數(shù)字圖像處理(岡薩雷斯)-4_fourier變換和頻域介紹(dip3e)經(jīng)典案例

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1、第4章頻率域濾波圖像的頻域分析l頻率域濾波l頻率域平滑（低通）濾波器l頻率域銳化（高通）濾波器 4.1背景知識將 空 域 中 的 信 號 （ 圖 像 ） 變 換 到 另 外 一 個 域 （ 頻 域 ） ， 即 使用 該 域 中 的 一 組 單 位 正 交 基 函 數(shù) （ 相 同 基 函 數(shù) 內(nèi) 積 為 1， 不同 基 函 數(shù) 的 內(nèi) 積 為 0） 的 線 性 組 合 來 表 示 任 意 函 數(shù)使 用 這 組 基 函 數(shù) 的 線 性 組 合 得 到 任 意 函 數(shù) f， 每 個 基 函 數(shù) 的系 數(shù) 就 是 f與 該 基 函 數(shù) 的 內(nèi) 積使 圖 像 處 理 問 題 簡 化 ；有 利 于 圖 像

2、 特 征 提 取 ；有 助 于 從 概 念 上 增 強 對 圖 像 信 息 的 理 解 ； l圖 像 變 換 通 常 是 一 種 。一 般 要 求 ： 1. 正 交 變 換 必 須 是 可 逆 的 ； 2. 正 變 換 和 反 變 換 的 算 法 不 能 太 復 雜 ； 3. 正 交 變 換 的 特 點 是 在 變 換 域 中 圖 像 能 量 將 集 中 分 布 在 低 頻率 成 分 上 ， 邊 緣 、 線 狀 信 息 反 映 在 高 頻 率 成 分 上 ， 有 利 于 圖 像處 理因 此 廣 泛 應 用 在 圖 像 增 強 、 圖 像 恢 復 、 特 征 提 取 、 圖像 壓 縮 編 碼 和

3、 形 狀 分 析 等 方 面 4.2 傅里葉變換(一 種 正 交 變 換 )從 純 粹 的 數(shù) 學 意 義 上 看 ， 傅 立 葉 變 換 是 將 一 個 函 數(shù) 轉(zhuǎn) 換為 一 系 列 周 期 函 數(shù) （ 正 、 余 弦 函 數(shù) ） 來 處 理 的 。 從 物 理 效果 看 ， 傅 立 葉 變 換 是 將 圖 像 從 空 間 域 轉(zhuǎn) 換 到 頻 率 域為 什 么 要 在 頻 率 域 研 究 圖 像 ? 可 以 利 用 。 一 些 在 空間 域 表 述 困 難 的 增 強 任 務 ， 在 頻 率 域 中 變 得 非 常 普 通 濾 波 在 頻 率 域 更 為 直 觀 ， 它 可 以 解 釋 空

4、間 域 濾 波 的 某 些 性 質(zhì) 給 出 一 個 問 題 ， 尋 找 某 個 濾 波 器 解 決 該 問 題 ， 頻 率 域 處 理 對于 試 驗 、 迅 速 而 全 面 地 控 制 濾 波 器 參 數(shù) 是 一 個 理 想 工 具 一 旦 找 到 一 個 特 殊 應 用 的 濾 波 器 ， 通 常 在 空 間 域 用 硬 件 實 現(xiàn) 圖 像 的 頻 率 指 什 么 ？ 是 表 征 圖 像 中 灰 度 變 化 劇 烈 程 度 的 指 標 ， 是。 如 ： 大 面 積 的 沙 漠 在 圖 像 中 是 一 片 灰 度 變 化 緩 慢的 區(qū) 域 ， 對 應 的 頻 率 值 很 低 ； 而 對 于 地

5、 表 屬 性 變 換 劇 烈 的 邊 緣 區(qū) 域在 圖 像 中 是 一 片 灰 度 變 化 劇 烈 的 區(qū) 域 ， 對 應 的 頻 率 值 較 高 。 u傅里葉變換及其反變換u傅里葉變換的性質(zhì)u快速傅里葉變換（FFT） 一維傅里葉變換對l一維連續(xù)函數(shù) 的傅里葉變換對定義為( )f x2( ) ( ) ( ) (4.2 16)j ux j xF u f x e dx f x e dx 2( ) ( ) ( ) (4.2 17)uj x j xf x F u e du F e d 離 散 形 式 （ DFT） ：210 0,1,2, , 11( ) ( ) , (4.4 6)0,1,2, , 1M

