《獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想及其初步應(yīng)用》第一課時(shí)教學(xué)設(shè)計(jì)

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1、 《獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想及其初步應(yīng)用》第一課時(shí)教案設(shè)計(jì) 東莞市厚街中學(xué) 姚衛(wèi) 一、教案內(nèi)容與內(nèi)容解讀 ．內(nèi)容： 獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想及其初步應(yīng)用 ．內(nèi)容解讀 ： 本節(jié)課是人教版（選修）—第一章第二單元第一課時(shí)的內(nèi)容．在本課之前，學(xué)生已經(jīng)在 必修中學(xué)習(xí)了第二章統(tǒng)計(jì) ( 隨即抽樣、用樣本估計(jì)總體、變量間的相關(guān)關(guān)系 ) 和本冊(cè)第一章統(tǒng)計(jì)案例中的回歸分析的基本思想及初步應(yīng)用。本節(jié)課利用獨(dú)立性檢驗(yàn)進(jìn)一步分析兩個(gè)分類變 量之間是否有關(guān)系，是高中數(shù)學(xué)知識(shí)中體現(xiàn)統(tǒng)計(jì)思想的重要部分。 在本節(jié)課的教案中，要把重點(diǎn)放在獨(dú)立性檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)學(xué)原理上，理解獨(dú)立

2、性檢驗(yàn)的基本思想，明確獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本步驟。在獨(dú)立性檢驗(yàn)中，通過典型案例的研究，介紹了獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想、方法和初步應(yīng)用。獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想和反證法類似，它們都是假設(shè)結(jié)論不成立，反證法是在假設(shè)結(jié)論不成立基礎(chǔ)上推出矛盾從而證得結(jié)論成立，而獨(dú)立性檢驗(yàn)是在假設(shè)結(jié)論不成立基礎(chǔ)上推出有利于結(jié)論成立的小概率事件發(fā)生，于是認(rèn)為結(jié)論在很大程度上是成立的。因?yàn)樾「怕适录谝淮螌?shí)驗(yàn)中通常是不會(huì)發(fā)生的，所以有利于結(jié)論成立的小概率事件的發(fā)生為否定假設(shè)提供了有力的證據(jù)。 學(xué)習(xí)獨(dú)立性檢驗(yàn)的目的是“通過典型案例介紹獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想、方法及其初步應(yīng)用，使學(xué)生認(rèn)識(shí)統(tǒng)計(jì)方法在決策中的作用”。這是因?yàn)椋S著現(xiàn)代信息技

3、術(shù)飛速發(fā)展，信息傳播速度快，人們每天都會(huì)接觸到影響我們生活的統(tǒng)計(jì)方面信息，所以具備一些統(tǒng)計(jì)知識(shí)已經(jīng)成為現(xiàn)代人應(yīng)具備的一種數(shù)學(xué)素養(yǎng)。 教案重點(diǎn) ：理解獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想及實(shí)施步驟． 二、教案目標(biāo)與目標(biāo)解讀 ．目標(biāo)： () 通過典型案例的探究，了解獨(dú)立性檢驗(yàn)（只要求 列聯(lián)表）的基本思想、方法及初步應(yīng)用。 () 通過典型案例的探究，讓學(xué)生經(jīng)歷由實(shí)際問題建立數(shù)學(xué)模型的過程，體會(huì)其基本方法。 () 通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，加強(qiáng)數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活的聯(lián)系。以科學(xué)的態(tài)度評(píng)價(jià)兩個(gè)分類變量有關(guān)系的可能性。培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識(shí)，解決實(shí)際問題的能力和提高數(shù)據(jù)分析能力。 ．目標(biāo)解讀 ：

