理論力學(xué)教學(xué)材料-8動(dòng)力學(xué)普遍定理

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1、單擊以編輯母版標(biāo)題樣式,單擊以編輯母版文本樣式,第二級(jí),第三級(jí),第四級(jí),第五級(jí),*,*,*,與動(dòng)量定理和動(dòng)量矩定理用矢量法研究不同，動(dòng)能定理用能量法研究動(dòng)力學(xué)問題。能量法不僅在機(jī)械運(yùn)動(dòng)的研究中有重要的應(yīng)用，而且是溝通機(jī)械運(yùn)動(dòng)和其它形式運(yùn)動(dòng)的橋梁。動(dòng)能定理建立了與運(yùn)動(dòng)有關(guān)的物理量動(dòng)能和作用力的物理量功之間的聯(lián)系，這是一種能量傳遞的規(guī)律。,8-6 動(dòng)能定理,一、力的功,力的功是力沿路程累積效應(yīng)的度量。,力的功是,代數(shù)量,。時(shí),正功；時(shí),功為零；時(shí),負(fù)功。,單位：焦耳（）；,（一）常力的功,動(dòng)力學(xué),1,（二）變力的功,力在曲線路程中作功為,（自然形式表達(dá)式）,（矢量式）,（直角坐標(biāo)表達(dá)式）,動(dòng)力學(xué),

2、元功,：,2,（三）合力的功,質(zhì)點(diǎn),M,受,n,個(gè)力 作用合力為,則合力的功,即,在任一路程上，,合力的功等于各分力功的代數(shù)和,。,動(dòng)力學(xué),3,（四）常見力的功,1重力的功,重力的功，等于質(zhì)點(diǎn)系的重,量與其在始末位置重心的高度差的乘積，而與其的路徑無關(guān)。,動(dòng)力學(xué),(下降為正),2彈性力的功,1,初變形，,2,末變形,k,彈簧常數(shù),彈性力的功只與彈簧的起始變形和終了變形有關(guān)，而與質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路徑無關(guān)。,4,若,m,=常量,則,注意：功的符號(hào)的確定。,3萬有引力的功,萬有引力所作的功只與質(zhì)點(diǎn)的始末位置有關(guān)，與路徑無關(guān)。,動(dòng)力學(xué),如果作用力偶，,m,且力,偶的作用面垂直轉(zhuǎn)軸，則,4作用于轉(zhuǎn)動(dòng)剛體上的力

3、或力偶的功,設(shè)在繞,z,軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體上,M,點(diǎn)作用有力，計(jì)算剛體轉(zhuǎn)過一角度,時(shí)力所作的功。,M,點(diǎn)軌跡已知。,5,注意：圓輪作純滾動(dòng)時(shí)摩擦力,F,不做功,(2)滾動(dòng)摩擦阻力偶,m,的功,5摩擦力的功,(1)動(dòng)滑動(dòng)摩擦力的功,動(dòng)力學(xué),若,m,=常量則,同其他力的功計(jì)算一樣。一般摩擦力做負(fù)功。,6約束反力的功,約束反力元功為零或元功之和為零的約束稱為理想約束。即：,理性約束的約束反力做功為零。,6,動(dòng)力學(xué),（1）光滑支承面,（2）固定鉸支座,（3）活動(dòng)鉸支座、向心軸承,（4）不可伸長(zhǎng)的繩,（5）聯(lián)接剛體的光滑鉸鏈（中間鉸）,7,（五）質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)力的功,只要,A,、,B,兩點(diǎn)間距離保持不變,內(nèi)力的元功

