北京大學(xué)出版社32線性方程組的求解及判定

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1、例 5 的 一 個(gè) 最 高 階 非 零 子 式秩 ， 并 求 的求 矩 陣設(shè) A AA ,41461 35102 16323 05023 階 梯 形 矩 陣 ：作 初 等 行 變 換 ， 變 成 行對(duì) A解 41461 35102 16323 05023 A 1 6 4 1 40 4 3 1 10 0 0 4 80 0 0 0 0說 明 ： 本 過 程 省 略 沒 寫 ， 考 試 要 有 變 換 過 程在由 階 梯 形 矩 陣 有 三 個(gè) 非 零 行 可 知 .3)( AR3 2 5 3 2 5 6 113 2 6 6 0 11 2 0 2 52 0 5 2 0 5 3 2 53 2 62 0

2、 51 6 1 容 易 找 到 一 個(gè) 非 零 3階 子 式 常 用 的 矩 陣 秩 的 性 質(zhì)(1)0R(Amn)minm n (2)R(AT)R(A) (3)若 A B 則 R(A)R(B)(4)若 P、 Q可 逆 則 R(PAQ)R(A) (5)maxR(A) R(B)R(A B)R(A)R(B) 特 別 地 當(dāng) Bb為 列 向 量 時(shí) 有 R(A)R(A b)R(A)1（ 6)R(AB)R(A)R(B) (7)R(AB)minR(A) R(B)(8)若 Amn BnlO 則 R(A)R(B)n 而R(EA)R(AE) 所以R(AE)R(AE)n例 8 設(shè) A為 n階 矩 陣 證 明 R

3、(AE)R(AE)n 證明 因?yàn)?AE)(EA)2E由性質(zhì)(6) 有R(AE)R(EA) R(2E)n 例 9 證 明 ： 若 Am nBn l=C， 且 R(A)=n， 則 R(B)=R(C)推 論 ： 若 AB=0， 且 A為 列 滿 秩 矩 陣 ， 則 B=0 第 三 章 矩 陣 的 初 等 變 換 與 線 性 方 程 組 3 線 性 方 程 組 的 解 線 性 代 數(shù) .,2222121 1212111 bxaxa bxaxa ,2221 1211 222 12111 aa aa ab abDDx .2221 1211 221 11122 aa aa ba baDDx 引 例 如 果

4、線 性 方 程 組 )1(2211 22222121 11212111 nnnnnn nn nn bxaxaxa bxaxaxa bxaxaxa 的 系 數(shù) 行 列 式 不 等 于 零 ， 即 nnnn nnaaa aaa aaaD 21 22221 11211 0克 拉 默 法 則 .DDx,DDx,DDx,DDx nn 232211其 中 是 把 系 數(shù) 行 列 式 中 第 列 的 元 素 用 方 程組 右 端 的 常 數(shù) 項(xiàng) 代 替 后 所 得 到 的 階 行 列 式 ， 即jD D jn nnj,nnj,nn nj,j,j aabaa aabaaD 111 11111111 那 么 線

5、 性 方 程 組 有 解 ， 并 且 解 是 唯 一 的 ， 解可 以 表 為 1 TnDDDD ), , ,(1 21 x 即 證明 因?yàn)閨A|D0 故A1存在 即xA1b 根據(jù)逆陣的唯一性 知xA1b是線性方程組的唯一的解向量 先證解的存在性與唯一性 再 確 定 解 的 形 式 bbx *1 1 ADA nnnnn nn nnnnnnn nn AbAbAb AbAbAb AbAbAbDbbbAAA AAA AAAD 2211 2222121 12121112121 22212 12111 11x T nDDDD ), , ,(1 21 逆 否 命 題 如 果 線 性 方 程 組 無 解 或

