運(yùn)動 ( u 、 v 、 w ) ；繞通過該點(diǎn)軸的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動 ( x 、 y 、 z ) ； 微團(tuán)本身的變形運(yùn)動 ( 線變形 xx 、 yy 、 zz 和剪切變形 xy 、 yz 、 zx ) 。 二、流體微團(tuán)運(yùn)動的分解 為進(jìn)一步分析流體微團(tuán)的分解運(yùn)動及其幾何特 征，對式 (4-4)有較深刻的理解，現(xiàn)在分別說明流 體微團(tuán)在運(yùn)動過程中所呈現(xiàn)出的平移運(yùn)動、線變 形運(yùn)動、角變形運(yùn)動和旋轉(zhuǎn)運(yùn)動。 為簡化分析，僅討論在 平面上流體微團(tuán)的運(yùn) 動。假設(shè)在時(shí)刻 ，流體微團(tuán) ABCD為矩形，其上 各點(diǎn)的速度分量如圖 4-2所示。由于微團(tuán)上各點(diǎn)的 速度不同，經(jīng)過時(shí)間 ，勢必發(fā)生不同的運(yùn)動， 微團(tuán)的位置和形狀都將發(fā)

8、生變化，現(xiàn)分析如下。 xoy t td 1平移運(yùn)動 由圖 4 - 2 可知，微團(tuán)上 A 、 B 、 C 、 D 各點(diǎn)的速度 分量中均有 u 和 v 兩項(xiàng)，在經(jīng)過 d t 時(shí)間后，矩形微團(tuán) A B C D 向右、向上分別移動 u d t 、 v d t 距離，即平移到 新位置，形狀不變，如圖 4 - 3( ) 所示。式 (4 - 4) 中 的第一項(xiàng)即為該流體微團(tuán)平移運(yùn)動的運(yùn)動速度。 圖 4-2 分析流體微團(tuán)平面運(yùn)動用圖 a 2線變形運(yùn)動 在圖 4 - 2 中，比較 B 與 A 、 C 與 D 點(diǎn)在 x 方向及 D 與 A 、 C 與 B 點(diǎn)在 y 方向的速度差可 得： x x u uu dAB

9、， x x u uu dDC ； y y v vv d AD ， y y v vv d BC 。由此可知，流體線段 AB 和 DC 在 d t 時(shí)間內(nèi)將伸長 ( 或縮短 ) tx x u dd ，同樣， AB 和 BC 線段將伸長 ( 或縮短 ) ty y v dd 。 定義單位時(shí)間內(nèi)單位長度流體線段的伸長 ( 或縮短 ) 量為流體微團(tuán)的線變形速 率，則沿 x 軸方向的線變形速率為 xx x u txtx x u )d(ddd 同理可得流體微團(tuán)沿 y 軸方向和沿 z 軸方向的線變形速率分別為 y v yy ， z w zz 上述即為式 (4 - 1) 及其物理意義。式 (4 - 4) 中的第二

10、項(xiàng)所表示的便是該線變形運(yùn)動所 引起的速度變化。 將 x 、 y 、 z 方向的線變形速率加在一起，有 z w y v x u zzyyxx （ 4 - 5 ） 對于不可壓縮流體，上式等于零，是不可壓縮流體的連續(xù)性方程，表明流體微團(tuán)在運(yùn) 動中體積不變。而三個(gè)方向的線變形速率之和所反映的實(shí)質(zhì)是流體微團(tuán)體積在單位時(shí) 間的相對變化，稱為流體微團(tuán)的體積膨脹速率。因此，不可壓縮流體的連續(xù)性方程也 是流體不可壓縮的條件。在圖 4 - 3( ) 中示出了該流體微團(tuán)的平面線變形。 b 圖 4-3 流體微團(tuán)平面運(yùn)動的分解 (a) 返回 圖 4-3 流體微團(tuán)平面運(yùn)動的分解 (b) 返回 圖 4-3 流體微團(tuán)平面運(yùn)動

11、的分解 (c) 返回 圖 4-3 流體微團(tuán)平面運(yùn)動的分解 (d) 返回 3角變形運(yùn)動 在圖 4 - 2 中，比較 D 和 A 、 C 和 B 在 x 方向及 B 和 A 、 C 和 D 在 y 方向的速度 差可得： y y u uu d AD ， y y u uu d BC ； x x v vv d AB ， x x v vv d DC 。由此可知，若速度增量 均為正值，流體微團(tuán)在 d t 時(shí)間內(nèi)則發(fā)生圖 4 - 3( ) 所示的角變形運(yùn)動。由圖可 見，由于 D 點(diǎn)和 A 點(diǎn)、 C 點(diǎn)和 B 點(diǎn)在 x 方向的運(yùn)動速度不同，致使 AD 流體邊在 d t 時(shí) 間內(nèi)順時(shí)針轉(zhuǎn)動了 d 角度；由于 B

12、點(diǎn)和 A 點(diǎn)、 C 點(diǎn)和 D 點(diǎn)在 y 方向的速度不同， 致使 AB 流體邊在 d t 時(shí)間內(nèi)逆時(shí)針轉(zhuǎn)動了 d 角度。于是，兩正交流體邊 AB 和 AD 在 d t 時(shí)間內(nèi)變化了 ( d + d ) 角度。顯然，微元角度 d 和 d 可由下列公式求得 t x v xtx x v ddddt g dd t y u yty y u ddddtgdd c 通常把兩正交微元流體邊的夾角在單位時(shí)間內(nèi)的變化量定義為角變形 速度，而把該夾 角變化的平均值在單位時(shí)間內(nèi)的變化量 ( 角變形速度的平 均值 ) 定義為剪切變形速率。則在 xy 平面上，將流體微團(tuán)的剪切變形速率記 為 xy ( yxxy ) ，因此有

13、 同理，也可得到 yz 平面和 zx 平面上的剪切變形速率 yz 和 zx 。于是，過流體微 團(tuán)任一點(diǎn) A 的三個(gè)正交微元流體面上的剪切變形速率分別為 上述即為式 (4 - 2) 及其物理含義。式 (4 - 4) 中的第三、第四項(xiàng)所表示的便是 由該剪切變形所引起的速度變化。 y u x v tyxxy 2 1 d ) / 2dd( yuxvyxxy 21 zvywzyyz 21 xwzuxzzx 21 4旋轉(zhuǎn)運(yùn)動 由圖 4 - 3 ( c ) 可知，流體微團(tuán)在 d t 時(shí)間內(nèi)出現(xiàn)了角變 形運(yùn)動。若微元角度 d = d ，則流體微團(tuán)只發(fā)生角變形； 若 d = - d ，即 yuxv ，則流體微團(tuán)

14、只發(fā)生旋轉(zhuǎn)，不發(fā)生 角變形，如圖 4 - 3( ) 所示。一般情況下， dd ，流體 微團(tuán)在發(fā)生角變形的同時(shí)，還要發(fā)生旋轉(zhuǎn)運(yùn)動。 d 在旋轉(zhuǎn)運(yùn)動中，用符號 表示流體微團(tuán)旋轉(zhuǎn)角速度的 大小，其定義為：過流體微團(tuán)上 A 點(diǎn)的任兩條正交微元 流體邊在其所在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)角速度的平均值，稱作 A 點(diǎn) 流體微團(tuán)的旋轉(zhuǎn)角速度在垂直該平面方向的分量。如圖 4 - 3 ( c ) 所示，在 xy 平面上，過 A 點(diǎn)的兩正交流體邊 AB 和 AD ， AB 邊在 d t 時(shí)間內(nèi)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)了微元角度 d ， AD 邊在 d t 時(shí)間 內(nèi)順時(shí)針旋 轉(zhuǎn)了微元角度 d ，通常規(guī)定以逆時(shí)針旋 轉(zhuǎn)為正，則該兩條正交微元流體 邊

