（江蘇專用）高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第八章第5課時(shí) 橢圓課時(shí)闖關(guān)（含解析）

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1、 [A級(jí)　雙基鞏固] 一、填空題 1．已知△ABC的頂點(diǎn)B、C在橢圓＋y2＝1上，頂點(diǎn)A是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，且橢圓的另外一個(gè)焦點(diǎn)在BC邊上，則△ABC的周長是________． 解析：由橢圓第一定義得△ABC的周長是4a＝4. 答案：4 2．若橢圓2kx2＋ky2＝1的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)是(0，－4)，則k的值為________． 解析：a2＝，b2＝，則c2＝.又c＝4，所以k＝. 答案： 3．“m＞n＞0”是“方程mx2＋ny2＝1表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓”的________條件． 解析：把橢圓方程化成＋＝1.若m＞n＞0，則＞＞0.所以橢圓的焦點(diǎn)在y軸上．反之，若橢圓

2、的焦點(diǎn)在y軸上，則＞＞0即有m＞n＞0.故為充要條件． 答案：充要 4．中心在原點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為x＝±4，離心率為的橢圓方程為________． 解析：∵e＝＝，x＝±＝±4， ∴a＝2，c＝1，方程為＋＝1. 答案：＋＝1 5．(2010·高考廣東卷改編)若一個(gè)橢圓長軸的長度、短軸的長度和焦距成等差數(shù)列，則該橢圓的離心率是________． 解析：由題意有2a＋2c＝2(2b)，即a＋c＝2b，又c2＝a2－b2，消去b整理得5c2＝3a2－2ac，即5e2＋2e－3＝0，∴e＝或e＝－1(舍去)． 答案： 6．設(shè)橢圓＋＝1(m＞1)上一點(diǎn)P到其左焦點(diǎn)的距離為3，到右焦點(diǎn)的距

3、離為1，則P到右準(zhǔn)線的距離為________． 解析：∵m2＞m2－1，∴m2＝a2，m2－1＝b2. ∴c2＝1.又3＋1＝2a?a＝2， ∴dp－l右＝＝＝2. 答案：2 7．動(dòng)圓C和定圓C1：x2＋(y－4)2＝64內(nèi)切而和定圓C2：x2＋(y＋4)2＝4外切則動(dòng)圓圓心的軌跡方程為________． 解析：如圖，該動(dòng)圓圓心為C(x，y)，半徑為r，由已知得： |CC1|＝8－r，?、? |CC2|＝2＋r?、? ①＋②得： |CC1|＋|CC2|＝10， ∴點(diǎn)C的軌跡是以C1、C2為焦點(diǎn)的橢圓， 其中2a＝10,2c＝8. ∴a＝5，c＝4，b＝3. ∴動(dòng)圓圓

4、心的軌跡方程為＋＝1. 答案：＋＝1 8．如圖所示，橢圓中心為O，F(xiàn)是焦點(diǎn)，A為頂點(diǎn)，準(zhǔn)線l交OA延長線于B，P、Q在橢圓上，且PD⊥l于D，QF⊥OA于F，則橢圓離心率為： ①；②；③；④；⑤.上述離心率正確的個(gè)數(shù)是______． 解析：觀察圖形知，F(xiàn)為左焦點(diǎn)，則l必為左準(zhǔn)線，由橢圓的第二定義知： ＝e，又QF⊥BF， ∴Q到l的距離d＝|BF|， 而＝e；＝＝＝e， ＝＝e；＝＝e. 故以上五個(gè)比值均可以作為橢圓的離心率． 答案：5 二、解答題 9．如圖，橢圓E：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)A(4，m)在橢圓E上，且·＝0，點(diǎn)D(

5、2，0)到直線F1A的距離DH＝. (1)求橢圓E的方程； (2)設(shè)點(diǎn)P為橢圓E上的任意一點(diǎn)，求·的取值范圍． 解：(1)由題意知c＝4，F(xiàn)1(－4,0)，F(xiàn)2(4,0)． ∵sin∠AF1F2＝＝，DH＝，DF1＝6， 又∵·＝0，∴AF2＝，AF1＝2a－. ∴＝.則a2＝b2. 由b2＋c2＝a2，得b2＋16＝b2. ∴b2＝48，a2＝64. ∴橢圓E的方程為＋＝1. (2)設(shè)點(diǎn)P(x，y)，則＋＝1， 即y2＝48－x2. ∵＝(－4－x，－y)，＝(2－x，－y)， ∴·＝x2＋y2＋2x－8 ＝x2＋2x＋40＝(x＋4)2＋36. ∵－8≤x≤8

