線性代數(shù)PPT課件-向量與線性方程組解的結(jié)構(gòu)

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1、向 量線 性 方 程 組 解 的 結(jié) 構(gòu) n 維 向 量 的 概 念 1 2, , , na a a定 義 由 個 有 次 序 的 數(shù)構(gòu) 成 的 有 序 數(shù) 組 稱 為 一 個 維 向 量 ， n n 簡 記 為 naaa , 21 即 其 中稱 為 向 量 的 分 量 ， 稱 為 向 量 的 維 數(shù) 1 2, , , na a an nbbb21也 可 以 寫 成 一 列 例 已 知 21,43 , 2,23,2 , ， 計 算 ： 32 解 ： 2,22,3,21,3,4,232 3 66964286 , 28170 , ),( 21 nT aaaa naaaa 21 維 向 量 寫 成

2、一 行 ， 稱 為 行 向 量 ， 也 就 是 行矩 陣 ， 通 常 用 等 表 示 ， 如 ： TTTT ba ,n 維 向 量 寫 成 一 列 ， 稱 為 列 向 量 ， 也 就 是 列矩 陣 ， 通 常 用 等 表 示 ， 如 ：,ban 若 干 個 同 維 數(shù) 的 列 向 量 （ 或 同 維 數(shù) 的 行 向 量 ）所 組 成 的 集 合 叫 做 向 量 組 例 如 維 列 向 量個有矩 陣 mnijA a nm)( aaaa aaaa aaaaA mnmjmm nj nj 21 222221 111211a1 . , , 的 列 向 量 組稱 為 矩 陣向 量 組 Aa1 a2 ana

3、2 aj an 維 行 向 量個又 有矩 陣類 似 地 nmijA a nm)(, aaa aaa aaa aaaA mnmm inii nn 21 21 22221 11211 T1T2TiTm向 量 組 , , ， 稱 為 矩 陣 A的 行 向 量 組 T1 T2 Tm 反 之 ， 由 有 限 個 向 量 所 組 成 的 向 量 組 可 以 構(gòu)成 一 個 矩 陣 . 矩 陣構(gòu) 成 一 個 組維 列 向 量 所 組 成 的 向 量個 nmnm m , 21 矩 陣構(gòu) 成 一 個的 向 量 組 維 行 向 量 所 組 成個 nmnm TmTT , 21 TmTTB 21 ),( 21 mA b

4、 2211 xxx nn 線 性 方 程 組 的 向 量 表 示 .,2211 22222121 11212111 bxaxaxa bxaxaxa bxaxaxa mnmnmm nn nn 方 程 組 與 增 廣 矩 陣 的 列 向 量 組 之 間 一 一 對 應 ，組 實 數(shù) ， 對 于 任 何 一給 定 向 量 組 m mkkk A, ,: 21 21 定 義 . , 21個 線 性 組 合 的 系 數(shù) 稱 為 這， mkkk ，稱 為 向 量 組 的 一 個 向 量 2211 mmkkk 線 性 組 合 mmb 2211 ， 使，一 組 數(shù) 如 果 存 在和 向 量給 定 向 量 組 m

5、 m bA , ,: 21 21 . 2211有 解 即 線 性 方 程 組 bxxx mm 的 線 性 組 合 ， 這 時 稱是 向 量 組則 向 量 Ab 向 量 能由 向 量 組 線 性 表 示 bA 有 解 ，也 就 是 方 程 組 bAx ., 21 nA 其 中 ， .),( ),( 21 21 的 秩， 的 秩 等 于 矩 陣，條 件 是 矩 陣 線 性 表 示 的 充 分 必 要能 由 向 量 組向 量 bB A Ab m m 定 理 1例 ： ，即 可 由 向 量 組向 量 010001032 21 b 3213 032100 b線 性 表 示 ， 且 為 ： . .,:,:

6、 2121 這 兩 個能 相 互 線 性 表 示 ， 則 稱量 組 與 向若 向 量 組稱 線 性 表 示 ， 則向 量 組組 中 的 每 個 向 量 都 能 由若 及設 有 兩 個 向 量 組B AAB BA sm 向 量 組 能 由 向 量 組 線 性 表 示 向 量 組 等 價 B A定 義 ).)()( BrAr 即 0100 3010 2001, 321 bbAB 因 為( 使在 數(shù) 存量線 性 表 示 ， 即 對 每 個 向能 由 （和（若 記 , ),2,1( ).,),21 2121mjjj j smkkk sjbA BbbbBA mmjjjj kkkb 2211 ,), 21

