獨立性檢驗的基本思想及其初步應(yīng)用 課件.ppt

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1、3.2獨 立 性 檢 驗 的基 本 思 想 及 其 初步 應(yīng) 用高 二 數(shù) 學 選 修 2-3 第三章 統(tǒng)計案例 2定 量 變 量 回 歸 分 析 （ 畫 散 點 圖 、 相 關(guān) 系 數(shù) r、變 量 相 關(guān) 指 數(shù) R 、 殘 差 分 析 ）分 類 變 量 研 究 兩 個 變 量 的 相 關(guān) 關(guān) 系 ：定 量 變 量 ： 體 重 、 身 高 、 溫 度 、 考 試 成 績 等 等 。變 量 分 類 變 量 ： 性 別 、 是 否 吸 煙 、 是 否 患 肺 癌 、 宗 教 信 仰 、 國 籍 等 等 。兩 種 變 量 ： 獨 立 性 檢 驗本 節(jié) 研 究 的 是 兩 個 分 類 變 量 的 獨

2、 立 性 檢 驗 問 題 。在日常生活中，我們常常關(guān)心分類變量之間是否有關(guān)系：例如，吸煙是否與患肺癌有關(guān)系？ 性別是否對于喜歡數(shù)學課程有影響？等等。 吸 煙 與 肺 癌 列 聯(lián) 表不 患 肺 癌 患 肺 癌 總 計不 吸 煙 7775 42 7817吸 煙 2099 49 2148總 計 9874 91 9965為 了 調(diào) 查 吸 煙 是 否 對 肺 癌 有 影 響 ， 某 腫 瘤 研 究 所 隨機 地 調(diào) 查 了 9965人 ， 得 到 如 下 結(jié) 果 （ 單 位 ： 人 ） 列聯(lián)表分 類 變 量 1 下 面 是 一 個 2 2列 聯(lián) 表 ：y1 y2 總 計x1 a 21 73x2 2 2

3、5 27總 計 b 46 100則 表 中 a、 b的 值 分 別 為 ( )A 94、 96 B 52、 50C 52、 54 D 54、 52C 吸 煙 與 肺 癌 列 聯(lián) 表不 患 肺 癌 患 肺 癌 總 計不 吸 煙 7775 42 7817吸 煙 2099 49 2148總 計 9874 91 9965為 了 調(diào) 查 吸 煙 是 否 對 肺 癌 有 影 響 ， 某 腫 瘤 研 究 所 隨機 地 調(diào) 查 了 9965人 ， 得 到 如 下 結(jié) 果 （ 單 位 ： 人 ） 列聯(lián)表在 不 吸 煙 者 中 患 肺 癌 的 比 重 是 在 吸 煙 者 中 患 肺 癌 的 比 重 是 吸 煙 者

4、 和 不 吸 煙 者 都 可 能 患 肺 癌 ，吸 煙 者 患 肺 癌 的 可 能 性 較 大0.54%2.28%分 類 變 量 42/7817 通 過 圖 形 直 觀 判 斷 兩 個 分 類 變 量 是 否 相 關(guān) ：等 高 條形 圖在 不 吸 煙 者 中 患 肺 癌 的 比 重 是 在 吸 煙 者 中 患 肺 癌 的 比 重 是 0.54%2.28% 上 面 我 們 通 過 分 析 數(shù) 據(jù) 和 圖 形 ， 得 到 的 直 觀 印 象 是 吸 煙 和患 肺 癌 有 關(guān) ， 那 么 事 實 是 否 真 的 如 此 呢 ？ 這 需 要 用 統(tǒng) 計 觀 點來 考 察 這 個 問 題 。 現(xiàn) 在 想

5、 要 知 道 能 夠 以 多 大 的 把 握 認 為 “ 吸 煙 與 患 肺 癌 有 關(guān) ” ，為 此 先 假 設(shè) H 0： 吸 煙 與 患 肺 癌 沒 有 關(guān) 系 .不 患 肺 癌 患 肺 癌 總 計不 吸 煙 a b a+b吸 煙 c d c+d 總 計 a+c b+d a+b+c+d把 表 中 的 數(shù) 字 用 字 母 代 替 ， 得 到 如 下 用 字 母 表 示 的 列 聯(lián) 表 用 A表 示 不 吸 煙 ， B表 示 不 患 肺 癌 ， 則 “ 吸 煙 與 患 肺 癌 沒 有 關(guān) 系 ”等 價 于 “ 吸 煙 與 患 肺 癌 獨 立 ” ， 即 假 設(shè) H 0等 價 于 P(AB)=P

