控制系統(tǒng)參數(shù)優(yōu)化及仿真

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1、 仿 真 是 將 已 知 系 統(tǒng) 在 計 算 機 上 進 行 復(fù) 現(xiàn) ，它 是 分 析 ， 設(shè) 計 系 統(tǒng) 的 一 種 重 要 實 驗 手 段 。 怎 樣才 能 使 設(shè) 計 出 來 的 系 統(tǒng) 在 滿 足 一 定 的 約 束 條 件 下 ，使 某 個 指 標 函 數(shù) 達 到 極 值 ， 這 就 需 要 優(yōu) 化 的 仿真 實 驗 。 所 以 仿 真 技 術(shù) 與 優(yōu) 化 技 術(shù) 兩 者 關(guān) 系 十 分密 切 。 優(yōu) 化 技 術(shù) 包 括 內(nèi) 容 很 多 ， 本 章 主 要 介 紹 與 系 統(tǒng) 最 優(yōu) 化 技 術(shù) 有關(guān) 的 參 數(shù) 優(yōu) 化 技 術(shù) 方 法 。 第 一 節(jié) 首 先 對 控 制 系 統(tǒng) 常

2、 用 的 優(yōu) 化 技 術(shù) 做 一 概 括 性 的 敘 述 。 第 二 節(jié) 介 紹 單 變 量 技 術(shù) 的 分 割 法 和 插 值 法 。 第 三 節(jié) 為 多 變 量 尋 優(yōu) 技 術(shù) ， 介 紹 工 程 中 常 用 的 最 速 下 降 法 ， 共軛 梯 法 和 單 純 形 法 。 第 四 節(jié) 為 隨 機 尋 優(yōu) 法 。 第 五 節(jié) 簡 單 介 紹 具 有 約 束 條 件 的 尋 優(yōu) 方 法 。 第 六 節(jié) 介 紹 含 函 數(shù) 尋 優(yōu) 的 基 本 方 法 。 最 后 向 讀 者 介 紹 了 Matlab優(yōu) 化 工 具 箱 的 使 用 方 法 。 優(yōu) 化 技 術(shù) 是 系 統(tǒng) 設(shè) 計 中 帶 有 普

3、遍 意 義 的 一 項 技 術(shù) ,本 節(jié) 首 先 討 論 優(yōu) 化 技 術(shù) 中 的 一 些 基 本 定 義 和 問 題 .一 、 優(yōu) 化 問 題 數(shù) 學(xué) 模 型 的 建 立 用 優(yōu) 化 方 法 解 決 實 際 問 題 一 般 分 三 步 進 行 ： (1) 提 出 優(yōu) 化 問 題 ， 建 立 問 題 的 數(shù) 學(xué) 模 型 。 (2)分 析 模 型 ， 選 擇 合 適 的 求 解 方 法 。 (3)用 計 算 機 求 解 ， 并 對 算 法 ， 誤 差 ， 結(jié) 果 進 行 評 價 。 顯 然 ， 提 出 問 題 ， 確 定 目 標 函 數(shù) 的 數(shù) 學(xué) 表 達 式 是優(yōu) 化 問 題 的 第 一 步 ，

4、 在 某 種 意 義 上 講 也 是 最 困 難 的 一步 。 以 下 分 別 說 明 變 量 ， 約 束 和 目 標 函 數(shù) 的 確 定 。 (1) 變 量 的 確 定變 量 一 般 指 優(yōu) 化 問 題 或 系 統(tǒng) 中 待 確 定 的 某 些 量 。 例 如， 在 電 機 的 優(yōu) 化 設(shè) 計 中 ， 變 量 可 能 為 電 流 密 度 J,磁 通密 度 B， 軸 的 長 度 ， 直 徑 以 及 其 他 幾 何 尺 寸 等 。 電 路的 優(yōu) 化 設(shè) 計 中 要 確 定 的 變 量 主 要 是 電 路 元 件 (R,L,C)的數(shù) 值 。 對 產(chǎn) 品 設(shè) 計 問 題 來 說 ， 一 般 變 量 數(shù)

5、 較 少 (例 如 ，幾 個 到 幾 十 個 )。 變 量 數(shù) 的 多 少 以 及 約 束 的 多 少 表 示 一個 優(yōu) 化 問 題 的 規(guī) 模 大 小 。 因 此 ， 工 程 上 最 優(yōu) 設(shè) 計 問 題屬 于 中 小 規(guī) 模 的 優(yōu) 化 問 題 ， 而 生 產(chǎn) 計 劃 ， 調(diào) 度 問 題 中變 量 數(shù) 可 達 幾 百 個 幾 千 個 ， 屬 于 大 規(guī) 模 優(yōu) 化 問 題 。 變量 用 X表 示 Tnxxxx 21 ni Exxg ;0)( mi ,2,1 nm rj ,2,1 0)( xh i 0或 ),()( 21 nxxxfxf )(xf n 費 用 和 效 果 都 是 廣 義 的 ，

6、 如 費 用 可 以 是 經(jīng) 費 ， 也可 以 是 時 間 、 人 力 、 功 率 、 能 量 、 材 料 、 占 地 面 積 或其 他 資 源 。 而 效 果 可 以 是 性 能 指 標 、 利 潤 、 效 益 、 精確 度 、 靈 敏 度 等 等 。 也 可 以 將 效 果 與 費 用 函 數(shù) 統(tǒng) 一 起來 ， 以 單 位 費 用 的 效 果 函 數(shù) 或 單 位 效 果 的 費 用 函 數(shù) 為目 標 函 數(shù) ， 前 者 是 求 極 大 值 ， 后 者 是 求 極 小 值 。n 求 極 大 值 和 極 小 值 問 題 實 際 上 沒 有 什 么 原 則 的 區(qū)別 。 因 為 求 的 極 小

