（江蘇專用）高考數(shù)學總復習 第十章第3課時 幾何概型課時闖關(guān)（含解析）

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1、 [A級　雙基鞏固] 一、填空題 1．(2012·西安質(zhì)檢)某人向一個半徑為6的圓形靶射擊，假設(shè)他每次射擊必定會中靶，且射中靶內(nèi)各點是隨機的，則此人射中的靶點與靶心的距離小于2的概率為________． 解析：由已知條件可得，此人射中的靶點與靶心的距離小于2的概率為P＝＝. 答案： 2．在棱長為2的正方體ABCD－A1B1C1D1中，點O為底面ABCD的中心，在正方體ABCD－A1B1C1D1內(nèi)隨機取一點P，則點P到點O的距離大于1的概率為________． 解析：正方體的體積為：2×2×2＝8，以O(shè)為球心，1為半徑且在正方體內(nèi)部的半球的體積為：×πr3＝×π×13

2、＝π，則點P到點O的距離大于1的概率為：1－＝1－. 答案：1－ 3．(2012·淄博調(diào)研)在長為12 cm的線段AB上任取一點M，并以線段AM為邊作正方形，則這個正方形的面積介于36 cm2與81 cm2之間的概率為________． 解析：面積為36 cm2時，邊長AM＝6 cm，面積為81 cm2時，邊長AM＝9 cm，∴P＝＝＝. 答案： 4．若在區(qū)間[－5,5]內(nèi)任取一個實數(shù)a，則使直線x＋y＋a＝0與圓(x－1)2＋(y＋2)2＝2有公共點的概率為________． 解析：若直線與圓有公共點，則圓心到直線的距離d＝＝≤，解得－1≤a≤3.又a∈[－5,5]，故所求概率為

3、＝. 答案： 5．用一平面截一半徑為5的球得到一個圓面，則此圓面積小于9π的概率是________． 解析：依題意得截面圓面積為9π的圓半徑為3，球心到該截面的距離等于4，球的截面圓面積小于9π的截面到球心的距離大于4，因此所求的概率等于＝. 答案： 6. 如圖所示，在一個邊長分別為a，b(a>b>0)的矩形內(nèi)畫一個梯形，梯形的上、下底邊分別為，，且高為b.現(xiàn)向該矩形內(nèi)隨機投一點，則該點落在梯形內(nèi)部的概率為________． 解析：S梯形＝·b＝ab，S矩形＝ab. ∴P＝＝. 答案： 7. (2012·鎮(zhèn)江質(zhì)檢)如圖，A是圓上固定的一點，在圓上其他位置任取一點A

4、′，連接AA′，它是一條弦，它的長度小于或等于半徑長度的概率為________． 解析： 當AA′的長度等于半徑長度時，∠AOA′＝，由圓的對稱性及幾何概型得P＝＝. 答案： 8．在兩根相距8 m的木桿間系一根繩子，并在繩子上掛一個警示燈，則警示燈與兩桿的距離都大于3 m的概率為________． 解析：由于在繩子任意位置上掛警示燈是等可能的，會出現(xiàn)無數(shù)多個試驗結(jié)果，故符合幾何概型，可以用長度作為幾何概型的測度．記事件A為“警示燈與兩桿的距離都大于3 m”，則A的長度為8－3－3＝2(m)，整個事件的長度為8 m，則P(A)＝＝. 答案： 二、解答題 9．已知向量a＝(－2

5、,1)，b＝(x，y)． (1)若x，y分別表示將一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子(六個面的點數(shù)分別為1,2,3,4,5,6)先后拋擲兩次時第一次、第二次出現(xiàn)的點數(shù)，求滿足a·b＝－1的概率； (2)若x，y在連續(xù)區(qū)間[1,6]上取值，求滿足a·b<0的概率． 解：(1)將一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子先后拋擲兩次，所包含的基本事件總數(shù)為6×6＝36(個)； 由a·b＝－1有－2x＋y＝－1， 所以滿足a·b＝－1的基本事件為(1,1)，(2,3)，(3,5)，共3個； 故滿足a·b＝－1的概率為＝. (2)若x，y在連續(xù)區(qū)間[1,6]上取值，則全部基本事件的結(jié)果為D＝{(x，y)|1≤x≤6

6、,1≤y≤6}； 滿足a·b<0的基本事件的結(jié)果為 d＝{(x，y)|1≤x≤6,1≤y≤6且－2x＋y<0}； 畫出圖形如圖， 正方形的面積為S＝25， 陰影部分的面積為S陰影＝25－×2×4＝21， 故滿足a·b<0的概率為. 10．已知向量a＝(2,1)，b＝(x，y)． (1)若x∈{－1,0,1,2}，y∈{－1,0,1}，求向量a∥b的概率； (2)若x∈[－1,2]，y∈[－1,1]，求a，b的夾角是鈍角的概率． 解：(1)設(shè)“a∥b”為事件A，由a∥b，得x＝2y. D＝{(－1，－1)，(－1,0)，(－1,1)，(0，－1)，(0,0)，(0,

