測驗試卷答案

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1、.02 3 的 通 解 為 ：、 微 分 方 程 xxyy .)(.1 2 2222 yyx dyxf 分 形 式 為 ：在 極 坐 標(biāo) 系 下 的 二 次 積一 、 填 空 題 （ 每 小 題 3分 ， 共 15分 ） sin20 20 )( dfd分 析 如 圖 ： o xyD如 圖 ： sin20 0型 ： sin20 22 022 )()(22 dfddyxfyyx )3( 3 Cxx 分 析 為 一 階 線 性 非 齊 次 方 程 3)(,1)( xxQxxP CdxexQey dxxPdxxP )()( )(通 解 為 ： Cdxexe dxxdxx 131 )3( 3 Cxx .

2、)()()()(3 0 xfdxxfexfxf xx ， 則滿 足、 若分 析 導(dǎo)數(shù) ， 先 對 表 達 式 兩 邊 求的 表 達 式 中 含 有 變 限 函)(xf )()( xfexf x 則 有 ：令 ),(xfy xeyy 為 一 階 線 性 非 齊 次 方 程xexQxP )(,1)( CdxexQey dxxPdxxP )()( )(通 解 為 ： Cdxeee dxxdx )21( 2 Cee xx 21,1)0( Cy又 2)( xx eexfy 2 xx ee .0234 的 通 解 為 ：、 差 分 方 程 xx yy分 析 為 一 階 線 性 差 分 方 程 ， 先 化

3、為 不 同 時 期 函 數(shù) 值 方 程 形 式221 xx yy 02 特 征 方 程 ： 2-特 征 根 ： xCY )2( 對 應(yīng) 齊 次 方 程 通 解 ： Ayxf *,2)( 可 設(shè) 特 解 形 式 為 ： 32A代 入 原 方 程 得 ： 32)2( xCY原 方 程 通 解 ： 32)2( xCY .2 1)(5 2 冪 級 數(shù) 為 ：展 開 成、 將 xxxf 分 析 將 函 數(shù) 展 開 成 冪 級 數(shù) ， 要 利 用 常 用 的 函 數(shù) 展 開 式21 1212 1)( 22 xxxf )1,1(,1 1 0 xxx n n又 nn xxxf 0 22 22121 121)(

4、 0 120 2 2221 n n nn nn xx)2,2()1,1(22 xx )2,2(,20 12 xxn n n )()3,2,1(,101 下 列 級 數(shù) 肯 定 收 斂 的 是、 設(shè) nnan二 、 單 項 選 擇 題 ,（ 每 小 題 3分 ， 共 15分 ） 1 2111 )1(.)1(. n nnn nn nnn n aDaCaBaA B分 析 判 斷 數(shù) 項 級 數(shù) 的 斂 散 性 CAnan 和可 以 排 除取 ,21 na n 10 22 1nan 絕 對 收 斂 1 2)1(n nnaBkn knna nn 可 以 排 除取 ,1221 221 )(,),(2),(

5、2 D yFDfdxdyyxfyyxF 上 連 續(xù) ， 則在其 中、 設(shè) ),(2.),(2.),(2.2. yxfDyxfCyxfBA xy A分 析 求 多 元 函 數(shù) 的 偏 導(dǎo) 數(shù) D yy dxdyyxfyyxFyF ),(2(),( 202 )(3 1 的 值 為、 二 重 積 分 yx dxdy分 析 考 察 二 重 積 分 的 幾 何 意 義 21.0.2.1. DCBA B o xyD1 111Dyx Sdxdy 1 2 DS利 用 幾 何 圖 形 知如 圖 ： )(2324 1 待 定 系 數(shù)其 中的 特 解 形 式 為、 差 分 方 程 kyy xxx xxxx kxDk

6、xCkBkA 22 2.2.2.2. 分 析 考 察 一 階 線 性 非 齊 次 差 分 方 程 的 特 解 形 式 有 ：的 差 分 方 程 的 特 解 形 式一 般 形 如 ： )(1 xfayy xx 為 多 項 式、 )()()1( xPxf n 是 特 征 根不 是 特 征 根特 解 形 式 可 設(shè) 為 ： 1)( 1)(* xxQ xQy nn)()()2( xPxf nx、 是 特 征 根不 是 特 征 根特 解 形 式 可 設(shè) 為 ： )( )(* xQx xQy nx nx C )(25 的 一 個 特 解 為、 微 分 方 程 xyy xeDxxCxBxA .1.cos.