15、在 xy 平面內(nèi)的旋轉(zhuǎn)角 速度的平均值為 ，于是得流體微團(tuán)沿 z 軸方向 的旋 轉(zhuǎn)角速度分量為 y u x v tz 2 1 d d-d 2 1 td d/)-d(21 同理可求得流體微團(tuán)沿 x 軸方向和 y 軸方向旋轉(zhuǎn)角速度的分量 和 。 于是，以流體微團(tuán) A 點(diǎn)為軸的旋轉(zhuǎn)角速度 的三個(gè)分量分別為 (4 - 6) 寫成矢量形式為 （ 4 - 7 ） 上述即為式 (4 - 3) 及其物理含義。式 (4 - 4) 中的第五、第六項(xiàng)所表示的便 是由該旋轉(zhuǎn)運(yùn)動所引起的速度變化。 y u x v x w z u z v y w z y x 2 1 2 1 2 1 222 zyx )(21 Vkji z

16、yx x y 綜上所述，在一般情況下，流體微團(tuán)的運(yùn)動總是可 以分解成：整體平移運(yùn)動、旋轉(zhuǎn)運(yùn)動、線變形運(yùn)動及角變 形運(yùn)動，與此相對應(yīng)的是平移速度、旋轉(zhuǎn)角速度、線變形 速率和剪切變形速率。 第二節(jié) 有旋流動和無旋流動 一、有旋流動和無旋流動的定義 二、速度環(huán)量和旋渦強(qiáng)度 一、有旋流動和無旋流動的定義 流體的流動是有旋還是無旋，是由流體微團(tuán)本身是否旋轉(zhuǎn) 來決定的。流體在流動中，如果流場中有若干處流體微團(tuán)具 有繞通過其自身軸線的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動，則稱為有旋流動。如果在 整個(gè)流場中各處的流體微團(tuán)均不繞自身軸線的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動，則 稱為無旋流動。這里需要說明的是，判斷流體流動是有旋流 動還是無旋流動，僅僅由流體微團(tuán)本身

17、是否繞自身軸線的旋 轉(zhuǎn)運(yùn)動來決定，而與流體微團(tuán)的運(yùn)動軌跡無關(guān)，在圖 4-4(a)中， 雖然流體微團(tuán)運(yùn)動軌跡是圓形，但由于微團(tuán)本身不旋轉(zhuǎn)，故 它是無旋流動；在圖 4-4(b)中，雖然流體微團(tuán)運(yùn)動軌跡是直線， 但微團(tuán)繞自身軸線旋轉(zhuǎn)，故它是有旋流動。在日常生活中也 有類似的例子，例如兒童玩的活動轉(zhuǎn)椅，當(dāng)轉(zhuǎn)輪繞水平軸旋 轉(zhuǎn)時(shí)，每個(gè)兒童坐的椅子都繞水平軸作圓周運(yùn)動，但是每個(gè) 兒童始終是頭向上，臉朝著一個(gè)方向，即兒童對地來說沒有 旋轉(zhuǎn)。 圖 4-4 流體微團(tuán)運(yùn)動 無旋流動 有旋流動 判斷流體微團(tuán)無旋流動的條件是：流體中每一個(gè)流體微團(tuán)都滿足 根據(jù)式（ 4-3），則有 0 zyx ,zvyw , x w z

18、u y u x v （ 4-8） 二、速度環(huán)量和旋渦強(qiáng)度 1速度環(huán)量 為了進(jìn)一步了解流場的運(yùn)動性質(zhì)，引入流體力 學(xué)中重要的基本概念之一 速度環(huán)量。 在流場中任取封閉曲線 k，如 圖 4-5所示。速度 沿該封閉曲線的線積分稱為速度沿封閉曲線 k的環(huán) 量，簡稱速度環(huán)量，用 表示，即 式中 在封閉曲線上的速度矢量； 速度與該點(diǎn)上切線之間的夾角。 速度環(huán)量是個(gè)標(biāo)量，但具有正負(fù)號。 V K K svsV dc o sd （ 4-9） V 圖 4-5 沿封閉曲線的速度環(huán)量 在封閉曲線 k 上的速度矢 量 速度 與該點(diǎn) 上切線之間 的夾角 V 速度環(huán)量的正負(fù)不僅與速度方向有關(guān)，而且與積分時(shí)所 取的繞行方向有

19、關(guān)。通常規(guī)定逆時(shí)針方向?yàn)?K的正方向， 即封閉曲線所包圍的面積總在前進(jìn)方向的左側(cè)，如圖 4-5 所示。當(dāng)沿順時(shí)針方向繞行時(shí)，式（ 4-9）應(yīng)加一負(fù)號。 實(shí)際上，速度環(huán)量所表征的是流體質(zhì)點(diǎn)沿封閉曲線 K運(yùn)動 的總的趨勢的大小，或者說所反映的是流體的有旋性。 由于 和 ，則 kwjviuV kzjyixs dddd zwyvxusV dddd 代入式（ 4-9），得 K K zwyvxusV )ddd(d （ 4-10） 2旋渦強(qiáng)度 沿封閉曲線 的速度環(huán)量與有旋流動之間有一個(gè)重要 的關(guān)系，現(xiàn)僅以平面流動為例找出這個(gè)關(guān)系。如圖 4- 6所示，在平面 上取一微元矩形封閉曲線，其面 積 ， 流體在 A點(diǎn)

20、的速度分量為 和 ， 則 B、 C和 D點(diǎn)的速度分量分別為： XOY yxA ddd u v xxuuu dB xxvvv dB yyuxxuuu ddC yyvxxvvv ddC yyuuu dD yyvvv dD 圖 4-6 沿微元矩形的速度環(huán)量 xxuu d xxvv d yyuxxuu dd yyvxxvv dd yyuu d yyvv d 于是，沿封閉曲線反時(shí)針方向 ABCDA的速度環(huán)量 將 、 、 、 和 、 、 、 各值代入上式，略去高于一階的 無窮小各項(xiàng)，再將式（ 4-3）的第三式代入后，得 然后將式（ 4-11）對面積積分，得 yvvxuuyvvxuu d2d2d2d2d A

21、DDCCBBA Au Bu Cu Du Av Bv Cv Dv Ayxyuxv z d2ddd （ 4-11） A z d2 （ 4-12） 于是得到速度環(huán)量與旋轉(zhuǎn)角速度之間關(guān)系的斯托克斯定理： 沿封閉曲線的速度環(huán)量等于該封閉周線內(nèi)所有的旋轉(zhuǎn)角速 度的面積積分的二倍，稱之為旋渦強(qiáng)度 I，即 和 式中 在微元面積 的外法線 上的分量。 AI n d2d AI n d2 （ 4-13） n Ad n 由式（ 4-11）可導(dǎo)出另一個(gè)表示有旋流動的量， 稱為渦量，以 表示之。它定義為單位面積上的速 度環(huán)量，是一個(gè)矢量。它在 Z軸方向的分量為 對于流體的空間流動，同樣可求得 X和 Y軸方向渦 量的分量