4、和就等于零,。,不變質(zhì)點(diǎn)系的內(nèi)力功之和等于零。剛體的內(nèi)力功之和等于零。,動(dòng)力學(xué),內(nèi)力功之和一般不等于零。,8,二動(dòng)能,物體的動(dòng)能是由于物體運(yùn)動(dòng)而具有的能量，是機(jī)械運(yùn)動(dòng)強(qiáng)弱的又一種度量。,（,一）質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能,（,二）質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能,動(dòng)力學(xué),瞬時(shí)量,與速度方向無關(guān)的,正標(biāo)量,具有與功相同的量綱,單位,也是,J,。,將質(zhì)點(diǎn)系的運(yùn)動(dòng)分解為隨同質(zhì)心的平動(dòng)和相對(duì)于質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)，據(jù)此計(jì)算某些問題中的動(dòng)能較為方便：,設(shè)質(zhì)心速度為,v,c,，則質(zhì)點(diǎn),M,i,的速度,v,i,：,9,動(dòng)力學(xué),即：質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能等于隨同質(zhì)心平動(dòng)的動(dòng)能與相對(duì)于質(zhì)心運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能之和。,柯尼希定理,于是：,式中：,質(zhì)心相對(duì)于質(zhì)心的速度,10,（,

5、I,為速度瞬心）,1平動(dòng)剛體,2定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體,3平面運(yùn)動(dòng)剛體,動(dòng)力學(xué),（三）剛體的動(dòng)能,剛體的平面運(yùn)動(dòng)可以分解為隨質(zhì)心的平動(dòng)和饒過質(zhì)心且垂直于運(yùn)動(dòng)平面的轉(zhuǎn)動(dòng)，所以：,或：,11,三動(dòng)能定理,1質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理：,因此,質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能定理的,微分形式,將上式沿路徑積分，可得,質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能定理的,積分形式,動(dòng)力學(xué),兩邊點(diǎn)乘以，有,12,對(duì)質(zhì)點(diǎn)系中的一質(zhì)點(diǎn) ：,即 質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理的,微分形式,質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理的,積分形式,動(dòng)力學(xué),對(duì)整個(gè)質(zhì)點(diǎn)系，有,2質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定理,將上式沿路徑 積分，可得,質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能的微分等于質(zhì)點(diǎn)系上所有力的元功之和。,在某一過程中，質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能的變化量，等于質(zhì)點(diǎn)系上所有力在同一過程中所作的功的

6、代數(shù)和。,13,例1,圖示系統(tǒng),均質(zhì)圓盤,A,、,B,各重,P,，,半徑均為,R,OC,水平,A,上作用一矩為,M,(常量),的力偶；重物,D,重,Q,。,求,D,下落,h,時(shí)的速度與加速度。,(繩重不計(jì)，繩不可伸長(zhǎng)，盤,B,作純滾動(dòng)，初始時(shí)系統(tǒng)靜止,),動(dòng)力學(xué),解,：研究對(duì)象：系統(tǒng),14,對(duì)（*）式求導(dǎo)（注意：此時(shí)應(yīng)視,h,為變量）,得：,動(dòng)力學(xué),（*）,（,F,做功不？）,15,例2,均質(zhì)圓盤,A,：,m,，,r，,作純滾動(dòng),；滑塊,B,：m。桿,AB,質(zhì)量不,計(jì)。斜面傾角,，摩擦系數(shù),f,。求：滑塊的加速度。,動(dòng)力學(xué),解：研究對(duì)象：系統(tǒng),由動(dòng)能定理的微分形式,dT=,d,W,得：,兩邊同

7、除以,d,，得,設(shè)任意瞬時(shí)圓盤A質(zhì)心的速度為,v,，則,當(dāng)圓盤A質(zhì)心沿斜面向下運(yùn)動(dòng),dS,時(shí)：,16,例3,均質(zhì)桿AB與重物C的質(zhì)量均為,m，,桿在地面水平位置時(shí)系統(tǒng)靜止，求桿被拉到與水平成30,0,角時(shí)C的加速度（不計(jì)各處摩擦及定滑輪O、滑塊B的質(zhì)量）。,動(dòng)力學(xué),解,：,以系統(tǒng)為研究對(duì)象,設(shè)桿長(zhǎng),l,，則：,I,w,j,T,1,=0,將桿放在任一位置研究,。設(shè)C的速度為,v,，則,v,B,=v,17,動(dòng)力學(xué),I,w,j,（*）,兩邊對(duì),t,求導(dǎo)得：,由（*）知：,代入上式得：,當(dāng),j,=30,0,時(shí)，,a=0.275g,18,*1,均質(zhì)桿,OA,質(zhì)量為30kg,，,桿在鉛垂位置時(shí)彈簧處于自然

