2.2歐拉平衡微分方程

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1、單擊此處編輯母版標(biāo)題樣式,單擊此處編輯母版文本樣式,第二級,第三級,第四級,第五級,*,2.2,歐拉平衡微分方程,討論在平衡狀態(tài)下,作用于液體上的表面力和質(zhì)量力之間應(yīng)滿足的關(guān)系,建立表示液體平衡的微分方程。,2.2.1,歐拉平衡微分方程,2.2.2,重力下流體的壓強(qiáng)分布規(guī)律,2.2.1,歐拉平衡微分方程,一、歐拉平衡微分方程的推導(dǎo),二、歐拉平衡微分方程的綜合形式,三、,質(zhì)量力的勢函數(shù)、有勢力、等壓面,一、歐拉平衡微分方程的推導(dǎo),如圖,2.5,，在平衡液體中，取一微小六面體，為研究的方便，使其各邊分別平行于坐標(biāo)軸，邊長分別為：,dx,dy,dz,其形心點(diǎn)為,M(,x,y,z,),，,點(diǎn),M,的壓

2、強(qiáng)為,p,(,x,y,z,),圖,2.5,一、歐拉平衡微分方程的推導(dǎo),由于六面體各面的形心到點(diǎn),M,的距離很小,壓強(qiáng)在,M,點(diǎn)附近的變化可,用泰勒級數(shù)表示,且可忽略二階以上的微量,于是：,圖,2.5,分析作用于六面體表面的力：,（為簡化，只討論,X,方向，,Y,，,Z,方向同理可得）,1.,表面力：,只有靜水壓力,一、歐拉平衡微分方程的推導(dǎo),a,bdc,面上的中心點(diǎn),M,1,（,x-dx/,2,，,y,，,z,），其壓強(qiáng)為：,a,bdc,面上的中心點(diǎn),M,2,（,x+dx/,2,，,y,，,z,），其壓強(qiáng)為：,圖,2.5,M,1,M,2,一、歐拉平衡微分方程的推導(dǎo),作用于,a,bdc,面上的,

3、靜水總壓力為：,作用于,a,bdc,面上的,靜水總壓力為：,圖,2.5,一、歐拉平衡微分方程的推導(dǎo),單位質(zhì)量力在各坐標(biāo)軸方向的分量為：,X,，,Y,，,Z,，六面體的質(zhì)量為：,2.,質(zhì)量力,F,：,一、歐拉平衡微分方程的推導(dǎo),根據(jù)平衡條件,F,x,=0,，則有：,除以,dxdydz,，得：,同理可得：,(2.2),(2.3),一、歐拉平衡微分方程的推導(dǎo),歐拉平衡微分方程：,表明，在靜止液體中,靜水壓強(qiáng)沿某方向的變化率與該方向單位體積上的質(zhì)量力相等。,(2.3),二、歐拉平衡微分方程的綜合形式,將歐拉平衡微分方程分別乘以,dx,，,dy,，,dz,，后相加得：,（,2.4,）,綜合形式,（壓強(qiáng)差

4、公式）,三、質(zhì)量力的勢函數(shù)、有勢力、等壓面,（,2.4,）式左邊是,p,(,x,y,z,),的全微分，右邊括號內(nèi)各項(xiàng)之和也應(yīng)是某一函數(shù)的全微分，這個(gè)函數(shù)是,U(,x,y,z,),，,稱為,質(zhì)量力的勢函數(shù),簡稱,力勢函數(shù)。,有力勢函數(shù)存在的力場，叫勢場。,（,2.4,）,三、質(zhì)量力的勢函數(shù)、有勢力、等壓面,當(dāng)力勢函數(shù)存在時(shí)，有：,所以,：,（,2.5,）,只有當(dāng)質(zhì)量力是有勢力,時(shí)，液體才處于平衡狀態(tài),三、質(zhì)量力的勢函數(shù)、有勢力、等壓面,（,2.5,）,（,2.5,）,表明壓強(qiáng)在空間的變化是由質(zhì)量力引起的,.,等壓面：,在同一種連續(xù)液體中，由壓強(qiáng)相等的各點(diǎn)所組成的面。,在等壓面上，壓強(qiáng),p,=,常