7、21 mjjjm kkk （ ), 21 sbbb （ 從 而 msmm ssm kkk kkk kkk 21 22221 1121121 ), （ . )( 數(shù) 矩 陣稱 為 這 一 線 性 表 示 的 系矩 陣 ijsm kK 因 此 ， 有 結(jié) 論 ： 矩 陣 ： 為 這 一 表 示 的 系 數(shù)的 列 向 量 組 線 性 表 示 ，矩 陣 的 列 向 量 組 能 由， 則 矩 陣若 BA CBAC nssmnm snss nnsn bbb bbb bbbccc 21 22221 112112121 ),), （ ：結(jié) 論 1 TsTTmsmm ssTmTT aaa aaa aaa 212

8、1 22221 1121121 ：為 這 一 表 示 的 系 數(shù) 矩 陣 的 行 向 量 組 線 性 表 示的 行 向 量 組 能 由同 時 ， ABC , . . 的 行 向 量 組 等 價的 行 向 量 組 與于 是 的 行 向 量 組 線 性 表 示 ，的 行 向 量 組 能 由可 知 ， 由 初 等 變 換 可 逆 性的 行 向 量 組 線 性 表 示組 能 由 的 行 向 量， 即的 行 向 量 組 的 線 性 組 合向 量 都 是 的 每 個 行， 則經(jīng) 初 等 行 變 換 變 成設 矩 陣 BA BAA BA BBA . 的 列 向 量 組 等 價列 向 量 組 與 的， 則經(jīng)

9、初 等 列 變 換 變 成類 似 ， 若 矩 陣B ABA相 同 的 線 性 相 關(guān) 性 。 標 號 的 列 向 量 組 具 有且 等 價 的 倆 矩 陣 的 相 同 .0 ,0 , 1. 22111 21 成 立才 有時 則 只 有 當線 性 無 關(guān)若 nnn n 0 , ,: 2211 21 21 mmm mkkk kkk A 使全 為 零 的 數(shù) 如 果 存 在 不給 定 向 量 組注 意 : . , 2. 線 性 相 關(guān) 性 無 關(guān) 就 是不 是 線對 于 任 一 向 量 組定 義 則 稱 向 量 組 是 線 性 相 關(guān) 的 ， 否 則 稱 它 線 性 無 關(guān) A線 性 相 關(guān) 性 的

10、 概 念 .,0, 0, 3. 線 性 無 關(guān)則 說若線 性 相 關(guān) 則 說若時向 量 組 只 包 含 一 個 向 量 .4. 組 是 線 性 相 關(guān) 的包 含 零 向 量 的 任 何 向 量. ,.5 量 共 面 向量 相 關(guān) 的 幾 何 意 義 是 三是 兩 向 量 共 線 ； 三 個 向 義量 對 應 成 比 例 ， 幾 何 意充 要 條 件 是 兩 向 量 的 分 它 線 性 相 關(guān) 的量 組對 于 含 有 兩 個 向 量 的 向 ，到 底 線 性 相 關(guān) 還 是 無 關(guān)，向 量 組 m 21也 即 齊 次 線 性 方 程 組Ax mm xxx 2121 , 程 組 的 定 理 ， 即

11、 有 方而 由 上 章 關(guān) 于 齊 次 線 性有 無 非 零 解 的 問 題 ， 故 02211 mmxxx 2定 理 線 性 相 關(guān) 的 充 要 條 件向 量 組 m , 21 是 向 量其 中的 秩是 矩 陣 mmArA m .)(, 21 的 個 數(shù) 。線 性 相 關(guān) 性 的 判 定推 論 ： ， 它 線 性 相 關(guān) 的維 向 量 組對 mm , 21 充 要 條 件 是 ： 0A 維 向 量 組n TnTT eee 1,0,0,0,1,0,0,0,1 21 ， .,討 論 其 線 性 相 關(guān) 性維 單 位 坐 標 向 量 組稱 為 n解 . ),( 21階 單 位 矩 陣是 的 矩 陣

12、維 單 位 坐 標 向 量 組 構(gòu) 成n eeeIn n ，由 01E 例 的 推 論 知 ，及 定 理 2無 關(guān) 。維 單 位 坐 標 向 量 組 線 性n 或 r(I)=n， 得 線 性 無 關(guān) 。 ， 742520111 321 .21321 的 線 性 相 關(guān) 性，及，試 討 論 向 量 組 解 .2, 21 321321 即 可 得 出 結(jié) 論） 的 秩 ， 利 用 定 理，及 （ ），可 同 時 看 出 矩 陣 （成 行 階 梯 形 矩 陣 ） ， 施 行 初 等 行 變 換 變，對 矩 陣 （ 已 知例 分 析 751 421 201),( 321 )25(23 r ， 000