4、 獨(dú)立性檢驗(yàn)是考察兩個(gè)分類變量是否有關(guān)系，并且能較精確地給出這種判斷的可靠程度的一種重要的統(tǒng)計(jì)方法．利用獨(dú)立性檢驗(yàn)，能夠幫助我們對(duì)日常生活中的實(shí)際問題作出合理的推斷和預(yù)測．因此，在學(xué)習(xí)中通過對(duì)統(tǒng)計(jì)案例的分析，理解和掌握獨(dú)立性檢驗(yàn)的方法，體會(huì)獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想在解決實(shí)際問題的應(yīng)用，以提高我們處理生活和工作中的某些問題的能力． 新課標(biāo)指出：學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容應(yīng)當(dāng)是現(xiàn)實(shí)的、有趣的和富有挑戰(zhàn)性的。從心理學(xué)的角度看，青少年有一種好奇的心態(tài)、探究的心理。因此，緊緊地抓住學(xué)生的這一特征，利用學(xué)生身邊的問題，設(shè)計(jì)教案情境，使學(xué)生在觀察、討論等活動(dòng)中，逐步提高數(shù)據(jù)分析能力。 1 /

5、6 三、教案問題診斷分析 ．文科教材中的反證法出現(xiàn)在本冊(cè)書的下一單元“推理與證明”中，僅在必修二的第頁中在說明“垂直于同一個(gè)平面的兩條直線互相平行”時(shí)蜻蜓點(diǎn)水般的提到反證法，使得同學(xué)理解獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想是非常困難的。 ．獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想難于理解還表現(xiàn)在它的必要性上，當(dāng)然憑空出現(xiàn)一個(gè)隨機(jī)變量 等以及對(duì)犯錯(cuò)誤的概率的解釋也是重要原因之一。 對(duì)于必要性和檢驗(yàn)的科學(xué)性的懷疑可能 直接導(dǎo)致學(xué)生對(duì)接下來所談到的內(nèi)容會(huì)有所懷疑，不一定十分認(rèn)同。 ．課本的表述涉及的符號(hào)與字母較多，對(duì)數(shù)學(xué)思維相對(duì)較弱的面上中學(xué)的文科學(xué)生來說，理解獨(dú)立性檢驗(yàn)思想會(huì)產(chǎn)生一定的

6、干擾。 教案難點(diǎn)： ①了解獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想； ②了解隨機(jī)變量 的含義， 的觀測值很 大，就認(rèn)為兩個(gè)分類變量是有關(guān)系的。 四、教案支持條件 為了有效實(shí)現(xiàn)教案目標(biāo)，考慮到學(xué)生的知識(shí)水平、理解能力，通過教師設(shè)計(jì)的層層推進(jìn)式的問題，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性，讓學(xué)生在教師指導(dǎo)下的自主學(xué)習(xí)，讓學(xué)生逐步領(lǐng)會(huì)獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想 ,掌握獨(dú)立性檢驗(yàn)的方法。 五、教案過程設(shè)計(jì) ⑴創(chuàng)設(shè)情境，提出問題 創(chuàng)設(shè)情景：前段世間，有一個(gè)新聞引發(fā)了大家的思考，我們來看看這個(gè)新聞 ( 看視頻：一人吸煙全家肺癌 ) ，那么吸煙與肺癌到底有沒有關(guān)系呢？下面我們來看看有關(guān)的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)：

7、 像這個(gè)表格中的 “吸煙” 、“不吸煙” 是根據(jù)樣本人群是否吸煙進(jìn)行分類， 而“患肺癌” 、“不患肺癌”是根據(jù)樣本人群是否患肺癌進(jìn)行分類，向這種變量的不同的“值”表示個(gè)體所 屬的不同類別，像這樣的變量稱為“分類變量”，還比如，我們可以將全班同學(xué)分為“男生”和“女生”這兩類。而這個(gè)列出分類變量的頻數(shù)表我們稱為“列聯(lián)表”。 提出問題：“請(qǐng)問同學(xué)們能否再舉一些分類變量的例子？” 活動(dòng)預(yù)設(shè)：教師根據(jù)學(xué)生的正確回答給予鼓勵(lì)，對(duì)于不正確的回答讓同學(xué)們討論解決。 【設(shè)計(jì)意圖】數(shù)學(xué)教案只有從問題開始才有其生命力，創(chuàng)設(shè)一個(gè)實(shí)際問題情境，既學(xué)習(xí)

