4、<π，
∴△ABC為鈍角三角形．
6．(2018·南昌一模)已知臺風中心位于城市A東偏北α(α為銳角)的150千米處，以 v千米/時沿正西方向快速移動，2.5小時后到達距城市A西偏北β(β為銳角)的200千米處，若cos α＝cos β，則v＝( )
A．60 B．80
C．100 D．125
解析：選C 如圖，臺風中心為B,2.5小時后到達點C，
則在△ABC中，ABsin α＝ACsin β，即sin α＝sin β，
又cos α＝cos β，
∴sin2α＋cos2α＝sin2β＋cos2β＝1＝sin2β＋cos2β，
∴sin β＝cos β，
5、∴sin β＝，cos β＝，∴sin α＝，cos α＝，
∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝×－×＝0，∴α＋β＝，
∴BC2＝AB2＋AC2，∴(2.5v)2＝1502＋2002，解得v＝100，故選C.
二、填空題
7．(2018·全國卷Ⅱ)已知sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，則sin(α＋β)＝________.
解析：∵sin α＋cos β＝1，①
cos α＋sin β＝0，②
∴①2＋②2得1＋2(sin αcos β＋cos αsin β)＋1＝1，
∴sin αcos β＋cos αsin β＝－，
6、∴sin(α＋β)＝－.
答案：－
8．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若a2＝3b2＋3c2－2bcsin A，則C等于________．
解析：由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A，
所以b2＋c2－2bccos A＝3b2＋3c2－2bcsin A，
即sin A－cos A＝，2sin＝≥2，因此b＝c，A－＝?A＝，
所以C＝＝.
答案：
9．(2018·長春質檢)在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若其面積S＝b2sin A，角A的平分線AD交BC于點D，AD＝，a＝，則b＝________.
解析：由面積公式S＝bcs
7、in A＝b2sin A，可得c＝2b，即＝2.由a＝，并結合角平分線定理可得，BD＝，CD＝， 在△ABC中，由余弦定理得cos B＝，在△ABD中， cos B＝，即＝，化簡得b2＝1，解得b＝1.
答案：1
三、解答題
10．(2018·全國卷Ⅰ)在平面四邊形ABCD中，∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5.
(1)求cos ∠ADB；
(2)若DC＝2，求BC.
解：(1)在△ABD中，由正弦定理得＝，
即＝，所以sin ∠ADB＝.
由題設知，∠ADB<90°，
所以cos ∠ADB＝ ＝.
(2)由題設及(1)知，cos ∠BDC＝
8、sin ∠ADB＝.
在△BCD中，由余弦定理得
BC2＝BD2＋DC2－2BD·DC·cos ∠BDC
＝25＋8－2×5×2×＝25，
所以BC＝5.
11．(2018·昆明調研)在△ABC中，AC＝2，BC＝6，∠ACB＝150°.
(1)求AB的長；
(2)延長BC至D，使∠ADC＝45°，求△ACD的面積．
解：(1)由余弦定理AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos∠ACB，
得AB2＝12＋36－2×2×6cos 150°＝84，
所以AB＝2.
(2)因為∠ACB＝150°，∠ADC＝45°，
所以∠CAD＝150°－45°＝105°，
由正弦定理＝
9、，得CD＝，又sin 105°＝sin(60°＋45°)＝sin 60°·cos 45°＋cos 60°·sin 45°＝，所以CD＝3＋，
又∠ACD＝180°－∠ACB＝30°，所以S△ACD＝AC·CD·sin∠ACD＝×2×(3＋)×＝(＋1)．
12．已知函數f(x)＝2sin xcos x＋2cos2x－.
(1)求函數y＝f(x)的最小正周期和單調遞減區(qū)間；
(2)已知△ABC的三個內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，其中a＝7，若銳角A滿足f＝，且sin B＋sin C＝，求bc的值．
解：(1)f(x)＝2sin xcos x＋2cos2x－＝sin 2x＋cos
10、 2x＝2sin，
因此f(x)的最小正周期為T＝＝π.
由2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，
得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)，
所以f(x)的單調遞減區(qū)間為(k∈Z)．
(2)由f＝2sin＝2sin A＝，且A為銳角，所以A＝.
由正弦定理可得2R＝＝＝，
sin B＋sin C＝＝，
則b＋c＝×＝13，
所以cos A＝＝＝，
所以bc＝40.
B組——大題專攻補短練
1．(2018·天津五區(qū)縣聯考)在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且 8 sin2－2cos 2C＝7.
(1)求tan C的值；
(2)若c＝，sin
11、 B＝2sin A，求a，b的值．
解：(1)在△ABC中，因為A＋B＋C＝π，
所以＝－，則sin＝cos.
由8sin2－2cos 2C＝7，得8cos2－2cos 2C＝7，
所以4(1＋cos C)－2(2cos2C－1)＝7，
即(2cos C－1)2＝0，所以cos C＝.
因為0＜C＜π，所以C＝，
于是tan C＝tan＝.
(2)由sin B＝2sin A，得b＝2a.①
又c＝，由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos ，
即a2＋b2－ab＝3.②
聯立①②，解得a＝1，b＝2.
2．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，滿足a2＋
12、c2－b2＋2bccos A－4c＝0，且ccos A＝b(1－cos C)．
(1)求c的值及判斷△ABC的形狀；
(2)若C＝，求△ABC的面積．
解：(1)由a2＋c2－b2＋2bccos A－4c＝0及正弦定理得
a2＋c2－b2＋2bc·－4c＝0，
整理，得c＝2.
由ccos A＝b(1－cos C)及正弦定理，得
sin Ccos A＝sin B(1－cos C)，
即sin B＝sin Ccos A＋sin Bcos C＝
sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C，
所以sin Bcos C＝sin Acos C，
故cos C＝0或
13、sin A＝sin B.
當cos C＝0時，C＝，故△ABC為直角三角形；
當sin A＝sin B時，A＝B，故△ABC為等腰三角形．
(2)由(1)知c＝2，A＝B，則a＝b，
因為C＝，所以由余弦定理，得
4＝a2＋a2－2a2cos ，解得a2＝8＋4，
所以△ABC的面積S＝a2sin＝2＋.
3．已知△ABC的三個內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且△ABC的面積為S＝ accos B.
(1)若c＝2a，求角A，B，C的大??；
(2)若a＝2，且≤A≤，求邊c的取值范圍．
解：由已知及三角形面積公式得
S＝acsin B＝accos B，
化簡得
14、sin B＝cos B，
即tan B＝，又0
15、為a，b，c，已知sin A＋cos A＝0，a＝2，b＝2.
(1)求c的值；
(2)設D為BC邊上一點，且AD⊥AC，求△ABD的面積．
解：(1)因為sin A＋cos A＝0，
所以sin A＝－cos A，
所以tan A＝－.
因為A∈(0，π)，所以A＝.
由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A，
代入a＝2，b＝2得c2＋2c－24＝0，
解得c＝4或c＝－6(舍去)，
所以c＝4.
(2)由(1)知c＝4.
因為c2＝a2＋b2－2abcos C，
所以16＝28＋4－2×2×2×cos C，
所以cos C＝，所以sin C＝，
所以tan C＝.
在Rt△CAD中，tan C＝，
所以＝，即AD＝.
即S△ADC＝×2×＝，
由(1)知S△ABC＝bcsin A＝×2×4×＝2，
所以S△ABD＝S△ABC－S△ADC＝2－＝.
高考數學二輪復習 專題檢測（九）三角恒等變換與解三角形 理（普通生含解析）-人教版高三數學試題
