2020-2021學年高三物理一輪復習考點專題18 萬有引力定律及應用

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1、2021年高考物理一輪復習考點 專題（18）萬有引力定律及應用（解析版） 考點一 　 1．行星繞太陽的運動通常按圓軌道處理. 2．開普勒行星運動定律也適用于其他天體，例如月球、衛(wèi)星繞地球的運動． 3．開普勒第三定律＝k中，k值只與中心天體的質(zhì)量有關(guān)，不同的中心天體k值不同．故該定律只能用在同一中心天體的星體之間． 題型1　對開普勒定律的理解 【典例1】　(多選)如圖所示，海王星繞太陽沿橢圓軌道運動，P為近日點，Q為遠日點，M、N為軌道短軸的兩個端點，運行的周期為T0.若只考慮海王星和太陽之間的相互作用，則海王星在從P經(jīng)M、Q到N的運動過程中(　　) A．從P到M所用的時

2、間等于 B．從Q到N階段，機械能逐漸變大 C．從P到Q階段，速率逐漸變小 D．從M到N階段，萬有引力對它先做負功后做正功 【答案】CD 【解析】由開普勒第二定律可知，海王星在PM段的速度大小大于MQ段的速度大小，則P到M所用時間小于M到Q所用時間，所以P到M所用的時間小于，A錯誤；由機械能守恒定律知，從Q到N階段，機械能守恒，B錯誤；從P到Q階段，萬有引力做負功，動能減小，速率逐漸變小，C正確；從M到N階段，萬有引力與速度的夾角先是鈍角后是銳角，即萬有引力對它先做負功后做正功，D正確． 題型2　開普勒定律的應用 　【典例2】利用三顆位置適當?shù)牡厍蛲叫l(wèi)星，可使地球赤道上任意兩點之

3、間保持無線電通訊．目前，地球同步衛(wèi)星的軌道半徑約為地球半徑的6.6倍．假設(shè)地球的自轉(zhuǎn)周期變小，若仍僅用三顆同步衛(wèi)星來實現(xiàn)上述目的，則地球自轉(zhuǎn)周期的最小值約為(　　) A．1 h B．4 h C．8 h D．16 h 【答案】B 【解析】設(shè)地球半徑為R，畫出僅用三顆地球同步衛(wèi)星使地球赤道上任意兩點之間保持無線電通訊時同步衛(wèi)星的最小軌道半徑示意圖，如圖所示．由圖中幾何關(guān)系可得，同步衛(wèi)星的最小軌道半徑r＝2R.設(shè)地球自轉(zhuǎn)周期的最小值為T，則由開普勒第三定律可得，＝，解得T≈4 h，選項B正確． 【變式1】牛頓在思考萬有引力定律時就曾想，把物體從高山上水平拋出，速度一次比一次大，落點一

4、次比一次遠．如果速度足夠大，物體就不再落回地面，它將繞地球運動，成為人造地球衛(wèi)星，如圖所示是牛頓設(shè)想的一顆衛(wèi)星，它沿橢圓軌道運動．下列說法正確的是(　　) A．地球的球心與橢圓的中心重合 B．衛(wèi)星在近地點的速率小于在遠地點的速率 C．衛(wèi)星在遠地點的加速度小于在近地點的加速度 D．衛(wèi)星與橢圓中心的連線在相等的時間內(nèi)掃過相等的面積 【答案】C 【解析】衛(wèi)星圍繞地球做橢圓運動，地心是橢圓軌道的一個焦點，選項A錯誤；根據(jù)開普勒第二定律，衛(wèi)星與地心的連線在相等時間內(nèi)掃過的面積相等，則衛(wèi)星在近地點的速率大于在遠地點的速率，選項B、D錯誤；由牛頓第二定律可知，＝ma，即衛(wèi)星在近地點的加速度大

5、于在遠地點的加速度，選項C正確． 【變式2】(多選)行星繞太陽公轉(zhuǎn)軌道是橢圓，海王星公轉(zhuǎn)周期為T0，其近日點距太陽的距離為a，遠日點距太陽的距離為b，半短軸的長度為c，如圖所示．若太陽的質(zhì)量為M，萬有引力常數(shù)為G，忽略其他行星對它的影響，則(　　) A．海王星從B→C→D的過程中，速率逐漸變小 B．海王星從A→B→C的過程中，萬有引力對它做負功 C．海王星從A→B所用的時間等于 D．海王星在B點的加速度為 【答案】BD 【解析】海王星從B→C→D的過程中，萬有引力對它先做負功再做正功，速率先變小再變大，選項A錯誤；海王星從A→B→C的過程中，萬有引力對它做負功，選項B正確；海

