《獨立性檢驗的基本思想及其初步應用》

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1、 問 題 : 數(shù) 學 家 龐 加 萊 每 天 都 從 一 家面 包 店 買 一 塊 1000g 的 面 包 ， 并 記錄 下 買 回 的 面 包 的 實 際 質 量 。 一 年后 ， 這 位 數(shù) 學 家 發(fā) 現(xiàn) ， 所 記 錄 數(shù) 據(jù)的 均 值 為 950g。 于 是 龐 加 萊 推 斷 這家 面 包 店 的 面 包 分 量 不 足 。 假 設 “ 面 包 分 量 足 ” ， 則 一 年 購 買 面 包 的 質 量數(shù) 據(jù) 的 平 均 值 應 該 不 少 于 1000g ； “ 這 個 平 均 值 不 大 于 950g”是 一 個 與 假 設 “ 面 包分 量 足 ” 矛 盾 的 小 概 率 事

2、 件 ； 這 個 小 概 率 事 件 的 發(fā) 生 使 龐 加 萊 得 出 推 斷 結 果 。 假 設 檢 驗 問 題 由 兩 個 互 斥 的 假 設 構 成 ， 其 中 一 個叫 做 原 假 設 ， 用 H 0表 示 ； 另 一 個 叫 做 備 擇 假 設 ，用 H 1表 示 。例 如 ， 在 前 面 的 例 子 中 ， 原 假 設 為 ： H 0： 面 包 分 量 足 ，備 擇 假 設 為 H 1： 面 包 分 量 不 足 。這 個 假 設 檢 驗 問 題 可 以 表 達 為 ： H 0： 面 包 分 量 足 H 1： 面 包 分 量 不 足 考 慮 假 設 檢 驗 問 題 ： H 0： 面

3、 包 分 量 足 H 1： 面 包 分 量 不 足1. 在 H 0成 立 的 條 件 下 ， 構 造 與 H 0矛 盾 的 小 概率 事 件 ；2. 如 果 樣 本 使 得 這 個 小 概 率 事 件 發(fā) 生 ， 就 能以 一 定 把 握 斷 言 H 1成 立 ； 否 則 ， 斷 言 沒 有發(fā) 現(xiàn) 樣 本 數(shù) 據(jù) 與 H 0相 矛 盾 的 證 據(jù) 。求 解 思 路 ： 三 :二 個 概 念這 種 變 量 的 不 同 取 “ 值 ” 表 示 個 體 所 屬 的 不同 類 別 ， 這 類 變 量 稱 為 分 類 變 量1.分 類 變 量 對 于 性 別 變 量 ， 取 值 為 ： 男 、 女 分

4、類 變 量 在 現(xiàn) 實 生 活 中 是 大 量 存 在 的 ， 如 是否 吸 煙 ， 是 否 患 肺 癌 ， 宗 教 信 仰 ， 國 別 ， 年 齡 ，出 生 月 份 等 等 。利 用 隨 機 變 量 K2來 確 定 在 多 大 程 度 上 可 以 認 為 ”兩 個 分 類 變 量 有 關 系 ” 的 方 法 稱 為 兩 個 分 類 變量 的 獨 立 性 檢 驗 .(為 假 設 檢 驗 的 特 例 ) 吸 煙 與 肺 癌 列 聯(lián) 表不 患 肺 癌 患 肺 癌 總 計不 吸 煙 7775 42 7817吸 煙 2099 49 2148總 計 9874 91 9965為 了 調 查 吸 煙 是 否

5、 對 肺 癌 有 影 響 ， 某 腫 瘤 研 究 所 隨 機地 調 查 了 9965人 ， 得 到 如 下 結 果 （ 單 位 ： 人 ）在 不 吸 煙 者 中 患 肺 癌 的 比 重 是 在 吸 煙 者 中 患 肺 癌 的 比 重 是 說 明 ： 吸 煙 者 和 不 吸 煙 者 患 肺 癌 的 可 能 性 存 在 差 異 ，吸 煙 者 患 肺 癌 的 可 能 性 大 0.54%2.28% 1)通 過 圖 形 直 觀 判 斷 兩 個 分 類 變 量 是 否 相 關 ： 2) 通 過 圖 形 直 觀 判 斷 兩 個 分 類 變 量 是 否 相 關 ： 3)通 過 圖 形 直 觀 判 斷 兩 個

6、分 類 變 量 是 否 相 關 ：患 肺 癌比 例不 患 肺 癌比 例 獨 立 性 檢 驗H0： 吸 煙 和 患 肺 癌 之 間 沒 有 關 系 H1： 吸 煙 和 患肺 癌 之 間 有 關 系 通 過 數(shù) 據(jù) 和 圖 表 分 析 ， 得 到結 論 是 ： 吸 煙 與 患 肺 癌 有 關用 A 表 示 “ 不 吸 煙 ” ， B 表 示 “ 不 患 肺 癌 ”則 H0： 吸 煙 和 患 肺 癌 之 間 沒 有 關 系 “ 吸 煙 ” 與 “ 患 肺 癌 ” 獨 立 ,即 A與 B獨 立P(AB)=P(A)P(B)等 價 于等 價 于 吸 煙 與 肺 癌 列 聯(lián) 表不 患 肺 癌 患 肺 癌 總