22、和 。于是得 即 zz y u x v A 2 d d zz yy xx y u x v x w z u z v y w 2 2 2 V 2 （ 4-14） （ 4-15） 也就是說，在有旋流動中，流體運(yùn)動速度 的旋度稱為 渦量。 由此可見，在流體流動中，如果渦量的三個(gè)分量中有一 個(gè)不等于零，即為有旋流動。如果在一個(gè)流動區(qū)域內(nèi)各處 的渦量或它的分量都等于零，也就是沿任何封閉曲線的速 度環(huán)量都等于零，則在這個(gè)區(qū)域內(nèi)的流動一定是無旋流動。 下面舉兩個(gè)簡單的例子來說明速度環(huán)量和旋渦強(qiáng)度的物 理意義，以及有旋流動和無旋流動的區(qū)別。 V 【 例 4-1】 一個(gè)以角速度 按反時(shí)針方向作像剛體一 樣的旋轉(zhuǎn)的

23、流動，如 圖 4-7所示。試求在這個(gè)流場 中沿封閉曲線的速度環(huán)量，并證明它是有旋流動 . (解 ) 【 例 4-2】 一個(gè)流體繞 O點(diǎn)作同心圓的平面流動，流 場中各點(diǎn)的圓周速度的大小與該 點(diǎn)半徑成反比， 即 ，其中 C為常數(shù)，如 圖 4-8所示。試求在流 場中沿封閉曲線的速度環(huán)量，并分析它的流動情 況。 (解 ) rCV 【 解 】 在流場中對應(yīng)于任意兩個(gè)半徑 和 的圓周速 度各為 和 ，沿圖中畫斜線扇形部分的周 界 ABCDA的速度環(huán)量 可見，在這個(gè)區(qū)域內(nèi)是有旋流動。又由于扇形面積 于是 上式正是斯托克斯定理的一個(gè)例證。 以上結(jié)論可推廣適用于圓內(nèi)任意區(qū)域內(nèi)。 1r 2r 11 rV 22 r

24、V )()( 212211221122DACDBCABA B C D A rrrVrVrVrV )(2d 21222 1 rrrrA r r A 2AB C D A 返回例題 圖 4-7 有旋流動中速度環(huán)量的計(jì)算 圖 4-8 無旋流動中速度環(huán)量的計(jì)算 返回例題 【 解 】 沿扇形面積周界的速度環(huán)量 可見，在這區(qū)域內(nèi)是無旋流動。這結(jié)論可推廣適用于任何 不包圍圓心 O的區(qū)域內(nèi)，例如 。若包有圓心 ( )，該 處速度等于無限大，應(yīng)作例外來處理?，F(xiàn)在求沿半徑 的 圓周封閉曲線的速度環(huán)量 上式說明，繞任何一個(gè)圓周的流場中，速度環(huán)量都不等 于零，并保持一個(gè)常數(shù)，所以是有 旋流動。但凡是繞不 包括圓心在內(nèi)的

25、任何圓周的速度環(huán)量必等于零，故在圓心 O點(diǎn)處必有旋渦存在，圓心是一個(gè)孤立渦點(diǎn)，稱為奇點(diǎn)。 01 1 2 2 DACDBCABA B C D A rr Cr r C ADCBA 0r 2 0 2d 常數(shù)CrrC 返回例題 第三節(jié) 無旋流動的速度勢函數(shù) 如前所述，在流場中流體微團(tuán)的旋轉(zhuǎn)角速度 在任意時(shí) 刻處處為零，即滿足 的流動為無旋流動，無旋流動也 稱為有勢流動。 一、速度勢函數(shù)引入 二 、速度勢函數(shù)的性質(zhì) 0 V 一、速度勢函數(shù)引入 由數(shù)學(xué)分析可知， 是 成為某一標(biāo)量函數(shù) 全微分的充分必要條件。則函數(shù) 稱為速度勢函數(shù)。因此， 也可以說，存在速度勢函數(shù) 的流動為有勢流動，簡稱勢 流。根據(jù)全微分理

26、論，勢函數(shù) 的全微分可寫成 于是得 0 V zwyvxu ddd )( tzyx ， zzyyxx dddd zwyvxu ， （ 4-16） 按矢量分析 對于圓柱坐標(biāo)系，則有 于是 從以上分析可知，不論是可壓縮流體還是不可 壓縮流體，也不論是定常流動還是非定常流動， 只要滿足無旋流動條件，必然存在速度勢函數(shù)。 g r a d kzjyixkwjviuV zvrvrv zr ， 1 zvrvrv zr dddd （ 4-17） （ 4-18） 二、速度勢函數(shù)的性質(zhì) （ 1）不可壓縮流體的有勢流動中，勢函數(shù) 滿足拉普拉斯 方程，勢函數(shù) 是調(diào)和函數(shù)。 將式（ 4-16）代入到不可壓縮流體的連續(xù)性方

27、程（ 3-28） 中，則有 式中 為拉普拉斯算子，式（ 4-19）稱為拉普拉 斯方程，所以在不可壓流體的有勢流動中，速度勢必定滿 足拉普拉斯方程，而凡是滿足拉普拉斯方程的函數(shù)，在數(shù) 學(xué)分析中稱為調(diào)和函數(shù)，所以速度勢函數(shù)是一個(gè)調(diào)和函數(shù)。 022 2 2 2 2 2 zyx (4-19) 2 2 2 2 2 22 zyx 0 zwyvxu 從上可見，在不可壓流體的有勢流動中，拉普拉斯方 程實(shí)質(zhì)是連續(xù)方程的一種特殊形 式，這樣把求解無旋 流動的問題，就變?yōu)榍蠼鉂M足一定邊界條件下的拉普拉 斯方程的問題。 （ 2）任意曲線上的速度環(huán)量等于曲線兩端點(diǎn)上速度勢函 數(shù) 值之差。而與曲線的形狀無關(guān)。 根據(jù)速度環(huán)

28、量的定義，沿任意曲線 AB的線積分 這樣，將求環(huán)量問題，變?yōu)榍笏俣葎莺瘮?shù)值之差的問題。 對于任意封閉曲線，若 A點(diǎn)和 B點(diǎn)重合，速度勢函數(shù)是單值 且連續(xù)的，則流場中沿任一條封閉曲線的速度環(huán)量等于零， 即 。 AB B A B A B A AB dw d zv d yudxsdV )( 0AB 第四節(jié) 二維平面流動的流函數(shù) 一、流函數(shù)的引入 對于流體的平面流動，其流線的微分方程為 ,將其改寫成下列形式 （ 4-20） 在不可壓縮流體的平面流動中，速度場必須滿足不可壓縮流體的連續(xù)性方程， 即 或 （ 4-21） 由數(shù)學(xué)分析可知，式（ 4-21）是（ ）成為某函數(shù)全微分的充分必要條 件，以 表示該函