8、 了兩個(gè)概念，又提出本節(jié)課研究的問題。同時(shí)使學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，感受學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)新 知識(shí)的必要性．概念難度不大，又給出了學(xué)生身邊的例子，同學(xué)們可以自行解決． ⑵探究歸納，解決問題 ①啟發(fā)探究 提出問題：請(qǐng)用計(jì)算器計(jì)算吸煙樣本與不吸煙樣本中患肺癌的比例，并初步判斷吸煙是否對(duì)患肺癌有影響？ 2 / 6 活動(dòng)預(yù)設(shè)：學(xué)生計(jì)算出比例，有學(xué)生認(rèn)為吸煙樣本中患肺癌的比例高于不吸煙樣本中患肺癌的比例，認(rèn)為吸煙更容易引發(fā)肺癌；但也有學(xué)生認(rèn)為兩者比例不同但相差不大，認(rèn)為吸煙對(duì)是否患肺癌沒影響，老師可根據(jù)吸煙樣本中患肺癌的比例是不吸煙樣本中患肺癌的比例的倍

9、多說明可初步判斷吸煙對(duì)患肺癌有影響。 【設(shè)計(jì)意圖】這里明確讓學(xué)生利用這兩個(gè)比例來判斷，主要是為后面提出假設(shè)后可利用這兩個(gè)比例來推導(dǎo) ad bc 0 埋下伏筆。對(duì)于認(rèn)為沒影響的問 題，這恰恰說明了需要通過獨(dú)立性檢驗(yàn)來對(duì)直觀判斷可靠性進(jìn)行研究的必要性。為了減少運(yùn)算時(shí)間，提高課堂效率，讓學(xué)生提前準(zhǔn)備計(jì)算器是必要的。 引導(dǎo)性語言：除了列聯(lián)表外，我們?cè)诮y(tǒng)計(jì)學(xué)中還可以用一個(gè)叫做等高條形圖的圖形更直觀地反映兩個(gè)分類變量間是否相互影響。 活動(dòng)預(yù)設(shè)：教師用軟件作出等高條形圖并介紹等高條形圖中淺色條與深色條的含義。 【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生體會(huì)到圖形的直觀性和利用電腦技術(shù)

10、 在解決實(shí)際研究中的方便性。 引導(dǎo)性語言：要研究吸煙與患肺癌兩個(gè)分類變量有關(guān)系是不容易解決的問題，我們可以借助昨晚復(fù)習(xí)的反證法的思考模式，本著“正難則反”的思想方法去研究。 提出問題：我們可以提出什么樣的假設(shè)？根據(jù)我們的假設(shè)，在問題中所提出的吸煙樣本與不吸煙樣本中患肺癌的比例有著怎樣的關(guān)系？根據(jù)這個(gè)關(guān)系，能推導(dǎo)出有怎樣的關(guān)系？ 活動(dòng)預(yù)設(shè)：教師給出將原列聯(lián)表中的數(shù)字替換為字母，學(xué)生判斷出吸煙樣本與不吸煙樣本中患肺癌的比例差不多，在老師的指導(dǎo)下得出 ad bc 0 【設(shè)計(jì)意圖】獨(dú)立性檢驗(yàn)的思想類似于反證法，基于文科教材中還沒有

11、講到反證法，所 以在課前給學(xué)生做反證法知識(shí)的準(zhǔn)備是必不可少的。課本在推導(dǎo)過程中用吸煙樣本和不吸煙 樣本中不患肺癌的比例 ，而我是用患肺癌的比例 ，這樣做是沒有錯(cuò)的，又可以減少學(xué)生思維 的障礙。針對(duì)面上中學(xué)文科學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)與思維的實(shí)際，所提問題只能梯度小一些，具體一點(diǎn)，不能過于寬泛，否則學(xué)生無從下手。 ②新知解讀 提出問題：通過上述推導(dǎo)得到 ad bc 0 ，為表示其差異性，將其轉(zhuǎn)化成 | ad bc | ，那么直觀上 | ad bc |的大小能否說明吸煙與患肺癌之間的關(guān)系的強(qiáng)弱？ 活動(dòng)預(yù)設(shè)： | ad bc |值越小，吸煙與患肺癌之間的關(guān)系越弱； | ad