7、值 相 當 于 求 - 的 極大 值 ， 即 。 n 兩 者 的 最 優(yōu) 值 均 當 時 得 到 。)(xf )(xf*xx )(max)(min xfxf )(min xf (6.1.1)nRx 約 束 條 件 0)( xg i mi ,2,1 、 優(yōu) 化 問 題 的 分 類n 優(yōu) 化 問 題 可 以 按 下 述 情 況 分 類 ：n (1)有 沒 有 約 束 ？ 有 約 束 的 話 是 等 式 約 束 還 是 不 等式 約 束 ？n (2)所 提 問 題 是 確 定 性 的 還 是 隨 機 性 的 ？n (3)目 標 函 數(shù) 和 約 束 式 是 線 性 的 還 是 非 線 性 的 ？n (

8、4)是 參 數(shù) 最 優(yōu) 還 是 函 數(shù) 最 優(yōu) ， 即 變 量 是 不 是 時 間的 函 數(shù) ？n (5)問 題 的 模 型 是 用 數(shù) 學(xué) 解 析 公 式 表 示 還 是 用 網(wǎng) 絡(luò)圖 表 示 ？ 在 網(wǎng) 絡(luò) 上 的 尋 優(yōu) 稱 為 網(wǎng) 絡(luò) 優(yōu) 化 。 n 限 于 本 書 的 內(nèi) 容 要 求 ， 在 此 只 介 紹 參 數(shù) 優(yōu) 化 和 函 數(shù)優(yōu) 化 。 y E dteft0 2 圖 6.1.1 控 制 器 參 數(shù) 的 調(diào) 整 n 假 定 控 制 器 有 個 可 調(diào) 整 參 數(shù) 顯 然 上 述指 標 是 這 些 參 數(shù) 的 函 數(shù) ， 即n (6.1.2)n 現(xiàn) 在 的 問 題 就 是 要 尋

9、 求 使 達 到 極 小 值 的 ， 其中 是 一 個 向 量 。n 從 數(shù) 學(xué) 上 講 ， 參 數(shù) 優(yōu) 化 問 題 是 屬 于 普 通 極 值 問 題 。尋 找 的 最 優(yōu) 參 數(shù) 不 隨 時 間 變 化 ， 故 也 屬 于 靜 態(tài) 尋 優(yōu)問 題 。 其 一 般 問 題 形 式 是 ：n 有 一 個 物 理 系 統(tǒng) ， 它 的 數(shù) 學(xué) 模 型 為 ，其 中 為 維 狀 態(tài) 向 量 ； 為 維 被 尋 優(yōu) 參 數(shù) 的 向量 ； 為 維 系 統(tǒng) 運 動 方 程 結(jié) 構(gòu) 向 量 。 要 求 在 滿 足下 列 條 件 下 ： N , 321 20( ) ftQ e d t )(Q * 21 nT )

10、,( txfx x n m f n 不 等 式 限 制 q維n 等 式 限 制 p維n 等 式 終 端 限 制 維 (是 終 端 時 間 )n 找 到 一 組 參 數(shù) ，n 使 指 標 函 數(shù) (2) 函 數(shù) 優(yōu) 化n 函 數(shù) 優(yōu) 化 是 控 制 對 象 已 知 ， 要 找 最 優(yōu) 控 制 作用 ， 以 使 某 個 函 數(shù) 指 標 達 到 最 小 ， 也 包 括 要 尋找 最 優(yōu) 控 制 器 的 結(jié) 構(gòu) 、 形 式 和 參 數(shù) 。0)( H 0)( G 0),( ftS * min)()( * QQ)( * tu n 由 于 最 優(yōu) 控 制 作 用 為 時 間 函 數(shù) ， 所 以 這 類 問

11、題稱 為 函 數(shù) 優(yōu) 化 問 題 ， 在 數(shù) 學(xué) 上 稱 為 泛 函 極 值 問 題 ，這 類 問 題 的 一 般 形 式 是 ：有 一 個 物 理 系 統(tǒng) ， 它 的 數(shù) 學(xué) 模 型 為 ，其 中 為 維 狀 態(tài) 向 量 ； 為 維 被 尋 優(yōu) 參 數(shù) 的 向量 ； 為 維 系 統(tǒng) 運 動 方 程 結(jié) 構(gòu) 向 量 。 要 求 在 滿 足條 件 下 ：n 不 等 式 限 制 q維n 等 式 限 制 p維 n 等 式 終 端 限 制 維找 到 m維 函 數(shù) 使 指 標 函 數(shù))(* tu ),( txfx x n mf n 0)( H 0)( G 0),( ftS l),(),( * xtxt

12、min)()( * QQ n 數(shù) 學(xué) 中 的 變 分 法 ， 拉 格 朗 日 乘 子 法 和 最 大 值 原 理 ，動 態(tài) 規(guī) 劃 等 都 是 解 析 法 ， 所 以 也 都 是 間 接 尋 優(yōu) 法 。由 于 在 大 部 分 控 制 系 統(tǒng) 中 目 標 函 數(shù) J一 般 很 難 寫 出解 析 式 ， 而 只 能 在 計 算 動 態(tài) 相 應(yīng) 過 程 中 計 算 出 來 ，所 以 仿 真 中 一 般 較 少 采 用 間 接 尋 優(yōu) 方 法 。 (2) 直 接 尋 優(yōu) 法n 直 接 尋 優(yōu) 法 就 是 直 接 在 變 量 空 間 搜 索 一 組 最 佳控 制 變 量 (又 稱 決 策 變 量 ， 設(shè)