7、2分 析 考 察 二 階 線 性 非 齊 次 差 分 方 程 的 特 解 求 法)()()1( xPexf nx、 是 特 征 重 根是 特 征 單 根不 是 特 征 根特 解 形 式 可 設(shè) 為 ： )( )( )(2* xQex xQxe xQey nx nx nx 可 設(shè) 為 ：的 微 分 方 程 的 特 解 形 式一 般 形 如 ： )(xfqyypy 代 入 原 方 程 得 ：設(shè) )(* baxxy 1,1 baxxy 2* C 三 .計 算 題 （ 每 小 題 7分 ， 共 49分 ） .12321 012 的 特 解滿 足 條 件、 求 差 分 方 程 ： yyy ttt ，于

8、是 tty 283 .2283 ttt Cy 所 求 通 解 為 解 一 對 應(yīng) 齊 次 方 程 通 解特 征 方 程 ，02 特 征 根 ，2 tt CY 2， 原 方 程 化 為設(shè) ttt zy 2 2322 1 tt zz ，求 得 其 特 解 為 83tz ttt yy 22321 將 原 方 程 標(biāo) 準 化 ： 8510 Cy由 .285283 ttty 所 求 特 解 為 .12321 012 的 特 解滿 足 條 件、 求 差 分 方 程 ： yyy ttt ，于 是 tty 283 .2283 ttt Cy 所 求 通 解 為 解 二 對 應(yīng) 齊 次 方 程 通 解特 征 方

9、程 ，02 特 征 根 ，2 tt CY 2， 代 入 原 方 程 化 簡 得 ：設(shè) 特 解 形 式 為 ： tt Ay 2* 2322 AA ，83 A ttt yy 22321 將 原 方 程 標(biāo) 準 化 ：851 0 Cy由 .285283 ttty 所 求 特 解 為 .232 通 解、 求 xxeyyy 解對 應(yīng) 齊 次 方 程 通 解特 征 方 程 ,0232 rr特 征 根 ， 21 21 rr ,221 xx eCeCY 是 特 征 單 根 ，1 ,)( xeBAxxy 設(shè)代 入 方 程 , 得 xABAx 22 ,121 BA xexxy )121(于 是原 方 程 通 解

10、為 .)121(221 xxx exxeCeCy ,2 )1()1(.3 2 的 和 函 數(shù)求 冪 級 數(shù) n nn xn 解 一 nnn nn tnxtxn )1(2 12 )1()1( 22 令 222 )1( nn tnt )()( 2 122 12 n nn n tttt 222 )1()1( ttttt )1,1(t 22222 )3( )1()2 11( )2 1(2 )1()1( xxxxxn n nn )3,1(x ,2 )1()1(.3 2 的 和 函 數(shù)求 冪 級 數(shù) n nn xn 解 二 nnn nn tnxtxn )2)(1(12 )1()1( 22 令 222 )2

11、)(1()2( nn tnt )2(2)2(2 2 122 12 n nn n tttt 222 )2(21 22 ttttt )2,2(t 22222 )3( )1()1(2( )1(2 )1()1( xxxxxn n nn )3,1(x .)(sin)(4 0 dxxfdtt txf x ， 計 算、 已 知解 一 0000 sinsin)sin()( dtt tdxdtt tdxdxdtt tdxxf xxx o xt D tx xD 0: txtD 00: 0 000 sinsin)( dxt tdtdtt tdxdxxf tx 0 sintdt 2cos 0 t .)(sin)(4

