高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題跟蹤檢測（十七）概率、隨機(jī)變量及其分布列 理（重點生含解析）-人教版高三數(shù)學(xué)試題

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1、專題跟蹤檢測（十七） 概率、隨機(jī)變量及其分布列 一、全練保分考法——保大分 1．(2018·全國卷Ⅱ)我國數(shù)學(xué)家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果．哥德巴赫猜想是“每個大于2的偶數(shù)可以表示為兩個素數(shù)的和”，如30＝7＋23.在不超過30的素數(shù)中，隨機(jī)選取兩個不同的數(shù)，其和等于30的概率是(　　) A.　　　　　　　　　　 B. C. D. 解析：選C　不超過30的所有素數(shù)為2,3,5,7,11,13,17,19,23,29，共10個，隨機(jī)選取兩個不同的數(shù)，共有C＝45種情況，而和為30的有7＋23,11＋19,13＋17這3種情況，∴所求概率為＝.故選C. 2．

2、(2018·武漢調(diào)研)將一枚質(zhì)地均勻的骰子投擲兩次，得到的點數(shù)依次記為a和b，則方程ax2＋bx＋1＝0有實數(shù)解的概率是(　　) A. B. C. D. 解析：選C　投擲骰子兩次，所得的點數(shù)a和b滿足的關(guān)系為∴a和b的組合有36種，若方程ax2＋bx＋1＝0有實數(shù)解，則Δ＝b2－4a≥0，∴b2≥4a. 當(dāng)b＝1時，沒有a符合條件；當(dāng)b＝2時，a可取1；當(dāng)b＝3時，a可取1,2；當(dāng)b＝4時，a可取1,2,3,4；當(dāng)b＝5時，a可取1,2,3,4,5,6；當(dāng)b＝6時，a可取1,2,3,4,5,6. 滿足條件的組合有19種，則方程ax2＋bx＋1＝0有實數(shù)解的概率P＝. 3．(

3、2018·合肥質(zhì)檢)已知某公司生產(chǎn)的一種產(chǎn)品的質(zhì)量X(單位：克)服從正態(tài)分布N(100,4)．現(xiàn)從該產(chǎn)品的生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取10 000件產(chǎn)品，其中質(zhì)量在[98,104]內(nèi)的產(chǎn)品估計有(　　) 附：若X服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，則P(μ－σ＜X＜μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ＜X＜μ＋2σ)≈0.954 5. A．3 413件　　　　　　　 B．4 772件 C．6 826件 D．8 186件 解析：選D　由題意知μ＝100，σ＝2，則P(98＜X＜104)＝[P(μ－σ＜X＜μ＋σ)＋P(μ－2σ＜X＜μ＋2σ)]≈0.818 6，所以質(zhì)量在[98,104]內(nèi)的產(chǎn)品估計有

4、10 000×0.818 6＝8 186件． 4.(2019屆高三·洛陽聯(lián)考)如圖，圓O：x2＋y2＝π2內(nèi)的正弦曲線y＝sin x與x軸圍成的區(qū)域記為M(圖中陰影部分)，隨機(jī)往圓O內(nèi)投一個點A，則點A落在區(qū)域M內(nèi)的概率是(　　) A. B. C. D. 解析：選B　由題意知圓O的面積為π3，正弦曲線y＝sin x，x∈[－π，π]與x軸圍成的區(qū)域記為M，根據(jù)圖形的對稱性得區(qū)域M的面積S＝2sin xdx＝－2cos x＝4，由幾何概型的概率計算公式可得，隨機(jī)往圓O內(nèi)投一個點A，則點A落在區(qū)域M內(nèi)的概率P＝，故選B. 5．(2018·濰坊模擬)某籃球隊對隊員進(jìn)行考核，規(guī)則是：