29、數(shù)，則有 （ 4-22） 函數(shù)稱為流場的流函數(shù)。由式（ 4-22）可得 （ 4-23） vyux dd 0dd yuxv 0 yvxu y v x u yuxv dd yuxvyyxx ddddd ），（ yx xvyu ， 由式 (4-22)，令 ，即 常數(shù)，可得流線微分方程式 (4-20)。由 此可見 , 常數(shù)的曲線即為流線，若給定一組常數(shù)值，就可得到流 線簇。或者說，只要給定流場中某一固定點(diǎn)的坐標(biāo)（ ）代入流函 數(shù) ，便可得到一條過該點(diǎn)的確定的流線。因此，借助流函數(shù)可以形 象地描述不可壓縮平面流場。 對于極坐標(biāo)系，可寫成 （ 4-24） （ 4-25） 在已知速度分布的情況下，流函數(shù)的求

30、法與速度勢函數(shù)一樣，可由曲 線積分得出。 至此可看到，在不可壓縮平面流動中，只要求出了流函數(shù) ，由 式（ 4-23）或式（ 4-24）就可求出速度分布。反之，只要流動滿足不 可壓縮流體的連續(xù)性方程，不論流場是否有旋，流動是否定常，流體 是理想流體還是黏性流體，必然存在流函數(shù) 。 這里需說明，等流函數(shù)線與流線等同，僅在平面流動時(shí)成立。對 于三維流動，不存在流函數(shù)，也就不存在等流函數(shù)線，但流線還是存 在的。 0d ），（ yx 00 yx， rvr 1 rv ddd rvrv r ），（ yx 二、流函數(shù)的性質(zhì) （ 1）對于不可壓縮流體的平面流動，流函數(shù) 永遠(yuǎn) 滿足 連續(xù)性方程。 將式（ 4-23

31、）代入式（ 4-21）得 即流函數(shù)永遠(yuǎn)滿足連續(xù)性方程。 （ 2）對于不可壓縮流體的平面勢流，流函數(shù) 滿足拉普 拉斯方程，流函數(shù)也是調(diào)和函數(shù)。 對于平面無旋流動， ，則 將式（ 4-23）代入上式 因此，不可壓縮流體平面無旋流動的流函數(shù)也滿足拉普拉 斯方程，也是一個(gè)調(diào)和函數(shù)。 因此，在平面不可壓縮流體的有勢流場中的求解問題，可 以轉(zhuǎn)化為求解一個(gè)滿足邊界條件的 的拉普拉斯方程 . yxxy 22 0z 0 yuxv 022222 yx （ 3）平面流動中，通過兩條流線間任一 曲線單位厚度的體積流量等于兩條流線的 流函數(shù)之差。這就是流函數(shù) 的物理意義。 如圖 4-9所示，在兩流線間任一曲線 AB，則

32、通過單位厚度的體積流量為 （ 4-26） 由式（ 4-26）可知，平面流動中兩條流線 間通過的流量等于這兩條流線上的流函數(shù) 之差。 圖 4-9 說明流函數(shù)物理意義用圖 2 1 2 1 2 1 2 1 dd)d(d x x y y x x y y V xxyyxvyuq 12 , ),( 22 11 d yx yx 三、 和 的關(guān)系 （ 1）滿足柯西 -黎曼條件 如果是不可壓縮流體的平面無旋流動，必然同時(shí)存在著速 度勢和流函數(shù)，比較式（ 4-16）和式（ 4-23），可得到速度 勢函數(shù)和流函數(shù)之間存在的如下關(guān)系 （ 4-27） （ 4-28） 這是一對非常重要的關(guān)系式，在高等數(shù)學(xué)中稱作柯西 -黎

33、曼 條件。因此， 和 互為共軛調(diào)和函數(shù)，這就有可能使我們利 用復(fù)變函數(shù)這樣一種有力的工具求解此類問題。 當(dāng)勢函數(shù) 和 流函數(shù)二者知其一時(shí)，另一個(gè)則可利用 式（ 4-27）的關(guān)系求出，而至多相差一任意常數(shù)。 xyyx ， 0 yyxx （ 2）流線與等勢線正交。 式（ 4-28）是等勢線簇 常數(shù) 和流線簇 常數(shù) 互相正交的條 件，若在同一流場中繪出相應(yīng)的一 系列流線和等勢線，則它們必然構(gòu) 成正交網(wǎng)格，稱為流網(wǎng)，如圖 4-10 所示。 ），（ yx ），（ yx 圖 4-10 流網(wǎng) 0 yyxx 【 例 4-3】 有一不可壓流體平面流動的速度分布 為 。該平面流動是否存在流函數(shù)和速度 勢函數(shù)；若存

34、在，試求出其表達(dá)式；若在流場中 A （ 1m， 1m） 處的絕對壓強(qiáng)為 1.4 105Pa，流體的密度 1.2kg/m3，則 B（ 2m， 5m） 處的絕對壓強(qiáng)是多少？ 【 解 】 （ 1）由不可壓流體平面流動的連續(xù)性方程 該流動滿足連續(xù)性方程，流動是存在的，存在流函數(shù)。 由于是平面流動 該流動無旋，存在速度勢函數(shù)。 yvxu 44 ， 0)4()4( yyxxyvxu 0 yx 044 2 1 2 1 y x x y y u x v z （ 2）由流函數(shù)的全微分得： 積分 由速度勢函數(shù)的全微分得： 積分 （ 3）由于 ，因此， A和 B處的速度分別為 由伯努里方程 可得 yxxyyuxvyy

35、xx d4d4ddddd Cxy 4 yyxxyvxuyyxx d4d4ddddd Cyx )(2 22 222 vuV )(32)14()14( 22222A smV )(4 6 4)54()24( 22222B smV 2BB2AA 2121 VpVp )(8.13 97 40)46 432(2.121104.1)(21 52B2AAB PaVVpp 第五節(jié) 基本的平面有勢流動 流體的平面有勢流動是相當(dāng)復(fù)雜的，很多復(fù)雜 的平面有勢流動可以由一些簡單的有勢 流動疊加 而成。所以，我們首先介紹幾種基本的平面有勢 流動，它包括 均勻直線流動 ， 點(diǎn)源和點(diǎn)匯 、點(diǎn)渦 等 一、均勻直線流動 流體作均

36、勻直線流動時(shí)，流場中各點(diǎn)速度的大小相等，方 向相同，即 和 。由 式 （ 4-16） 和式 （ 4-23） ，得 于是速度勢和流函數(shù)各為 以上兩式中的積分常數(shù) 和 可以任意選取，而不影響流體 的流動圖形（稱為流譜）。 0uu 0vv 00 , vxyvuyxu 10000 dddd Cyvxuyvxuyyxx 20000 d)d(dd Cyuxvyuxvyyxx 1C 2C 若令 ，即得均勻直線流動的速度勢和流函數(shù)各為 （ 4-29） （ 4-30） 由式 （ 4-29） 和式 （ 4-30） 可知，等勢線簇（ 常 數(shù)）和流線簇（ =常數(shù)）互相垂直，如 圖 4-11 所示。各流線與軸的夾 角等

37、于 。 由于流場中各點(diǎn)的速度都相等，根據(jù)伯努里方程（ 3-41）， 得 常數(shù) 如果均勻直線流動在水平面上，或流體為氣體，一般可以忽 略重力的影響，于是 常數(shù) 即流場中壓強(qiáng)處處相等。 021 CC yvxu 00 yuxv 00 yvxu 00 yuxv 00 001-tg uv gpz p 圖 4-11 均勻直線流的流譜 二、平面點(diǎn)源和點(diǎn)匯 如果在無限平面上流體不斷從一點(diǎn)沿徑向直線均勻地向 各方流出，則這種流動稱為點(diǎn)源，這個(gè)點(diǎn)稱為源點(diǎn) （ 圖 4-12， a） ；若流體不斷沿徑向直線均勻地從各方流入一點(diǎn)，則這 種流動稱為點(diǎn)匯，這個(gè)點(diǎn)稱為匯點(diǎn) （ 圖 4-12， b） 。顯然，這兩 種流動的流線