6、(A)P(B). 因 此 |ad-bc|越 小 ， 說 明 吸 煙 與 患 肺 癌 之 間 關(guān) 系 越 弱 ； |ad-bc|越 大 ， 說 明 吸 煙 與 患 肺 癌 之 間 關(guān) 系 越 強 。不 患 肺 癌 患 肺 癌 總 計不 吸 煙 a b a+b吸 煙 c d c+d總 計 a+c b+d a+b+c+dad bc即 a a+b a+c n n n a+bP(A) ,n a+cP(B) ,n . aP(AB) n其 中 為 樣 本 容 量 ， 即n=a+b+c+d在 表 中 ， a恰 好 為 事 件 AB發(fā) 生 的 頻 數(shù) ； a+b和 a+c恰 好 分 別 為 事件 A和 B發(fā) 生

7、 的 頻 數(shù) 。 由 于 頻 率 接 近 于 概 率 ， 所 以 在 H 0成 立 的 條件 下 應(yīng) 該 有 (a+b+c+d)a (a+b)(a+c), 不 患 肺 癌 患 肺 癌 總 計不 吸 煙 a b a+b吸 煙 c d c+d總 計 a+c b+d n=a+b+c+d獨 立 性 檢 驗在 不 吸 煙 者 中 不 患 肺 癌 的 比 重 是 在 吸 煙 者 中 不 患 肺 癌 的 比 重 是 baadc cH0： 假 設(shè) 吸 煙 和 患 肺 癌 沒 有 關(guān) 系dc cbaa 則 0bcad即ad-bc 越 小 ， 說 明 吸 煙 與 患 肺 癌 之 間 的 關(guān) 系 越 弱 ，ad-b

8、c 越 大 ， 說 明 吸 煙 與 患 肺 癌 之 間 的 關(guān) 系 越 強 獨 立 性 檢 驗H0： 假 設(shè) 吸 煙 和 患 肺 癌 沒 有 關(guān) 系dc cbaa 則 0bcad即ad-bc 越 小 ， 說 明 吸 煙 與 患 肺 癌 之 間 的 關(guān) 系 越 弱 ，ad-bc 越 大 ， 說 明 吸 煙 與 患 肺 癌 之 間 的 關(guān) 系 越 強 22 n（ ad-bc）K =(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)構(gòu) 造 隨 機 變 量 (卡 方 統(tǒng) 計 量 ) 作 為 檢 驗 在 多 大 程 度 上 可 以 認 為 “ 兩 個 變 量 有 關(guān) 系 ”的 標 準 。 若 H0(吸 煙 和 患

9、 肺 癌 沒 有 關(guān) 系 )成 立 ， 則 K2應(yīng) 該 很 小 . 獨 立 性 檢 驗H0： 假 設(shè) 吸 煙 和 患 肺 癌 沒 有 關(guān) 系 吸 煙 與 肺 癌 列 聯(lián) 表不 患 肺 癌 患 肺 癌 總 計不 吸 煙 7775 42 7817吸 煙 2099 49 2148總 計 9874 91 9965 632.5691987421487817 )422099497775(9965 22 k 隨 機 變 量 -卡 方 統(tǒng) 計 量 22 ( ) ,( )( )( )( ) 其 中 為 樣 本 容 量 。n ad bcK a b c d a c b dn a b c d0.50 0.40 0.2

10、5 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.0010.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.8280k 0)k2P(K臨 界 值 表 2 10.828K 2 6.635K 2 2.706K 0.1%把 握 認 為 A與 B無 關(guān)1%把 握 認 為 A與 B無 關(guān) 99.9%把 握 認 A與 B有 關(guān)99%把 握 認 為 A與 B有 關(guān)90%把 握 認 為 A與 B有 關(guān)10%把 握 認 為 A與 B無 關(guān) 2( 6.635) 0.01P K 即 在 成 立 的 情 況 下 ， K2 大 于 6

