（江蘇專用）高考數(shù)學總復習 第十篇 圓錐曲線與方程《第59講雙曲線》理（含解析） 蘇教版

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1、 A級　基礎達標演練 (時間：45分鐘　滿分：80分) 一、填空題(每小題5分，共35分) 1．若雙曲線－＝1(a＞0)的離心率為2，則a＝________. 解析　∵b＝，∴c＝，∴＝＝2，∴a＝1. 答案　1 2．若雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的焦點到其漸近線的距離等于實軸長，則該雙曲線的離心率為________． 解析　焦點(c,0)到漸近線y＝x的距離為＝b，則由題意知b＝2a，又a2＋b2＝c2，∴5a2＝c2，∴離心率e＝＝. 答案　 3．已知雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的一條漸近線方程是y＝x，它的一個焦點在拋物線y2＝24x的準線上，則雙曲線的方程為__

2、______． 解析　由題意可知，解得 答案　－＝1 4．(2011·湖南卷改編)設雙曲線－＝1(a＞0)的漸近線方程為3x±2y＝0，則a＝________. 解析　雙曲線－＝1的漸近線方程為3x±ay＝0與已知方程比較系數(shù)得a＝2. 答案　2 5．(2011·青島一檢)設F1、F2分別是雙曲線x2－＝1的左、右焦點，若點P在雙曲線上，且·＝0，則|＋|＝________. 解析　如圖，由·＝0可得⊥，又由向量加法的平行四邊形法則可知?PF1QF2為矩形，因為矩形的對角線相等，故有|＋|＝||＝2c＝2. 答案　2 6．(2011·蘇錫常鎮(zhèn)調研)在平面直角坐標系xOy中

3、，雙曲線8kx2－ky2＝8的漸近線方程為________． 解析　由8kx2－ky2＝8，得其漸近線方程為8kx2－ky2＝0(k≠0)，即y2＝8x2，所以y＝±2x. 答案　y＝±2x 7．(2011·南京模擬)已知雙曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)的右頂點、右焦點分別為A、F，它的左準線與x軸的交點為B，若A是線段BF的中點，則雙曲線C的離心率為________． 解析　由題意知，B，A(a,0)，F(xiàn)(c,0)，于是A是線段BF的中點，得c－＝2a，∴c2－a2＝2ac， ∴e2－2e－1＝0. 又e＞1，所以e＝＋1. 答案　＋1 二、解答題(每小題15分，共45分)

4、 8．設雙曲線－＝1(b＞a＞0)的半焦距為c，直線l過(a,0)，(0，b)兩點，且原點到直線l的距離為c，求雙曲線的離心率． 解　由l過兩點(a,0)、(0，b)，得l的方程為bx＋ay－ab＝0. 由原點到l的距離為c，得＝c. 將b＝代入，平方后整理，得 162－16×＋3＝0. 令＝x，則16x2－16x＋3＝0，解得x＝或x＝. 由e＝，得e＝，故e＝或e＝2. ∵0＜a＜b，∴e＝＝＝＞， ∴應舍去e＝，故所求離心率e＝2. 9．求適合下列條件的雙曲線方程． (1)焦點在y軸上，且過點(3，－4)、. (2)已知雙曲線的漸近線方程為2x±3y＝0，且雙曲線

5、經過點P(，2)． 解　(1)設所求雙曲線方程為－＝1(a＞0，b＞0)，則因為點(3，－4)，在雙曲線上， 所以點的坐標滿足方程，由此得 令m＝，n＝，則方程組化為 解方程組得 ∴a2＝16，b2＝9.所求雙曲線方程為－＝1. (2)由雙曲線的漸近線方程y＝±x， 可設雙曲線方程為－＝λ(λ≠0)． ∵雙曲線過點P(，2)，∴－＝λ，λ＝－， 故所求雙曲線方程為y2－x2＝1. 10．中心在原點，焦點在x軸上的一橢圓與一雙曲線有共同的焦點F1，F(xiàn)2，且F1F2＝2，橢圓的長半軸與雙曲線實半軸之差為4，離心率之比為3∶7. (1)求這兩曲線方程； (2)若P為這兩曲線的

6、一個交點，求cos∠F1PF2的值． 解　(1)由已知，得c＝，設橢圓長、短半軸長分別為a，b，雙曲線實半軸、虛半軸長分別為m、n， 則 解得a＝7，m＝3.所以b＝6，n＝2. 故橢圓方程為＋＝1，雙曲線方程為－＝1. (2)不妨設F1、F2分別為左、右焦點，P是第一象限的一個交點，則PF1＋PF2＝14， PF1－PF2＝6， 所以PF1＝10，PF2＝4. 又F1F2＝2， 故cos∠F1PF2＝ ＝. B級　綜合創(chuàng)新備選 (時間：30分鐘　滿分：60分) 一、填空題(每小題5分，共30分) 1．(2011·天津卷改編)已知雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的左頂