38、都是從原點(diǎn) O發(fā)出的放射線，即從源點(diǎn)流出和 向匯點(diǎn)流入都只有徑向速度 。現(xiàn)將極坐標(biāo)的原點(diǎn)作為源點(diǎn) 或匯點(diǎn)，則 rv r rv 0v rv r dd 圖 4-12 點(diǎn)源和點(diǎn)匯的流譜 點(diǎn)源 點(diǎn)匯 back 根據(jù)流動的連續(xù)性條件，流體每秒通過任一半徑為 的單位長度圓柱 面上的流量 都應(yīng)該相等，即 常數(shù) 由此得 （ 4-31） 式中 是點(diǎn)源或點(diǎn)匯在每秒內(nèi)流出或流入的流量，稱為點(diǎn)源強(qiáng) 度或點(diǎn)匯強(qiáng)度。對于點(diǎn)源， 與 同向， 取正號；對于點(diǎn)匯， 與 異向， 取負(fù)號，于是 積分得 式中積分常數(shù) 是任意給定的，現(xiàn)令 。又由于 ，于是得 速度勢 （ 4-32） 當(dāng) 時(shí)，速度勢 和 速度都變成無窮大，源點(diǎn)和匯點(diǎn)都是

39、奇點(diǎn)。所 以速度勢 和速度 的表達(dá)式（ 4-31）和式（ 4-32）只有在源點(diǎn)和匯點(diǎn) 以外才能應(yīng)用。 r Vq Vr qrv 12 r qv V r 2 Vq rv rvr rVq Vq r rq V d 2d Crq V ln2 C 0C 22 yxr 22ln2ln2 yxqrq VV 0r rv rv 現(xiàn)在求流函數(shù)，由式（ 4-25） 積分得 (令式中的積分常數(shù)為零 ) （ 4-33） 等勢線簇（ 常數(shù)，即 常數(shù)）是同心圓簇（在 圖 4-12中 用虛線表示）與流線簇（ 常數(shù)，即 常數(shù)）成正交。而 且除源點(diǎn)或匯點(diǎn)外，整個(gè)平面上都是有勢流動。 如果 平面是無限水平面，則根據(jù)伯努里方程（ 34

40、1） 式中 為 在處的流體壓強(qiáng)，該處的速度為零。 將式（ 4-31）代入上式，得 （ 4-34） 由式（ 4-34）可知，壓強(qiáng) 隨著半徑 的減小而降低。當(dāng) 時(shí)， 。 圖 4-13表示當(dāng) 時(shí)，點(diǎn)匯沿 半徑 的壓強(qiáng)分布。 d2dddd Vrr qrvrvrv x yqq VV 1-tg 22 r XOY g p g v g p r 2 2 p r 22 2 1 8 r qpp V p r 2/1220 )8/( pqrr V rr00p r 圖 4-13 點(diǎn)匯沿半徑的壓強(qiáng)分布 三、點(diǎn)渦 設(shè)有一旋渦強(qiáng)度為 的無限長直線渦束，該渦束以等角 速度 繞自身軸旋轉(zhuǎn)，并帶動渦束周圍的流體繞其環(huán)流。由 于直線渦

41、束為無限長，所以可以認(rèn)為與渦束垂直的所有平面 上的流動情況都一樣。也就是說，這種繞無限長直線渦束的 流動可以作為平面流動來處理。由渦束所誘導(dǎo)出的環(huán)流的流 線是許多同心圓，如 圖 4-14所示。根據(jù)斯托克斯定理可知， 沿任一同心圓周流線的速度環(huán)量等于渦束的旋渦強(qiáng)度，即 常數(shù) 于是 （ 4-35） 因此渦束外的速度與半徑成反比。若渦束的半徑 ，則 成為一條渦線，這樣的流動稱為點(diǎn)渦，又稱為純環(huán)流。但當(dāng) 時(shí)， ，所以渦點(diǎn)是一個(gè)奇點(diǎn)。 I Irv 2 02 rvrv ， 00 r 00 r v 圖 4-14 點(diǎn)渦的流譜 現(xiàn)在求點(diǎn)渦的速度勢和流函數(shù)。由于 由 積分后得速度勢 （ 4-36） 又由于 由 積

42、分后得流函數(shù) （ 4-37） 當(dāng) 時(shí)，環(huán)流為反時(shí)針方向，如 圖 4-14所示；當(dāng) 時(shí)，環(huán)流 為順時(shí)針方向。 由式（ 4-36）和式（ 4-37）可知，點(diǎn)渦的等勢線簇是經(jīng)過渦點(diǎn)的放射 線，而流線簇是同心圓。而且除渦點(diǎn)外，整個(gè)平面上都是有勢流動。 rrvrv r 2 10 ， d2d1dd rrrr x y1-tg 22 rrvrv r 20 1 ， rrrrrr d2d1dd rln2 0 0 設(shè)渦束的半徑為 ，渦束邊緣上的速度為 ，壓強(qiáng) 為 ； 時(shí)的速度顯然為零，而壓強(qiáng)為 。代入伯努里 方程（ 3-41），得渦束外區(qū)域內(nèi)的壓強(qiáng) 分布為 （ 4-38） 由式（ 4-38）可知，在渦束外區(qū)域內(nèi)的壓

43、強(qiáng)隨著半徑的減小 而降低，渦束外緣上的壓強(qiáng)為 或 （ 4-39） 所以渦束外區(qū)域內(nèi)從渦束邊緣到無窮遠(yuǎn)處的壓強(qiáng)降是一個(gè)常 數(shù)。又由式（ 4-38）可知，在 處，壓強(qiáng) ，顯然這 是不可能的。所以在渦束內(nèi)確實(shí)存在如同剛體一樣以等角速 度旋轉(zhuǎn)的旋渦區(qū)域，稱為渦核區(qū)。由式（ 4-39）可得渦核的 半徑 0r 00 2 rv 0p r p 22 22 1 82 rp vpp 202 220 0 1 82 rp vpp 202 22 00 1 82 1 rvpp 0r p 常數(shù) gVgpz 2 2 由于渦核內(nèi)是有旋流動，故流體的壓強(qiáng)可以根據(jù)歐拉運(yùn)動微 分方程求得。平面定常流動的歐拉運(yùn)動微分方程為 將渦核內(nèi)任

44、一點(diǎn)的速度 和 代入上兩式，得 以 和 分別乘以上兩式，然后相加，得 或 積分得 x p y uv x uu 1 y p y vv x vu 1 yu xv x px 12 y py 12 xd yd yypxxpyyxx dd1)dd(2 pyx d1d2 22 2 ）（ CvCrCyxp 222222 212121 ）（ 在 處， ，代入上式，得 最后得渦核區(qū)域內(nèi)的壓強(qiáng)分布為 （ 4-40） 或 （ 4-40a） 于是渦核中心的壓強(qiáng) 而渦核邊緣的壓強(qiáng) 所以 可見，渦核內(nèi)、外的壓強(qiáng)降相等，都等于用渦核邊緣速度計(jì) 算的動壓頭。渦核內(nèi)、外的速度分布和壓強(qiáng)分布如 圖 4-15所 示。 0rr 00