11、.635概 率 非 常 小 ， 近似 為 0.010H 現(xiàn) 在 的 K256.632的 觀 測 值 遠 大 于 6.635， 小 概 率事 件 的 發(fā) 生 說 明 假 設(shè) H0不 成 立 ！0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.0010.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.8280k 0)k2P(K臨 界 值 表 獨 立 性 檢 驗H0： 假 設(shè) 吸 煙 和 患 肺 癌 沒 有 關(guān) 系所 以 吸 煙 和 患 肺 癌 有 關(guān) ！ 1 對 分 類 變 量 X與 Y

12、的 隨 機 變 量 K2的 觀 測 值 k， 說 法 正 確的 是 ( )A k越 大 ， “ X與 Y有 關(guān) 系 ” 可 信 程 度 越 小B k越 小 ， “ X與 Y有 關(guān) 系 ” 可 信 程 度 越 小C k越 接 近 于 0， “ X與 Y無 關(guān) ” 程 度 越 小D k越 大 ， “ X與 Y無 關(guān) ” 程 度 越 大B 獨 立 性 檢 驗 基 本 的 思 想 類 似 反 證 法(1)假 設(shè) 結(jié) 論 不 成 立 ,即 “ 兩 個 分 類 變 量 沒 有 關(guān) 系 ” .(2)在 此 假 設(shè) 下 隨 機 變 量 K2 應(yīng) 該 很 能 小 ,如 果 由 觀 測 數(shù)據(jù) 計 算 得 到 K2

13、的 觀 測 值 k很 大 ,則 在 一 定 程 度 上 說 明 假設(shè) 不 合 理 .(3)根 據(jù) 隨 機 變 量 K2的 含 義 ,可 以 通 過 評 價 該 假 設(shè) 不 合 理的 程 度 ,由 實 際 計 算 出 的 ,說 明 假 設(shè) 合 理 的 程 度 為99.9%,即 “ 兩 個 分 類 變 量 有 關(guān) 系 ” 這 一 結(jié) 論 成 立 的可 信 度 為 約 為 99.9%. 反 證 法 原 理 與 假 設(shè) 檢 驗 原 理反 證 法 原 理 ： 在 一 個 已 知 假 設(shè)下 ， 如 果 推 出 一個 矛 盾 ， 就 證 明了 這 個 假 設(shè) 不 成立 。 假 設(shè) 檢 驗 原 理 ：在 一

14、個 已 知 假 設(shè)下 ， 如 果 一 個 與該 假 設(shè) 矛 盾 的 小概 率 事 件 發(fā) 生 ，就 推 斷 這 個 假 設(shè)不 成 立 。 1.在 H0成 立 的 條 件 下 ， 構(gòu) 造 與 H0矛 盾 的 小 概 率事 件 ；2.如 果 樣 本 使 得 這 個 小 概 率 事 件 發(fā) 生 ， 則 H0不 成立 ， 就 能 以一定把握斷 言 H1成 立 ； 否 則 ， 斷言 沒 有 發(fā) 現(xiàn) 樣 本 數(shù) 據(jù) 與 H0相 矛 盾 的 證 據(jù) 。求解思路假 設(shè) 檢 驗 問 題 ： 例 1.在 某 醫(yī) 院 ,因 為 患 心 臟 病 而 住 院 的 665名 男 性 病 人中 ,有 214人 禿 頂 ,而

15、 另 外 772名 不 是 因 為 患 心 臟 病 而 住院 的 男 性 病 人 中 有 175人 禿 頂 .分 別 利 用 圖 形 和 獨 立 性 檢驗 方 法 判 斷 是 否 有 關(guān) ?你 所 得 的 結(jié) 論 在 什 么 范 圍 內(nèi) 有 效 ?患 心 臟 病 不 患 心 臟 病 總 計禿 頂 214 175 389不 禿 頂 451 597 1048總 計 665 772 1437在 禿 頂 中 患 心 臟 病 的 比 重 是 在 不 禿 頂 中 患 心 臟 病 的 比 重 是 55.01%43.03% 例 1.在 某 醫(yī) 院 ,因 為 患 心 臟 病 而 住 院 的 665名 男 性 病

16、 人中 ,有 214人 禿 頂 ,而 另 外 772名 不 是 因 為 患 心 臟 病 而 住院 的 男 性 病 人 中 有 175人 禿 頂 .分 別 利 用 圖 形 和 獨 立 性 檢驗 方 法 判 斷 是 否 有 關(guān) ?你 所 得 的 結(jié) 論 在 什 么 范 圍 內(nèi) 有 效 ?患 心 臟 病 不 患 心 臟 病 總 計禿 頂 214 175 389不 禿 頂 451 597 1048總 計 665 772 1437 根 據(jù) 聯(lián) 表 的 數(shù) 據(jù) ， 得 到所 以 有 99%的 把 握 認 為 “ 禿 頂 與 患 心 臟 病 有 關(guān) ” 。635.6373.16 7726651048389