12、0 dxxfdtt txf x ， 計 算、 已 知解 二 xxdtt txf x sin)sin()( dxxfxxxfdxxf 000 )()()( 0)( f又 dxxdxxf 00 sin)( 2cos 0 x .5 :解 一 .2, 222 軸 圍 成與由其 中求 xxxyDdxdyyxyD xo y 2D 220 20: xxy xD dxdyyxyD 22 220 2220 xx dyyxydx 54如 圖 ： 220 222220 )(21 xx yxdyxdx 2 0 323 )2(31 dxxx 2042523 452231 xx 20 202322 2)(3221 dxy

13、x xx .5 :解 二 .2, 222 軸 圍 成與由其 中求 xxxyDdxdyyxyD xo y 2D cos20 0: 2D dxdyyxyD 22 cos200 sin2 dd 20 4 sincos4 d 205 cos514 54 如 圖 ： 22 xxy .cos6 1 3 的 收 斂 性、 判 別 級 數(shù) n nn nn :解 1 31 3 )1(cos n nn nn nnn nn 13 .1,11coslim nn nn nn nn 發(fā) 散又 .cos1 3 發(fā) 散 n nn nn 1)1( 1,0lim 333 nn nnnnnnnn 且 .)1(cos 1 31 3

14、收 斂 n nn nn nnn nn .)1(cos 1 31 3 條 件 收 斂故 n nn nn nnn nn .37 121 的 和 函 數(shù)、 求 冪 級 數(shù) nn n xn 112221 1121 333333 nnnn nnn n tntxtxnxxn 令:解 11 33)(33 n nn n tttt ttt 133 2)1( 133 tt )1,1(t 2222121 )3( 3)31( 133 xxxxxn nn n )3,3(x )(xfy 1、 連 續(xù) 光 滑 曲 線 過 點 ， 其 上 任 意 點 處 的 切 線 斜 率 與 直 線 的 斜 率 之 差 等 于 ， 求 該

15、 曲 線 的 方 程 ；)(xfy ( , )( 0)P x y x )0,1(M x四 、 綜 合 應(yīng) 用 題 （ 每 小 題 8分 ， 共 16分 ）:解 由 題 意 得 ： xxyy )( 11 Cdxexey dxxdxx 解 得 ： )1( Cdxx )( Cxx 1,0)1( Cy .)( 2 xxxfy 的 和求 級 數(shù)、 設(shè) 040 ,3,2,1,0,cossin2 n nnn InxdxxI :解 一 0 400 cossinn nn n xdxxI dxxxn n 40 0 cossindxxx 40 sin1cos ).22ln()221ln( :解 二 xdxxI nn

16、 cossin40 1)22( 1 n n 0 10 1)22(n nn n nI )1,1,)1ln()(,1)( 0 1 xxxsnxxs n n令 ).22ln()221ln()22(0 sIn n ).0,0(),(1lim),( 22220 fdxdyyxfryxf ryxr 為 連 續(xù) 函 數(shù) ， 證 明 ：設(shè)五 、 證 明 題 （ 每 小 題 5分 ， 共 5分 ）:證 明 知 ：由 二 重 積 分 的 中 值 定 理 ),(),(,),(),( 2222222 ryxyxrfdxdyyxfryx ),(lim),(1lim 020 222 fdxdyyxfr rryxr 00,0 且r ),(lim),(1lim 020 222 fdxdyyxfr rryxr ).0,0(),(lim00 ff ).0()(2 3lim,0)0()( 222 2230 fdxdyyxfrfuf ryxr 證 明 ：可 導(dǎo) ， 且設(shè) :證 明 rrryxr dfrdxdyyxfr 0302230 )(22 3lim)(2 3lim 222 rryx 0 20222 rrryx dfdfddxdyyxf 002022 )(2)()(222 rrfr df rrr )(lim)(3lim 000300 r frfr )0()(lim0 )0()0( ff