6、M j uxx x MF u f x eM u M 210 0,1,2, , 1( ) ( ) , (4.4 7)0,1,2, , 1M j uxu M x Mf x F u e u M 1 (4.4 13)u M x 傅 里 葉 變 換傅里葉變換的極坐標表示幅度或頻率譜為相角或相位譜為2 2( ) ( ) ( )F u R u I u ( )( ) arctan ( )I uu R u 功率譜（譜密度）為 2 2 2( ) ( ) ( ) ( )P u F u R u I u ( )( ) ( ) ( ) ( ) (4.2 1)uF u F u e R u jI u 4.5.5二維傅里葉變換

7、對一二維離散函數(shù) 的傅里葉變換對定義為：( , )f x y1 1 ( )0 0 2 0,1,2, , 1( , ) ( , ) , (4.5 15)0,1,2, , 1ux vyM N j M Nx y u MF u v f x y e v N 1 1 ( )0 0 2 0,1,2, , 11( , ) ( , ) , (4.5 16)0,1,2, , 1ux vyM N j M Nu v x Mf x y F u v eMN y N 注 ： u和 v是 圖 像 的 頻 率 變 量 ， x和 y是 圖 像 的 空 域 變 量1 1 0 01(0,0) ( , ) ( , ) (4.6 21)

8、M Nx yF MN f x y MN f x yMN 這說明：在原點的傅里葉變換和圖像的平均灰度成正比直流份量(0,0) ( , ) (4.6 22)F MN f x y 譜的最大分量 旋轉(zhuǎn)特性：得到引入極坐標cos , sin , cos , sinx r y r u v 0 0( , ) ( , ) (4.6 5)f r F 原圖像及其傅里葉變換旋轉(zhuǎn)后圖像及其傅里葉變換 4.6二維離散傅里葉變換的性質(zhì)4.6.3 周期性：F u, v F u M , v F u, v N F u M , v N f x, y f x M , y f x, y N f x M , y N 上述公式表明盡 管

9、 F(u,v)對 無 窮 多 個 u和 v的 值 重 復 出 現(xiàn) ， 但 只 需 根 據(jù)在 任 一 個 周 期 里 的 N個 值 就 可 以 從 F(u,v)得 到 f(x,y)只 需 一 個 周 期 里 的 變 換 就 可 將 F(u,v)在 頻 域 里 完 全 確 定同 樣 的 結(jié) 論 對 f(x,y)在 空 域 也 成 立 ( , )( 1) ( , ) (4.6 8)2 2x y M Nf x y F u v 說 明 ： （ 4.6 8） 將 F(u,v)的 原 點(0,0)變 換 到 頻 率 坐 標 下 的 (M/2，N/2)， 它 是 M N區(qū) 域 的 中 心 （ M、 N為 偶

10、數(shù) ） 。 這 樣 ， 在 區(qū) 域 0,M-1(0,N-1)內(nèi) 就 包 含 了 數(shù) 據(jù) 的 一個 完 整 周 期 。 （ 見 圖 4.23 (c)、(d)） 的原點變換：( , )F u v 4.6二維離散傅里葉變換的性質(zhì)( )( 1) ( )2x Mf x F u 說 明 ： 上 式 將 F(u)的 原 點 變 換 到 (M/2)處 。 這 樣 ， 在 區(qū) 間 0,M-1內(nèi) 就 包 含 了 數(shù) 據(jù) 的 一 個 完 整 周 期 。（ 見 圖 4.23 (a)、 (b)） 4.23圖( )a( )b( )c ( )d 4.6二維離散傅里葉變換的性質(zhì)4.6.4 對稱性：共軛對稱性l共軛對稱（實 部