45、 vvpp 、 2020200200 2121 vpvvpvpC 220 21 vvpp 22202 21 rrpp 20220 rpvpp c 2 0 22 00 2 1 2 1 rpvpp 2 0 22 000 2 1 2 1 2 1 rvpppppp cc ）（ 圖 5-14 渦流中渦核內(nèi)、外的速度和壓強(qiáng)分布 第六節(jié) 平面勢流的疊加流動 從上節(jié)可以看到，只有對一些簡單的有勢流動， 才能求出它們流函數(shù)和勢函數(shù)，但當(dāng)流動較復(fù)雜時(shí)， 根據(jù)流動直接求解流函數(shù)和勢函數(shù)往往十分困難。 我們可以將一些簡單有勢流動進(jìn)行疊加，得到較復(fù) 雜的流動，這樣一來，為求解流動復(fù)雜的流場提供 了一個(gè)有力的工具。因此，

46、本節(jié)先介紹勢流的疊加 原理，然后再介紹幾種典型的有實(shí)際意義的疊加流 動。 一、勢流疊加原理 前面我們知道，速度勢函數(shù)和流函數(shù)都滿足拉普拉斯方 程。凡是滿足拉普拉斯方程的函數(shù)，在數(shù)學(xué)分析上都稱為調(diào) 和函數(shù)，所以速度勢函數(shù)和流函數(shù)都是調(diào)和函數(shù)。根據(jù)調(diào)和 函數(shù)的性質(zhì)，即若干個(gè)調(diào)和函數(shù)的線性組合仍然是調(diào)和函 數(shù)，可將若干個(gè)速度勢函數(shù) (或流函數(shù) )線性組合成一個(gè)代表 某一有勢流動的速度勢函數(shù) (或流函數(shù) )。現(xiàn)將若干個(gè)速度勢 函數(shù) 、 、 、 疊加，得 （ 4-41） 而 （ 4-42） 顯然，疊加后新的速度勢函數(shù)也滿足拉普拉斯方程。同樣， 疊加后新的流函數(shù)也滿足拉普拉斯方程，即 （ 4-43） 1

47、2 3 321 0)( 32221232122 03222122 這個(gè)疊加原理方法簡單，在實(shí)際應(yīng)用上有很大意義，可 以應(yīng)用這個(gè)原理把上一節(jié)所討論的幾個(gè)簡單的基本平面有勢 流動疊加成所需要的復(fù)雜有勢流動。 將新的速度勢函數(shù) 分別對 、 和 取偏導(dǎo)數(shù)，就等于 新的有勢流動的速度分別在 、 和 軸方向上的分量： （ 4-44） 或 （ 4-45） 即 （ 4-46） x y z zzzz yyyy xxxx 321 321 321 321 321 321 wwww vvvv uuuu X Y Z 321 VVVV 由此可見，疊加后所得的復(fù)雜有勢流動的 速度為疊加前原來的有勢流動速度的矢量 和。 由此

48、，可得出一個(gè)重要結(jié)論：疊加兩個(gè)或多個(gè)不 可壓平面勢流流動組成一個(gè)新的復(fù)合流動，只要把 各原始流動的勢函數(shù)或流函數(shù)簡單地代數(shù)相加，就 可得到該復(fù)合流動的勢函數(shù)或流函數(shù)。該結(jié)論稱為 勢流的疊加原理。 二、螺旋流 螺旋流是點(diǎn)渦和點(diǎn)匯的疊加。將式（ 4-36）和式 （ 4-32） 相加以及將式（ 4-37）和式（ 4-33）相加即得新的有勢流動 的速度勢和流函數(shù) （ 4-47） （ 4-48） 式中 取反時(shí)針方向?yàn)檎?。于是得等勢線方程 常數(shù) 或 （ 4-49） 流線方程為 常數(shù) 或 （ 4-50） 顯然，等勢線簇和流線簇是兩組互相正交的對數(shù)螺旋線簇 （圖 4-16） ，稱為螺旋流。流體從四周向中心流動

49、。 ）（ rq V ln21 ）（ Vqr ln21 rq V ln Vq Cr e1 Vqr ln q VCr e 2 圖 4-16 螺旋流的流譜 研究螺旋流在工程上有重要意義。例如旋流燃燒室、旋 風(fēng)除塵設(shè)備及多級離心泵反導(dǎo)葉中的旋轉(zhuǎn)氣流即可看成是這 種螺旋流。 螺旋流的速度分布為 （ 4-51） （ 4-52） （ 4-53） 代入伯努里方程（ 3-41），得流場的壓強(qiáng)分布 （ 4-54） r rv 2 1 r q rv V r 2 22 22 222 4 r qvvV V r 2 2 2 1 22 221 11 8 rr qpp V ）（ 三、偶極流 將流量各為 的點(diǎn)源和 的點(diǎn)匯相距 2

50、a距離放在 X軸 上，疊加后的流動圖形如 圖 4-17所示，它的速度勢和流函數(shù) 各為 （ 4-55） （ 4-56） 由流線方程（ 4-56） 常數(shù)，得 常數(shù)，所以流線是經(jīng) 過源點(diǎn) A和匯點(diǎn) B的圓簇，而且從源點(diǎn)流出的流量全部流入?yún)R 點(diǎn)。 222221 lnln2lnln2 yaxyax qrrq VV ）（）（）（ 22 22 ln4 yax yaxq V ）（ ）（ 22 21 VV qq ）（ Vq Vq 圖 4-17 點(diǎn)源和點(diǎn)匯的疊加 常數(shù) 現(xiàn)在分析一種在點(diǎn)源和點(diǎn)匯無限接近的同時(shí)，流量無限增 大（即 ），以至使 保持一個(gè)有限常數(shù)值 的 極限情況。在這種極限情況下的流動稱為偶極流， 稱為

51、偶 極矩或偶極強(qiáng)度。偶極流是有方向的，一般規(guī)定由點(diǎn)源指向 點(diǎn)匯的方向?yàn)檎?。?圖 4-18所示，偶極流指向 軸方向， 這時(shí)的偶極矩 取正值。 偶極流的速度勢可由式（ 4-55）根據(jù)上述極限條件求得， 將式（ 4-55）改寫成 Vqa ，02 Vaq2 M M M X 2 21 2 1 21 1ln2ln2lnln2 r rrq r rqrrq VVV ）（ 常數(shù) 常數(shù) 圖 4-18 偶極流的流譜 從 圖 4-19中可知，當(dāng) A點(diǎn)和 B點(diǎn)向原點(diǎn) O無限接近 時(shí)， ，而且當(dāng) ， 時(shí) ， ， ，又由于 當(dāng) 為無窮小時(shí)，可以略去高階項(xiàng)，得 。因 此，偶極流的速度勢 或 （ 4-57） 121 c o

52、 s2 arr 02 a Vq Maq V 2 rrr 21 021 4321ln 432 ）（ )1ln ( 2 1 022 1 02 co s2 2lim co s21ln 2lim r aq r aq V q a V q a VV 2 co s 22 co s r rM r M 222 22 yx xM r xM 圖 4-19 推導(dǎo)偶極流用圖 在圖 4-19中， BC為從 B點(diǎn)向 AP所作的垂線，則 又當(dāng) ， ， ，所以 ，代入式 （ 4-56） 得偶極流的流函數(shù) 或 （ 4-58） 令式（ 4-58）等于常數(shù) ，于是得流線方程 （ 4-59） 即流線簇是半徑為 、圓心為（ 0， ），且

