高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題跟蹤檢測（十三）圓錐曲線的方程與性質(zhì) 理（重點生含解析）-人教版高三數(shù)學(xué)試題

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1、專題跟蹤檢測（十三） 圓錐曲線的方程與性質(zhì) 一、全練保分考法——保大分 1．直線l經(jīng)過橢圓的一個頂點和一個焦點，若橢圓中心到l的距離為其短軸長的，則該橢圓的離心率為(　　) A.　　　　　　　　　　 B． C. D． 解析：選B　不妨設(shè)直線l經(jīng)過橢圓的一個頂點B(0，b)和一個焦點F(c,0)，則直線l的方程為＋＝1，即bx＋cy－bc＝0.由題意知＝×2b，解得＝，即e＝.故選B． 2．(2019屆高三·湖南長郡中學(xué)模擬)已知F為雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的一個焦點，其關(guān)于雙曲線C的一條漸近線的對稱點在另一條漸近線上，則雙曲線C的離心率為(　　) A. B．

2、 C．2 D． 解析：選C　依題意，設(shè)雙曲線的漸近線y＝x的傾斜角為θ，則有3θ＝π，θ＝，＝tan ＝，雙曲線C的離心率e＝ ＝2. 3．(2019屆高三·南寧、柳州名校聯(lián)考)已知雙曲線－＝1(b>0)的一個焦點與拋物線y2＝8x的焦點重合，則該雙曲線的漸近線方程為(　　) A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±3x D．y＝±x 解析：選B　由題意知，拋物線的焦點是(2,0)，即雙曲線－＝1的一個焦點坐標是(2,0)，則c＝2，且雙曲線的焦點在x軸上，所以3＋b＝22，即b＝1，于是雙曲線的漸近線方程為y＝±x. 4．(2018·昆明調(diào)研)過拋物線C：y2＝2px(

3、p>0)的焦點F且傾斜角為銳角的直線l與C交于A，B兩點，過線段AB的中點N且垂直于l的直線與C的準線交于點M，若|MN|＝|AB|，則l的傾斜角為(　　) A．15° B．30° C．45° D．60° 解析：選B　分別過A，B，N作拋物線的準線的垂線，垂足分別為A′，B′，Q，由拋物線的定義知|AF|＝|AA′|，|BF|＝|BB′|，|NQ|＝(|AA′|＋|BB′|)＝|AB|，因為|MN|＝|AB|，所以|NQ|＝|MN|，所以∠MNQ＝60°，即直線MN的傾斜角為120°，又直線MN與直線l垂直且直線l的傾斜角為銳角，所以直線l的傾斜角為30°. 5．(2018·南

4、昌模擬)已知F1，F(xiàn)2是橢圓和雙曲線的公共焦點，P是它們的一個公共點，且∠F1PF2＝，則橢圓和雙曲線的離心率乘積的最小值為(　　) A. B． C．1 D． 解析：選B　如圖，設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓和雙曲線的左、右焦點，P是第一象限的點，橢圓的長半軸長為a1，雙曲線的實半軸長為a2，則根據(jù)橢圓及雙曲線的定義得|PF1|＋|PF2|＝2a1，|PF1|－|PF2|＝2a2，∴|PF1|＝a1＋a2，|PF2|＝a1－a2.設(shè)|F1F2|＝2c，又∠F1PF2＝，則在△PF1F2中，由余弦定理得，4c2＝(a1＋a2)2＋(a1－a2)2－2(a1＋a2)(a1－a2)cos ，化

5、簡得(2－)a＋(2＋)a＝4c2，設(shè)橢圓的離心率為e1，雙曲線的離心率為e2，∴＋＝4， 又＋≥2＝， ∴≤4，即e1·e2≥， ∴橢圓和雙曲線的離心率乘積的最小值為. 6．(2018·長春質(zhì)檢)已知O為坐標原點，設(shè)F1，F(xiàn)2分別是雙曲線x2－y2＝1的左、右焦點，P為雙曲線上任意一點，過點F1作∠F1PF2的平分線的垂線，垂足為H，則|OH|＝(　　) A．1 B．2 C．4 D． 解析：選A　不妨設(shè)P在雙曲線的左支，如圖，延長F1H交PF2于點M，由于PH既是∠F1PF2的平分線又垂直于F1M，故△PF1M為等腰三角形，|PF1|＝|PM|且H為F1M的中點，所以O(shè)

