《（江蘇專用）高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第六篇 數(shù)列、推理與證明《第31講 數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法》理（含解析） 蘇教版》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（江蘇專用）高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第六篇 數(shù)列、推理與證明《第31講 數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法》理（含解析） 蘇教版（6頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、 A級(jí) 基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)演練
(時(shí)間：45分鐘 滿分：80分)
一、填空題(每小題5分，共35分)
1．已知數(shù)列，1，，，，…，，…，則3是它的第________項(xiàng)．
解析 3＝＝.
答案 23
2．(2011·福州一模)把1,3,6,10,15,21這些數(shù)叫做三角形數(shù)，這是因?yàn)檫@些數(shù)目的點(diǎn)子可以排成一個(gè)正三角形(如圖所示)．
則第七個(gè)三角形數(shù)是________．
解析 觀察三角形數(shù)的增長(zhǎng)規(guī)律，可以發(fā)現(xiàn)每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)多的點(diǎn)數(shù)正好是本身的序號(hào)，所以根據(jù)這個(gè)規(guī)律計(jì)算即可．根據(jù)三角形數(shù)的增長(zhǎng)規(guī)律可知第七個(gè)三角形數(shù)是1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28
2、.
答案 28
3．(2011·四川卷改編)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a1＝1，an＋1＝3Sn(n≥1)，則a6＝________.
解析 a1＝1，a2＝3S1＝3，a3＝3S2＝12＝3×41，a4＝3S3＝48＝3×42，a5＝3S4＝3×43，a6＝3S5＝3×44.
答案 3×44
4．(2011·四川綿陽(yáng)二診)在數(shù)列{an}中，an＝－2n2＋29n＋3，則此數(shù)列最大項(xiàng)的值是________．
解析 根據(jù)題意并結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可得：an＝－2n2＋29n＋3＝－2＋3＝－22＋3＋，
∴n＝7時(shí)，an取得最大值，最大項(xiàng)a7的值為108.
答案 108
5
3、．在函數(shù)f(x)＝中，令x＝1,2,3，…，得到一個(gè)數(shù)列，則這個(gè)數(shù)列的前5項(xiàng)是________．
答案 1, ， ，2,
6．在數(shù)列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋n＋1，則通項(xiàng)an＝________.
解析 由an＋1－an＝n＋1可得，an－an－1＝n，
an－1－an－2＝n－1，an－2－an－3＝n－2，
…
a3－a2＝3，a2－a1＝2，
以上n－1個(gè)式子左右兩邊分別相加得，
an－a1＝2＋3＋…＋n，
∴an＝1＋(1＋2＋3＋…＋n)＝＋1.
答案?。?
7．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝n2－9n，第k項(xiàng)滿足5＜ak＜8，則k的值為___
4、_____．
解析 ∵Sn＝n2－9n，∴n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝2n－10，
a1＝S1＝－8適合上式，∴an＝2n－10(n∈N*)，
∴5＜2k－10＜8，得7.5＜k＜9.∴k＝8.
答案 8
二、解答題(每小題15分，共45分)
8．已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝n2－5n＋4.
(1)數(shù)列中有多少項(xiàng)是負(fù)數(shù)？
(2)n為何值時(shí)，an有最小值？并求出最小值．
解 (1)由n2－5n＋4＜0，解得1＜n＜4.
∵n∈N*，∴n＝2,3.∴數(shù)列中有兩項(xiàng)是負(fù)數(shù)，即為a2，a3.
(2)∵an＝n2－5n＋4＝2－.又n∈N*，∴n＝2或n＝3時(shí)，an有最小值
5、，其最小值為a2＝a3＝－2.
9．(★)已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和滿足Sn＞1，且6Sn＝(an＋1)(an＋2)，n∈N*.求{an}的通項(xiàng)公式．
解 由a1＝S1＝(a1＋1)(a1＋2)，
解得a1＝1或a1＝2，由已知a1＝S1＞1，因此a1＝2.
又由an＋1＝Sn＋1－Sn
＝(an＋1＋1)(an＋1＋2)－(an＋1)(an＋2)，
得an＋1－an－3＝0或an＋1＝－an.
因an＞0，故an＋1＝－an不成立，舍去．
因此an＋1－an－3＝0.
即an＋1－an＝3，從而{an}是公差為3，首項(xiàng)為2的等差數(shù)列，
故{an}的通項(xiàng)為an
6、＝3n－1.
【點(diǎn)評(píng)】 解決已知數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn與通項(xiàng)an的關(guān)系，求通項(xiàng)an的問題，步驟主要有：
第一步：令n＝1，由Sn＝f(an)求出a1；
第二步：令n≥2，構(gòu)造an＝Sn－Sn－1，用an代換Sn－Sn－1(或用Sn－Sn－1代換an，這要結(jié)合題目的特點(diǎn))，由遞推關(guān)系求通項(xiàng)；
第三步：驗(yàn)證當(dāng)n＝1時(shí)的結(jié)論是否適合當(dāng)n≥2時(shí)的結(jié)論.如果適合，則統(tǒng)一“合寫”；如果不適合，則應(yīng)分段表示；
第四步：明確規(guī)范表述結(jié)論.
10．已知數(shù)列{an}中，
an＝1＋(n∈N*，a∈R，且a≠0)．
(1)若a＝－7，求數(shù)列{an}中的最大項(xiàng)和最小項(xiàng)的值；
(2)若對(duì)任意的n∈N*，都
7、有an≤a6成立，求a的取值范圍．
解 (1)∵an＝1＋(n∈N*，a∈R，且a≠0)，
∵a＝－7，∴an＝1＋.