13、 計 變 量 )。 這 是 一 種 數(shù)值 方 法 ， 具 體 辦 法 是 ， 利 用 目 標 函 數(shù) 在 一 局 部 區(qū) 域初 始 狀 態(tài) 的 性 質(zhì) 和 已 知 數(shù) 值 ， 來 確 定 下 一 步 計 算 的點 ， 這 樣 一 步 步 搜 索 逼 近 ， 最 后 接 近 最 優(yōu) 點 。 618.0)(xQ , 00 ba x 00 , ba )( 00 ab 21 , xx)()( 21 xQxQ 1101 , xbaa , 11 ba11 ,ba )( 21 ab 1 , 00 ba100 ab , nn ba nnn ab 選 多 大 適 合 呢 ？ 如 果 要 求 應(yīng) 該 是 的 對

14、稱 點 ，即 ， 如 圖 6.2.1(b)所 示 ， 則 也 可 以 寫 成下 面 關(guān) 系 式 ： 2x 1x0210 bxxa )( )( 0002 0001 abbx abax 圖 6.2.1 黃 金 分 割圖 1x , 00 ba 2x , 11 ba 01 0201 ax axL ax Laxax 20102 )( LaLb 200 LLL 2 012 2 51 圖 6.2.2表 示 了 黃金 分 割 法程 序 框 圖 。 3610)( 2 xxxQ00001.0 10A 10B00001.0E n p1: x1=x2; q1=q2; x2=x3; q2=q3;n x3=x2+h; q

15、3=x3*x3 -10 x3+36;n if(q2q3)n h=h+h; n=n+1; go to p1;n elsen if(n0)n x4=0.5*(x2+x3); q4=x4*x4 10*x4+36;n if(q4q2) x3=x4; q3=q4;n elsex1=x2; q1=q2; x2=x4; q2=q4; n n c1=(q3-q1)/(x3-x1)n c2=(q2-q1)/(x2-x1)-c1)/(x2-x3); if(fabs(c2)e1)n x1=x2; q1=q2;n h0=m*h0; go to p2;n elsex4=0.5*(x1+x3-c1/c2);n q4=x4

16、*x4 10*x4+36;n if(q2e1) n if(q4q2) x1=x2; q1=q2;n elsex1=x4; q1=q4;n h0=m*h0; go to p2; )(xQ )(, 321321 xxxxxx 321 , QQQ 2210)( xaxaaxP 2323103 2222102 2121101 )( )( )( xaxaaxP xaxaaxP xaxaaxP (6.2.5) 02)( 21 xaaxP 21min 2aax )(1 )(1 )(1 )(1 )(1 )(15.0 33 22 11 233 222 211min xPx xPx xPx xxP xxP xxP

17、x n 如 果 設(shè) 三 個 點 等 距 離 ， 即n 則 式 (6.2.8)又 可 寫 為 n n (6.2.9)n 設(shè) 為 坐 標 原 點 ， 則n n (6.2.10)hxxxx 1223 )2(2 )( 321 212min QQQ QQhxx 1x )2(2 )( 321 21min QQQ QQhhx 1x h hxx 12)( 1xQ )( 2xQ)()( 21 xQxQ hxx 223 hxx 434 hxx kkk 21 2 )( kxQ 圖 6.2.3 外 推 法 圖 示 )()( 21 xQxQ hxx 13 hxx 234 hxx kkk 31 2 kk xx 2 kk

18、xxx 2 )(2 211 kkkk xxxx 1kx kx 2/)( 11 kkk xxx 112 , kkkk xxxxd )()( 21 xQxQ hd k 32 )()( 21 xQxQ hd k 42 bx dxxdxx bcba ,cba xxx ,*x ax cx 2Q 4Q0mhh 3610)( 2 xxxQ n p1: x1=x2; q1+q2; x2=x3; q2=q3;n x3=x2+h; q3=x3*x3-10*x3+36;n if(q2q3)n h=h+h; n=n+1; go to p1;n elsen if(n0)n x4=0.5*(x2+x3); q4=x4*x

19、4-10*x4+36;n if(q4q2) x3=x4; q3=q4;n elsex1=x2; q1=q2; x2=x4;q2=q4; n n c1=(q3-q1)/(x3-x1);n c2=(q2-q1)/(x2-x1)-c1)/(x2-x3 if(fabs(c2)e1)n x1=x2; q1=q2;n h0=m*h0; go to p2;n elsex4=0.5*(x1+x3-c1/c2);n q4=x4*x4-10*x4+36;n if(q2=e1)n if(q4q2) x1=x2; q1=q2;n elsex1=x4;q1=q4;n h0=m*h0; go to p2;n printf

20、(“ OPTIM X=%fn” , x4);n printf(“ OBJ.FUNC=%f ” ,q4);n n n 圖 6.2.4 外 推 二 次 插 值 法 的 程 序 框 圖 當 x0=0.5, h0=1, 0, e1=0.001, e2=1, m=0.1 時 ，計 算 結(jié) 果 ： optim x=5.0, obj.fucn=11.0 3.1 最 速 下 降 法 )(xQ *x x n0 x 0P1x)(xQ 0P1x 1P )(xQ1P 2x )(xQ )(xQx x n xk kxkxkk xxdx 11kx kx dxdxdxds Tni )()( 2/11 2 kx )(xQdxx