6、， ∴·的取值范圍是[36,72]． 10．設(shè)橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的左焦點(diǎn)為F，上頂點(diǎn)為A，過點(diǎn)A與AF垂直的直線分別交橢圓C與x軸正半軸于點(diǎn)P，Q，且＝. (1)求橢圓C的離心率； (2)若過A，Q，F(xiàn)三點(diǎn)的圓恰好與直線l：x＋y＋3＝0相切，求橢圓C的方程． 解：(1)∵kAF＝，∴kAQ＝－，∴AQ：y＝－x＋b.∴點(diǎn)Q. 又A(0，b)，設(shè)P(x0，y0)，則由＝，得(x0，y0－b)＝，∴代入＋＝1，得＋＝1，解得e＝＝. (2)由(1)，知c＝，b＝a，∴橢圓方程為＋＝1，即3x2＋4y2＝3a2. 此時(shí)，A，Q，F(xiàn). ∴FQ的中點(diǎn)坐標(biāo)為. 此即過A

7、，Q，F(xiàn)三點(diǎn)的圓的圓心，它的半徑r＝　，又r＝， 因此＝　，∴a＝2，b＝，故橢圓C的方程為＋＝1. [B級(jí)　能力提升] 一、填空題 1．已知橢圓＋＝1(a＞b＞0)，A(2,0)為長軸的一個(gè)端點(diǎn)，弦BC過橢圓的中心O，且·＝0，|－|＝2|－|，則橢圓的方程為________． 解析：∵|－|＝2|－|， ∴||＝2||，又·＝0， ∴⊥，∴△AOC為等腰直角三角形． 又|OA|＝2，∴C點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,1)或(1，－1)， ∵C點(diǎn)在橢圓上，∴＋＝1，又a2＝4，∴b2＝， ∴橢圓方程為＋＝1. 答案：＋＝1 2．(2012·蘇北五市調(diào)研)已知橢圓＋＝1(a＞0，b＞

8、0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)，若橢圓上存在點(diǎn)P(異于長軸的端點(diǎn))，使得csin∠PF1F2＝asin∠PF2F1，則該橢圓離心率的取值范圍是________． 解析：由題意＝＝?＝?PF2＝，因?yàn)閍－c＜PF2＜a＋c?a－c＜＜a＋c?1－e＜＜1＋e，又0＜e＜1，所以－1＜e＜1. 答案：(－1,1) 3．已知橢圓＋＝1內(nèi)有一點(diǎn)P(1，－1)，F(xiàn)為橢圓右焦點(diǎn)，在橢圓上有一點(diǎn)M，使|MP|＋2|MF|取得最小值，則點(diǎn)M的坐標(biāo)為________． 解析： 如右圖所示，l為橢圓的右準(zhǔn)線，過點(diǎn)M作準(zhǔn)線的垂線，垂足為M′. 由橢圓的方程易知e＝， ∴＝，

9、 即|MM′|＝2|MF|， 從而求|MP|＋2|MF|的最小值問題，便轉(zhuǎn)化為求|MP|＋|MM′|的最小值問題． 易知當(dāng)M、P、M′三點(diǎn)共線時(shí)，其和取最小值，即：由點(diǎn)P向準(zhǔn)線l作垂線，則與橢圓的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)M. ∴點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為－1，代入橢圓的方程，有＋＝1，∴x2＝. 由于點(diǎn)M在y軸的右側(cè)， ∴x＝. 從而點(diǎn)M的坐標(biāo)為. 答案： 4．我們把由半橢圓＋＝1(x≥0)與半橢圓＋＝1(x＜0)合成的曲線稱作“果圓”(其中a2＝b2＋c2，a＞b＞c＞0)．如圖，設(shè)點(diǎn)F0，F(xiàn)1，F(xiàn)2是相應(yīng)橢圓的焦點(diǎn)，A1，A2和B1，B2是“果園”與x，y軸的交點(diǎn)，若△F0F1F2是邊長

10、為1的等邊三角形，則a，b的值分別為________． 解析：由已知|F1F2|＝2＝1，又因?yàn)椤鱂0F1F2是邊長為1的等邊三角形， 所以cos30°＝，即c2＝b2，解得b＝1，c2＝. 所以a2＝，a＞0，所以a＝. 答案：，1 二、解答題 5．(2012·南通質(zhì)檢)設(shè)A、B是橢圓3x2＋y2＝λ上不同的兩點(diǎn)，點(diǎn)N(1,3)是線段AB的中點(diǎn)，線段AB的垂直平分線與橢圓交于C、D兩點(diǎn)． (1)確定λ的取值范圍，并求直線AB的方程； (2)求以線段CD的中點(diǎn)M為圓心且與直線AB相切的圓的方程． 解：(1)法一：依題意，顯然直線AB的斜率存在，故可設(shè)直線AB的方程y＝k(x－