6、 有 兩 個(gè) 不 同的 解 ， 則 它 的 系 數(shù) 行 列 式 必 為 零 . 1定 理 ： 如 果 線 性 方 程 組 （ 1） 的 系 數(shù) 行 列 式 D不 等 于 零 ， 則其 一 定 有 解 ， 且 解 是 唯 一 的 。 齊 次 線 性 方 程 組 的 相 關(guān) 定 理重 要 定 理 30002211 2222121 1212111 nnnnn nn nn xaxaxa xaxaxa xaxaxa 對(duì) 定 理 如 果 齊 次 線 性 方 程 組 的 系 數(shù) 行 列 式 則 齊 次 線 性 方 程 組 只 有 零 解 （ 沒 有非 零 解 ）,0 AD 3 3推 論 1 如 果 齊 次

7、線 性 方 程 組 3 有 非 零 解 ,則 它的 系 數(shù) 行 列 式 必 為 零 . 11 1 12 2 1 121 1 22 2 2 21 1 2 2 ,n nn nm m mn n na x a x a x ba x a x a x ba x a x a x b 設(shè) 有 n個(gè) 未 知 數(shù) 的 m個(gè) 方 程 的 線 性 方 程 組可 以 寫 成 以 向 量 為 未 知 元 的 向 量 方 程 Ax = b,如 果 方 程 組 有 解 ,稱 方 程 組 (1)是 相 容 的 ,如 果 方 程 組 無 解 ,稱 方 程 組 (1)不 相 容 .線 性 方 程 組 解 得 判 定 及 求 解 過

8、 程 （ 1） 定 理 : n元 線 性 方 程 組 Ax = b(1)無 解 的 充 分 必 要 條 件 是 R(A ) R(A,b ) ;(2)有 唯 一 解 的 充 分 必 要 條 件 是 R(A) = R(A,b ) = n ;(3)有 無 窮 多 解 的 充 分 必 要 條 件 是 R(A) = R(A,b ) n .線 性 方 程 組 的 解 的 判 定 定 理克 拉 默 法 則 拓 展 （ 方 程 個(gè) 數(shù) 和 未 知 數(shù) 個(gè) 數(shù) 相 同 的 線 性 方 程 組 ）（ 1） 方 程 有 唯 一 解 的 充 分 必 要 條 件 是 ： 行 列 式 D不 等 于 零 。（ 2） 方 程

9、 無 解 或 方 程 有 兩 個(gè) 不 同 的 解 （ 無 窮 多 的 解 ） 的 充 分必 要 條 件 是 ： 行 列 式 D等 于 零 。 2 1 1 1 21 1 2 1 44 6 2 2 43 6 9 7 9 1 1 2 1 42 1 1 1 22 3 1 1 23 6 9 7 9 ,97963 ,42264 ,42 ,22 4321 4321 4321 4321 xxxx xxxx xxxx xxxx 1 1 2 1 40 2 2 2 00 5 5 3 60 3 3 4 3 1 1 2 1 40 1 1 1 00 0 0 2 60 0 0 1 3解 :復(fù) 習(xí) ： 如 何 用 初 等 行

10、 變 換 求 解 線 性 方 程 組 的 解 1 1 0 0 40 1 1 0 30 0 0 1 30 0 0 0 0 3344321 cccxxxxx 30340111c .為 任 意 常 數(shù)其 中 c,3 cx 令 3 定 理 : n元 線 性 方 程 組 Ax = 0 （ 非 齊 次 線 性 方 程 組 的 特 例 ）（ 1） 有 唯 一 解 （ 只 有 零 解 ） 的 充 分 必 要 條 件 是 R(A) = n ;（ 2） 有 無 窮 多 解 （ 有 非 零 解 ） 的 充 分 必 要 條 件 是 R(A) n .齊 次 線 性 方 程 組 的 解 的 判 定 定 理定 理 : n元