5、數(shù),(const),，,于是：,U,=,常數(shù),(const),，所以,等壓面也是等勢面,三、質(zhì)量力的勢函數(shù)、有勢力、等壓面,等壓面的微分方程：,即：,（,2.6,）,等壓面的微分方程,dx,，,dy,，,dz,是單位質(zhì)量力的微小位移在各坐標(biāo)軸方向的投影。（,2.6,）表明：,單位質(zhì)量力所做的微功等于零,.,由于質(zhì)量力和位移都不為零，,所以在靜止液體中質(zhì)量力與等壓面正交。,三、質(zhì)量力的勢函數(shù)、有勢力、等壓面,因此，在質(zhì)量力只有重力時(shí)，等壓面為一水平面。,常見的等壓面：,1.,液體的自由表面,2.,不相混合的兩種液體的交界面,圖,2.6,2.2.2,重力下流體的壓強(qiáng)分布規(guī)律,一、重力下流體的壓強(qiáng)分

6、布規(guī)律推導(dǎo),二、靜水壓強(qiáng)基本方程的意義,一、重力下流體的壓強(qiáng)分布規(guī)律推導(dǎo),靜止的液體，所受的質(zhì)量力只有重力，,則,X=0,，,Y=0,，,Z=,-,g,，,代入壓強(qiáng)差公式：,取,圖,2.7,所示坐標(biāo)系，,一、重力下流體的壓強(qiáng)分布規(guī)律推導(dǎo),對均質(zhì)流體，,=const,，則：,即：,(2.8),上式表明，在重力作用下，不可壓縮的靜止液體中各點(diǎn)的 相等。,即對液體中的,任兩點(diǎn),：,（,2.9,）,靜力學(xué)的基本方程,(2.7),一、重力下流體的壓強(qiáng)分布規(guī)律推導(dǎo),在自由表面上，,即：,若取,h,的方向與,z,相反，則：,（,2.11,）,靜水壓強(qiáng)的基本方程,（,2.10,）,h,自由液面以下的淹沒深度,

7、p,0,液面壓強(qiáng),則,z,=,z,0,=0,p=p,0,，,一、重力下流體的壓強(qiáng)分布規(guī)律推導(dǎo),（,2,）液重壓強(qiáng),h,即從該點(diǎn)到液體,自由表面,的單位面積上的液柱重量。,式（,2.11,）,靜水壓強(qiáng)的基本方程表明：,靜止液體中的任一點(diǎn)的壓強(qiáng)由,兩部分組成,：,（,1,）表面壓強(qiáng),p,0,（液面壓強(qiáng)）,等值傳遞到液體內(nèi)各點(diǎn)（巴斯卡原理）。,一、重力下流體的壓強(qiáng)分布規(guī)律推導(dǎo),例,2.1,一封閉水箱，如圖,2.8,液面上壓強(qiáng),p,0,=120kN/m,2,求,h,=0.4m,處,A,點(diǎn)的壓強(qiáng)。,圖,2.8,二、靜水壓強(qiáng)基本方程的意義,水頭和單位勢能,式中：,z,位置高度（位置水頭）,是研究點(diǎn)相對于某

8、一,水平面,（基準(zhǔn)面）的高度,從能量的角度看，,z,是單位重量液體從某一基準(zhǔn)面算起所具有的位置勢能,單位位能,下面從能量和幾何的角度分析各項(xiàng)的意義,下面從能量和幾何的角度分析各項(xiàng)的意義,：,液柱高度（壓強(qiáng)水頭）,研究點(diǎn)在自由液面以下的高度,從能量的角度看，,是單位重量液體所具有的壓能,單位壓能,：測壓管水頭（測管水頭）,從能量的角度看，,是單位重量液體所具有的勢能,單位勢能,式中各符號的規(guī)定,表明：靜止液體內(nèi)各點(diǎn)單位重量液體所具有的勢能相等。,z,點(diǎn)在基準(zhǔn)面,以上為正，以下為負(fù),研究點(diǎn)在自由液面以下為“,+”,，以上為“,-,”,在基準(zhǔn)面,以上為正，以下為負(fù),式中各符號的正負(fù)規(guī)定如下：,各符號的規(guī)定舉例,圖,2.9,各符號的規(guī)定練習(xí),做練習(xí),P24,2.2,