7、1)，(1，－1)，(1,0)，(1,1)，(2，－1)，(2,0)，(2,1)}，共包含12個基本事件； 其中A＝{(0,0)，(2,1)}，包含2個基本事件． 則P(A)＝＝. (2)設(shè)“a，b的夾角是鈍角”為事件B，由a，b的夾角是鈍角，可得a·b<0，即2x＋y<0，且x≠2y. D＝， B＝. 畫出圖形如圖． 故P(B)＝＝. [B級　能力提升] 一、填空題 1．在一個邊長為1000米的正方形區(qū)域的每個頂點處都設(shè)有一個監(jiān)測站，若向此區(qū)域內(nèi)隨機投放一個爆破點，則爆破點距離監(jiān)測站200米內(nèi)都可以被檢測到．那么隨機投放一個爆破點被監(jiān)測到的概率為________．

8、解析：據(jù)題意爆破點能被檢測到所在平面區(qū)域為以各個頂點為圓心，以200米為半徑的四分之一圓，故由幾何概型可知所求事件的概率為＝. 答案： 2．在區(qū)域M＝內(nèi)隨機撒一把黃豆，落在區(qū)域N＝內(nèi)的概率是________． 解析：畫出區(qū)域M、N，如圖，區(qū)域M為矩形OABC，區(qū)域N為圖中陰影部分． S陰影＝×4×2＝4， 故所求概率P＝＝. 答案： 3．有一個底面圓的半徑為1、高為2的圓柱，點O為這個圓柱底面圓的圓心，在這個圓柱內(nèi)隨機取一點P，則點P到點O的距離大于1的概率為________． 解析：先求點P到點O的距離小于或等于1的概率，圓柱的體積V圓柱＝π×12×2＝2π，以O(shè)為球心，

9、1為半徑且在圓柱內(nèi)部的半球的體積V半球＝×π×13＝π.則點P到點O的距離小于或等于1的概率為＝，故點P到點O的距離大于1的概率為1－＝. 答案： 4．一根用細鐵絲做成的正四棱錐框架，其棱長都是，這個四棱錐的五個頂點都在一個球面上，一粒子在這個球內(nèi)隨機運動，則該粒子在正四棱錐內(nèi)部的概率是________(細鐵絲占有的空間位置忽略不計)． 解析：設(shè)該正四棱錐為S-ABCD，如圖所示，在Rt△SEA中，SA＝，AE＝1，故SE＝1，故四棱錐的體積是×××1＝.設(shè)球的半徑為r，則OA＝OS＝r，OE＝1－r.在Rt△OAE中，r2＝(1－r)2＋1，解得r＝1，即點E即為球心，故這個球的體積是

10、. 所以所求的概率為＝.故填. 答案： 二、解答題 5．兩人約定在20∶00到21∶00之間相見，并且先到者必須等遲到者40分鐘方可離去，如果兩人出發(fā)是各自獨立的，在20∶00至21∶00各時刻相見的可能性是相等的，求兩人在約定時間內(nèi)相見的概率． 解： 設(shè)兩人分別于x時和y時到達約見地點，要使兩人能在約定時間范圍內(nèi)相見， 當且僅當－≤x－y≤. 兩人到達約見地點所有時刻(x，y)的各種可能結(jié)果可用圖中的單位正方形內(nèi)(包括邊界)的點來表示，兩人能在約定的時間范圍內(nèi)相見的所有時刻(x，y)的各種可能結(jié)果可用圖中的陰影部分(包括邊界)來表示．因此陰影 部分與單位正方

11、形的面積比就反映了兩人在約定時間范圍內(nèi)相遇的可能性的大小，因此所求的概率為 P＝＝＝. 6．(2012·深圳調(diào)研)已知復數(shù)z＝x＋yi(x，y∈R)在復平面上對應的點為M. (1)設(shè)集合P＝{－4，－3，－2,0}，Q＝{0,1,2}，從集合P中隨機取一個數(shù)作為x，從集合Q中隨機取一個數(shù)作為y，求復數(shù)z為純虛數(shù)的概率； (2)設(shè)x∈[0,3]，y∈[0,4]，求點M落在不等式組所表示的平面區(qū)域內(nèi)的概率． 解：(1)記“復數(shù)z為純虛數(shù)”為事件A. ∵組成復數(shù)z的所有情況共有12個：－4，－4＋i，－4＋2i，－3，－3＋i，－3＋2i，－2，－2＋i，－2＋2i,0，i,2i，且每種情況出現(xiàn)的可能性相等，屬于古典概型， 其中事件A包含的基本事件共2個：i,2i， ∴所求事件的概率為P(A)＝＝. (2)依條件可知，點M均勻地分布在平面區(qū)域內(nèi)，屬于幾何概型．該平面區(qū)域的圖形為下圖中矩形OABC圍成的區(qū)域，面積為S＝3×4＝12. 而所求事件構(gòu)成的平面區(qū)域為，其圖形如圖中的三角形OAD(陰影部分)． 又直線x＋2y－3＝0與x軸、y軸的交點分別為A(3,0)、D， ∴三角形OAD的面積為S1＝×3×＝. ∴所求事件的概率為P＝＝＝.