5、①每人進(jìn)行3個輪次的投籃；②每個輪次每人投籃2次，若至少投中1次，則本輪通過，否則不通過．已知隊員甲投籃1次投中的概率為，如果甲各次投籃投中與否互不影響，那么甲3個輪次通過的次數(shù)X的期望是(　　) A．3 B. C．2 D. 解析：選B　每個輪次甲不能通過的概率為×＝，通過的概率為1－＝，因為甲3個輪次通過的次數(shù)X服從二項分布B，所以X的數(shù)學(xué)期望為3×＝. 6.(2018·濰坊模擬)如圖，六邊形ABCDEF是一個正六邊形，若在正六邊形內(nèi)任取一點，則該點恰好在圖中陰影部分的概率是(　　) A. B. C. D. 解析：選C　設(shè)正六邊形的中心為點O，BD與AC交于點G

6、，BC＝1，則BG＝CG，∠BGC＝120°，在△BCG中，由余弦定理得1＝BG2＋BG2－2BG2cos 120°，得BG＝，所以S△BCG＝×BG×BG×sin 120°＝×××＝，因為S六邊形ABCDEF＝S△BOC×6＝×1×1×sin 60°×6＝，所以該點恰好在圖中陰影部分的概率是1－＝. 7．(2018·福州模擬)某商店隨機(jī)將三幅分別印有福州三寶(脫胎漆器、角梳、油紙傘)的宣傳畫并排貼在同一面墻上，則角梳與油紙傘的宣傳畫相鄰的概率是________． 解析：記脫胎漆器、角梳、油紙傘的宣傳畫分別為a，b，c，則并排貼的情況有abc，acb，bac，bca，cab，cba，共6種

7、，其中b，c相鄰的情況有abc，acb，bca，cba，共4種，故由古典概型的概率計算公式，得所求概率P＝＝. 答案： 8．(2018·唐山模擬)向圓(x－2)2＋(y－)2＝4內(nèi)隨機(jī)投擲一點，則該點落在x軸下方的概率為________． 解析：如圖，連接CA，CB，依題意，圓心C到x軸的距離為，所以弦AB的長為2.又圓的半徑為2，所以弓形ADB的面積為×π×2－×2×＝π－，所以向圓(x－2)2＋(y－)2＝4內(nèi)隨機(jī)投擲一點，則該點落在x軸下方的概率P＝－. 答案：－ 9．從混有5張假鈔的20張百元鈔票中任意抽取兩張，將其中一張放到驗鈔機(jī)上檢驗發(fā)現(xiàn)是假鈔，則兩張都是假鈔的概率是__

8、______． 解析：設(shè)事件A為“抽到的兩張都是假鈔”，事件B為“抽到的兩張至少有一張假鈔”，則所求的概率為P(A|B)， 因為P(AB)＝P(A)＝＝， P(B)＝＝， 所以P(A|B)＝＝＝. 答案： 10.(2018·唐山模擬)某籃球隊在某賽季已結(jié)束的8場比賽中，隊員甲得分統(tǒng)計的莖葉圖如圖． (1)根據(jù)這8場比賽，估計甲每場比賽中得分的均值μ和標(biāo)準(zhǔn)差σ； (2)假設(shè)甲在每場比賽的得分服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，且各場比賽間相互沒有影響，依此估計甲在82場比賽中得分在26分以上的平均場數(shù)． 參考數(shù)據(jù)： ≈5.66，≈5.68，≈5.70. 正態(tài)總體N(μ，σ2)在區(qū)間

9、(μ－2σ，μ＋2σ)內(nèi)取值的概率約為0.954. 解：(1)μ＝(7＋8＋10＋15＋17＋19＋21＋23)＝15，σ2＝[(－8)2＋(－7)2＋(－5)2＋02＋22＋42＋62＋82]＝32.25. 所以σ≈5.68. 所以估計甲每場比賽中得分的均值μ為15，標(biāo)準(zhǔn)差σ為5.68. (2)由(1)得甲在每場比賽中得分在26分以上的概率 P(X≥26)≈[1－P(μ－2σ＜X＜μ＋2σ)]≈(1－0.954)＝0.023， 設(shè)在82場比賽中，甲得分在26分以上的次數(shù)為Y，則Y～B(82,0.023)．Y的均值E(Y)＝82×0.023＝1.886. 由此估計甲在82場比賽中