13、220 201 .,2),( ,2),( 2121 321321 線 性 無 關(guān)故 向 量 組 線 性 相 關(guān) ；， 故 向 量 組可 見 r r )1( )1(1213 rr 550 220 201 . ,;, ,13,145,023:3 321向 量 組 線 性 相 關(guān) 取 何 值 時向 量 組 線 性 無 關(guān)取 何 值 時問 設 向 量 組例 tt t 3210 142 353321 tt解 ： 因 為 .,23 ;,23, 321 321線 性 相 關(guān)向 量 組時 線 性 無 關(guān)向 量 組時當所 以 t t . , , , 321133322 211321 線 性 無 關(guān)試 證 線 性

14、 無 關(guān)已 知 向 量 組 bbbbb b 例 4 0 , 332211 321 bxbxbx xxx 使設 有 ,0)()( 133322211 xxx ）（即 ,0)()() 332221131 xxxxxx（亦 即 全 為 零 ， 即 有線 性 無 關(guān) ， 故 系 數(shù) 必 需，因 321 .0 ,0 ,0 32 21 31 xx xx xx證 法 1 02110 011 101 列 式由 于 此 方 程 組 的 系 數(shù) 行., 0 321 321線 性 無 關(guān) 向 量 組， 所 以故 方 程 組 只 有 零 解bbb xxx 證 法 2 110 011 101),(),( 321321

15、aaabbb即 有 ， .ACB 可 對 應 記 作 , 133322211 bbb由 02110 011 101 C 由 ).()( ArBr 知 ., 321 線 性 無 關(guān)向 量 組 bbb 進 而 知， 知而 利 用 定 理 ,3)(2 Ar的 線 性 相 關(guān) 判 定 的 幾接 下 來 ， 我 們 給 出 常 用個 性 質(zhì) ： . , ,. ,: , 11 21 也 線 性 無 關(guān)向 量 組則線 性 無 關(guān)量 組 若 向反 言 之也 線 性 相 關(guān)向 量 組 則線 性 相 關(guān)：向 量 組若 AB B Amm m 性 質(zhì) 1：向 量 組 的 線 性 相 關(guān) 性 質(zhì) . .:1 關(guān)的 任

16、何 部 分 組 都 線 性 無向 量 組 線 性 無 關(guān) ， 則 它 反 之 ， 若 一 個線 性 相 關(guān)含 有 零 向 量 的 向 量 組 必 特 別 地 ，量 組 線 性 相 關(guān)相 關(guān) 的 部 分 組 ， 則 該 向 一 個 向 量 組 若 有 線 性可 推 廣 為性 質(zhì)說 明 ： 設 ),2,1(, ,12121 mjaaaabaaa jr rjjjjrjjjj 性 質(zhì) 2： . ,. , ,.21 21性 相 關(guān) 也 線則 向 量 組線 性 相 關(guān)反 言 之 ， 若 向 量 組關(guān) 也 線 性 無：則 向 量 組線 性 無 關(guān) ：若 向 量 組個 分 量 后 得 向 量一添 上即 AB

17、bbbB Ab mm jj 即結(jié) 論 也 成 立量而 言 的 ， 若 增 加 多 個 分 ）維 數(shù) 增 加是 對 增 加 一 個 分 量 （ 即性 質(zhì) ., 12 說 明 ： 關(guān) 。 ”加 長 ” 向 量 組 必 線 性 無“ 線 性 無 關(guān) 向 量 組 的 “或 關(guān) 。 ”截 短 ” 向 量 組 必 線 性 相“ 線 性 相 關(guān) 向 量 組 的 “ . 時 一 定 線 性 相 關(guān)于 向 量 個 數(shù) 小當 維 數(shù)維 向 量 組 成 的 向 量 組 ，個 m nnm性 質(zhì) 3： 5例 試 判 斷 向 量 組,520011 ,570102 ,321003 的 線 性 相 關(guān) 性 。解 法 一 ：