21、QdxxxQxQdxxQdQ kTni ii kkk )()()()( 1 )(xQ 0)()()( 212 dxdxdsdxdxdsN Tni iidx dxxQdQ kT )( )()( 2 dxdxdsdxxQQd TkT dx 02)( dxxQ k dx )(21 kxQdx )()(2 1 kkT xQxQds 21)()( kkTk xQxQdsh kh21 )( k k xQhdx 1k x)(1 kkkk xQhxx dsxQxQxQdx kkTk 21)()()( dsxQxQxQxQdQ kkTkkT 21)()()()( 21)()( kkT xQxQdsdQ ds d

22、x 2dQ dx ),2,1,0(0 kh k kh)(xQ kh)(xQ kh )( kxQ )(min)( kkhkkk xQhxQxQhxQ h kkkk kkhkkkk kkk kk Ehxx hExQEhxQxQ GGE xQG 1 1 )(min)()( )( GGkE G 1 21 )()( kk xQxQ1 2 G kEkh Q xkh n 軛 梯 度 法 是 解 優(yōu) 化 問 題 的 有 效 方 法 之 一 ， 特 別 是 用于 二 次 泛 函 指 標 系 統(tǒng) 。 共 軛 梯 度 法 程 序 清 單 容 易 實現(xiàn) ， 具 有 梯 度 法 優(yōu) 點 ， 而 在 收 斂 速 度 方

23、面 比 梯 度 法快 。 下 面 分 三 部 分 較 詳 細 地 介 紹 這 種 方 法 ， 并 給 出一 個 實 用 程 序 。n 一 、 共 軛 梯 度 法n 設(shè) 為 定 義 在 維 歐 氏 空 間 內(nèi) 區(qū) 域 中 的 元 函數(shù) 。 向 量 的 分 量 是 函 數(shù) 的 自 變 量 。 設(shè)n 為 域 內(nèi) 的 一 個 點 ， 則 函 數(shù) 可 在 這 個 點 的 附近 以 泰 勒 級 數(shù) 展 開 ， 且 只 取 其 二 階 導(dǎo) 數(shù) 項 ， 即 ：( )Q x n R nx 1 2, ,., nx x x0 x R ( )Q x xAxxxQxQ xxxx xQxxxQxQxQ TT jixxnj

24、i jiixxni i 21)()( )(21)()()( 0 1, 01 00 00)( 0 xQ A nxxQxxQxQ )(. )()( 01 00 .)(.)( . )(.)( 2 02102 1 0221 02 nn nx xQxx xQ xx xQx xQA A ( )Q x 0 x n Rx 0*)()( * TxxQxQ nx ( )Q x xAxxQxQ T 21)()( *x x ( ) ( ) 0Q x Q x 0 xAxTx A xA 1x 0y Tx y Tx Iy Ix y( , ) 0 x y A 0Tx Ay xAy x yA ( , ) 0 x Ay ( )Q

25、 x xxAxxxQxQxQ TT 21)()()( *A ( )Q x *x *x 0)( * TxQ xAxxQxQ T 21)()( *( )Q x 1( ) 2T TQ x K C x x Ax 0 x ( )Q xx 0 x x 0 x xy CAx AxC 1* * 0 0 x 00)( AxCxQ y )( 0 xQ0)( 0 xQyT CAxxx 10*0 )()( 00*0 xQCAxxxA y )( *0 xxA 0)( *0 xxAyTy *0 xx A n )(xQ AxxxCKxQ TT 21)( A nnxxQ )( TT AxCxQ )()( 0101 )()(

26、PAxCPxQ TT 圖 6.3.4 二 次 函 數(shù) 中 的 共 軛 方 向 圖 6.3.5 兩 個 變 量 的 等 高 線 圖 0 x 0p ( )Q x1x 1x 0101 )()( PAxCPxQ TT 0 x 0P2x 0)()2( 020 PAxCPxQ TT 0)( 021 APxx T211 xxP 001 APP T1P 0P A 1P 1x 2x AxxxCxxxxxxxQ TT 216041060)( 21222121 12 2 1 0P Tx 000 010 APP T 0P TTeeE 01 0,20,10 0P 1xTx 000 00,200,21,2 00,100,

27、11,1 ehxx hehxx 0h 0102)( 00 hdhxdQ 0,5 1,21,1 xx 2001060)( hhxQ 5 0 h n 第 二 次 搜 索 的 方 向 應(yīng) 為 的 共 軛 方 向 ， 即 (6.3.35)n 得 n 又 有 單 位 向 量 n (6.3.36)n 解 聯(lián) 立 方 程 (6.3.35)式 及 (6.3.36)式 ， 得0P 1,2 1,110 21 1201 eeAPPT 02 1,21,1 ee 02 1,21,1 ee51 1,1 e 521,2 e n 因 此 ：n (6.3.37)n 為 求 最 優(yōu) 步 長 ， 將 式 (6.3.37)式 代 入

