高考數(shù)學二輪專題復習與策略 第1部分 專題3 概率與統(tǒng)計 突破點9 隨機變量及其分布專題限時集訓 理-人教版高三數(shù)學試題

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1、專題限時集訓(九)　隨機變量及其分布 [建議A、B組各用時：45分鐘] [A組　高考達標] 一、選擇題 1．已知變量X服從正態(tài)分布N(2,4)，下列概率與P(X≤0)相等的是(　　) A．P(X≥2) B．P(X≥4) C．P(0≤X≤4) D．1－P(X≥4) B　[由變量X服從正態(tài)分布N(2,4)可知，x＝2為其密度曲線的對稱軸，因此P(X≤0)＝P(X≥4)．故選B.] 2．(2016·廈門模擬)某種子每粒發(fā)芽的概率都為0.9，現(xiàn)播種了1 000粒，對于沒有發(fā)芽的種子，每粒需要再補種2粒，補種的種子數(shù)記為X，則X的數(shù)學期望為(　　) A．100 B．200 C．300

2、 D．400 B　[將“沒有發(fā)芽的種子數(shù)”記為ξ，則ξ＝1,2,3，…，1 000，由題意可知ξ～B(1 000,0.1)，所以E(ξ)＝1 000×0.1＝100，又因為X＝2ξ，所以E(X)＝2E(ξ)＝200，故選B.] 3．現(xiàn)有甲、乙兩個靶，某射手向甲靶射擊一次，命中的概率為；向乙靶射擊兩次，每次命中的概率為.該射手每次射擊的結(jié)果相互獨立．假設該射手完成以上三次射擊，該射手恰好命中一次的概率為(　　) A. B. C. D. C　[××＋××＋××＝，故選C.] 4．(2016·合肥二模)某校組織由5名學生參加的演講比賽，采用抽簽法決定演講順序，在“學生A和B都不是第一

3、個出場，B不是最后一個出場”的前提下，學生C第一個出場的概率為(　　) 【導學號：67722035】 A. B. C. D. A　[“A和B都不是第一個出場，B不是最后一個出場”的安排方法中，另外3人中任何一個人第一個出場的概率都相等，故“C第一個出場”的概率是.] 5．箱中裝有標號為1,2,3,4,5,6且大小相同的6個球．從箱中一次摸出兩個球，記下號碼并放回，如果兩球號碼之積是4的倍數(shù)，則獲獎．現(xiàn)在4人參與摸獎，恰好有3人獲獎的概率是(　　) A. B. C. D. B　[若摸出的兩球中含有4，必獲獎，有5種情形；若摸出的兩球是2,6，也能獲獎．故獲獎的情形共6種，獲獎的概率

4、為＝.現(xiàn)有4人參與摸獎，恰有3人獲獎的概率是C3·＝.] 二、填空題 6．隨機變量ξ的取值為0,1,2.若P(ξ＝0)＝，E(ξ)＝1，則D(ξ)＝________. 　[由題意設P(ξ＝1)＝p， ξ的分布列如下： ξ 0 1 2 P p －p 由E(ξ)＝1，可得p＝， 所以D(ξ)＝12×＋02×＋12×＝.] 7．某學校一年級共有學生100名，其中男生60人，女生40人．來自北京的有20人，其中男生12人，若任選一人是女生，則該女生來自北京的概率是________． 　[設事件A為“任選一人是女生”，B為“任選一人來自北京”，依題意知，來自北京的女生有

5、8人，這是一個條件概率，問題即計算P(B|A)． 由于P(A)＝，P(AB)＝， 則P(B|A)＝＝＝.] 8．(2016·黃岡一模)荷花池中，有一只青蛙在成品字形的三片荷葉上跳來跳去(每次跳躍時，均從一葉跳到另一葉)，而且逆時針方向跳的概率是順時針方向跳的概率的兩倍，如圖9-6所示，假設現(xiàn)在青蛙在A葉上，則跳三次后仍停在A葉上的概率是________． 圖9-6 　[設順時針跳的概率為p，則逆時針跳的概率為2p，則p＋2p＝1，即p＝，由題意可知，青蛙三次跳躍 的方向應相同，即要么全為順時針方向，要么全為逆時針方向，故所求概率P＝3＋3＝＋＝.] 三、解答題 9．(2016