11、 相 等 ,虛 部 互 為 相 反 數(shù)）的，即l傅里葉變換的頻率譜是關于原點偶對稱的( , ) ( , ) (4.6 14)F u v F u v ( , ) ( , ) (4.6 19)F u v F u v 如果f(x,y)是實函數(shù)，它的傅里葉變換是l復 習 ： 當 兩 個 復 數(shù) 實 部 相 等 ,虛 部 互 為 相反 數(shù) 時 ,這 兩 個 復 數(shù) 叫 做 互 為 共 軛 復 數(shù) . 4.6二維離散傅里葉變換的性質(zhì) 其他性質(zhì)：尺度變換（縮放）及線性性1( , ) ( , ) ( , ) ( , )| |af x y aF u v f ax by F u a v bab ( , ) ( ,

12、 ) ( , ) ( , )af x y bg x y aF u v bG u v 線性性：a)Image A;b)Image B;c)0.25 * A + 0.75 * Ba)spectrum A; b)spectrum B;c)0.25 * A + 0.75 * B 4.6二維離散傅里葉變換的性質(zhì)4.6.5二維傅里葉譜和相角：幅度或為相角或為 2 2( , ) ( , ) ( , ) (4.6 16)F u v R u v I u v ( , )( , ) arctan (4.6 17)( , )I u vu v R u v 功率譜為 2 2 2( , ) ( , ) ( , ) ( ,

13、) (4.6 18)P u v F u v R u v I u v ( , )( , ) ( , ) ( , ) ( , ) (4.6 15)j u vF u v F u v e R u v jI u v 二維傅里葉變換的極坐標表示 4.6二維離散傅里葉變換的性質(zhì)4.6.6二維卷積定理：大小為MN的兩個函數(shù)f(x,y)和h(x,y)的離散（循環(huán)）卷積卷積定理1 10 0( , ) ( , ) ( , ) ( , ) (4.6 23)M Nm nf x y h x y f m n h x m y n ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) (4.6 24)( , ) ( , ) ( ,

14、) ( , ) (4.6 25)f x y h x y F u v H u vf x y h x y F u v H u v 代表“循環(huán)卷積”計 算 空 間 循 環(huán) 卷 積 時 ， 要 對 圖 像 補 0以 使 進 行 卷積 運 算 的 兩 圖 像 尺 寸 相 同 。( , ) ( , )f x y h x y( , ): , ( , ): , 1, 1f x y A B h x y C D P A C Q B D 設( , ) 0, 1, 0, 1( , ) (4.6 27)0 , , , P Q f x y x A y Bf x y x A P y B Q 補零：( , ) 0, 1, 0

15、, 1( , ) (4.6 28)0 , , , P Q h x y x C y Dh x y x C P y D Q 4.6二維離散傅里葉變換的性質(zhì)二維相關定理：大小為MN的兩個函數(shù)f(x,y)和h(x,y)的相關系數(shù)：相關定理 * * *1 10 0( , ) ( , ) ( , ) ( , )M Nm nff x y h x y f m n h m fxf y f n 表示的復共軛，對實函數(shù)（圖像）有：*( , ) ( , ) *( , ) ( , )( , ) ( , ) ( , ) ( , )f x y h x y F u v H u vf x y h x y F u v H u v

16、代表求“相關系數(shù)” ( , ) ( , ) ( , ) ( , )( , ) ( , ) ( , ) ( , )f x y h x y ifft conj F u v H u vf x y h x y ifft F u v H u v l自相關理論注 ： 復 數(shù) 和 它 的 復 共 軛 的 乘 積 是 復 數(shù) 模 的 平 方2 2 2( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )f x y f x y F u v R u v I u v 2( , ) ( , ) ( , )f x y F u v F u vl卷積和相關性理論總結(jié)卷 積 是 空 間 域 過 濾 和 頻 率 域 過 濾