12、 bc |值越大，越不獨(dú)立，兩個(gè)分類變量關(guān)系越強(qiáng)。 3 / 6 【設(shè)計(jì)意圖】通過這個(gè)問題及其分析可以幫助學(xué)生理解統(tǒng)計(jì)學(xué)家構(gòu)造的隨機(jī)變量 K 2 n(ad bc) 2 ，（ n a b c d ）的合理性，打消學(xué)生的懷疑。 ( a b)(c d )(a c)(b d ) 引導(dǎo)性語言：為了使不同樣本容量的數(shù)據(jù)有一個(gè)統(tǒng)一而又合理的評(píng)判標(biāo)準(zhǔn)，統(tǒng)計(jì)學(xué)家們 經(jīng)過研究后構(gòu)造了一個(gè)隨機(jī)變量 K 2 n(ad bc) 2 ，（ n a b c d ），并得 ( a b)(c d )(a c)(b d

13、 ) 到了一個(gè)臨界值表： ( K 2 k0 ) k0 以 k0 6.635為例， P( K 2 6.635) 0.01，就是說在假設(shè)（吸煙與患肺癌沒有關(guān)系）成立的條件下，計(jì)算出隨機(jī)變量 K 2 的觀測值 k 大于等于這個(gè)臨界值的概率近似為，是一個(gè)小概率事件，若一個(gè)小概率事件（很難發(fā)生的事件）發(fā)生了，說明我們之前的假設(shè)不成立。 【設(shè)計(jì)意圖】本環(huán)節(jié)我沒有按照教材的呈現(xiàn)順序，而是將卡方臨界值表提到前面來講解 ，利用概率知識(shí)解讀卡方臨界值表中數(shù)據(jù)的含義， 有助于學(xué)生體會(huì)到如果 K 2 的觀測值很大， 就 認(rèn)為兩個(gè)分類變量是有關(guān)系

14、的合理性，為后面引出獨(dú)立性檢驗(yàn)的規(guī)則做好鋪墊，達(dá)到突破難 點(diǎn)的目的。 提出問題：請(qǐng)你利用計(jì)算器算出吸煙與患肺癌問題中的隨機(jī)變量 K 2 的觀測值 k 的大小， 結(jié)合臨界值表，請(qǐng)你仿照反正法思考它能告訴我們什么呢？ 活 動(dòng)預(yù) 設(shè)： 學(xué)生 算 出正 確的 k 的值 ，根 據(jù) 臨界 值 表，在 假設(shè) 成立 的情 況下 ， P(K 2 10.828) 0.001，隨機(jī)變量 K 2 的觀測值 k 大于等于的概率近似為， 是一個(gè)小概率事件， 而一個(gè)小概率事件（很難發(fā)生的事件）發(fā)生了，說明我們之前的假設(shè)不成立，即可以認(rèn)為吸煙與患肺癌有關(guān)。 【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生

15、自己通過對(duì)臨界值概率的理解，親身去體會(huì)是接受假設(shè)還是拒絕假 設(shè)，實(shí)現(xiàn)教案重點(diǎn)，即理解獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想 ，當(dāng)然也會(huì)為由學(xué)生來歸納獨(dú)立性檢驗(yàn)的 思想做好鋪墊。 提出問題：認(rèn)為“吸煙與患肺癌有關(guān)系”是否指吸煙人一定會(huì)患肺癌？這個(gè)判斷會(huì)犯錯(cuò)誤嗎？如果這個(gè)判斷會(huì)犯錯(cuò)誤，那么犯錯(cuò)的概率大約是多少？ 活動(dòng)預(yù)設(shè)：在學(xué)生討論交流的基礎(chǔ)上，教師給出正確的回答：這里所說的“患病與吸煙有關(guān)系”是一種統(tǒng)計(jì)關(guān)系，這種關(guān)系是指“吸煙的人患病的可能性（風(fēng)險(xiǎn)）更大”，而不是說“吸煙的人一定患病”，要特別注意這兩者間的區(qū)別。這個(gè)判斷會(huì)犯錯(cuò)誤，但犯錯(cuò)誤的概率不會(huì)超過，這也是由列聯(lián)表和等高條形圖進(jìn)行直觀判