53、與軸在原 點(diǎn)相切的圓簇，如圖 4-18中實(shí)線所示。 又令式（ 4-57）等于常數(shù)，得等勢線方程 （ 4-60） 即等勢線簇是半徑為 、圓心為（ ， 0）且與軸在原 點(diǎn)相切的圓簇，如圖 4-18中虛線所示。 12 s i n2s i nBC ar 02 a 0a sin s in2 ar 20202 s i n 2 s i n2 2lim2lim r rM r aqq V q a V q a VV 222 22 yx yM r yM 1C 2 1 2 1 2 44 C M C Myx 14C M 14 C M 2 2 2 2 2 44 C My C Mx 24C M 24 C M 四、繞圓柱體無

54、環(huán)量流動 將均勻直線流與偶極流疊加，可以得到繞圓柱體無環(huán)量 流動。設(shè)有一在無窮遠(yuǎn)處速度 為 、平行于 X軸、由左向右 流的均勻直線流，與在坐標(biāo)原點(diǎn) O上偶極矩為 M、方向與 X軸 相反的偶極流疊加，如 圖 4-20所示，組合流動的流函數(shù)為 （ 4-61） 流線方程 （ 4-62） 選取不同的常數(shù)值 ，可得到如圖 4-20所示的流動圖形。對 的所謂零流線的方程為 或 ， V 2222 1 212 yxV MyV yx yMyV Cyx yMyV 222 C 0 C 0121 22 yxV MyV 0y VMyx 222 圖 4-20 均勻流繞圓柱體無環(huán)量流動 由此可知，零流線是一個(gè)以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓

55、心、半徑 的 圓周與正負(fù) X軸 和 所構(gòu)成的圖形。該流線到 A點(diǎn)處分為 兩段，沿上、下兩個(gè)半圓周流到 B點(diǎn)，又重新匯合。這個(gè)平 面組合流動的流函數(shù)為 (4-63) 同樣，也可得到它的速度勢 (4-64) 以上兩式中， ，這是因?yàn)?的圓柱體內(nèi)的流動沒有實(shí) 際意義。 VMr 20 BB AA s i n11 2 2 0 22 2 0 r r rV yx ryV 22 2 0 22 12 yx rxV yx xMxV c o s1 2 2 0 r r rV r 0r 0rr 流場中任一點(diǎn)的速度分量為 (4-65) 在 ， 處， ， 。這表示，在離開圓柱體無窮 遠(yuǎn)處是速度為 的均勻直線流動。在 圖 4

56、-20中的 A點(diǎn)（ ， 0）和 B點(diǎn) ( ， 0)處， ， A點(diǎn)為前駐點(diǎn)， B點(diǎn)為后駐 點(diǎn)。 用極坐標(biāo)表示的速度分量為 （ 4-66） 2s i n )( 2 2c o s1 )( )( 1 2 2 0 222 2 0 2 2 0 222 222 0 r r V yx xy rV y v r r V yx yxr V x u x y Vu 0v V 0r 0r 0 vu s i n1 1 co s1 2 2 0 2 2 0 r r V r v r r V r v r 沿包圍圓柱體圓周的速度環(huán)量為 所以，均勻直線流繞圓柱體的平面流動是沒有速度環(huán)量的。 因此，一個(gè)速度為 的均勻直線流繞半徑為 的圓

57、柱體無 環(huán)量的平面流動，可以用由這個(gè)均勻直線流與偶極矩 的偶極流疊加而成的平面組合流動來代替。 當(dāng) ，在圓柱面上 （ 4-67） 這說明，流體在圓柱面上各點(diǎn)的速度都是沿切線方向的，也 就是說理想流體繞圓柱體無環(huán)量的平面流動不會與圓柱面發(fā) 生分離。 2 0 2 2 0 0ds i n1d r rrVsv V 0r 202 rVM 0rr s in2 0 Vv v r 由式（ 4-67）可知，在圓柱面上的速度是按照正弦曲線 規(guī)律分布的，如 圖 4-21所示。在 （圖 4-20中的 B點(diǎn)）和 （圖 4-20中的 A點(diǎn)）處， ；在 處，達(dá)到 最大值 ，與圓柱體的半徑無關(guān)，而等于無窮遠(yuǎn)處速 度的兩倍。

58、由伯努里方程（ 3-41）可求得不可壓縮理想流體的圓柱 面上壓強(qiáng)分布的公式，即 將式（ 4-67）代入上式，得 (4-68) 在工程上常用無量綱的壓強(qiáng)系數(shù)來表示流體的壓強(qiáng)分布，它 定義為 (4-69) 將式（ 4-68）代入上式，得 (4-70) 0 180 0 v 90 Vv 2m a x 22 2 1 2 1 Vpvp )s i n41(21 22 Vpp 2 2 1 2 1 V v V ppC p 222 s i n41)180(s i n41s i n41 pC 無窮遠(yuǎn)處流 體的壓強(qiáng) 圖 4-21 均直流繞圓柱體無環(huán)量 流動中圓柱面上的速度分布 根據(jù)式（ 4-70）計(jì)算出理論無量綱壓強(qiáng)

59、系數(shù)曲線如 圖 4-22 中實(shí)線所示。注意 :在計(jì)算時(shí)， 角是從前駐點(diǎn) A（ ）起 沿順時(shí)針方向增加。在前駐點(diǎn) A（ ）上，速度等于零， 壓強(qiáng)達(dá)到最大值， ；垂直于來流方向的最大截面 ( ) 上，速度增加到最大值，壓強(qiáng)降到最小值， ；在后駐 點(diǎn) B（ ）上，速度又降到零，壓強(qiáng)又回升到最大 值 , 。這種流動在圓柱面上的壓強(qiáng)分布上下、前后都是 對稱的，因此流體作用在圓柱面上的壓強(qiáng)合力等于零。由于 流體作用在圓柱面上的壓強(qiáng)合力可分為與來流方向垂直的升 力和與來流方向平行的阻力。因此，無黏性的理想流體繞圓 柱體無環(huán)量流動時(shí)，圓柱體上既不承受升力，也不承受阻 力。不承受升力與實(shí)際情況是相符合的，但是不

60、承受阻力則 與實(shí)際情況大不相符 ,這就是著名的達(dá)朗伯 （ J R dAlembert） 疑題 0 0 1pC 90 3pC 180 1pC 事實(shí)上，有黏性的實(shí)際流體繞圓柱體無環(huán)量流動時(shí)，在 圓柱面上流動方向的壓強(qiáng)分布是不對稱的。這是由于實(shí)際流 體存在著黏性，當(dāng)流體繞流圓柱體時(shí)，從前駐點(diǎn)開始在圓柱 面上逐漸形成一層邊界層（在第五章中講述）。流體在圓柱 體的前半部的流動是降壓增速，邊界層處于較穩(wěn)定狀態(tài)。到 圓柱體的后半部變?yōu)樯龎簻p速流動，容易發(fā)生邊界層分離， 在圓柱體后面形成尾渦區(qū)，壓強(qiáng)下降。破壞了圓柱體面上前 后壓強(qiáng)分布的對稱性，使圓柱體前后產(chǎn)生壓強(qiáng)差，形成壓差 阻力。 圖 4-22中所示的實(shí)驗(yàn)