6、H為△MF1F2的中位線，所以|OH|＝|MF2|＝(|PF2|－|PM|)＝(|PF2|－|PF1|)＝1. 7．已知橢圓E的中心在坐標原點，離心率為，E的右焦點與拋物線C：y2＝8x的焦點重合，A，B是C的準線與E的兩個交點，則|AB|＝________. 解析：拋物線C：y2＝8x的焦點坐標為(2,0)，準線方程為x＝－2.從而橢圓E的半焦距c＝2.可設(shè)橢圓E的方程為＋＝1(a>b>0)，因為離心率e＝＝，所以a＝4，所以b2＝a2－c2＝12.由題意知|AB|＝＝2×＝6. 答案：6 8．(2018·南寧模擬)已知橢圓＋＝1(a>b>0)的一條弦所在的直線方程是x－y＋5＝0，

7、弦的中點坐標是M(－4，1)，則橢圓的離心率是________． 解析：設(shè)直線x－y＋5＝0與橢圓＋＝1相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點， 因為AB的中點M(－4,1)， 所以x1＋x2＝－8，y1＋y2＝2. 易知直線AB的斜率k＝＝1. 由兩式相減得， ＋＝0， 所以＝－·，所以＝， 于是橢圓的離心率e＝＝＝. 答案： 9．(2019屆高三·惠州調(diào)研)已知F1，F(xiàn)2是雙曲線－＝1(a>0，b>0)的兩個焦點，過其中一個焦點與雙曲線的一條漸近線平行的直線交雙曲線另一條漸近線于點M，若點M在以線段F1F2為直徑的圓內(nèi)，則雙曲線離心率的取值范圍是________．

8、 解析：如圖，不妨設(shè)F1(0，c)，F(xiàn)2(0，－c)，則過點F1與漸近線y＝x平行的直線為y＝x＋c，聯(lián)立 解得即M.因為點M在以線段F1F2為直徑的圓x2＋y2＝c2內(nèi)，故2＋2b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，上頂點為B，若△BF1F2的周長為6，且點F1到直線BF2的距離為 B． (1)求橢圓C的方程； (2)設(shè)A1，A2是橢圓C長軸的兩個端點，P是橢圓C上不同于A1

9、，A2的任意一點，直線A1P交直線x＝m于點M，若以MP為直徑的圓過點A2，求實數(shù)m的值． 解：(1)由題意得F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)，B(0，b)， 則2a＋2c＝6.① 直線BF2的方程為bx＋cy－bc＝0， 所以＝b，即2c＝a.② 又a2＝b2＋c2，③ 所以由①②③可得a＝2，b＝， 所以橢圓C的方程為＋＝1. (2)不妨設(shè)A1(－2,0)，A2(2,0)，P(x0，y0)， 則直線A1P的方程為y＝(x＋2)， 所以M. 又點P在橢圓C上，所以y＝3. 若以MP為直徑的圓過點A2，則A2M⊥A2P， 即·＝0， 所以·(x0－2，y0) ＝(

10、m－2)(x0－2)＋(m＋2) ＝(m－2)(x0－2)＋(m＋2) ＝(x0－2)＝0. 又點P不同于點A1，A2，所以x0≠±2， 所以m－＝0，解得m＝14. 11．(2018·唐山模擬)在直角坐標系xOy中，長為＋1的線段的兩端點C，D分別在x軸、y軸上滑動，＝ .記點P的軌跡為曲線E. (1)求曲線E的方程； (2)經(jīng)過點(0,1)作直線與曲線E相交于A，B兩點，＝＋，當(dāng)點M在曲線E上時，求四邊形AOBM的面積． 解：(1)設(shè)C(m,0)，D(0，n)，P(x，y)． 由＝ ，得(x－m，y)＝(－x，n－y)， 所以得 由| |＝＋1，得m2＋n2＝(＋1

11、)2， 所以(＋1)2x2＋y2＝(＋1)2， 整理，得曲線E的方程為x2＋＝1. (2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由＝＋，知點M坐標為(x1＋x2，y1＋y2)． 由題意知，直線AB的斜率存在． 設(shè)直線AB的方程為y＝kx＋1， 代入曲線E的方程，得(k2＋2)x2＋2kx－1＝0， 則x1＋x2＝－，x1x2＝－. y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2＝. 由點M在曲線E上，知(x1＋x2)2＋＝1， 即＋＝1， 解得k2＝2. 所以|AB|＝|x1－x2| ＝＝， 又原點到直線AB的距離d＝＝， 所以平行四邊形OAMB的面積S＝|AB|·d＝.