18、，考 察 新 向 量 組 21321 ,010001 ,100002 由 0110355 01272 00100 00010 00001, 21321 即 知 線 性 無 關(guān) ，21321 , ， 即 知再 由 性 質(zhì) 1 線 性 無 關(guān) 。， 321 解 法 二 ： ,520011 ,570102 ,321003 考 察的 “ 截 短 ” 向 量 組 ：,0011 ,0102 ,1003 也 無 關(guān) 。，線 性 無 關(guān) ， 故，顯 然 321321 定 理 3 向 量 組 （ 當 時 ） 線 性 相 關(guān)的 充 分 必 要 條 件 是 中 至 少 有 一 個 向量 可 由 其 余 個 向 量

19、線 性 表 示 m , 21 2mm , 21 1m 112211 mmma 線 性 表 示 、 線 性 相 關(guān) 、 線 性 無 關(guān) 三 者 的 關(guān) 系而 不 是“ 每 一 個 ”.,: ,: 1 21且 表 示 式 是 唯 一 的線 性 表 示 必 能 由 向 量 組向 量線 性 相 關(guān) 向 量 組線 性 無 關(guān)向 量 組A bbB Am m 定 理 4： 6例 為 什 么 ？ 線 性 表 示 ？，是 否 可 由）為 什 么 ？ （ 線 性 表 示 ，可 否 由）線 性 無 關(guān) ， 問 ： （ ，線 性 相 關(guān) ，已 知 向 量 組 3214 321 4323212 ,1 )1(解 ： 由

20、432 , 知線 性 無 關(guān) , 32,。性 質(zhì)線 性 無 關(guān) )( 線 性 相 關(guān) ， 即 知再 由 321 , ；定 理唯 一 線 性 表 示，可 由 )( 321 不 能 ！)2( 可 只 由） ， 即 知否 則 ， 由 （ 41 線 性 表 示 。32, 線 性 無 關(guān) 矛 盾 ！，而 這 顯 然 與 432 （ 定 理 ） 。 . 向 量 、 向 量 組 與 矩 陣 之 間 的 聯(lián) 系 ， 線 性 方程 組 的 向 量 表 示 ； 線 性 組 合 與 線 性 表 示 的 概 念 ； . 線 性 相 關(guān) 與 線 性 無 關(guān) 的 概 念 ； 線 性 相 關(guān) 性在 線 性 方 程 組 中

21、的 應 用 ； （ 重 點 ） . 線 性 相 關(guān) 與 線 性 無 關(guān) 的 判 定 方 法 ： 定 義 ，兩 個 定 理 （ 難 點 ）小 結(jié) 0. 它 的 秩 為 有 最 大 無 關(guān) 組 ， 規(guī) 定只 含 零 向 量 的 向 量 組 沒， 滿 足 個 向 量中 能 選 出， 如 果 在設 有 向 量 組r rAA , 21 定 義 線 性 無 關(guān) ；） 向 量 組（ rA ,:1 210 關(guān) ，個 向 量 的 話 ） 都 線 性 相 中 有個 向 量 （ 如 果中 任 意） 向 量 組（1 12 r ArA. 的 稱 為 向 量 組數(shù)最 大 無 關(guān) 組 所 含 向 量 個 r; 0） （ 簡

22、 稱的 一 個向 量 組 是那 末 稱 向 量 組A A最 大 線 性 無 關(guān) 向 量 組 最 大無 關(guān) 組秩極 (最 )大 線 性 無 關(guān) 向 量 組 . 它 的 行 向 量 組 的 秩 量 組 的 秩 ， 也 等 于矩 陣 的 秩 等 于 它 的 列 向定 理 的 秩 也 記 作向 量 組 maaa , 21 , 21 maaar . 最 大 無 關(guān) 組行 即 是 行 向 量 組 的 一 個所 在 的 最 大 無 關(guān) 組 ，列 即 是 列 向 量 組 的 一 個所 在 的 ， 則的 一 個 最 高 階 非 零 子 式是 矩 陣若 r Dr DAD rrr ;1 一） 最 大 無 關(guān) 組 可

23、 以 不 唯（結(jié) 論說 明 .2 關(guān) 組 是 等 價 的） 向 量 組 與 它 的 最 大 無（ 97963 42264 41211 21112 A設 矩 陣 例 2 .用 最 大 無 關(guān) 組 線 性 表 示屬 最 大 無 關(guān) 組 的 列 向 量 無 關(guān) 組 ， 并 把 不的 列 向 量 組 的 一 個 最 大求 矩 陣 A 行 階 梯 形 矩 陣施 行 初 等 行 變 換 變 為對 A解 ，知 3)( Ar A ， 00000 31000 01110 41211初 等 行 變 換 .3 個 向 量組 含故 列 向 量 組 的 最 大 無 關(guān) 三 列 ，、元 在而 三 個 非 零 行 的 非