6、王星從A→C的過程中所用的時間是T0，由于海王星從A→B→C的過程中，速率逐漸變小，從A→B與從B→C的路程相等，故海王星從A→B所用的時間小于，選項C錯誤；設(shè)B到太陽的距離為r，則r2＝c2＋，由牛頓第二定律＝ma，故海王星在B點的加速度a＝，選項D正確． 考點二 　 天體質(zhì)量和密度常用的計算方法 使用 方法 已知量 利用 公式 表達式 備注 質(zhì)量的計算 利用運 行天體 r、T G＝ mr M＝ 只能得 到中心 天體的 質(zhì)量 r、v G＝ m M＝ v、T G＝ m G＝ mr M＝ 利用天體 表面重力 加速度

7、g、R mg＝ M＝ 密度的計算 利用運 行天體 r、T、 R G＝ mr M＝　　 ρπR3 ρ＝ 當r＝R時 ρ＝ 利用近 地衛(wèi)星 只需測 出其運 行周期 利用天 體表面 重力加 速度 g、R mg＝ M＝　　 ρπR3 ρ＝ 題型　隨地、繞地問題 【典例3】　2017年6月15日，我國在酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心用長征四號乙運載火箭成功將硬X射線調(diào)制望遠鏡衛(wèi)星“慧眼”發(fā)射升空，衛(wèi)星順利進入預定軌道．此次發(fā)射任務(wù)圓滿成功，填補了我國空間X射線探測衛(wèi)星的空白，實現(xiàn)了我國在空間高能天體物理領(lǐng)域由地面觀測向天地聯(lián)合觀測的跨越．已知“慧

8、眼”衛(wèi)星A做圓周運動的軌道半經(jīng)約為地球半徑的1.1倍，地球同步衛(wèi)星B做圓周運動的軌道半徑約為地球半徑的6.6倍，C為赤道上某建筑物，則(　　) A．A和B的線速度之比約為1∶6 B．B和C的向心加速度之比約為1∶6.6 C．A和C的角速度之比約為∶36 D．A和C的向心加速度之比約為237.6∶1 【答案】D 【解析】根據(jù)v＝ 可知，A和B的線速度之比約為vA∶vB＝ ∶＝ ∶1，選項A錯誤；B和C的角速度相同，根據(jù)a＝ω2r可知B和C的向心加速度之比約為aB∶aC＝6.6R∶R＝6.6∶1，根據(jù)a＝可知，aA∶aB＝6.62∶1.12＝36∶1，則aA∶aC＝237.6∶1，選

9、項B錯誤，D正確；根據(jù)ω＝可知，ωA∶ωC＝ωA∶ωB＝ ∶＝6∶1，選項C錯誤． 【典例4】　“嫦娥三號”探月衛(wèi)星在西昌衛(wèi)星發(fā)射中心發(fā)射，首次實現(xiàn)月球軟著陸．已知月球繞地球做圓周運動的半徑為r1、周期為T1；“嫦娥三號”探月衛(wèi)星繞月球做圓周運動的半徑為r2、周期為T2.引力常量為G，不計周圍其他天體的影響，下列說法正確的是(　　) A．根據(jù)題目條件能求出“嫦娥三號”探月衛(wèi)星的質(zhì)量 B．根據(jù)題目條件能求出地球的密度 C．根據(jù)題目條件能求出地球與月球之間的引力 D．根據(jù)題目條件可得出＝ 【答案】C 【解析】做圓周運動的衛(wèi)星的質(zhì)量都被化簡掉了，無法求解“嫦娥三號”探月衛(wèi)星的質(zhì)量，A錯

10、誤；月球繞地球做圓周運動，有G＝M月2r1，可得M地＝，由于不知道地球的半徑，無法求解地球的密度，B錯誤；利用繞月球做圓周運動的“嫦娥三號”衛(wèi)星，可求月球的質(zhì)量，借助萬有引力公式F＝G可求地球與月球之間的引力，C正確；月球和“嫦娥三號”衛(wèi)星的“中心天體”不同，故≠，D錯誤． 【提 分 筆 記】 計算天體質(zhì)量和密度時應注意的問題 (1)利用萬有引力提供天體做圓周運動的向心力計算天體質(zhì)量時，計算的只是中心天體的質(zhì)量，并非環(huán)繞天體的質(zhì)量． (2)區(qū)分中心天體半徑R和環(huán)繞天體軌道半徑r，只有在中心天體表面附近的環(huán)繞天體才有r≈R；計算天體密度時，V＝πR3中的R是中心天體的半徑． (3)天體

11、質(zhì)量計算中常有隱含條件，如地球的自轉(zhuǎn)周期為24 h，公轉(zhuǎn)周期為365天等． 【變式3】(多選)近期天文學界有很多新發(fā)現(xiàn)，若某一新發(fā)現(xiàn)的星體質(zhì)量為m、半徑為R、自轉(zhuǎn)周期為T，引力常量為G，下列說法正確的是(　　) A．如果該星體的自轉(zhuǎn)周期T<2π，則該星體會解體 B．如果該星體的自轉(zhuǎn)周期T>2π，則該星體會解體 C．該星體表面的引力加速度為 D．如果有衛(wèi)星靠近該星體表面做勻速圓周運動，則該衛(wèi)星的速度大小為 【答案】AD 【解析】如果在該星體“赤道”表面有一物體，質(zhì)量為m′，當它受到的萬有引力大于跟隨星體自轉(zhuǎn)所需要的向心力時，即G>m′R時，有T>2π ，此時，星體處于穩(wěn)定狀態(tài)不會