12、 12．(2019屆高三·洛陽第一次統(tǒng)考)已知短軸長為2的橢圓E：＋＝1(a>b>0)，直線n的橫、縱截距分別為a，－1，且原點O到直線n的距離為. (1)求橢圓E的方程； (2)直線l經(jīng)過橢圓E的右焦點F且與橢圓E交于A，B兩點，若橢圓E上存在一點C滿足＋ －2 ＝0，求直線l的方程． 解：(1)∵橢圓E的短軸長為2，∴b＝1. 依題意設(shè)直線n的方程為－y＝1， 由＝，解得a＝， 故橢圓E的方程為＋y2＝1. (2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)， 當(dāng)直線l的斜率為0時，顯然不符合題意． 當(dāng)直線l的斜率不為0或直線l的斜率不存在時，F(xiàn)(，0)，設(shè)直線

13、l的方程為x＝ty＋， 由消去x，得(t2＋3)y2＋2ty－1＝0， ∴y1＋y2＝－，y1y2＝－，① ∵＋ －2＝0， ∴x3＝x1＋x2，y3＝y(tǒng)1＋y2， 又點C在橢圓E上， ∴＋y＝2＋2＝＋＋＝1， 又＋y＝1，＋y＝1， ∴x1x2＋y1y2＝0，② 將x1＝ty1＋，x2＝ty2＋及①代入②得t2＝1， 即t＝1或t＝－1. 故直線l的方程為x＋y－＝0或x－y－＝0. 二、強化壓軸考法——拉開分 1．(2018·全國卷Ⅲ)設(shè)F1，F(xiàn)2是雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦點，O是坐標原點．過F2作C的一條漸近線的垂線，垂足為P.若|

14、PF1|＝|OP|，則C的離心率為(　　) A. B．2 C. D． 解析：選C　法一：不妨設(shè)一條漸近線的方程為y＝x， 則F2到y(tǒng)＝x的距離d＝＝b. 在Rt△F2PO中，|F2O|＝c， 所以|PO|＝a，所以|PF1|＝a， 又|F1O|＝c，所以在△F1PO與Rt△F2PO中， 根據(jù)余弦定理得 cos∠POF1＝＝－cos∠POF2＝－， 即3a2＋c2－(a)2＝0，得3a2＝c2，所以e＝＝. 法二：如圖，過點F1向OP的反向延長線作垂線，垂足為P′，連接P′F2，由題意可知，四邊形PF1P′F2為平行四邊形，且△PP′F2是直角三角形．因為|F2P|

15、＝b，|F2O|＝c，所以|OP|＝a. 又|PF1|＝a＝|F2P′|，|PP′|＝2a，所以|F2P|＝a＝b，所以c＝＝a，所以e＝＝. 2．(2018·合肥質(zhì)檢)已知橢圓M：＋y2＝1，圓C：x2＋y2＝6－a2在第一象限有公共點P，設(shè)圓C在點P處的切線斜率為k1，橢圓M在點P處的切線斜率為k2，則的取值范圍為(　　) A．(1,6) B．(1,5) C．(3,6) D．(3,5) 解析：選D　由于橢圓M：＋y2＝1，圓C：x2＋y2＝6－a2在第一象限有公共點P，所以解得3

16、，則橢圓M在點P處的切線方程為＋y0y＝1，圓C在P處的切線方程為x0x＋y0y＝6－a2，所以k1＝－，k2＝－，＝a2，所以∈(3,5)． 3．(2019屆高三·遼寧五校協(xié)作體聯(lián)考)一條動直線l與拋物線C：x2＝4y相交于A，B兩點，O為坐標原點，若＝2，則(－)2－42的最大值為(　　) A．24 B．16 C．8 D．－16 解析：選B　由＝2知G是線段AB的中點， ∴＝(＋)， ∴(－)2－42＝(－)2－(＋)2＝－4·. 由A，B是動直線l與拋物線C：x2＝4y的交點， 不妨設(shè)A，B， ∴－4·＝－4 ＝－4＝16－42≤16， ∴(－)2－42的最