7、點與拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點的距離為4，且雙曲線的一條漸近線與拋物線的準線的交點坐標為(－2，－1)，則雙曲線的焦距為________． 解析　由題意得? ?c＝＝.∴雙曲線的焦距2c＝2. 答案　2 2．設F1，F(xiàn)2是雙曲線x2－＝1的兩個焦點，P是雙曲線上的一點，且3PF1＝4PF2，則△PF1F2的面積是________． 解析　由可解得 又由F1F2＝10可得△PF1F2是直角三角形， 則S△PF1F2＝PF1×PF2＝24. 答案　24 3．如圖，已知雙曲線以長方形ABCD的頂點A、B為左、右焦點，且雙曲線過C、D兩頂點．若AB＝4，BC＝3，則此雙曲線的

8、標準方程為________． 解析　設雙曲線的標準方程為－＝1(a＞0，b＞0)．由題意得B(2,0)，C(2,3)， ∴解得 ∴雙曲線的標準方程為x2－＝1. 答案　x2－＝1 4．過雙曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)的一個焦點作圓x2＋y2＝a2的兩條切線，切點分別為A、B.若∠AOB＝120°(O是坐標原點)，則雙曲線C的離心率為________． 解析　如圖，由題知OA⊥AF， OB⊥BF且∠AOB＝120°， ∴∠AOF＝60°， 又OA＝a，OF＝c， ∴＝＝cos 60°＝， ∴＝2. 答案　2 5．(2011·揚州調研)已知點P是雙曲線x2－y

9、2＝2上的點，該點關于實軸的對稱點為Q，則·＝________. 解析　設P(x，y)，則Q(x，－y)，且x2－y2＝2.所以·＝(x，y)·(x，－y)＝x2－y2＝2. 答案　2 6．(2011·山東省濟寧模擬)已知拋物線y2＝2px(p＞0)上一點M(1，m)(m＞0)到其焦點的距離為5，雙曲線－y2＝1的左頂點為A，若雙曲線的一條漸近線與直線AM平行，則實數(shù)a的值是________． 解析　由拋物線定義，得1＋＝5，所以p＝8，從而M(1,4)，又A(－a,0)，于是由＝，得a＝. 答案　 二、解答題(每小題15分，共30分) 7．已知雙曲線的中心在原點，焦點F1，F(xiàn)2

10、在坐標軸上，離心率為，且過點(4，－)． (1)求雙曲線方程； (2)若點M(3，m)在雙曲線上，求證：·＝0； (3)求△F1MF2的面積． (1)解　∵e＝， ∴設雙曲線方程為x2－y2＝λ. 又∵雙曲線過(4，－)點，∴λ＝16－10＝6， ∴雙曲線方程為x2－y2＝6. (2)證明　法一　由(1)知a＝b＝，c＝2， ∴F1(－2，0)，F(xiàn)2(2，0)， ∴kMF1＝，kMF2＝， ∴kMF1·kMF2＝＝，又點(3，m)在雙曲線上， ∴m2＝3， ∴kMF1·kMF2＝－1，MF1⊥MF2，·＝0. 法二　∵＝(－3－2，－m)，＝(2－3，－m) ∴·

11、＝(3＋2)(3－2)＋m2＝－3＋m2. ∵M在雙曲線上，∴9－m2＝6， ∴m2＝3，∴·＝0. (3)解　∵在△F1MF2中，F(xiàn)1F2＝4，且|m|＝， ∴S△F1MF2＝·F1F2·|m|＝×4×＝6. 8．(2011·廣東卷)設圓C與兩圓(x＋)2＋y2＝4，(x－)2＋y2＝4中的一個內切，另一個外切． (1)求圓C的圓心軌跡L的方程； (2)已知點M，F(xiàn)(，0)，且P為L上動點，求|MP－FP|的最大值及此時點P的坐標． 解　(1)設圓C的圓心坐標為(x，y)，半徑為r. 圓(x＋)2＋y2＝4的圓心為F1(－，0)，半徑為2. 圓(x－)2＋y2＝4的圓心為F(，0)，半徑為2. 由題意得或 ∴CF1－CF＝4. ∵F1F＝2＞4， ∴圓C的圓心軌跡是以F1(－，0)，F(xiàn)(，0)為焦點的雙曲線，其方程為－y2＝1. (2)由圖知，|MP－FP|≤MF， ∴當M，P，F(xiàn)三點共線，且點P在MF延長線上時，MP－FP取得最大值MF，且MF＝＝2. 直線MF的方程為y＝－2x＋2，與雙曲線方程聯(lián)立得整理得15x2－32＋84＝0. 解得x1＝(舍去)，x2＝. 此時y＝－. ∴當|MP－FP|取得最大值2時，點P的坐標為.