10、得分在26分以上的平均場數(shù)為1.886. 11．某化妝品公司從國外進(jìn)口美容型和療效型兩種化妝品，分別經(jīng)過本公司的兩條生產(chǎn)線分裝后進(jìn)行銷售，兩種化妝品的標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量都是100克/瓶，誤差不超過±5克/瓶即視為合格產(chǎn)品，否則視為不合格產(chǎn)品．現(xiàn)隨機(jī)抽取兩種產(chǎn)品各60瓶進(jìn)行檢測，檢測結(jié)果統(tǒng)計如下： 質(zhì)量/克 [90,95) [95,100) [100,105) [105,110] 美容型化妝品/瓶 5 22 23 10 療效型化妝品/瓶 5 21 19 15 (1)根據(jù)上述檢測結(jié)果，若從這兩種化妝品中各任取一瓶，以頻率作為概率，分別計算這兩瓶化妝品為合格產(chǎn)品的概率；

11、 (2)對于一瓶美容型化妝品，若是合格產(chǎn)品，則可獲得的利潤為a(單位：百元)，若不是合格產(chǎn)品，則虧損a2(單位：百元)；對于一瓶療效型化妝品，若是合格產(chǎn)品，則可獲得的利潤為a(單位：百元)，若不是合格產(chǎn)品，則虧損2a2(單位：百元)．那么當(dāng)a為何值時，該公司各銷售一瓶這兩種化妝品所獲得的利潤最大？ 解：(1)由表可知，任取一瓶美容型化妝品，其為合格產(chǎn)品的概率為＝； 任取一瓶療效型化妝品，其為合格產(chǎn)品的概率為＝. (2)記X為任意一瓶美容型化妝品和一瓶療效型化妝品所獲得的利潤之和，則X的所有可能取值為a，a－2a2，a－a2，－3a2， 則P＝×＝， P(X＝a－2a2)＝×＝， P

12、＝×＝， P(X＝－3a2)＝×＝， 所以隨機(jī)變量X的分布列為 X a a－2a2 a－a2 －3a2 P 所以E(X)＝a×＋(a－2a2)×＋×＋(－3a2)×＝－a2＋a＝－(a－2)2＋， 所以當(dāng)a＝2時，E(X)取得最大值， 即當(dāng)a為2時，該公司各銷售一瓶這兩種化妝品所獲得的利潤最大． 12．(2019屆高三·貴陽模擬)從A地到B地共有兩條路徑L1和L2，經(jīng)過這兩條路徑所用的時間互不影響，且經(jīng)過L1和L2所用時間的頻率分布直方圖分別如圖(1)和(2)．現(xiàn)甲選擇L1或L2在40分鐘內(nèi)從A地到B地，乙選擇L1或L2在50分鐘內(nèi)從A地到B地．

13、(1)求圖(1)中a的值；并回答，為了盡最大可能在各自允許的時間內(nèi)趕到B地，甲和乙應(yīng)如何選擇各自的路徑？ (2)用X表示甲、乙兩人中在允許的時間內(nèi)能趕到B地的人數(shù)，針對(1)中的選擇方案，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望． 解：(1)由圖(1)可得(0.01＋0.02×3＋a)×10＝1， 解得a＝0.03， 用Ai表示甲選擇Li(i＝1,2)在40分鐘內(nèi)從A地到B地，用Bi表示乙選擇Li(i＝1,2)在50分鐘內(nèi)從A地到B地，則P(A1)＝(0.01＋0.02＋0.03)×10＝0.6，P(A2)＝(0.01＋0.04)×10＝0.5， 因為P(A1)＞P(A2)，所以甲應(yīng)選擇L1.