17、大值為16. 4．(2018·合肥檢測)已知拋物線y2＝4x的焦點為F，直線l過點F交拋物線于A，B兩點，且|AF|＝3|FB|.直線l1，l2分別過點A，B，且與x軸平行，在直線l1，l2上分別取點M，N(M，N分別在點A，B的右側(cè))，分別作∠ABN和∠BAM的角平分線并相交于點P，則△PAB的面積為(　　) A. B． C. D． 解析：選C　因為拋物線方程為y2＝4x，所以其焦點F(1,0)，準線方程為x＝－1，如圖所示，不妨設(shè)點B在x軸上方，過點B向l1作垂線，垂足為C.設(shè)A(xA，yA)，B(xB，yB)，因為|AF|＝3|FB|，所以xA＋1＝3(xB＋1)，所以x

18、A－xB＝2(xB＋1)＝2|FB|，所以cos∠BAC＝＝，所以∠BAC＝60°，因為AP，BP分別為∠BAM與∠ABN的角平分線，所以∠BAP＝60°，∠ABP＝30°，所以∠APB＝90°，所以|AP|＝2|FB|＝2xB＋2，所以S△PAB＝|AP||AB|sin 60°＝×2(xB＋1)×4(xB＋1)×＝2(xB＋1)2.由∠BAC＝60°，F(xiàn)(1,0)可得直線AB的方程為y＝－(x－1)，聯(lián)立解得x＝或x＝3，易知xB＝，所以S△PAB＝2×2＝. 5．已知等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD＝4，∠BAD＝60°，雙曲線以A，B為焦點，且與線段CD(包括端點C，D)有

19、兩個交點，則該雙曲線的離心率的取值范圍是________． 解析：以AB所在直線為x軸，AB中點為坐標原點O，過點O且垂直于AB的直線為y軸，建立平面直角坐標系，如圖所示，則A(－2,0)，B(2,0)，C(1，)．設(shè)以A，B為焦點的雙曲線方程為－＝1(a>0，b>0)，則c＝2.由a2＋b2＝c2，得b2＝4－a2，當(dāng)x＝1時，y2＝a2＋－5.要使雙曲線與線段CD(包括端點C，D)有兩個交點，則a2＋－5≥3，解得a2≥4＋2或0＜a2≤4－2，由a2≥4＋2得a≥＋1＞2，舍去，∴a2≤4－2，即0＜a≤－1.∴雙曲線的離心率e＝≥＝＋1.即該雙曲線的離心率的取值范圍是[＋1，＋∞

20、)． 答案：[＋1，＋∞) 6．(2018·洛陽統(tǒng)考)已知F1，F(xiàn)2分別為雙曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦點，P(x0，y0)是雙曲線C右支上的一點，連接PF1并過F1作垂直于PF1的直線交雙曲線左支于R，Q，其中R(－x0，－y0)，△QF1P為等腰三角形，則雙曲線C的離心率為________． 解析：設(shè)O為坐標原點，連接OP，OR，F(xiàn)2P，F(xiàn)2R， 因為P，R關(guān)于原點對稱，所以|OP|＝|OR|， 又|OF1|＝|OF2|，PF1⊥RQ， 故四邊形F1RF2P為矩形． 設(shè)|PF1|＝m，由雙曲線的定義，得|PF2|＝m－2a. 法一：因為△QF1P為等腰直角三角

21、形， 所以|QF1|＝|PF1|＝m，|PQ|＝m， 連接QF2，則|QF2|＝m＋2a. 在△QPF2中，∠QPF2＝45°＋90°＝135°， 由余弦定理得(m＋2a)2＝(m－2a)2＋(m)2－2(m－2a)·m·cos 135°，化簡得m＝3a. 在Rt△F1PF2中，|PF1|＝3a，|PF2|＝a，|F1F2|＝2c， 所以(3a)2＋a2＝(2c)2，即5a2＝2c2，＝， 即雙曲線的離心率為. 法二：因為△QF1P為等腰直角三角形， 所以|QF1|＝|PF1|＝m，連接QF2， 則在Rt△QRF2中，|RQ|＝2m－2a， |RF2|＝m，|QF2|＝m＋2a， 由勾股定理得(2m－2a)2＋m2＝(m＋2a)2， 化簡得m＝3a. 在Rt△F1PF2中，|PF1|＝3a，|PF2|＝a，|F1F2|＝2c， 所以(3a)2＋a2＝(2c)2，即5a2＝2c2，＝， 即雙曲線的離心率為. 答案：