17、 之 間 的 紐 帶相 關 的 重 要 應 用 在 于 匹 配 ： 確 定 是 否 有 感 興 趣 的 物 體 區(qū) 域例f(x,y)是 原 始 圖 像 ， h(x,y)作 為 感 興 趣 的 物 體 或 區(qū) 域 （ 模 板 ）如 果 匹 配 ， 兩 個 函 數(shù) 的 相 關 值 會 在 h找 到 f中 相 應 點 的 位 置 上達 到 最 大 ( ) ( ) ( ) ( )f x h x f x h x 相關性匹配舉例( , ):256 256f x y ( , ) :38 42h x y ( , ):298 298f x y 延 拓 圖 像 f(x,y) 延 拓 圖 像 h(x,y) ( ,

18、) ( , ):298 298f x y h x y 兩個大小不等的圖像作循環(huán)卷積或相關運算時，需先將兩圖像進行周期延拓后再運算！例：f(x,y): AB h(x,y): CD延拓周期：x方向：P=A+C-1y方向：Q=B+D-1 l頻域計算卷積的框圖( , ) ( , ) ( , )P Q A B C Dg x y f x y h x y ( , ) :f x y A B( , ) :h x y C D :f P Q:h P Q DFTDFT1P A C 1Q B D 1P A C 1Q B D 周期延拓周期延拓( , )F u v( , )H u v ( , ) ( , )F u v H

19、u v IDFT ( , ) :g x y P Q( , ) :f x y A B ( , ) :h x y C D :f P Q:h P Q DFTDFT1P A C 1Q B D 1P A C 1Q B D 周期延拓周期延拓( , )F u v ( , )H u v *( , ) ( , )F u v H u v IDFT ( , ) :R x y P Q*( , )F u v l頻域計算相關的框圖( , ) ( , ) ( , )P Q A B C DR x y f x y h x y ( , ) ( , ) ( , ) ( , )f x y h x y ifft conj F u v

20、H u v ( , ) ( , ) ( , ) ( , )f x y h x y ifft F u v H u v 4.11 二維DFT的實現(xiàn)4.11.1二維DFT的可分離性：212 21 1000( , ) (4.( , ) 11 1)NM Mj ux j uxj vyNM Mx xy e F x vF u v e e 沿 著 f(x,y)的 一 行 所進 行 的 傅 里 葉 變 換 。 先通過沿輸入圖像的每一行計算一維變換再沿中間結(jié)果的每一列計算一維變換可以改變上述順序，即先列后行上述相似的過程也可以計算二維傅里葉反變換 4.11 二 維 DFT的 實 現(xiàn)4.11.2 用DFT計算IDFT

21、：( , )F u v *( , )F u v ( , )f x y * * DFT 1MN *( , )DFT F u v *( , )DFT F u v 1 1* * 2 ( ) *0 0( ) ( , ) ( , ) (4.11 3)M N j ux M vy Nu vMNf x F u v e DFT F u v *1( , ) ( , )f x y DFT F u vMN 圖像傅立葉變換的物理意義傅 立 葉 變 換 以 前 ， 圖 像 （ 未 壓 縮 的 位 圖 ） 是 由 對 在 連 續(xù) 空 間 （ 現(xiàn) 實 空 間 ）上 的 采 樣 得 到 一 系 列 點 的 集 合 ， 我 們

22、習 慣 用 一 個 二 維 矩 陣 表 示 空 間 上 各點 ， 則 圖 像 可 由 z=f(x,y)來 表 示 。 由 于 空 間 是 三 維 的 ， 圖 像 是 二 維 的 ，因 此 空 間 中 物 體 在 另 一 個 維 度 上 的 關 系 就 由 來 表 示 ， 這 樣 我 們 可 以通 過 觀 察 圖 像 得 知 物 體 在 三 維 空 間 中 的 對 應 關 系 。 為 什 么 要 提 及 梯 度 ？因 為 實 際 上 對 圖 像 進 行 二 維 傅 立 葉 變 換 得 到， 當 然 頻 譜 圖 上 的 各 點 與 圖 像 上 各 點 并 不 存 在 一 一對 應 的 關 系 ，