28、 目 標 函 數(shù) 得 n n (6.3.38)n 將 (6.3.38)式 對 求 導(dǎo) ， 并 令 其 等 于 零 ， 得 n n (6.3.39)11,211,22,2 11,111,12,1 520 5 15 hehxx hehxx 1h 211 5351835)( hhxQ 1h 051856)( 11 hdhxdQ 531 h 652,855 12,212,1 hxhx0p 1p 1,2x 2,2xnnA AAA A AxxxCKxQ TT 21)( x 0 x iPPP , 10 iiii AxCxQG )( iiii Phxx 1ih )(min)()( 1 iihiiii hPxQ

29、PhxQxQ 11 ii AxCG1ix iiiiii APhxxAGG )( 11 01 iTi APP 0)( 11 iiTi GGP 0 x 0P0G )( 000 AxCGP 0P 0h)(min)()( 000001 hPxQPhxQxQ h 1x )( 11 xQG 1G 1x01010 GGGP TT0P 1x 1G 0P0G 0011 PGP 0G 1G 1P1P 0 1P 0P0)( 011 GGPT 00 0)( 0)( 00011 00011 0000110011 11001 GGGG GPGG GPGGGPGG GGPG TT TT TTTT T 0 00 11 GG

30、GG TT 000 1111 PGG GGGP TT1G 0G 1P 1P1h ,2x,2,1,0, 11 iPGP iiii ,2,1,0,11 iGG GG iTi iTii1iP 按 照 (6.3.55)式 及 (6.3.56)式 確 定 搜 索 方向 的 算 法 成 為共 軛 梯 度 法 。其 程 序 框 圖 如圖 6.3.6所 示 。 圖 6.3.6 共 軛梯 度 法 的 程 序 框圖 21222121 41060)( xxxxxxxQ Tx 000 42 102)( 12 2121 xx xxggxQG TTPhxxh xQGP 052631578.357894631.776315

31、7894.0 410)(00010 000 305401.01114265927.35)( )(21 20,21 21,00 110 i ii iTT ggGG GG TPGP 747922437.684349308.00011 1h 1h )(min)( 10111 hPxQPhxQ h TPhxxh 999999.5999999.7436781609.0 11121 ( )Q x ( )Q x ( )Q x ( )Q x( )Q x( )Q x 1x 2x1Q( )Q x ( )Q x2Q ( )Q x nx n1n 0 1, ,., nx x x1n 1 0 x x 2 0 x x 0n

32、x x2n 3n 0 x nxxx , 21 nihexx ii ,2,10 ie i 00100 iei 圖 6.3.7 單 純 形 法 尋 優(yōu) 過 程 圖 6.3.8 反 射 點 的 確 定 1x 2x cx )(5.0 )(5.0 22212 12111 xxx xxx cc 3x 20223 10113 22 xxx xxx cc nxxx , 10 1nHx Hx RxHcR xxx 2 Hni ic xxnx 01 Hx ( )QxLx GQ( )QxGx HQRx RQ GQ 1)1( RHE xxx RxRx RQ GQHx RxRHS xxx )1( Sx Cx Sx Cx

33、0.5 Sx Cx SQ GQ nixxx iLi ,2,12 ( )/H L LQ Q Q LxLQ Lx Hx Gx1k 圖 6.3.9 單 純 形 法程 序 框 圖 ),2,1( nixi i iiiii x ),(),( 2121 nnxxxx )(xQ x)(xQ )()3()2()1( , Txxxx )1(x x )2(x )()( )1(xQxQ x )3(xx )()( )2(xQxQ )()()( )()2()1( TxQxQxQ iQ *x Tx TT x )()3()2()1( , Txxxx )()()( )()2()1( TxQxQxQ i niW xWTi tTt

34、 titi ,2,11 )(1 )()( )( )( )( )()( tTt xQ xQW t T Tt tTt ititi WxWC 1 )(1 2)( )( ii*ix i i i*x T TTTX T x 1x（ ） 1x（ ） x KK n 1x（ ）( 1)tx ( )tx*x ( )ti ix i i *x( ) i i i i ， *xT X( )i i i i ， 圖6.4.1 隨 即 序貫 尋 優(yōu)程 序 框圖 XX 0 x 0Ax 0 x0A0A 0A 圖6.4.2 隨 即 搜索 尋 優(yōu)法 程 序框 圖 2R C Hx x x 0 x 0 x 0An 1x 1 0 x x0

35、x 012 xxx ( )Q x 1( )Q x x 1x 1( ) ( )Q x Q x1x 0A n 6 5 尋 優(yōu) 過 程 對 限 制 條 件 的 處 理n 以 上 討 論 各 種 尋 優(yōu) 方 法 都 是 在 沒 有 限 制 條 件 下 進 行的 。 實 際 上 ， 在 系 統(tǒng) 的 參 數(shù) 優(yōu) 化 過 程 中 ， 往 往 存 在 著一 些 附 加 的 要 求 ， 希 望 系 統(tǒng) 參 數(shù) 在 滿 足 主 要 目 標 函 數(shù)為 最 小 的 條 件 下 ， 也 要 滿 足 某 些 附 加 的 要 求 ， 即 給 出限 制 條 件 ， 下 面 簡 單 討 論 在 尋 優(yōu) 過 程 中 限 制 條

36、件 的 處理 。n 一 、 代 價 函 數(shù) 法n 這 種 尋 優(yōu) 過 程 中 處 理 限 制 條 件 的 方 法 ， 是 對 各 種 限 制條 件 加 權(quán) 和 的 一 種 方 法 ， 所 以 又 稱 為 罰 函 數(shù) 法 。 假 設(shè)要 求 的 目 標 函 數(shù) 為 ， 限 制 條 件 ， ， 2， 處 理 的 方 法 是 ： 將 各 限 制 條 件 加 權(quán) 求 和 以 后 ， 和原 來 的 目 標 函 數(shù) 相 加 ， 從 而 產(chǎn) 生 一 個 新 的 目 標 函數(shù) ， 即 n (6.5.1)( ) 0kg x 1k p ( )Q x ( )Q x( )R x pk kk xgCxQxR 1 2 )(