14、又P(B1)＝(0.01＋0.02＋0.03＋0.02)×10＝0.8， P(B2)＝(0.01＋0.04＋0.04)×10＝0.9， 因為P(B2)＞P(B1)，所以乙應(yīng)選擇L2. (2)用M，N分別表示針對(1)的選擇方案，甲、乙兩人在各自允許的時間內(nèi)趕到B地，由(1)知P(M)＝0.6，P(N)＝0.9，X的可能取值為0,1,2. 由題意知，M，N相互獨立， ∴P(X＝0)＝0.4×0.1＝0.04， P(X＝1)＝0.4×0.9＋0.6×0.1＝0.42， P(X＝2)＝0.6×0.9＝0.54， ∴X的分布列為 X 0 1 2 P 0.04 0.42

15、0.54 ∴E(X)＝0×0.04＋1×0.42＋2×0.54＝1.5. 13．(2018·全國卷Ⅰ)某工廠的某種產(chǎn)品成箱包裝，每箱200件，每一箱產(chǎn)品在交付用戶之前要對產(chǎn)品作檢驗，如檢驗出不合格品，則更換為合格品．檢驗時，先從這箱產(chǎn)品中任取20件作檢驗，再根據(jù)檢驗結(jié)果決定是否對余下的所有產(chǎn)品作檢驗．設(shè)每件產(chǎn)品為不合格品的概率都為p(0

16、格品進(jìn)入用戶手中，則工廠要對每件不合格品支付25元的賠償費用． ①若不對該箱余下的產(chǎn)品作檢驗，這一箱產(chǎn)品的檢驗費用與賠償費用的和記為X，求EX； ②以檢驗費用與賠償費用和的期望值為決策依據(jù)，是否該對這箱余下的所有產(chǎn)品作檢驗？ 解：(1)因為20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為 f(p)＝Cp2·(1－p)18， 所以f′(p)＝C[2p(1－p)18－18p2(1－p)17] ＝2Cp(1－p)17(1－10p)． 令f′(p)＝0，得p＝0.1. 當(dāng)p∈(0,0.1)時，f′(p)>0； 當(dāng)p∈(0.1,1)時，f′(p)<0. 所以f(p)的最大值點為p0＝0.1.

17、(2)由(1)知，p＝0.1. ①令Y表示余下的180件產(chǎn)品中的不合格品件數(shù)，依題意知Y～B(180,0.1)，X＝20×2＋25Y，即X＝40＋25Y.所以EX＝E(40＋25Y)＝40＋25EY＝490. ②若對余下的產(chǎn)品作檢驗，則這一箱產(chǎn)品所需要的檢驗費用為400元．由于EX>400，故應(yīng)該對余下的產(chǎn)品作檢驗． 二、加練大題考法——少失分 1.(2018·鄭州質(zhì)檢)為了減少霧霾，還城市一片藍(lán)天，某市政府于12月4日到12月31日在主城區(qū)實行車輛限號出行政策，鼓勵民眾不開車低碳出行．市政府為了了解民眾低碳出行的情況，統(tǒng)計了該市甲、乙兩個單位各200名員工12月5日到12月1

18、4日共10天的低碳出行的人數(shù)，畫出莖葉圖如圖所示， (1)若甲單位數(shù)據(jù)的平均數(shù)是122，求x的值； (2)現(xiàn)從圖中的數(shù)據(jù)中任取4天的數(shù)據(jù)(甲、乙兩個單位中各取2天)，記抽取的4天中甲、乙兩個單位員工低碳出行的人數(shù)不低于130的天數(shù)分別為ξ1，ξ2，令η＝ξ1＋ξ2，求η的分布列和數(shù)學(xué)期望． 解：(1)由題意知，×[105＋107＋113＋115＋119＋126＋(120＋x)＋132＋134＋141]＝122，解得x＝8. (2)由題得ξ1的所有可能取值為0,1,2，ξ2的所有可能取值為0,1,2，因為η＝ξ1＋ξ2，所以隨機(jī)變量η的所有可能取值為0,1,2,3,4. 因為甲單位低碳