8、狀態(tài),。彈簧常數(shù),k,=3N/mm,，,為使桿能由,鉛直位置,OA,轉(zhuǎn)到,水平位置,OA,，,在鉛直位置時(shí)的角速度,0,至少應(yīng)為多大,？,解,：研究對(duì)象：,OA,桿,由 得：,動(dòng)力學(xué),動(dòng)能定理練習(xí)題,19,*2,行星齒輪機(jī)構(gòu),位于水平面內(nèi)。動(dòng)齒輪,O,1,半徑,r,重,P,視為均質(zhì)圓盤；,曲柄,OO,1,重,Q,長(zhǎng),l,作用一力偶,矩為,M,(常量),曲柄由靜止開始轉(zhuǎn)動(dòng)；求曲柄的,(以轉(zhuǎn)角,的函數(shù)表示),和,。,動(dòng)力學(xué),解,：研究對(duì)象：系統(tǒng),將（,）,式對(duì),t,求導(dǎo)數(shù)，得,根據(jù) 得,（）,20,*3,兩根均質(zhì)直桿,組成的機(jī)構(gòu)及尺寸如圖示；,OA,桿質(zhì)量是,AB,桿質(zhì)量的兩倍，不計(jì)摩擦,，機(jī)構(gòu)在

9、圖示位置,從靜止釋放,，,求當(dāng),OA,桿轉(zhuǎn)到鉛垂位置時(shí)，,AB,桿,B,端的速度,。,動(dòng)力學(xué),解,：研究對(duì)象：系統(tǒng),OA,鉛直時(shí),AB,瞬時(shí)平動(dòng),21,四功率 功率方程,（,一）功率,：力在單位時(shí)間內(nèi)所作的功（它是衡量機(jī)器工作能力的一個(gè)重要指標(biāo)）。功率是代數(shù)量，并有瞬時(shí)性。,作用力的功率：,力矩的功率：,功率的單位：瓦特（W），千瓦（kW），W=J/s。,動(dòng)力學(xué),22,（二）功率方程,：,由 的兩邊同除以,dt,得,動(dòng)力學(xué),分析：起動(dòng)階段（加速）：即,制動(dòng)階段（減速）：即,穩(wěn)定階段（勻速）：即,機(jī)器穩(wěn)定運(yùn)行時(shí)，機(jī)械效率,是評(píng)定機(jī)器質(zhì)量?jī)?yōu)劣的重要指標(biāo)之一。一般情況下,。,23,8-7勢(shì)力場(chǎng)、勢(shì)能

10、、機(jī)械能守恒定律,一勢(shì)力場(chǎng),1力場(chǎng),：若質(zhì)點(diǎn)在某空間內(nèi)的任何位置都受到一個(gè)大小和方向完全由所在位置確定的力的作用，則此空間稱為,力場(chǎng),。,動(dòng)力學(xué),重力場(chǎng)、萬有引力場(chǎng)、彈性力場(chǎng)都是勢(shì)力場(chǎng)。,質(zhì)點(diǎn)在勢(shì)力場(chǎng)中受到的場(chǎng)力稱為,有勢(shì)力,(保守力),如重力、彈力等。,2勢(shì)力場(chǎng),：在力場(chǎng)中,如果作用于質(zhì)點(diǎn)的場(chǎng)力作功只決定于質(zhì)點(diǎn)的始末位置，與運(yùn)動(dòng)路徑無關(guān)，這種力場(chǎng)稱為,勢(shì)力場(chǎng),。,24,二勢(shì)能,在勢(shì)力場(chǎng)中,質(zhì)點(diǎn)從位置,M,運(yùn)動(dòng)到任選位置,M,0,有勢(shì)力所作的功,稱為質(zhì)點(diǎn)在位置,M,相對(duì)于位置,M,0,的勢(shì)能，用,V,表示。,M,0,作為基準(zhǔn)位置，勢(shì)能為零，稱為,零勢(shì)能點(diǎn),。,動(dòng)力學(xué),X=X(x,y,z),Y=