11、1)＋3，代入3x2＋y2＝λ，整理得(k2＋3)x2－2k(k－3)x＋(k－3)2－λ＝0.① 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1、x2是方程①的兩個(gè)不同的實(shí)根， 所以Δ＝4[λ(k2＋3)－3(k－3)2]＞0，② 且x1＋x2＝， 由N(1,3)是線段AB的中點(diǎn)，得＝1， 所以k(k－3)＝k2＋3，解得k＝－1， 代入②得，λ＞12， 即λ的取值范圍是(12，＋∞)． 直線AB的方程為y－3＝－(x－1)，即x＋y－4＝0. 法二：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則有?3(x1－x2)(x1＋x2)＋(y1－y2)(y1＋y2)＝0. 依題意，x1

12、≠x2， 所以kAB＝＝－. 因?yàn)镹(1,3)是線段AB的中點(diǎn)，所以x1＋x2＝2，y1＋y2＝6，從而kAB＝－1. 又N(1,3)在橢圓內(nèi)，所以λ＞3×12＋32＝12， 所以λ的取值范圍是(12，＋∞)． 直線AB的方程為y－3＝－(x－1)，即x＋y－4＝0. (2)因?yàn)榫€段CD垂直平分線段AB，所以線段CD所在的直線方程為y－3＝x－1，即x－y＋2＝0， 代入橢圓方程，整理得4x2＋4x＋4－λ＝0，③ 設(shè)C(x3，y3)，D(x4，y4)， 線段CD的中點(diǎn)為M(x0，y0)， 則x3、x4是方程③的兩個(gè)不同的根， 所以x3＋x4＝－1， 且x0＝(x3＋x

13、4)＝－，y0＝x0＋2＝， 故M. 又M到直線AB的距離d＝＝， 所以以線段CD的中點(diǎn)M為圓心且與直線AB相切的圓的方程為：2＋2＝. 6．(2012·南京調(diào)研)已知直線l：x＝my＋1過橢圓C：＋＝1的右焦點(diǎn)F，拋物線x2＝4y的焦點(diǎn)為橢圓C的上頂點(diǎn)，且直線l交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)A、F、B在直線g：x＝4上的射影依次為點(diǎn)D、K、E. (1)求橢圓C的方程； (2)若直線l交y軸于點(diǎn)M，且＝λ1，＝λ2，當(dāng)m變化時(shí)，探求λ1＋λ2的值是否為定值？若是，求出λ1＋λ2的值，否則，說明理由； (3)連結(jié)AE、BD，試探索當(dāng)m變化時(shí)，直線AE與BD是否相交于定點(diǎn)？若是，請(qǐng)求出定點(diǎn)

14、的坐標(biāo)，并給予證明；否則，說明理由． 解：(1)由題知橢圓右焦點(diǎn)為F(1,0)，∴c＝1，拋物線x2＝4y的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0，)，∴b＝，∴b2＝3. ∴a2＝b2＋c2＝4. ∴橢圓C的方程為＋＝1. (2)由題，知m≠0，且直線l與y軸交于點(diǎn)M. 設(shè)直線l交橢圓于A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由?(3m2＋4)y2＋6my－9＝0， ∴Δ＝(6m)2＋36(3m2＋4)＝144(m2＋1)＞0， ∴y1＋y2＝－，y1·y2＝－. 又∵＝λ1， ∴＝λ1(1－x1，－y1)， ∴λ1＝－1－， 同理λ2＝－1－. ∴λ1＋λ2＝－2－. 又∵＋＝＝－×＝， ∴λ1＋λ2＝－2－＝－2－·＝－. 所以，當(dāng)m變化時(shí)，λ1＋λ2為定值，定值為－. (3)先觀察，當(dāng)m＝0時(shí)，直線l⊥x軸，則ABED為矩形，由對(duì)稱性知，AE與BD相交于FK的中點(diǎn)N，且N，猜想當(dāng)m變化時(shí)，AE與BD相交于定點(diǎn)N. 當(dāng)m≠0時(shí)，由(2)知A(x1，y1)，B(x2，y2)， ∴D(4，y1)，E(4，y2)， 則直線AE的方程為lAE：y－y2＝·(x－4)， 當(dāng)x＝時(shí)，y＝y(tǒng)2＋· ＝ ＝ ＝ ＝＝0. ∴點(diǎn)N在直線AE上， 同理可證，點(diǎn)N也在直線BD上， ∴當(dāng)m變化時(shí)，AE與BD相交于定點(diǎn)N.