12、解體，而當該星體的自轉(zhuǎn)周期T< 2π時，星體會解體，故選項A正確，B錯誤；在該星體表面，有G＝m′g′，所以g′＝G，故選項C錯誤；如果有質(zhì)量為m″的衛(wèi)星靠近該星體表面做勻速圓周運動，有G＝m″，解得v＝，故選項D正確． 【變式4】我國計劃發(fā)射“嫦娥五號”探測器，假設(shè)探測器在近月軌道上繞月球做勻速圓周運動，經(jīng)過時間t(小于繞行周期)，運動的弧長為s，探測器與月球中心連線掃過的角度為θ(弧度)，引力常量為G，則(　　) A．探測器的軌道半徑為 B．探測器的環(huán)繞周期為 C．月球的質(zhì)量為 D．月球的密度為 【答案】C 【解析】利用s＝θr，可得軌道半徑r＝，選項A錯誤；由題意可知，角速

13、度ω＝，故探測器的環(huán)繞周期T＝＝＝，選項B錯誤；根據(jù)萬有引力提供向心力可知，G＝m，再結(jié)合v＝可以求出M＝＝＝，選項C正確；由于不知月球的半徑，所以無法求出月球的密度，選項D錯誤． 【變式5】(多選)在圓軌道上做勻速圓周運動的航天器內(nèi)，下列說法正確的是(　　) A．航天器內(nèi)的人能“漂浮”在空中，被稱為完全失重，但這個人還是受到地球的萬有引力作用 B．可以用彈簧測力計測量物體受到的重力 C．可以用彈簧測力計測拉力的大小 D．可以用托盤天平測量物體的質(zhì)量 【答案】AC 【解析】在圓軌道上做勻速圓周運動的航天器內(nèi)的物體處于完全失重狀態(tài)，地球的萬有引力完全提供物體的向心力，故用彈簧測力計

14、無法測量物體受到的重力，也無法用托盤天平測量物體的質(zhì)量，但可以用彈簧測力計測拉力，選項A、C正確，選項B、D錯誤． 【變式6】“嫦娥一號”探月飛行器繞月球做勻速圓周運動，為保持軌道半徑不變，逐漸消耗所攜帶的燃料。若軌道距月球表面的高度為h，月球質(zhì)量為m、半徑為r，引力常量為G，下列說法正確的是(　　) A.月球?qū)Α版隙鹨惶枴钡娜f有引力將逐漸減小 B.“嫦娥一號”繞月球運行的線速度將逐漸減小 C.“嫦娥一號”繞月球運行的向心加速度為Gm(r+h)2 D.“嫦娥一號”繞月球的運行周期為2πr3Gm 【答案】AC 【解析】飛行器逐漸消耗所攜帶的燃料，即飛行器質(zhì)量減小，則萬有引力減小，A

15、正確。軌道半徑不變，則線速度不變，B錯誤。由Gmm(r+h)2=m′a得a=Gm(r+h)2，C正確。Gmm(r+h)2=m′4π2T2(r+h)，知T=2π(r+h)3Gm，D錯誤。 【變式7】發(fā)射宇宙飛船的過程要克服引力做功，已知將質(zhì)量為m的飛船從距地球中心無限遠處移到距地球中心為r處的過程中，引力做功為W=GMmr，飛船在距地球中心為r處的引力勢能公式為Ep=-GMmr，式中G為萬有引力常量，M為地球質(zhì)量。若在地球的表面發(fā)射一顆人造地球衛(wèi)星，如果發(fā)射的速度很大，此衛(wèi)星可以上升到離地心無窮遠處(即地球引力作用范圍之外)，這個速度稱為第二宇宙速度(也稱逃逸速度)。 (1)試推導第二宇宙速度v的表達式。 (2)已知逃逸速度大于真空中光速的天體叫黑洞，設(shè)某黑洞的質(zhì)量等于太陽的質(zhì)量M=1.981030 kg，求它的最大可能半徑。 【答案】(1)v=2GMR　(2)2.93103 m 【解析】(1)設(shè)無窮遠處的引力勢能為零，地球半徑為R，第二宇宙速度為v，則由機械能守恒定律得：12mv2-GMmR=0， 解得：v=2GMR。 (2)由題意可知，v>c，即2GMR>c， 解得：R<2GMc2≈2.93103 m， 則該黑洞的最大半徑為2.93103 m。