7、 計不 吸 煙 a b a+b吸 煙 c d c+d 總 計 a+c b+d a+b+c+d a + b a + c aP(A) ,P(B) ,P(AB)n n n其 中 n = a + b + c + d a c ,a+b c+d a c+d c a+b ,ad bc a a+b a+c n n n 22 n（ ad-bc）K =(a+b)(c+d)(a+c)(b+d) 獨 立 性 檢 驗 0.ad bc ad-bc 越 小 ， 說 明 吸 煙 與 患 肺 癌 之 間 的 關 系 越 弱 ，ad-bc 越 大 ， 說 明 吸 煙 與 患 肺 癌 之 間 的 關 系 越 強引 入 一 個 隨

8、機 變 量作 為 檢 驗 在 多 大 程 度 上 可 以 認 為 “ 兩 個 變 量有 關 系 ” 的 標 準 。 1)如 果 P(m10.828)= 0.001表 示 有 99.9%的 把 握 認 為 ” X與 Y” 有 關系 ;2)如 果 P(m7.879)= 0.005表 示 有 99.5%的 把 握 認 為 ” X與 Y” 有 關 系 ;3)如 果 P(m6.635)= 0.01表 示 有 99%的 把 握 認 為 ” X與 Y” 有 關 系 ;4)如 果 P(m5.024)= 0.025表 示 有 97.5%的 把 握 認 為 ” X與 Y” 有 關 系 ;5)如 果 P(m3.84

9、1)= 0.05表 示 有 95%的 把 握 認 為 ” X與 Y” 有 關 系 ;6)如 果 P(m2.706)= 0.10表 示 有 90%的 把 握 認 為 ” X與 Y” 有 關 系 ;7)如 果 P(m2.706),就 認 為 沒 有 充 分 的 證 據(jù) 顯 示 ” X與 Y” 有 關 系 ;設 有 兩 個 分 類 變 量 X和 Y它 們 的 值 域 分 別 為 x1,x2和y1,y2其 樣 本 頻 數(shù) 列 表 (稱 為 2 2列 聯(lián) 表 ) 為 y1 y2 總 計x1 a b a+bx2 c d c+d總 計 a+c b+d a+b+c+d2 2列 聯(lián) 表 22 ( )( )( )

10、( )n ad bcK a b c d a c b d （ ）2P(k m) 獨 立 性 檢 驗 吸 煙 與 肺 癌 列 聯(lián) 表不 患 肺 癌 患 肺 癌 總 計不 吸 煙 7775 42 7817吸 煙 2099 49 2148總 計 9874 91 9965通 過 公 式 計 算 22 42 2099 56.6327817 2148 9874 91K 9965(7775 49 ） 獨 立 性 檢 驗已 知 在 成 立 的 情 況 下 ，0H2( 6.635) 0.01P K 即 在 成 立 的 情 況 下 ， K2 大 于 6.635概 率 非 常小 ， 近 似 為 0.010H現(xiàn) 在 的

11、 K2=56.632的 觀 測 值 遠 大 于 6.635 分 類 變 量 之 間 關 系條 形 圖 柱 形 圖 列 聯(lián) 表獨 立 性 檢 驗背 景 分 析 例 1.在 某 醫(yī) 院 ,因 為 患 心 臟 病 而 住 院 的 665名 男 性 病 人 中 ,有 214人 禿 頂 ,而 另 外 772名不 是 因 為 患 心 臟 病 而 住 院 的 男 性 病 人 中 有175人 禿 頂 .分 別 利 用 圖 形 和 獨 立 性 檢 驗 方法 判 斷 是 否 有 關 ?你 所 得 的 結 論 在 什 么 范 圍內 有 效 ? 例 2.為 考 察 高 中 生 性 別 與 是 否 喜 歡 數(shù) 學 課

12、程 之間 的 關 系 ,在 某 城 市 的 某 校 高 中 生 中 隨 機 抽 取300名 學 生 ,得 到 如 下 列 聯(lián) 表 : 性 別 與 喜 歡 數(shù) 學 課 程 列 聯(lián) 表喜 歡 數(shù) 學 課 程 不 喜 歡 數(shù) 學 課 程 總 計 男 37 85 122 女 35 143 178 總 計 72 228 300由 表 中 數(shù) 據(jù) 計 算 得 ,高 中 生 的性 別 與 是 否 喜 歡 數(shù) 學 課 程 之 間 是 否 有 關 系 ?為 什 么 ? 2K 4.513ac db 獨 立 性 檢 驗 基 本 的 思 想 類 似 反 證 法(1)假 設 結 論 不 成 立 ,即 “ 兩 個 分 類 變 量 沒 有 關 系 ” .(2)在 此 假 設 下 隨 機 變 量 K2 應 該 很 能 小 ,如 果 由 觀 測 數(shù) 據(jù)計 算 得 到 K2的 觀 測 值 k很 大 ,則 在 一 定 程 度 上 說 明 假 設不 合 理 .(3)根 據(jù) 隨 機 變 量 K2的 含 義 ,可 以 通 過評 價 該 假 設 不 合 理 的 程 度 ,由 實 際 計 算 出 的 ,說 明 假 設 合 理 的 程 度 為 99.9%,即 “ 兩 個 分 類 變 量 有 關系 ” 這 一 結 論 成 立 的 可 信 度 為 約 為 99.9%.