11、Y(x,y,z),Z=Z(x,y,z),上式積分與路徑無關(guān)，由高度數(shù)學(xué)知,Xdx+Ydy+Zdz,可表示為某一單值連續(xù)函數(shù)的全微分，即：,Xdx+Ydy+Zdz=dV,V=V(x,y,z),是坐標(biāo)的單值連續(xù)函數(shù)，稱為,勢(shì)能函數(shù),。,25,動(dòng)力學(xué),比較前式有：,質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系在某一位置具有的勢(shì)能是相對(duì)于零位置而言的，零位置是任選的，同一質(zhì)點(diǎn)對(duì)不同的零位置的勢(shì)能是不同的。,某位置的勢(shì)能就等于該位置的勢(shì)能函數(shù)值，如果不知?jiǎng)菽芎瘮?shù)，可通過功的計(jì)算來確定。,勢(shì)能相等的各點(diǎn)所組成的面，稱為,等勢(shì)面,。,物理意義：勢(shì)能是質(zhì)點(diǎn)（系）在某一位置相對(duì)零位置所具有的做功的能力。,26,有勢(shì)力的功等于質(zhì)點(diǎn)系在運(yùn)動(dòng)的始末

12、位置的勢(shì)能之差。,動(dòng)力學(xué),*有勢(shì)力的功,*質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系在常見勢(shì)力場(chǎng)中的勢(shì)能,1.重力場(chǎng),在給定零位置之上為正,2.彈性力場(chǎng),：取彈簧的自然位置為零勢(shì)能點(diǎn),3.萬有引力場(chǎng),：取距引力中心無窮遠(yuǎn)處為零勢(shì)能位置：,27,設(shè)質(zhì)點(diǎn)系只受到有勢(shì)力(或同時(shí)受到不作功的非有勢(shì)力)作用，則,機(jī)械能守恒定律,動(dòng)力學(xué),三機(jī)械能守恒定律,機(jī)械能：系統(tǒng)的動(dòng)能與勢(shì)能的代數(shù)和,。,這樣的系統(tǒng)稱為,保守系統(tǒng),。,例4,均質(zhì)直桿：,m,、,l,，直立于光滑的桌面上。當(dāng)桿無初速度地傾倒后，求質(zhì)心的速度（用桿的傾角,和質(zhì)心的位置表示）。,28,解,：由于水平方向不受外力，且初始靜止，故質(zhì)心,C,鉛垂下降。,由于約束反力不作功,主動(dòng)

13、力為有勢(shì)力，因此可用機(jī)械能守恒定律求解。,由機(jī)械能守恒定律：,將代入上式，化簡(jiǎn)后得,動(dòng)力學(xué),初瞬時(shí)：,任一瞬時(shí)：,29,8-8動(dòng)力學(xué)普遍定理及綜合應(yīng)用,動(dòng)力學(xué)普遍定理包括質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理（質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理）、動(dòng)量矩定理和動(dòng)能定理。動(dòng)量定理和動(dòng)量矩定理是矢量形式，動(dòng)能定理是標(biāo)量形式，他們都可應(yīng)用研究機(jī)械運(yùn)動(dòng)，而動(dòng)能定理還可以研究其它形式的運(yùn)動(dòng)能量轉(zhuǎn)化問題。,動(dòng)力學(xué)普遍定理提供了解決動(dòng)力學(xué)問題的一般方法。動(dòng)力學(xué)普遍定理的綜合應(yīng)用，大體上包括兩方面的含義：一是能根據(jù)問題的已知條件和待求量，選擇適當(dāng)?shù)亩ɡ砬蠼?，包括各種守恒情況的判斷，相應(yīng)守恒定理的應(yīng)用。避開那些無關(guān)的未知量，直接求得需求的結(jié)果。二是