19、出行的人數(shù)不低于130的天數(shù)為3，乙單位低碳出行的人數(shù)不低于130的天數(shù)為4， 所以P(η＝0)＝＝， P(η＝1)＝＝， P(η＝2)＝＝， P(η＝3)＝＝， P(η＝4)＝＝. 所以η的分布列為 η 0 1 2 3 4 P 所以E(η)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝. 2．(2018·福州模擬)某學(xué)校八年級共有學(xué)生400人，現(xiàn)對該校八年級學(xué)生隨機(jī)抽取50名進(jìn)行實踐操作能力測試，實踐操作能力測試結(jié)果分為四個等級水平，一、二等級水平的學(xué)生實踐操作能力較弱，三、四等級水平的學(xué)生實踐操作能力較強(qiáng)，測試結(jié)果統(tǒng)計如下表： 等級 水平一 水

20、平二 水平三 水平四 男生/名 4 8 12 6 女生/名 6 8 4 2 (1)根據(jù)表中統(tǒng)計的數(shù)據(jù)填寫下面2×2列聯(lián)表，并判斷是否有95%的把握認(rèn)為學(xué)生實踐操作能力強(qiáng)弱與性別有關(guān)？ 實踐操作能力較弱 實踐操作能力較強(qiáng) 總計 男生/名 女生/名 總計 (2)現(xiàn)從測試結(jié)果為水平一的學(xué)生中隨機(jī)抽取4名進(jìn)行學(xué)習(xí)能力測試，記抽到水平一的男生的人數(shù)為ξ，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望． 下面的臨界值表供參考： P(K2≥k0) 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001 k0 2.706 3.

21、841 6.635 7.879 10.828 參考公式：K2＝， 其中n＝a＋b＋c＋d. 解：(1)補(bǔ)充2×2列聯(lián)表如下： 實踐操作能力較弱 實踐操作能力較強(qiáng) 總計 男生/名 12 18 30 女生/名 14 6 20 總計 26 24 50 ∴K2＝≈4.327＞3.841. ∴有95%的把握認(rèn)為學(xué)生實踐操作能力強(qiáng)弱與性別有關(guān)． (2)ξ的可能取值為0,1,2,3,4. P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝， P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝3)＝＝， P(ξ＝4)＝＝. ∴ξ的分布列為 ξ 0 1 2 3 4 P

22、 ∴E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝. 3．(2018·開封模擬)某產(chǎn)品按行業(yè)生產(chǎn)標(biāo)準(zhǔn)分成8個等級，等級系數(shù)X依次為1,2，…，8，其中X≥5為標(biāo)準(zhǔn)A，X≥3為標(biāo)準(zhǔn)B，已知甲廠執(zhí)行標(biāo)準(zhǔn)A生產(chǎn)該產(chǎn)品，產(chǎn)品的零售價為6元/件；乙廠執(zhí)行標(biāo)準(zhǔn)B生產(chǎn)該產(chǎn)品，產(chǎn)品的零售價為4元/件．假定甲、乙兩廠的產(chǎn)品都符合相應(yīng)的執(zhí)行標(biāo)準(zhǔn)． (1)已知甲廠產(chǎn)品的等級系數(shù)X1的概率分布列如下表所示： X1 5 6 7 8 P 0.4 a b 0.1 且X1的數(shù)學(xué)期望E(X1)＝6，求a，b的值； (2)為分析乙廠產(chǎn)品的等級系數(shù)X2，從該廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取3

23、0件，相應(yīng)的等級系數(shù)組成一個樣本，數(shù)據(jù)如下： 用這個樣本的頻率分布估計總體分布，將頻率視為概率，求等級系數(shù)X2的數(shù)學(xué)期望； (3)在(1)，(2)的條件下，若以“性價比”為判斷標(biāo)準(zhǔn)，判斷哪個工廠的產(chǎn)品更具可購買性？并說明理由． 注：①產(chǎn)品的“性價比”＝產(chǎn)品的等級系數(shù)的數(shù)學(xué)期望/產(chǎn)品的零售價； ②“性價比”大的產(chǎn)品更具可購買性． 解：(1)∵E(X1)＝6，∴5×0.4＋6a＋7b＋8×0.1＝6， 即6a＋7b＝3.2.① 又0.4＋a＋b＋0.1＝1，即a＋b＝0.5.② 聯(lián)立①②解得a＝0.3，b＝0.2. (2)由已知，用這個樣本的頻率分布估計總體分布，將頻率視為概