61、所得的亞臨界雷諾數(shù)下（層流） 的壓強(qiáng)分布曲線（虛線）比超臨界雷諾數(shù)下（紊流）的壓強(qiáng) 分布曲線（點(diǎn)劃線）更遠(yuǎn)離理論曲線。根據(jù)實(shí)驗(yàn)所得，在亞 臨界雷諾數(shù)下層流邊界層的分離和超臨界雷諾數(shù)下紊流邊界 層的分離分別發(fā)生在大約 和 附近。 84 120 圖 4-22 壓強(qiáng)系數(shù)沿圓柱面的分布 理論線 超臨界 亞臨界 5107.6 Re 51086.1 Re 第五章 不可壓縮流體二維邊界層概述 第一節(jié) 邊界層的基本概念 第二節(jié) 邊界層的動量積分方程 第三節(jié) 曲面邊界層分離現(xiàn)象 卡門渦街 第四節(jié) 繞流阻力和阻力系數(shù) 在本世紀(jì)初之前，流體力學(xué)的研究分為兩個(gè) 分支：一是研究流體運(yùn)動時(shí)不考慮黏性，運(yùn)用數(shù) 學(xué)工具分析流

62、體的運(yùn)動規(guī)律。另一個(gè)是不用數(shù)學(xué) 理論而完全建立在實(shí)驗(yàn)基礎(chǔ)上對流體運(yùn)動進(jìn)行研 究，解決了技術(shù)發(fā)展中許多重要問題，但其結(jié)果 常受實(shí)驗(yàn)條件限制。這兩個(gè)分支的研究方法完全 不同，這種理論和實(shí)驗(yàn)分離的現(xiàn)象持續(xù)了 150多年， 直到本世紀(jì)初普朗特提出了邊界層理論為止。由 于邊界層理論具有廣泛的理論和實(shí)用意義，因此 得到了迅速發(fā)展，成為黏性流體動力學(xué)的一個(gè)重 要領(lǐng)域。本章介紹邊界層的基本概念及研究方法 第一節(jié) 邊界層的基本概念 一、邊界層的概念 1904年，在德國舉行的第三屆國際數(shù)學(xué)家學(xué)會上，德 國著名的力學(xué)家普朗特第一次提出了邊界層的概念。他認(rèn) 為對于水和空氣等黏度很小的流體，在大雷諾數(shù)下繞物體 流動時(shí)，

63、黏性對流動的影響僅限于緊貼物體壁面的薄層中， 而在這一薄層外黏性影響很小，完全可以忽略不計(jì)，這一 薄層稱為邊界層。普朗特的這一理論，在流體力學(xué)的發(fā)展 史上有劃時(shí)代的意義。 圖 5-1所示為大雷諾數(shù)下黏性流體繞流翼型的二維流動， 根據(jù)普朗特邊界層理論，把大雷諾數(shù)下均勻繞流物體表面 的流場劃分為三個(gè)區(qū)域，即邊界層、外部勢流和尾渦區(qū)。 圖 5-1 翼型上的邊界層 II尾部流區(qū)域 I邊界層 邊界層外邊界 邊界層外邊界 在邊界層和尾渦區(qū)內(nèi)，黏性力作用顯著，黏性力和慣性力 有相同的數(shù)量級，屬于黏性流體的有旋流動區(qū)；在邊界層和尾 渦區(qū)外，流體的運(yùn)動速度幾乎相同，速度梯度很小，邊界層外 部的流動不受固體壁面的

64、影響，即使黏度較大的流體，黏性力 也很小，主要是慣性力。所以可將這個(gè)區(qū)域看作是理想流體勢 流區(qū)，可以利用前面介紹的勢流理論和理想流體伯努里方程來 研究流場的速度分布。普朗特邊界層理論開辟了用理想流體理 論和黏性流體理論聯(lián)合研究的一條新途徑。實(shí)際上邊界層內(nèi)、 外區(qū)域并沒有明顯的分界面，一般將壁面流速為零與流速達(dá)到 來流速度的 99處之間的距離定義為邊界層厚度。邊界層厚度 沿著流體流動方向逐漸增厚，這是由于邊界層中流體質(zhì)點(diǎn)受到 摩擦阻力的作用，沿著流體流動方向速度逐漸減小，因此，只 有離壁面逐漸遠(yuǎn)些，也就是邊界層厚度逐漸大些才能達(dá)到來流 速度。 根據(jù)實(shí)驗(yàn)結(jié)果可知 ， 同管流一樣 ， 邊界層內(nèi)也存在

65、著層 流和紊流兩種流動狀態(tài) ， 若全部邊界層內(nèi)部都是層流 ， 稱為 層流邊界層 ， 若在邊界層起始部分內(nèi)是層流 ， 而在其余部分 內(nèi)是紊流 ， 稱為混合邊界層 ， 如圖 5-2所示 ， 在層流變?yōu)槲闪?之間有一過渡區(qū) 。 在紊流邊界層內(nèi)緊靠壁面處也有一層極薄 的層流底層 。 判別邊界層的層流和紊流的準(zhǔn)則數(shù)仍為雷諾數(shù) ， 但雷諾數(shù)中的特征尺寸用離前緣點(diǎn)的距離 x表示之 ， 特征速度 取邊界層外邊界上的速度 ， 即 V xVRe x (5-1) 圖 5-2 平板上的混合邊界層 層流邊界層 過渡區(qū)域 紊流邊界層 層流底層 對平板的邊界層 ， 層流轉(zhuǎn)變?yōu)槲闪鞯呐R界雷諾數(shù) 為 。 臨界雷諾數(shù)的大小與物體

66、壁面的粗糙度 、 層外流體的紊流度等因素有關(guān) 。 增加壁面粗糙度或?qū)油饬黧w 的紊流度都會降低臨界雷諾數(shù)的數(shù)值 ， 使層流邊界層提前轉(zhuǎn) 變?yōu)槲闪鬟吔鐚?。 二 、 邊界層的基本特征 (1) 與物體的特征長度相比 ， 邊界層的厚度很小 , . (2) 邊界層內(nèi)沿厚度方向，存在很大的速度梯度。 (3) 邊界層厚度沿流體流動方向是增加的，由于邊界 層內(nèi)流體質(zhì)點(diǎn)受到黏性力的作用，流動速度降低，所 以要達(dá)到外部勢流速度，邊界層厚度必然逐漸增加。 x 65 103105 xRe (4) 由于邊界層很薄，可以近似認(rèn)為邊界層中各截面上的 壓強(qiáng)等于同一截面上邊界層外邊界上的壓強(qiáng)值。 (5) 在邊界層內(nèi)，黏性力與慣性力同一數(shù)量級。 (6) 邊界層內(nèi)的流態(tài)，也有層流和紊流兩種流態(tài)。 第二節(jié) 邊界層的動量積分方程 邊界層內(nèi)的流體是黏性流體的運(yùn)動，理論上可以用 N-S方程 來研究其運(yùn)動規(guī)律。但由此得到的邊界層微分方程中，非 線性項(xiàng)仍存在，因此即使對于外形很簡單的繞流物體求解 也是很復(fù)雜的，目前只能對平板、楔形體繞流層流邊界層 進(jìn)行理論計(jì)算求得其解析解。但工程上遇到的很多問題， 如任意翼型的繞流問題和紊流邊界層，一