14、對(duì)比較復(fù)雜的問題，能根據(jù)需要選用兩、三個(gè)定理聯(lián)合求解。,求解過程中,要正確進(jìn)行運(yùn)動(dòng)分析,提供正確的運(yùn)動(dòng)學(xué)補(bǔ)充方程。,動(dòng)力學(xué),30,舉例說明動(dòng)力學(xué)普遍定理的綜合應(yīng)用：,*例1,兩根均質(zhì)桿,各重為,P,，長(zhǎng)均為,l,，在,C,處光滑鉸接，,置于光滑水平面上；初始靜止，,C,點(diǎn)高度為,h,，求鉸,C,到達(dá)地面時(shí)的速度,。設(shè)兩桿軸線始終在鉛垂面內(nèi)。,動(dòng)力學(xué),31,討論,質(zhì)心運(yùn)動(dòng)守恒定理動(dòng)能定理求解。,計(jì)算動(dòng)能時(shí)，利用平面運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系。,動(dòng)力學(xué),解,：研究對(duì)象：整體,由動(dòng)能定理：,且初始靜止，,水平方向質(zhì)心位置守恒。,C到達(dá)地面時(shí)，AC速度瞬心在A點(diǎn),32,例2,重150N的均質(zhì)圓盤與重60N、長(zhǎng)2

15、4cm的均質(zhì)桿,AB,鉸接。系統(tǒng)由圖示位置無初速地釋放。,求,系統(tǒng)經(jīng)過最低位置,B,點(diǎn)時(shí),B,點(diǎn)的速度及支座,A,的約束反力。,解,：（1）取圓盤為研究對(duì)象,，圓盤平動(dòng)。,動(dòng)力學(xué),又開始系統(tǒng)靜止，,33,（2）用動(dòng)能定理求速度,。,取系統(tǒng)研究：,T,1,=0，,代入數(shù)據(jù)，得,動(dòng)力學(xué),34,（3）用動(dòng)量矩定理求桿的角加速度,。,由于,所以,0。,動(dòng)力學(xué),桿質(zhì)心,C,的加速度：,盤質(zhì)心加速度：,（4）由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理求支座反力。,研究整個(gè)系統(tǒng)。,代入數(shù)據(jù)，得,35,相對(duì)質(zhì)心動(dòng)量矩守恒定理+動(dòng)能定理+動(dòng)量矩定理+質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理。,可用對(duì)積分形式的動(dòng)能定理求導(dǎo)計(jì)算,，但要注意需取桿,AB,在,一般位置進(jìn)行

16、分析,。,動(dòng)力學(xué),例3,基本量計(jì)算(動(dòng)量,動(dòng)量矩,動(dòng)能),36,例4,質(zhì)量為,m,的桿置于兩個(gè)半徑為,r,，質(zhì)量為的實(shí)心圓柱上，圓柱放在水平面上，求當(dāng)桿上加水平力時(shí)，桿的加速度。設(shè)接觸處無相對(duì)滑動(dòng)。,動(dòng)力學(xué),解,：方法一：用動(dòng)能定理求解。,取系統(tǒng)為研究對(duì)象，桿作平動(dòng)，圓柱體作平面運(yùn)動(dòng)。設(shè)任一瞬時(shí)，桿的速度為,v,，則圓柱體質(zhì)心速度為,v,/2,，角速度,系統(tǒng)的動(dòng)能,所有力的元功之和：,由動(dòng)能定理的微分形式：,兩邊除以，得,37,方法二：用動(dòng)量矩定理求解,（1）取板為研究對(duì)象：由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理,動(dòng)力學(xué),根據(jù) ，得,（2）取輪1為研究對(duì)象,（3）取輪2為研究對(duì)象，同理有：,由（a）（c）得：,38,解,：取桿為研究對(duì)象,由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理：,動(dòng)力學(xué),*例5,均質(zhì)桿,OA,，重,P,，長(zhǎng),l,，。,求,繩子突然剪斷瞬時(shí)，桿的角加速度及,O,處反力。,由動(dòng)量矩定理：,39,