6、·煙臺二模)甲、乙兩人進行象棋比賽，約定每局勝者得1分，負者得0分．在其中的一方比對方多得2分或下滿5局時停止比賽．設甲在每局中獲勝的概率為，乙在每局中獲勝的概率為，且各局勝負相互獨立． (1)求沒下滿5局甲即獲勝的概率； (2)設比賽停止時已下局數(shù)為ξ，求ξ的分布列和數(shù)學期望E(ξ)． [解]　(1)沒下滿5局甲獲勝有兩種情況： ①是兩局后甲獲勝，此時P1＝×＝，2分 ②是四局后甲獲勝，此時P2＝××＝，4分 所以甲獲勝的概率P＝P1＋P2＝＋＝.5分 (2)依題意知，ξ的所有可能值為2,4,5.6分 設前4局每兩局比賽為一輪，則該輪結(jié)束時比賽停止的概率為： 2＋2＝.7分

7、 若該輪結(jié)束時比賽還將繼續(xù)，則甲、乙在該輪中必是各得一分，此時，該輪比賽結(jié)果對下輪比賽是否停止沒有影響，從而有： P(ξ＝2)＝，P(ξ＝4)＝＝，P(ξ＝5)＝2＝.10分 所以ξ的分布列為： ξ 2 4 5 P 故E(ξ)＝2×＋4×＋5×＝.12分 10．甲、乙兩班進行消防安全知識競賽，每班出3人組成甲、乙兩支代表隊，首輪比賽每人一道必答題，答對則為本隊得1分，答錯或不答都得0分．已知甲隊3人每人答對的概率分別為，，，乙隊每人答對的概率都是.設每人回答正確與否相互之間沒有影響，用ξ表示甲隊總得分． (1)求隨機變量ξ的分布列及其數(shù)學期望E(ξ)； (2

8、)求在甲隊和乙隊得分之和為4的條件下，甲隊比乙隊得分高的概率． [解]　(1)ξ的可能取值為0,1,2,3. P(ξ＝0)＝××＝；1分 P(ξ＝1)＝××＋××＋××＝；2分 P(ξ＝2)＝××＋××＋××＝；3分 P(ξ＝3)＝××＝.4分 所以ξ的分布列為 ξ 0 1 2 3 P 6分 所以E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.8分 (2)設“甲隊和乙隊得分之和為4”為事件A，“甲隊比乙隊得分高”為事件B， 則P(A)＝×C3＋×C2×＋×C1×2＝.10分 P(AB)＝×C1×2＝.11分 P(B|A)＝＝＝.12分 [B組　名校沖刺

9、] 一、選擇題 1．(2016·河北第二次聯(lián)考)已知袋子中裝有大小相同的6個小球，其中有2個紅球、4個白球．現(xiàn)從中隨機摸出3個小球，則至少有2個白球的概率為(　　) A. B. C. D. C　[所求問題有兩種情況：1紅2白或3白，則所求概率P＝＝.] 2．如圖9-7，△ABC和△DEF是同一個圓的內(nèi)接正三角形，且BC∥EF.將一顆豆子隨機地扔到該圓內(nèi)，用M表示事件“豆子落在△ABC內(nèi)”，N表示事件“豆子落在△DEF內(nèi)”，則P(|M)＝(　　) 圖9-7 A. B. C. D. C　[如圖，作三條輔助線，根據(jù)已知條件知這些小三角形都全等，△ABC包含9個小三角形，滿足事

10、件M的有3個小三角形，所以P(|M)＝＝＝，故選C.] 3．設隨機變量X服從正態(tài)分布N(2,9)，若P(X>c＋1)＝P(X

11、×＝1.5.] 二、填空題 5．現(xiàn)有10道題，其中6道甲類題，4道乙類題，張同學從中任選3道題作答．已知所選的3道題中有2道甲類題，1道乙類題．設張同學答對每道甲類題的概率都是，答對每道乙類題的概率都是，且各題答對與否相互獨立，則張同學恰好答對2道題的概率為________． 　[設張同學答對甲類題的數(shù)目為x，答對乙類題的數(shù)目為y，答對題的總數(shù)為X，則X＝x＋y.所以P(X＝2)＝P(x＝2，y＝0)＋P(x＝1，y＝1)＝C×2×＋C×××＝.] 6．某商場在兒童節(jié)舉行回饋顧客活動，凡在商場消費滿100元者即可參加射擊贏玩具活動，具體規(guī)則如下：每人最多可射擊3次，一旦擊中，則可獲獎且