16、斷的不足之處。需要說明的是：既然推斷會(huì)犯錯(cuò)誤，那么在檢驗(yàn)之前首先應(yīng)給出能容許推斷“兩個(gè)分類變量有關(guān)系”犯錯(cuò)誤概率的上界。 4 / 6 【設(shè)計(jì)意圖】幫助學(xué)生理解“在犯錯(cuò)誤的概率不超過的前提下認(rèn)為‘’與‘’有關(guān)系”，進(jìn)而強(qiáng)調(diào)了獨(dú)立性檢驗(yàn)和給出能容許推斷“兩個(gè)分類變量有關(guān)系”犯錯(cuò)誤概率的上界的必要性，為后面 小結(jié)獨(dú)立性檢驗(yàn)的步驟做準(zhǔn)備。 ③總結(jié)提升 提出問題：從整體思路上看，獨(dú)立性檢驗(yàn)的思想與反證法的思想有些類似之處，你能將下列表格補(bǔ)充完整嗎？ 反證法原理 獨(dú)立性檢驗(yàn)原理 要證明結(jié)論，在假設(shè)不成立的前提下推出

17、 一個(gè)矛盾，就證明了假設(shè)不成立。 活動(dòng)預(yù)設(shè)：要證明兩個(gè)分類變量有關(guān)，在假設(shè)兩個(gè)分類變量無關(guān)的情況下，如果出現(xiàn)一個(gè)與假設(shè)相矛盾的小概率事件，就推斷假設(shè)不成立，且該推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過這個(gè)小概率。 【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生自己去比較反證法原理與獨(dú)立性檢驗(yàn)原理的比較，讓學(xué)生更好地理 解獨(dú)立性檢驗(yàn)的原理。這里由于課本的表述涉及的字母較多，對(duì)數(shù)學(xué)思維相對(duì)較弱的文科學(xué) 生理解獨(dú)立性檢驗(yàn)思想會(huì)產(chǎn)生一定的干擾，故采 用相對(duì)較通俗的表述。 提出問題：通過上面的學(xué)習(xí)過程，一般地， 假設(shè)有兩個(gè)分類變量和，它們的取值分別為 { x1, x2 } 和 { y1 ,

18、 y2 } ，其樣本頻數(shù)列聯(lián)表如右圖： 你能歸納獨(dú)立性檢驗(yàn)的一般步驟嗎？ 活動(dòng)預(yù)設(shè)： . 根據(jù)實(shí)際問題的需要確定容許推斷“兩個(gè)分類變量有關(guān)系”犯錯(cuò)誤概率的上界，查臨界 值表 k0 ； . 利用公式計(jì)算隨機(jī)變量 K 2 的觀測值 k ； .如果 k k0 ，就推斷“和有關(guān)系”，這種推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過 ，否則，就認(rèn)為在 犯錯(cuò)誤的概率不超過 的前提下不能推斷“和有關(guān)系”，或者在這個(gè)樣本數(shù)據(jù)中沒有發(fā)現(xiàn)足夠證據(jù)支持結(jié)論“和有關(guān)系”。 【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生再次經(jīng)歷問題解決的過程，既深化對(duì)該統(tǒng)計(jì)思想的理解，又掌握應(yīng)用獨(dú)立性檢驗(yàn)解決問題的步

19、驟。 六、目標(biāo)檢測設(shè)計(jì) 5 / 6 提出問題：根據(jù)前面所學(xué)知識(shí)，我們能否利用獨(dú)立性檢驗(yàn)的思想在本班內(nèi)研究“性別”與“喜歡數(shù)學(xué)是否有關(guān)” ？ 活動(dòng)預(yù)設(shè)：在老師的指導(dǎo)下，讓學(xué)生經(jīng)歷統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)、列列聯(lián)表、初步判斷和獨(dú)立性檢驗(yàn)的過程（略）。 【設(shè)計(jì)意圖】由于沒有講例題，本節(jié)設(shè)置的這樣一個(gè)課堂作業(yè)，一是給學(xué)生提供一定的 實(shí)踐活動(dòng)的機(jī)會(huì)。二激發(fā)了學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，更讓他們感受到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)是十分有用的， 體會(huì)到數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值。以上這些都十分符合新課程改革中提出對(duì)高中數(shù)學(xué)課程的通過作業(yè) 進(jìn)一步構(gòu)建獨(dú)立性檢驗(yàn)的思想體系。 6 / 6