24、率，可得等級系數(shù)X2的概率分布列如下： X2 3 4 5 6 7 8 P 0.3 0.2 0.2 0.1 0.1 0.1 ∴E(X2)＝3×0.3＋4×0.2＋5×0.2＋6×0.1＋7×0.1＋8×0.1＝4.8， 即乙廠產(chǎn)品的等級系數(shù)X2的數(shù)學(xué)期望等于4.8. (3)乙廠的產(chǎn)品更具可購買性，理由如下： ∵甲廠產(chǎn)品的等級系數(shù)的數(shù)學(xué)期望等于6，價格為6元/件， ∴其性價比為＝1， ∵乙廠產(chǎn)品的等級系數(shù)的數(shù)學(xué)期望等于4.8，價格為4元/件， ∴其性價比為＝1.2， 又1.2＞1，∴乙廠的產(chǎn)品更具可購買性． 4．(2019屆高三·洛陽聯(lián)考)隨著移動

25、互聯(lián)網(wǎng)的快速發(fā)展，基于互聯(lián)網(wǎng)的共享單車應(yīng)運而生．某市場研究人員為了了解共享單車運營公司M的經(jīng)營狀況，對該公司6個月內(nèi)的市場占有率進(jìn)行了統(tǒng)計，并繪制了相應(yīng)的折線圖． (1)由折線圖可以看出，可用線性回歸模型擬合月度市場占有率y與月份代碼x之間的關(guān)系．求y關(guān)于x的線性回歸方程，并預(yù)測M公司2019年2月份(即x＝8時)的市場占有率； (2)為進(jìn)一步擴(kuò)大市場，公司擬再采購一批單車．現(xiàn)有采購成本分別為1 000元/輛和1 200元/輛的A，B兩款車型可供選擇，按規(guī)定每輛單車最多使用4年，但由于多種原因(如騎行頻率等)會導(dǎo)致車輛使用年限各不相同．考慮到公司運營的經(jīng)濟(jì)效益，該公司決定先對兩款車型的

26、單車各100輛進(jìn)行科學(xué)模擬測試，得到兩款單車使用年限頻數(shù)表如下： 　　使用年限 車型　　 1年 2年 3年 4年 總計 A 20 35 35 10 100 B 10 30 40 20 100 經(jīng)測算，平均每輛單車每年可以帶來收入500元．不考慮除采購成本之外的其他成本，假設(shè)每輛單車的使用年限都是整數(shù)，且以頻率作為每輛單車使用年限的概率．如果你是M公司的負(fù)責(zé)人，以每輛單車產(chǎn)生利潤的期望值為決策依據(jù)，你會選擇采購哪款車型？ 參考公式：回歸直線方程為＝x＋， 其中＝，＝－. 解：(1)由數(shù)據(jù)計算可得＝＝3.5， ＝＝16. iyi＝1×11＋2×

27、13＋3×16＋4×15＋5×20＋6×21＝371， ＝12＋22＋32＋42＋52＋62＝91， ∴＝＝2，＝16－2×3.5＝9. ∴月度市場占有率y與月份代碼x之間的線性回歸方程為＝2x＋9. 當(dāng)x＝8時，＝2×8＋9＝25. 故M公司2019年2月份的市場占有率預(yù)計為25%. (2)由頻率估計概率，每輛A款車可使用1年，2年，3年和4年的概率分別為0.2,0.35,0.35和0.1， ∴每輛A款車產(chǎn)生利潤的期望值為 E(X)＝(500－1 000)×0.2＋(1 000－1 000)×0.35＋(1 500－1 000)×0.35＋(2 000－1 000)×0.1＝175(元)． 由頻率估計概率，每輛B款車可使用1年，2年，3年和4年的概率分別為0.1,0.3,0.4和0.2， ∴每輛B款車產(chǎn)生利潤的期望值為 E(Y)＝(500－1 200)×0.1＋(1 000－1 200)×0.3＋(1 500－1 200)×0.4＋(2 000－1 200)×0.2＝150(元)． ∴E(X)＞E(Y)，∴應(yīng)該采購A款單車．