12、不再繼續(xù)射擊，否則一直射擊到3次為止．設甲每次擊中的概率為p(p≠0)，射擊次數(shù)為η，若η的數(shù)學期望E(η)>，則p的取值范圍是________. 【導學號：67722036】 　[由已知得P(η＝1)＝p，P(η＝2)＝(1－p)p，P(η＝3)＝(1－p)2，則E(η)＝p＋2(1－p)p＋3(1－p)2＝p2－3p＋3>，解得p>或p<，又p∈(0,1)，所以p∈.] 三、解答題 7．(2016·鄭州模擬)已知從A地到B地共有兩條路徑L1和L2，據(jù)統(tǒng)計，經(jīng)過兩條路徑所用的時間互不影響，且經(jīng)過L1與L2所用時間落在各時間段內(nèi)的頻率分布直方圖分別如圖9-8(1)和圖(2)．

13、(1)　　　　　　　　(2) 圖9-8 現(xiàn)甲、乙兩人分別有40分鐘和50分鐘時間用于從A地到B地． (1)為了盡最大可能在各自允許的時間內(nèi)趕到B地，甲和乙應如何選擇各自的路徑？ (2)用X表示甲、乙兩人中在允許的時間內(nèi)能趕到B地的人數(shù)，針對(1)的選擇方案，求X的分布列和數(shù)學期望． [解]　(1)用Ai表示事件“甲選擇路徑Li時，40分鐘內(nèi)趕到B地”，B i表示事件“乙選擇路徑Li時，50分鐘內(nèi)趕到B地”，i＝1,2.1分 由頻率分布直方圖及頻率估計相應的概率可得 P(A1)＝(0.01＋0.02＋0.03)×10＝0.6， P(A2)＝(0.01＋0.04)×10＝0.5.

14、 ∵P(A1)>P(A2)，故甲應選擇L1.3分 P(B1)＝(0.01＋0.02＋0.03＋0.02)×10＝0.8， P(B2)＝(0.01＋0.04＋0.04)×10＝0.9. ∵P(B2)>P(B1)，故乙應選擇L2.5分 (2)用M，N分別表示針對(1)的選擇方案，甲、乙在各自允許的時間內(nèi)趕到B地， 由(1)知P(M)＝0.6，P(N)＝0.9，又由題意知，M，N相互獨立，7分 ∴P(X＝0)＝P()＝P()P()＝0.4×0.1＝0.04； P(X＝1)＝P(N＋M)＝P()P(N)＋P(M)P() ＝0.4×0.9＋0.6×0.1＝0.42； P(X＝2)＝P(

15、MN)＝P(M)P(N)＝0.6×0.9＝0.54.9分 ∴X的分布列為 X 0 1 2 P 0.04 0.42 0.54 ∴E(X)＝0×0.04＋1×0.42＋2×0.54＝1.5.12分 8．氣象部門提供了某地區(qū)今年六月份(30天)的日最高氣溫的統(tǒng)計表如下： 日最高氣溫t/℃ t≤22 2232 天數(shù) 6 12 Y Z 由于工作疏忽，統(tǒng)計表被墨水污染，Y和Z數(shù)據(jù)不清楚，但氣象部門提供的資料顯示，六月份的日最高氣溫不高于32℃的頻率為0.9.某水果商根據(jù)多年的銷售經(jīng)驗，六月份的日最高氣溫t(單位：℃)對西瓜的銷售影

16、響如下表： 日最高氣溫t/℃ t≤22 2232 日銷售額 X/千元 2 5 6 8 (1)求Y，Z的值； (2)若視頻率為概率，求六月份西瓜日銷售額X的期望和方差； (3)在日最高氣溫不高于32℃時，求日銷售額不低于5千元的概率． [解]　(1)由已知得P(t≤32)＝0.9，所以P(t>32)＝1－P(t≤32)＝0.1，所以Z＝30×0.1＝3，Y＝30－(6＋12＋3)＝9.3分 (2)由題意，知X的所有可能取值為2,5,6,8. 易知P(X＝2)＝P(t≤22)＝＝0.2，P(X＝5)＝P(2232)＝＝0.1. 所以六月份西瓜日銷售額X的分布列為 X 2 5 6 8 P 0.2 0.4 0.3 0.1 6分 所以E(X)＝2×0.2＋5×0.4＋6×0.3＋8×0.1＝5，7分 D(X)＝(2－5)2×0.2＋(5－5)2×0.4＋(6－5)2×0.3＋(8－5)2×0.1＝3.8分 (3)因為P(t≤32)＝0.9，P(22