17、)451175597214(1437 22 k 注 意 ： 因 為 這 組 數(shù)據(jù) 來 自 住 院的 病 人 ， 因此 所 得 到 的結(jié) 論 適 合 住院 的 病 人 群體 2、 本 例 中 的 邊 框 中 的 注 解 ：1、 在 解 決 實 際 問 題 時 ， 可 以 直 接 計 算 K2的 觀 測 值k進 行 獨 立 檢 驗 ， 而 不 必 寫 出 K2的 推 導 過 程 ； 主 要 是 使 得 我 們 注 意 統(tǒng) 計 結(jié) 果 的適 用 范 圍 （ 這 由 樣 本 的 代 表 性 所 決 定 ） A 所 以 根 據(jù) 列 聯(lián) 表 的 數(shù) 據(jù) ， 可 以 有 %的 把 握 認 為 該 學 校 1

18、5至 16周歲 的 男 生 的 身 高 和 體 重 之 間 有 關(guān) 系 。97.5 22 n ad bcK a b c d a c b d 由 獨 立 性 檢 驗 隨 機 變 量 2K 值 的 計 算 公 式 得 ： 220 4 12 1 35 15 7 13 5.934 跟 蹤 訓 練1 (2011廣 東 執(zhí) 信 中 學 )某 中 學 一 位 高 三 班 主 任 對 本 班50名 學 生 學 習 積 極 性 和 對 待 班 級 工 作 的 態(tài) 度 進 行 長 期 的 調(diào) 查 ，得 到 的 統(tǒng) 計 數(shù) 據(jù) 如 下 表 所 示 ：積 極 參 加班 級 工 作 不 太 主 動 參加 班 級 工 作

19、 合 計學 習 積 極 性 高 18 7 25學 習 積 極 性 一 般 6 19 25合 計 24 26 50 (1)如 果 隨 機 調(diào) 查 這 個 班 的 一 名 學 生 ， 那 么 抽 到 積 極 參 加班 級 工 作 的 學 生 的 概 率 是 多 少 ？ 抽 到 不 太 積 極 參 加 班 級 工 作且 學 習 積 極 性 一 般 的 學 生 的 概 率 是 多 少 ？(2)能 否 在 犯 錯 誤 的 概 率 不 超 過 0.001的 前 提 下 認 為 學 生 的積 極 性 與 對 待 班 級 工 作 的 態(tài) 度 有 關(guān) 系 ？所以，在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下，認為“學

20、 生的學習積極性與對待班級工作的態(tài)度”有關(guān)系 1 （ 2013深 圳 二 模 ） 2013年 3月 14日 ， CCTV 財 經(jīng)頻 道 報 道 了 某 地 建 筑 市 場 存 在 違 規(guī) 使 用 未 經(jīng) 淡 化 海 砂 的 現(xiàn) 象 .為 了 研 究 使 用 淡 化 海 砂 與 混 凝 土 耐 久 性 是 否 達 標 有 關(guān) ， 某 大學 實 驗 室 隨 機 抽 取 了 60個 樣 本 ， 得 到 了 相 關(guān) 數(shù) 據(jù) 如 下 表 ：混 凝 土 耐 久 性 達 標 混 凝 土 耐 久 性不 達 標 總 計使 用 淡 化 海 砂 25 5 30使 用 未 經(jīng) 淡 化 海 砂 15 15 30總 計

21、40 20 60 （ 1） 根 據(jù) 表 中 數(shù) 據(jù) ， 利 用 獨 立 性 檢 驗 的 方 法 判 斷 ， 能 否在 犯 錯 誤 的 概 率 不 超 過 1%的 前 提 下 ， 認 為 使 用 淡 化 海 砂 與 混 凝土 耐 久 性 是 否 達 標 有 關(guān) ？ （ 2） 若 用 分 層 抽 樣 的 方 法 在 使 用 淡 化 海 砂 的 樣 本 中 抽 取了 6個 ， 現(xiàn) 從 這 6個 樣 本 中 任 取 2個 ， 則 取 出 的 2個 樣 本 混 凝 土 耐久 性 都 達 標 的 概 率 是 多 少 ？ 參 考 數(shù) 據(jù) ：P（ k2k） 0.10 0.050 0.025 0.010 0.0