37、)()( kC kC( )R x( )R x 1nx nxkC ( )R x( )R x nx 1nx 1nx *x n 在 尋 優(yōu) 過 程 中 ， 要 求 限 制 條 件 ， 由 于 取 大n 于 零 的 正 數(shù) ， 而 的 第 二 項 只 可 能 大 于 或n 等 于 零 ， 因 此 當 加 大 以 后 ， 若 尋 優(yōu) 結(jié) 果 和 仍n 十 分 接 近 ， 這 時 必 定 成 立 ， 或 者 說 相 當n 接 近 零 ， 也 就 是 說 符 合 限 制 條 件 。 此 時 ，n 因 此 使 的 也 必 定 使 。( ) 0kg x kC( )R x 21 ( )p k kk C g xkC

38、 1nx nx( ) 0kg x ( )kg x( ) ( )R x Q x( ) minR x 1nx ( ) minQ x ( )Q xpkxgk ,2,10)( qixhi ,2,10)( ljtxS fj ,2,10),( )(),( xhxg ik qidtuxhtxS pkdtxgtxS fft iifhi t kfgk ,2,1)(),( ,2,1)(),( 00 01 00 iii hhu lj fjqi fhipk fgkf txStxStxStxS 111 ),(),(),(),(),( fgk txS ),( fhi txS ),( fj txS ),( ftxS ( )

39、Q x( )fS x t， ( )Q x( ) 0fS x t ， 0 x( )Q x ( )fS x t，( )fS x t， ( ) fS x t ， *( )u t),( tuxfx fttf dttuxLtxKuJ 0 ),()()( ),(),(),( tuxftuxLtuxH T xH )(tu )()( tutu )(uJ )( uuJ fttfff dttuxLtuuxxLtxKtxtxK uJuuJJ 0 ),(),()()()( )()( dttxtuxHtuuxxH txKtxtxKJ Ttt ffff )(),(),( )()()(0 )()( ff txtxK ),(

40、 tuuxxH dttxtuuHxxHtxtxKJ ftt TTTfTf 0 )()()()( n 將 (6.6.4)代 入 上 式 得n n 對 上 式 進 行 部 分 積 分 得n (6.6.5)n 根 據(jù) 終 端 條 件 ，n (6.6.6) n (6.6.5)式 變 為n (6.6.7)dtuuHtxtxtxtxKJ ftt TTTfTf 0 )()()()( ff tt TttTfTf udtuHtxttxtxKJ 00)()()()( )()( ff txKt 0)( 0 tx ftt T udtuHJ 0 u )()( uJuuJ 0 auHau0Ju 1i uHauu ii 1

41、a iu 1iu 圖 6.6.1 梯 度 尋 優(yōu) 控 制 程 序 框 圖 n 下 面 給 處 理 用 梯 度 法 計 算 最 優(yōu) 函 數(shù) 的 一 個 例 子 。n 例 6.6.1 系 統(tǒng) 狀 態(tài) n 目 標 函 數(shù)n 求 最 優(yōu) 輸 入 。n 解 ： 問 題 的 哈 密 頓 函 數(shù) 為n n 協(xié) 態(tài) 方 程 為 0.10)0(,2 xuxdtdx 01 22 )(21)( dtuxuJ )(tu )()(21),( 222 uxuxtuxH 0)1(,2 xxxHdtd uuH iiiii auauHauu )1(1 0)(0 tu 0i)(0 tuiu 0 ftt )(txi)( iuJft

42、 0t )(tiii uHg 0 ig n (7) 計 算 共 軛 系 數(shù) n n (8) 尋 優(yōu) 方 向 為n n (9) 一 維 尋 優(yōu) ， 求 最 佳 步 長 ,使 n (10) 計 算 控 制 函 數(shù) ,置 , 轉(zhuǎn) 回 (2)。 0)( )( 011 iTi iTii gg gg 11 iiii SgS 0ia )(min)( iiiiii SauJSauJ iiii Satutu )()(1 1ii Matlab的 優(yōu) 化 工 具 箱 （ Optimization Toolbox） 的 主 要 功 能 有 ：n 求 解 線 性 規(guī) 劃 和 二 次 規(guī) 劃 ；n 求 函 數(shù) 的 最 大

43、 值 和 最 小 值 ；n 非 線 性 函 數(shù) 的 最 小 二 乘 ；n 多 目 標 優(yōu) 化 ；n 約 束 條 件 下 的 優(yōu) 化 ；n 求 解 非 線 性 方 程 。 功 能 數(shù) 學(xué) 含 義 語 法求 解 線 性 規(guī) 劃 X=lp(f,A,b)求 解 二 次 規(guī) 劃 X=qp(H,c,A,b)求 非 負 最 小 二 乘 解 X=nnls(A,b)求 解 無 約 束 一 元 函 數(shù)極 小 問 題 X=fmin( f ,x)xf TbAx min xcHxx TTbAx 21min 20min bAxx )(min xf x 求 解 無 約 束 非 線 性 規(guī)劃 X=fminu( f ,X)求