24、零 首 421 ., 421 無 關(guān) 組為 列 向 量 組 的 一 個 最 大故 aaa .,3),( 421421 線 性 無 關(guān)， 故知 aaaaaar . , 42153成 行 最 簡 形 矩 陣 再 變線 性 表 示 ， 必 須 將用要 把 Aaaaaa ), 421 aaa（ 事 實 上 763 264 111 112 000 100 110 111初 等 行 變 換 00000 31000 30110 40101 初 等 行 變 換A 4215 213 334 , aaaa aaa 即 得 . 的 秩的 秩 不 大 于 向 量 組量 組 線 性 表 示 ， 則 向能 由 向 量 組

25、設 向 量 組 AB AB定 理 例 如但 反 之 未 必等 價 的 向 量 組 的 秩 相 等 . ,推 論 1 ).()(),()( BrCrArCr BAC nssmnm ， 則設推 論 2 ).()(,10,01 rr 不 等 價 但顯 然 解 向 量 的 概 念為 齊 次 線 性 方 程 組 0Ax nxxxx 21 的 解 稱 為 方 程 組 的 解 向 量 。齊 次 線 性 方 程 組 解 的 結(jié) 構(gòu) 齊 次 線 性 方 程 組 解 的 性 質(zhì)（ 1） 若 為 的 解 ， 則 21 x,x 0Ax21 x0Ax也 是 的 解 .證 明 02121 AAA 00 21 A,A .A

26、xx 的 解也 是故 021 （ 2） 若 為 的 解 ， 為 實 數(shù) ， 則 也 是 的 解 1x 0Ax k1kx 0Ax證 明 .kkAkA 0011 由 以 上 兩 個 性 質(zhì) 可 知 ， 方 程 組 的 全 體 解 向 量所 組 成 的 集 合 ， 對 于 加 法 和 數(shù) 乘 運 算 是 封 閉 的 ，因 此 構(gòu) 成 一 個 向 量 空 間 ， 稱 此 向 量 空 間 為 齊 次 線性 方 程 組 的 解 空 間 一 般 記 作0Ax注 ： 齊 次 解 的 線 性 組 合 仍 為 齊 次 解 .)(AN 如 果解 系 的 基 礎稱 為 齊 次 線 性 方 程 組, 0 , 21 Ax

27、t ; 0,)1( 21 的 解的 一 組 線 性 無 關(guān)是 Axt . ,0)2( 21出 線 性 表的 任 一 解 都 可 由 tAx 基 礎 解 系 的 定 義基 礎 解 系 及 其 求 法 的 通 解 可 表 示 為那 么的 一 組 基 礎 解 系 為 齊 次 線 性 方 程 組如 果 0 Ax Axt , 0, 21 ttkkkx 2211 ., 21 是 任 意 常 數(shù)其 中 rnkkk 線 性 方 程 組 基 礎 解 系 的 求 法 00 00 10 01 ,1 ,111 rnrr rnbb bbA 設 齊 次 線 性 方 程 組 的 系 數(shù) 矩 陣 為 ， 并 不 妨設 的 前

28、 個 列 向 量 線 性 無 關(guān) r 于 是 可 化 為AA A 000 00 10 01 21,1 ,111 nrnrr rn xxxbb bb nrn,rrrr nrn,r xbxbx xbxbx 11 111110Ax 現(xiàn) 對 取 下 列 組 數(shù) ：nr x,x 1 rn nrrxxx 21 nrn,rrrr nrn,r xbxbx xbxbx 11 11111分 別 代 入 ., 100,010, 001 依 次 得 rxx1,bbr 001 1111 ,010 2122 rbb .bb rn,r rn,rn 1001從 而 求 得 原 方 程 組 的 個 解 ：rn .bb, rn,

29、r rn, 1,bbr 212,bbr 111 , 說 明 解 空 間 的 基 不 是 唯 一 的 解 空 間 的 基 又 稱 為 方 程 組 的 基 礎 解 系 .kkkx rnrn 2211 若 是 的 基 礎 解 系 ， 則其 通 解 為 rn, 21 0Ax., 21 是 任 意 常 數(shù)其 中 rnkkk );0,( ,)( 維 向 量 空 間為向 量此 時 解 空 間 只 含 一 個 零系 故 沒 有 基 礎 解方 程 組 只 有 零 解時當 nAr ).,( ,(A) , , , ,)( 21 1111 2211 21 rn rnrnrnrn rnrnrnspan RxN x rn

