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1、1.4 生 活 中 的 優(yōu) 化 問 題 舉 例 新 課 引 入 : 導 數 在 實 際 生 活 中 有 著 廣 泛 的 應用 ,利 用 導 數 求 最 值 的 方 法 ,可 以 求 出實 際 生 活 中 的 某 些 最 值 問 題 .生 活 中 經 常 遇 到 求 利 潤 最 大 、 用 料 最 省 、 效 率最 高 等 問 題 ， 這 些 問 題 通 常 稱 為 優(yōu) 化 問 題 1.幾 何 方 面 的 應 用2.物 理 方 面 的 應 用 .3.經 濟 學 方 面 的 應 用 (面 積 和 體 積 等 的 最 值 )(利 潤 方 面 最 值 )(功 和 功 率 等 最 值 ) 例 1 在 邊
2、 長 為 60cm的 正 方 形 鐵 片 的 四角 上 切 去 相 等 的 正 方 形 ， 再 把 它 的 邊 沿 虛線 折 起 ， 做 成 一 個 無 蓋 的 方 底 箱 子 ， 箱 底的 邊 長 是 多 少 時 ， 箱 子 的 容 積 最 大 ？ 最 大容 積 是 多 少 ？ 分 析 根 據 所 給 幾 何 體 的 體 積 公 式 建模 解 析 設箱高為xcm，則箱底邊長為(602x)cm，則得箱子容積V是x的函數， V(x)(602x)2x(0 x30)4x3240 x23600 x. V(x)12x2480 x3600，令V(x)0，得x10，或x30(舍去)當0 x0，當10 x30
3、時，V(x)0. 當x10時，V(x)取極大值，這個極大值就是V(x)的最大值答：當箱子的高為10cm，底面邊長為40cm時，箱子的體積最大 點 評 在 解 決 實 際 應 用 問 題 中 ， 如 果 函數 在 區(qū) 間 內 只 有 一 個 極 值 點 ， 那 么 只 需 根據 實 際 意 義 判 定 是 最 大 值 還 是 最 小 值 不必 再 與 端 點 的 函 數 值 進 行 比 較 例 2 海 報 版 面 尺 寸 的 設 計 學 校 或 班 級 舉 行 活 動 ， 通 常 需 要 張 貼 海 報進 行 宣 傳 。 現 讓 你 設 計 一 張 如 圖 1.4-1所 示的 豎 向 張 貼 的
4、 海 報 ， 要 求 版 心 面 積為 , 上 、 下 兩 邊 各 空 2dm,左 、右 兩 邊 各 空 1dm。 如 何 設 計 海 報 的尺 寸 ， 才 能 使 四 周 空 心 面 積 最 小 ？ 解 ： 設 版 心 的 高 為 xdm， 則 版 心 的寬 為 ,此 時 四 周 空 白 面 積 為 。 128 512( ) ( 4)( 2) 128 2 8, 0S x x x xx x 求 導 數 ， 得 2512( ) 2S x x 令 2512( ) 2 0S x x 解 得 16( 16x x 舍 去 ） 。 1 2 8 dmx 21 2 8 d m 因 此 ， x=16是 函 數
5、S(x)的 極 小 值 ， 也 是 最小 值 點 。所 以 ， 當 版 心 高 為 16dm，寬 為 8dm時 ， 能 使 四 周 空 白 面 積 最 小 。答 ： 當 版 心 高 為 16dm， 寬 為 8dm時 ，海 報 四 周 空 白 面 積 最 小 。0.于 是 寬 為 128 128 816x 解 法 二 ： 由 解 法 (一 )得 8 16dm dm答 ： 應 使 用 版 心 寬 為 ， 長 為 ， 四 周 空 白 面 積 最 小512( ) 2 8S x x x 5122 2 8x x 64 8 72 512 ,x x當 且 僅 當 2 16( 0)x x S 即 時 取 最 小
6、 值816 128此 時 y= 已 知 圓 柱 的 表 面 積 為 定 值 S， 求 當 圓 柱 的容 積 V最 大 時 圓 柱 的 高 h的 值 解 析 設圓柱的底面半徑為r，高為h，則S圓柱底2r2，S圓柱側2rh， 問 題 2:飲 料 瓶 大 小 對 飲 料 公 司 利 潤 有 影 響 嗎 ? 你 是 否 注 意 過 ,市 場 上 等 量 的 小 包 裝 的 物 品 一般 比 大 包 裝 的 要 貴 些 ?你 想 從 數 學 上 知 道 它 的道 理 嗎 ? 是 不 是 飲 料 瓶 越 大 ,飲 料 公 司 的 利 潤 越 大 ? 例 3:某 制 造 商 制 造 并 出 售 球 形 瓶
7、裝 飲料 .瓶 子 制 造 成 本 是 0.8 r2分 .已 知每 出 售 1ml的 飲 料 ,可 獲 利 0.2分 ,且瓶 子 的 最 大 半 徑 為 6cm. ） 瓶 子 半 徑 多 大 時 ， 能 使 每 瓶 飲 料 的 利 潤 最 小 ？ ） 瓶 子 半 徑 多 大 時 ， 每 瓶 飲 料 的 利 潤最 大 ？ 解 ： 由 于 瓶 子 的 半 徑 為 ， 所 以 每 瓶 飲 料 的 利 潤 是3 24( ) 0.2 0.83y f x r r 3 20.8 ( ),3r r 0 6r 令 2( ) 0.8( 2 ) 0f x r r 當 2 ( ) 0r f r 時 , 當 半 徑 r
8、 時 ， f (r)0它 表 示 f(r) 單 調 遞 增 ， 即 半 徑 越 大 ， 利 潤 越 高 ；當 半 徑 r 時 ， f (r)0 它 表 示 f(r) 單 調 遞 減 ， 即 半 徑 越 大 ， 利 潤 越 低 0)(,)2,0( xfr 時當 0)(,)6,2( xfr 時當 1.半 徑 為 cm 時 ， 利 潤 最 小 ， 這 時 (2) 0f 表 示 此 種 瓶 內 飲 料 的 利 潤 還 不 夠 瓶 子 的 成 本 ，此 時 利 潤 是 負 值 半 徑 為 cm時 ， 利 潤 最 大 ryo )3(8.0)( 23 rrrf 2 31、 當 半 徑 為 2cm 時 ,利 潤 最 小 ,這 時 f(2)0)，y0.18kx3kx2，由y0，得x0.06或x0(舍去)當x (0,0.06)時，y0，當x (0.06，)時，y0得x140，令S0得20 x140. 函數在(140，)上單調遞增，在(20,140)上單調遞減， S(x)的最小值為S(140)
《生活中的優(yōu)化問題舉例》