44、解 約 束 非 線 性 規(guī) 劃 X=constr( fg ,x)求 解 目 標 規(guī) 劃 X=attgoal( f ,x,goal,W)求 解 最 小 最 大 問 題 X=minimax( fg ,x)求 非 線 性 最 小 二 乘 解 X=leastsq( f ,x)求 非 線 性 方 程 X=fsolvex( f ,x)求 解 半 無 窮 條 件 下 的非 線 性 規(guī) 劃 X=seminf( ft ,n, x)wwxts xfx ,0),(. )(min 0)( xF )(*)(min xFxFx )(maxmin 0)( xFxG goalWxFx )(,min )(min 0)( xfx

45、G )(min XfX n 利 用 優(yōu) 化 工 具 箱 進 行 極 值 運 算 時 ， 可 以 自 由 選 擇 算法 和 搜 索 策 略 。 非 限 定 最 小 問 題 的 原 理 算 法 是Nelder-Mead單 純 形 搜 索 方 法 和 BFGS擬 牛 頓(quasi-Newton)方 法 ； 限 定 條 件 下 的 最 小 、 最 小最 大 、 目 標 法 和 半 無 窮 優(yōu) 化 等 問 題 ， 所 用 的 原 理 算法 是 二 次 規(guī) 劃 法 ； 非 線 性 二 次 平 方 問 題 的 原 理 算 法是 Gauss-Newton法 和 Levenberg-Marquardt法 ；

46、非 線 性 最 小 和 非 線 性 二 次 平 方 問 題 可 以 進 行 線性 搜 索 策 略 的 選 擇 ， 線 性 搜 索 策 略 使 用 的 是 三 次 或四 次 內(nèi) 插 和 外 插 方 法 。 bAx x 0)( xf 0)( xF x，功 能 數(shù) 學(xué) 含 義 語 法線 性 方 程 ， 是 一 個 向 量單 變 量 非 線 性方 程 x = fzero(myfun,x0)非 線 性 方 程 ， 是 一個 向 量 x = fsolve(myfun,x0) Matlab優(yōu) 化 工 具 箱 還 能 進 行 最 小 二 乘 曲 線 擬 合 的 求解 ， 其 功 能 和 語 法 如 表 6.7

47、.3所 示 。2min dCxx 2 221min dCxx 0 x 2221min dCxx ubxlb begxAeq bAxts . ，條 件 是功 能 數(shù) 學(xué) 含 義 語 法線 性 最小 二 乘非 負 線性 最 小二 乘 x = lsqnonneg(C,d,x0)帶 約 束的 線 性最 小 二乘 x =lsqlin(C,d,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0) i ix xfxF )(21)(21min 222 i iix ydataxdataxF ydataxdataxF 222 ),(21 ),(21min 非 線 性 最小 二 乘 x = lsqnonlin(fun,x0,

48、lb,ub)非 線 性 曲線 擬 合 x = lsqcurvefit(fun,x0, xdata,ydata,lb,ub) .7.2 Matlab優(yōu) 化 工 具 箱 使 用 例 子在 Matlab窗 口 運 行 optdemo的 一 個 M文 件 可 進 行優(yōu) 化 工 具 箱 的 演 示 。 在 這 一 小 節(jié) 我 們 給 出 幾 個 典 型算 例 來 說 明 如 何 使 用 Matlab優(yōu) 化 工 具 箱 求 解 優(yōu) 化 問題 。例 6.7.1 例 如 我 們 希 望 求 解 非 線 性 方 程 ： 2121 21 22 xxexx exx )(xF x初 始 值 為 x0 = -5 -5。

49、 首 先 寫 一 個 m函 數(shù) ， 用 來計 算 方 程 ， 變 量 是 n Iteration Func-count f(x) step optimality radiusn 0 3 23535.6 2.29e+004 1n 1 6 6001.72 1 5.75e+003 1n 2 9 1573.51 1 1.47e+003 1n 3 12 427.226 1 388 1n 4 15 119.763 1 107 1n 5 18 33.5206 1 30.8 1n 6 21 8.35208 1 9.05 1n 7 24 1.21394 1 2.26 1n 8 27 0.016329 0.759

50、511 0.206 2.5 n 9 30 3.51575e-006 0.111927 0.00294 2.5n 10 33 1.64763e-013 0.00169132 6.36e-007 2.5 n Optimization terminated successfully:n First-order optimality is less than options.TolFunn x = 0.5671n 0.5671n fval = 1.0e-006 *n -0.4059n -0.4059 bAxts xf T.min 0, 4 1232 642. 532min 4321 431 4321

51、4321 4321 xxxx xxx xxxx xxxxts xxxx n 解 ： 首 先 給 矩 陣 賦 值f=-2 -1.3 -5；n A=1 2 4 -1; 2 3 -1 1; 1 0 1 1; -1 0 0 0; 0 -1 0 0; 0 0 -1 0; 0 0 0 -1；n b=6 12 4 0 0 0 0；n 在 命 令 窗 口 調(diào) 用 優(yōu) 化 程 序X=lp(f,A,b)n 回 車 后 ， 屏 幕 輸 出 最 優(yōu) 解n X =0 2.6667 0 4.0000 n ans = -22.6667n 有 關(guān) 命 令 lp( )的 使 用 可 以 在 Matlab命 令 窗 口 鍵 入h