22、01k 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 解 析 ：（1）提出假設(shè)H 0：使用淡化海砂與混凝土耐久性是否達標無關(guān).根據(jù)表中數(shù)據(jù)，求得K 2的觀測值能在犯錯誤的概率不超過1%的前提下，認為使用淡化海砂與混凝土耐久性是否達標有關(guān).（2）用分層抽樣的方法在使用淡化海砂的樣本中抽取6個，其中應(yīng)抽取“混凝土耐久性達標”的為 6=5，“混凝土耐久性不達標”的為6-5=1，“混凝土耐久性達標記”為A 1,A2,A3,A4,A5”;“混凝土耐久性不達標”的記為B. 2530 在這6個樣本中任取2個，有以下幾種可能：（A1,A2）,（A1,A3）,（A1,A4）,（A1,A5）,（A

23、1,B）,（A2,A3）,（A 2,A4）,（A2,A5）,（A2,B）,（A3,A4）,（A3,A5）,（A3,B）,（A4,A5）,（A4,B）（A5,B）,共15種.設(shè)“取出的2個樣本混凝土耐久性都達標”為事件A，它的對立事件A為“取出的2個樣本至少有1個混凝土耐久性不達標”，包含（A1,B）,（A2,B）,（A3,B）,（A4,B）,（A5,B），共5種可能. 2 (2011揭 陽 一 模 )某 食 品 廠 為 了 檢 查 甲 乙 兩 條 自 動 包 裝流 水 線 的 生 產(chǎn) 情 況 ， 隨 機 在 這 兩 條 流 水 線 上 各 抽 取 40件 產(chǎn) 品作 為 樣 本 稱 出 它 們

24、的 重 量 (單 位 ： 克 )， 重 量 值 落 在 (495,510的 產(chǎn) 品 為 合 格 品 ， 否 則 為 不 合 格 品 表 1是 甲 流 水 線 樣 本 頻 數(shù)分 布 表 ， 圖 1是 乙 流 水 線 樣 本 的 頻 率 分 布 直 方 圖 產(chǎn) 品 重 量 /克 頻 數(shù)(490,495 6(495,500 8(500,505 14(505,510 8(510,515 4 表 1 甲 流 水 線 樣 本 頻 數(shù) 分 布 表(1)根 據(jù) 上 表 數(shù) 據(jù) 作 出 甲 流 水 線 樣 本 的 頻 率 分 布 直 方 圖 ；(2)若 以 頻 率 作 為 概 率 ， 試 估 計 從 兩 條 流

25、 水 線 分 別 任 取 1件 產(chǎn) 品 ， 該 產(chǎn) 品 恰 好 是 合 格 品 的 概 率 分 別 是 多 少 ；(3)由 以 上 統(tǒng) 計 數(shù) 據(jù) 完 成 下 面 2 2列 聯(lián) 表 ， 能 否 在 犯 錯 誤的 概 率 不 超 過 0.1的 前 提 下 認 為 產(chǎn) 品 的 包 裝 質(zhì) 量 與 兩 條 自 動 包裝 流 水 線 的 選 擇 有 關(guān) ？甲 流 水 線 乙 流 水 線 合 計合 格 品 a b 不 合 格 品 c d 合 計 n 附 ： 下 面 的 臨 界 值 表 供 參 考 ：p(K2 k) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001k 2.072

26、 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 解 析 ： (1)甲流水線樣本的頻率分布直方圖如下：(2)由表1知甲樣本中合格品數(shù)為814830，由圖1知乙樣本中合格品數(shù)為(0.060.090.03) 5 4036，故甲樣本合格品的頻率為 0.75， 乙樣本合格品的頻率為 0.9，據(jù)此可估計從甲流水線任取1件產(chǎn)品，該產(chǎn)品恰好是合格品的概率為0.75.從乙流水線任取1件產(chǎn)品，該產(chǎn)品恰好是合格品的概率為0.9.(3)2 2列聯(lián)表如下：甲流水線乙流水線合計合格品a30 b36 66不合格品c10 d4 14合計40 40 n80 在犯錯誤的概率不超過0.1的前提下認為產(chǎn)品的包裝質(zhì)量與兩條自動包裝流水線的選擇有關(guān)