23、即 使 在 不 移 頻 的 情 況 下 也 是 沒 有 。 傅 立 葉 我 們 看到 的 ， 也 叫 該 點 (u,v)的 頻 率 的 大 小 （ 可 以 這 么 理 解 ， 圖 像 中 的 低 頻 部 分 指 低 梯 度 的 點 ， 高 頻 部 分 相 反 ） 。 一 般 來 講 ， 梯 度 大 則 該 點 的亮 度 強 ， 否 則 該 點 亮 度 弱 。 這 樣 通 過 觀 察 傅 立 葉 變 換 后 的 頻 譜 圖 ， 也 叫功 率 圖 就 可 分 析 原 始 圖 像 中 灰 度 的 變 化 情 況 。 例4.2 , log 1 , l ,og 1D u v F u vKD u v K

24、F uF v vu 譜圖象就是把作為亮度顯示出來：。人的視覺可分辨灰度有限：實用公式常用系數(shù)調(diào)整：x y( , ) ( , )f x y x y( )a u v( , ) ( , )D u v u v ( )b從譜圖像中可看出： 圖 像 的 能 量 分 布 。 如 果 ， 那 么 （ 因 為各 點 與 鄰 域 灰 度 差 異 都 不 大 ， 梯 度 相 對 較 小 ） ， 反 之 ， ，那 么 ， 邊 界 分 明 且 邊 界 兩 邊 像 素 差 異 較 大 的 。 圖 像 的 頻 譜 分 布 。 頻 譜 移 頻 到 顯 示 屏 中 心 后 ， 圖 像 的 頻 譜 分 布 是 以 中 心 為 圓

25、心 ， 對 稱 分 布 的 。 頻譜移中的好處 對 頻 譜 移 頻 到 顯 示 屏 中 心 以 后 ， 可 以 看 出 圖 像 的 頻 譜 分 布是 以 中 心 為 圓 心 ， 對 稱 分 布 的 。 將 頻 譜 移 頻 到 圓 心 除 了 可以 清 晰 地 看 出 圖 像 頻 譜 分 布 以 外 ， 還 有 一 個 好 處 ， 它， 比 如 正 弦 干 擾 ， 一 副 帶有 正 弦 干 擾 的 圖 像 ， 移 頻 到 中 心 的 頻 譜 圖 上 可 以 看 出 除 了中 心 以 外 還 存 在 以 某 一 點 為 中 心 ， 對 稱 分 布 的 亮 點 集 合 ，這 個 集 合 就 是 干

26、擾 噪 音 產(chǎn) 生 的 ， 這 時 可 以 很 直 觀 的 通 過 在該 位 置 放 置 帶 阻 濾 波 器 消 除 干 擾 頻譜的頻域移中x y( , ) ( , )f x y x y u vu v ( , ) ( , )F u v u v 變換系數(shù)矩陣F(u,v)的特征1、 若 變 換 矩 陣 F(u,v)原 點 設 在 中 心 (M/2,N/2)， 其 頻 譜 能 量 集中 分 布 在 變 換 系 數(shù) 短 陣 的 中 心 附 近 ； 若 所 用 的 二 維 傅 立 葉 變換 矩 陣 F(u,v)的 原 點 設 在 左 上 角 (0,0)， 那 么 圖 像 信 號 能 量將 集 中 在 系

27、 數(shù) 矩 陣 的 四 個 角 上 。 這 是 由 二 維 傅 立 葉 變 換 本 身性 質(zhì) 決 定 的 。 同 時 也 表 明 。 2 、 變 換 之 后 的 圖 像 （ 在 原 點 平 移 之 前 四 角 是 低 頻（ 最 亮 部 分 ） ， 平 移 之 后 中 間 部 分 是 低 頻 （ 最 亮 部 分 ） ，（ 幅 值 比 較 大 ） P155圖 4.24(b) 例4.13 例4.13 相位譜 例4.14 幅度譜從幅度譜中我們可以看出出原始圖像的灰度級變化，這正是 幅度譜從幅度譜中我們可以看出明亮線和原始圖像中對應的輪廓線是垂直的。如果原始圖像中有 幅度譜圖像中的，但即使只有一顆顆粒，其幅度譜的模式還是這樣。 幅度譜這些圖像沒有特定的結(jié)構，左上角到右下角有一條斜線，它可能是由帽子和頭發(fā)之間的邊線產(chǎn)生的兩個圖像都存在一些小邊界