52、elp lp得 到 更 多 的 幫 助 。 例 6.7.3： 利 用 Matlab命 令 求 解 下 面 的 無 約 束 非 線 性 規(guī)劃 問 題 。 )12424()(min 221222112 xxxxxexf xRx解 ： 首 先 用 文 件 編 譯 器 編 寫 M文 件 ,并 命 名 為 fun.m function f=fun(x) f=exp(x(1)*(4*x(1)2+2*x(2)2+4*x(1)*x(2)+2*x(2)+1);其 次 在 命 令 窗 口 鍵 入 ： x0=-1 1; options=; x,options=fminu(fun,x0,options)回 車 后 ，

53、 屏 幕 即 顯 示 ：x = 0.5000 -1.0000options =0 0.0001 0.0001 0.0000 0 0 0 0.0000 0 36.0000 0 0 0 200.0000 0 0.0000 0.1000 1.0000 例 6.7.4利 用 Matlab命 令 求 解 下 面 的 約 束 非 線 性 規(guī) 劃 問 題 010 05.1. )12424()(min 21 2121 22122211 xx xxxxts xxxxxexf x其 次 在 命 令 窗 口 鍵 入 ： x0 = -1 1; options = ; x,options = constr(fun,x0

54、,options)回 車 后 ， 屏 幕 即 顯 示 ： x = -9.5474 1.0474輸 出 最 優(yōu) 解 ： options(8)結(jié) 果 為 ： ans 0.0236 x 32 )()3()sin()2()()1()( ixdataxxdataxixdataxiydata 例 6.7.5： 曲 線 擬 合 指 令 lsqcurvefit的 使 用 。設(shè) 數(shù) 據(jù) xdata和 ydata的 維 數(shù) 是 10， 其 值 為xdata = 3.6 7.7 9.3 4.1 8.6 2.8 1.3 7.9 10.0 5.4;ydata = 16.5 150.6 263.1 24.7 208.5

55、9.9 2.7 163.9 325.0 54.3;希 望 找 到 系 數(shù)能 夠 最 好 地 擬 合 方 程 ： 也 就 是 希 望 極 小 化 i iix ydataxdataxF 2),(21min n 其 中 ： F(x,xdata) = x(1)*xdata.2 + x(2)*sin(xdata) + x(3)*xdata.3n 初 始 值 x0 = 0.3, 0.4, 0.1。n 首 先 寫 一 個 M函 數(shù) ， 該 函 數(shù) 返 回 F()的 值 。 n function F = myfun(x,xdata)n F = x(1)*xdata.2 + x(2)*sin(xdata) +

56、x(3)*xdata.3;n 優(yōu) 化 計 算 子 程 序 為 ：n % Assume you determined xdata and ydata experimentally n xdata = 3.6 7.7 9.3 4.1 8.6 2.8 1.3 7.9 10.0 5.4;n ydata = 16.5 150.6 263.1 24.7 208.5 9.9 2.7 163.9 325.0 54.3;n x0 = 10, 10, 10 % Starting guessn x,resnorm = lsqcurvefit(myfun,x0,xdata,ydata) 1065)( 2 xxxQ 2

57、05332153010),( 102),( 321313221322213212 212221211 xxxxxxxxxxxxxxxf xxxxxxf 6-1試 編 制 黃 金 分 割 尋 優(yōu) 程 序 ， 求 目 標 函 數(shù)的 最 小 值 ， 區(qū) 間 縮 短 的 精 度6-2試 用 單 純 形 尋 優(yōu) 程 序 ， 對 下 列 多 元 函 數(shù) 尋 找 極 小 值 點 。 =0.000 01 6-3已 知 一 系 統(tǒng) 結(jié) 構(gòu) 如 下 指 標 函 數(shù) 取 0 tdteQ11,KT dteQ 0 dteQ 0 2 11 , KT11,KT(1)純 形 尋 優(yōu) 程 序 對 上 述 系 統(tǒng) 中 控 制 器

58、 的 控 制 參 數(shù) 進 行 尋 優(yōu) 。(2)若 指 標 函 數(shù) 取 為 或進 行 尋 優(yōu) 。 并 比 較 在 上 述 三 種 指 標對函 數(shù) 下 尋 得 的 11,KT 構(gòu) 成 的 系 統(tǒng) 在 階 躍 函 數(shù)作 用 下 的 過 渡 過 程 。 dip TTK , )(1 te dtteJ T 0 1 )(sTsTK dip 11.0,88.0,5.1 ssTT 12.0,44.021 6-4設(shè) 有 一 PDI調(diào) 節(jié) 的 計 算 機 控 制 系 統(tǒng) 如 圖 618所示 ， 現(xiàn) 要 求 用 單 純 形 尋 優(yōu) 程 序 尋 找 PDI調(diào) 節(jié) 器 參 數(shù)的 最 優(yōu) 值 ， 使 誤 差 的 絕 對 值 對 時最 小 。 已 知初 始 函 數(shù) ；系 統(tǒng) 參 數(shù) 間 積 分 最 小 ， 即 目 標 函 數(shù) sT 1.0采 樣 周 期 數(shù) 字 式 PDI調(diào) 節(jié) 規(guī) 律 差 分 方 成 為 )2()1()()1()( 11122 nCEnBEnAEnEnE式 中 ： TTKCTTKBTTTTKA d pdpdip ),21(),1( 為 階 躍 函 數(shù) ；R輸 入6-5 ， 試 比 較 最 速 下 降 法 ， 共 軛 梯 度 法 ， 單 純 形 法及 隨 機 尋 優(yōu) 法 等 幾 種 方 法 的 優(yōu) 缺 點 。