結(jié)合函數(shù)f(x)＝1＋的單調(diào)性．
可知1＞a1＞a2＞a3＞a4；
a5＞a6＞a7＞…＞an＞1(n∈N*)．
∴數(shù)列{an}中的最大項(xiàng)為a5＝2，最小項(xiàng)為a4＝0.
(2)an＝1＋＝1＋.
∵對(duì)任意的n∈N*，都有an≤a6成立，
并結(jié)合函數(shù)f(x)＝1＋的單調(diào)性，
∴5＜＜6，∴－10＜a＜－8.
B級(jí) 綜合創(chuàng)新備選
(時(shí)間：30分鐘 滿分：60分)
一、填空題(每小題5分，共30分)
1．(2011·廣東惠州二模)已知整數(shù)按如下規(guī)律排
8、成一列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，……則第60個(gè)數(shù)對(duì)是________．
解析 按規(guī)律分組
第一組(1,1)
第二組(1,2)，(2,1)
第三組(1,3)，(2,2)，(3,1)
則前10組共有＝55個(gè)有序?qū)崝?shù)對(duì)．
第60項(xiàng)應(yīng)在第11組中即(1,11)，(2,10)，(3,9)，(4,8)，(5,7)…，(11,1)因此第60個(gè)數(shù)對(duì)為(5,7)．
答案 (5,7)
2．在數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an＝n2＋kn＋2，若對(duì)所有的n∈N*，都有an＋1＞an成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是__
9、______．
解析 an＋1＞an，即(n＋1)2＋k(n＋1)＋2＞n2＋kn＋2，則k＞－(2n＋1)對(duì)所有的n∈N*都成立，而當(dāng)n＝1時(shí)，－(2n＋1)取得最大值－3，所以k＞－3.
答案 (－3，＋∞)
3．(2011·合肥三檢)在數(shù)列{an}中，a1＝，an＋1＝1－(n≥2)，則a16＝________.
解析 由題可知a2＝1－＝－1，a3＝1－＝2，a4＝1－＝，∴此數(shù)列是以3為周期的周期數(shù)列，a16＝a3×5＋1＝a1＝.
答案
4．已知{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足log2(Sn＋1)＝n＋1，則an＝________.
解析 由已知條件可得Sn＋1＝2
10、n＋1.
∴Sn＝2n＋1－1，
當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝3，
當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1－1－2n＋1＝2n，
n＝1時(shí)不適合an，∴an＝
答案
5．已知數(shù)列{an}滿足：a4n－3＝1，a4n－1＝0，a2n＝an，n∈N*，則a2 009＝________；a2 014＝________.
解析 依題意，得a2 009＝a4×503－3＝1，
a2 014＝a2×1 007＝a1 007＝a4×252－1＝0.
∴應(yīng)填1,0.
答案 1,0
6．(2012·泰州月考)數(shù)列1,1,2,3,5,8,13，x,34,55，…中x的值為________．
11、
解析 觀察數(shù)列中項(xiàng)的規(guī)律，易看出數(shù)列從第三項(xiàng)開始每一項(xiàng)都是其前兩項(xiàng)的和．
答案 21
二、解答題(每小題15分，共30分)
7．在數(shù)列{an}中，已知a1＝1，
an＋1＝an＋2n－1，求an.
解 由an＋1＝an＋2n－1，得an＋1－an＝2n－1.
所以a2－a1＝1，a3－a2＝2，
a4－a3＝22，
a5－a4＝23，
…
an－an－1＝2n－2(n≥2)，
將以上各式左右兩端分別相加，得an－a1＝1＋2＋22＋…＋2n－2＝2n－1－1，
所以an＝2n－1(n≥2)，又因?yàn)閍1＝1適合上式，故an＝2n－1(n≥1)．
8．(2011·廣州
12、模擬)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝，且a1＝1.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an；
(2)令bn＝ln an，是否存在k(k≥2，且k∈N*)，使得bk，bk＋1，bk＋2成等比數(shù)列．若存在，求出所有符合條件的k值；若不存在，請(qǐng)說明理由．
解 (1)法一 當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝－，即＝(n≥2)．所以是首項(xiàng)為＝1的常數(shù)數(shù)列，所以＝1，即an＝n(n∈N*)．
法二 同上，得(n－1)an＝nan－1.同理，得
nan＋1＝(n＋1)an，所以2nan＝n(an－1＋an＋1)，即
2an＝an－1＋an＋1，所以{an}成等差數(shù)列．又由a1＝1，得a2＝S2－a1＝2，得an＝1＋(n－1)＝n(n∈N*)．
法三 同上，得＝(n≥2)，
所以an＝···…···a1＝··…···1＝n，當(dāng)n＝1時(shí)a1＝1，也滿足an＝n，所以an＝n(n∈N*)．
(2)假設(shè)存在k(k≥2，k∈N*)，使得bk，bk＋1，bk＋2成等比數(shù)列，則bkbk＋2＝b.因?yàn)閎n＝ln an＝ln n，
所以bkbk＋2＝ln k·ln(k＋2)＜2＝2＜2＝[ln(k＋1)]2＝b，這與bkbk＋2＝b矛盾．
故不存在k(k≥2，k∈N*)，使得bk，bk＋1，bk＋2成等比數(shù)列．
（江蘇專用）高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第六篇 數(shù)列、推理與證明《第31講 數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法》理（含解析） 蘇教版