11、 線 性 方 程 組 Ax = b(1)無 解 的 充 分 必 要 條 件 是 R(A ) R(A,b ) ;(2)有 唯 一 解 的 充 分 必 要 條 件 是 R(A) = R(A,b ) = n ;(3)有 無 窮 多 解 的 充 分 必 要 條 件 是 R(A) = R(A,b ) n .克 拉 默 法 則 拓 展 （ 方 程 個(gè) 數(shù) 和 未 知 數(shù) 個(gè) 數(shù) 相 同 的 線 性 方 程 組 ）（ 1） 方 程 只 有 零 解 的 充 分 必 要 條 件 是 ： 行 列 式 D不 等 于 零 。（ 2） 方 程 有 無 窮 多 的 解 （ 有 非 零 解 ） 的 充 分 必 要 條 件

12、是 ： 行列 式 D等 于 零 。 1 21 2 2 .2 2 5x xx x 求 解 線 性 方 程 組例 解 例 求 解 非 齊 次 方 程 組 的 通 解 .2132 13 04321 4321 4321 xxxx xxxx xxxx解 ： 對(duì) 增 廣 矩 陣 B進(jìn) 行 初 等 變 換 213211 13111 01111B 212100 14200 01111 1 1 1 1 0 0 0 1 2 1 2 .0 0 0 0 0 ,2 BRAR由 于故 方 程 組 有 解 ， 進(jìn) 而將 行 階 梯 化 為 行 最 簡(jiǎn) 形 1 2 42 23 44 4 1 22 1 2x x xx xx x

13、x x .00000 212100 211011 所 以令 X2=C1， X4=C2則 方 程 的 通 解 為 ： 1 2 1 234 1 1 1 21 0 0 .0 2 1 20 1 0 xx c cxx 求 解 線 性 方 程 組 的 步 驟（ 1） 對(duì) 于 非 齊 次 線 性 方 程 組 ,把 它 的 增 廣 矩 陣 B=(A,b )化 成 行 階 梯 形u若 R(A) R(B) ,則 方 程 組 無 解 .u若 R(A) = R(B)（ 2） 則 進(jìn) 一 步 把 B化 成 行 最 簡(jiǎn) 形 .u R(A ) = R(B) = n,非 齊 次 線 性 方 程 組 有 唯 一 解 .u設(shè) R

14、(A) = R(B) = r n， 非 齊 次 線 性 方 程 組 有 無 限 多 個(gè) 解（ 3） 把 行 最 簡(jiǎn) 形 中 r個(gè) 非 零 行 的 非 零 首 元 所 對(duì) 應(yīng) 的 未 知 數(shù) 取 作 非 自 由未 知 數(shù) ,其 余 n- r個(gè) 未 知 數(shù) 取 作 自 由 未 知 數(shù) ,并 令 自 由 未 知 數(shù) 分 別 等 于常 數(shù) ， 由 B 的 行 最 簡(jiǎn) 形 ,即 可 寫 出 含 n- r個(gè) 參 數(shù) 的 通 解 . 1 21 2 00 x xx x 求 解 線 性 方 程 組 2 2例解 ： 例 求 解 齊 次 線 性 方 程 組 .034 0222 02 4321 4321 4321 x

15、xxx xxxx xxxx解 3411 2212 1221A 4630 4630 1221施 行 初 等 行 變 換 ：對(duì) 系 數(shù) 矩 陣 A13 12 2rr rr 0000 34210 1221)3(2 23 r rr21 2rr 0000 34210 35201 由 此 即 得 ,342 ,352 432 431 xxx xxx 形 式， 把 它 寫 成 通 常 的 參 數(shù)令 2413 , cxcx .1034350122 214321 ccxxxx 齊 次 線 性 方 程 組 的 求 解 對(duì) 于 齊 次 線 性 方 程 組 Ax =0,它 的 增 廣 矩 陣 B= (A,0 )與系 數(shù) 矩 陣 A 的 秩 相 等 ,即 R(A)=R(B) .則 把 系 數(shù) 矩 陣 A化 成 行最 簡(jiǎn) 形 .(1)若 R(A)= n, 則 方 程 組 只 有 零 解 .(2)若 R(A) n, 則 方 程 組 有 非 零 解 . 作 業(yè)原 教 材P96 2P102 4（ 1） （ 2）P108 1（ 3） 、 3