30、nrAr kkkkkk kkk 解 空 間 可 表 示 為為 任 意 實 數(shù)其 中 方 程 組 的 解 可 表 示 為此 時基 礎 解 系 個 向 量 的方 程 組 必 有 含時當 例 1 求 齊 次 線 性 方 程 組 0377 ,02352 ,04321 4321 4321 xxxx xxxx xxxx的 基 礎 解 系 與 通 解 .解 ,0000 747510 7372011377 2352 1111 A 對 系 數(shù) 矩 陣 作 初 等 行 變 換 ， 變 為 行 最 簡 矩陣 ， 有 A .7475 ,7372 432 431 xxx xxx便 得 ,100143 及令 xx ,74

31、 7375 7221 及對 應 有 xx,1074 73,0175 72 21 即 得 基 礎 解 系 ).,(,1074 730175 72 21214321 Rccccxxxx 并 由 此 得 到 通 解 .0 ,1)( 2 121 的 解為 對 應 的 齊 次 方 程 則的 解都 是及設 Ax xbAxxx 證 明 .021 bbA .021 Axx 滿 足 方 程即 bAbA 21 , 非 齊 次 線 性 方 程 組 解 的 性 質(zhì).2 21 的 解為 bAx 非 齊 次 線 性 方 程 組 解 的 結(jié) 構(gòu) 證 明 AAA ,0 bb .的 解是 方 程所 以 bAxx 證 畢 .,0

32、 ,2)( 的 解仍 是 方 程則的 解 是 方 程的 解是 方 程設 bAxxAx xbAxx 解 的 線 性 組 合一 般 非 齊 次 線 性 方 程 組 bAx nnccc 2211 .0,0 ;,1 21 21 的 解為時系 數(shù) 和 的 解為時當 系 數(shù) 和 Axccc bAxccc nn .11 rnrnkkx 其 中 為 對 應 齊 次 線 性 方 程組 的 通 解 ， 為 非 齊 次 線 性 方 程 組 的 任 意 一 個 特解 . rnrnkk 11 非 齊 次 線 性 方 程 組 的 通 解非 齊 次 線 性 方 程 組 Ax=b的 通 解 為 與 方 程 組 有 解 等 價

33、 的 命 題bAx ;, 21 線 性 表 示能 由 向 量 組向 量 nb ;, 2121 等 價與 向 量 組向 量 組 bnn . , 2121的 秩 相 等 與 矩 陣矩 陣 bBA nn 線 性 方 程 組 有 解bAx 線 性 方 程 組 的 解 法（ 1） 應 用 克 萊 姆 法 則（ 2） 利 用 初 等 變 換 特 點 ： 只 適 用 于 系 數(shù) 行 列 式 不 等 于 零 的 情 形 ，計 算 量 大 ， 容 易 出 錯 ， 但 有 重 要 的 理 論 價 值 ， 可用 來 證 明 很 多 命 題 特 點 ： 適 用 于 方 程 組 有 唯 一 解 、 無 解 以 及 有無

34、 窮 多 解 的 各 種 情 形 ， 全 部 運 算 在 一 個 矩 陣 （ 數(shù)表 ） 中 進 行 ， 計 算 簡 單 ， 易 于 編 程 實 現(xiàn) ， 是 有 效的 計 算 方 法 例 4 求 解 方 程 組 .2132 ,13 ,04321 4321 4321 xxxx xxxx xxxx解 :施 行 初 等 行 變 換對 增 廣 矩 陣 A 213211 13111 01111A ,00000 212100 211011 )1(12 r )1(13 r 212100 14200 01111 1x 3x 并 有故 方 程 組 有 解可 見 ,2)()( ArAr .212 ,2143 421 xx xxx ,042 xx取 ,2131 xx則 即 得 方 程 組 的 一 個 特 解 021021 取中組在 對 應 的 齊 次 線 性 方 程 ,2 43 421 xx xxx ,100142 及xx ,210131 及則 xx程 組 的 基 礎 解 系即 得 對 應 的 齊 次 線 性 方 ,1201,0011 21 于 是 所 求 通 解 為 ).,(,02102112010011 21214321 Rccccxxxx 非 齊 次 方 程 的 通 解 = 齊 次 方 程 的 通 解 + 非 齊 次 方 程 的 特 解