各地名校試題解析分類匯編(一)理科數(shù)學：9直線、圓、圓錐曲線

5、,h2=a2-c2=4-2 = 2. 2 2 ???橢圓的標準方程是—+ —= 1. 4分 4 2 （II）由題意直線的斜率存有，可設直線/的方程為y = Zx+2（攵工0）.……5分 聯(lián)立方程: y = kx+ 2 x2 +2y2 =4 設M，N兩點的坐標分別為區(qū),必）,（工2，、2）? 消去y整理得，（1 + 2女2）入2+8匕：+4 = 0 八 8k 4 有3+為 = - = T - 1 + 2攵2 -1 + 2爐 若以MN為直徑的圓恰好過原點，則3彳，麗，所以玉々+%為=， 所以，xxx2 +（k百 +2）（te +2） = 0 , 即（1 + k ）

6、x^2 + 2k（% + x2） + 4 = 0 所以, 俗->。 ??9分 得 k? =2,k=土也. 所以直線/的方程為y = yf2x + 2，或y = — + 2 11分 所在存有過P（0, 2）的直線/： y = JIr + 2使得以弦MN為直徑的圓恰好過原點?！?2分 錐曲線 1【云南省玉溪一中2013屆高三上學期期中考試理】橢圓的中心在原點，焦距為4, 一條準線為x = -4, 則該橢圓的方程為（） 5? ?>） /> 0 A. —H = 1 B. —t = 1 C. 1 = 1 D. — + — = 1 16 12 12 8 8 4 12 4 【

7、答案】C 2 【解析】因為橢圓的焦距是4,所以2c = 4,c = 2又準線為x = t，所以焦點在x軸且一 = -4,解得 c /=8,所以〃=〃2_。2=8_4 = 4,所以橢圓的方程為二十二=1,選C. 8 4 2【云南省玉溪一中2013屆高三上學期期中考試理】已知拋物線方程為f=4x,直線/的方程為 工_），+ 4 = 0,在拋物線上有一動點P到y(tǒng)軸的距離為4, P到直線/的距離為則4+4的最小 值（ ） 八 5>/2 個 56、 「5>/2 c 、5右、 A. 卜 2 B. F1 C. - 2 D. - 1 2 2 2 2 【答案】D 【解析】因為拋

8、物線的方程為V=4x,所以焦點坐標戶（1,。），準線方程為工=一1。因為點P到）軸的距 離為4,所以到準線的距離為4 + 1,又4 + 1 =。/，所以4+%=4 + 1+4-1 =。/+4-1，焦點到 直線的距離d = =提=空，而PF+d2Nd = W^，所以4+4 =尸產+4—12拽一1， \/2 2 2 2 選D. 3【云南師大附中2013屆高三高考適合性月考卷(三)理科】若在曲線f (x, y)=0上兩個不同點處的切 線重合，則稱這條切線為曲線f(x, y)=0的“自公切線”。下列方程：①/一),2 = 1；②丁 = /_|工|, ③y = 3sinx + 4cosx

9、：④Ixl+1 =占二7r對應的曲線中存有“自公切線”的有 B.②③ C. <4) D.③④ 【答案】B 【解析】畫圖可知選B.①f-yW是一個等軸雙曲線，沒有自公切線: / _ 1 t 2 _ 1 F 工 1 1 1 ②y - 1x1 二， ，在X」和X二-工處的切線都是行-』，故②有自公切線. 「1 2 2 4 )一百 (3)y = 3sinx + 4cosx=5sin (x+), cos <1)=^, sin

10、2 x1+y-3=0,結合圖象可得，此曲線沒有自公切線. 故答案為B. 4【云南省玉溪一中2013屆高三第三次月考 理】已知點K，F(xiàn),分別是雙曲線二一二=1(。>0力>0)的 ~ cr b. 左、右焦點，過巴且垂直于X軸的直線與雙曲線交于A , B兩點,若AA8A是鈍角三角形，則該雙曲線 離心率的取值范圍是() A. (-\/2 — l,+oo) B. (?>/?+1,+℃) C. (1 + >/T,+oo) D. (1,1 + 5/2) 【答案】C 【解析】由題設條件可知△ABC為等腰三角形，只要NAFoB為鈍角即可，所以有 —>2c,即〃 >2〃c, a 所以c2—c5>

11、2ac,解得+ 選C. 5【云南省玉溪一中2013屆高三第四次月考理】在拋物線)，= /+a.5(。工0)上取橫坐標為$ =-4,受=2 的兩點，過這兩點引一條割線，有平行于該割線的一條直線同時與拋物線和圓5/+5,V =36相切，則拋 物線頂點的坐標為( ) A. (-2,-9) B. (0,-5) C. (2,-9) D. (1-6) 【答案】A 1 1 - 4a - 9^4-1 【解析】解：兩點坐標為(Y,ll - 44),(2,2a — l),兩點連線的斜率k-3 二 - 4 - 2 對于y =工2 +。工一5(。WO), y = 2x + a ? /? 2x+a=

12、a - 2 解得工二-1 在拋物線上的切點為(—1,—4 — 4),切線方程為(a —2)x — y—6=0 直線與圓相切，圓心(0, 0)到直線的距離二圓半徑，即〒 摩 J(v2)^5 解得"4或0 (0舍去)，所以拋物線方程為)，=/+4工一5頂點坐標為(-2,-9),故選A. 2 2 6【山東省實驗中學2013屆高三第一次診斷性測試理】已知雙曲線二-二=1(。＞ 0力＞ 0)的兩條漸近線 CT 獷 均與C: / +)，2 -6x + 5 = 0相切，則該雙曲線離心率等于 3小 系 3 小 A. B. C. - D. 5 2 2 5 【答案】A 【

13、解析】圓的標準方程為(x — 3)2 + y2=4,所以圓心坐標為C(3,0),半徑r=2,雙曲線的漸近線為 y = -x,不妨取y = 即以一 ay = O,因為漸近線與圓相切，所以圓心到直線的距離 7【山東省實驗中學2013屆高三第三次診斷性測試理】已知橢圓二+二=1(。＞〃＞0)的左、右焦點分別 cr b- 為6( - c,0),居(c,0),若橢圓上存有點P使一一^7^=. 二 L，則該橢圓的離心率的取值范圍為 smZPr1F2 sinN 尸后寫 A. (0, y/2, — 1) B.,爭） C. (0,2 2 D. (V2-1, 1) 【答案】D 【解析

14、】根據(jù)正弦定理得-」”― -=一，所以由 ——-——=——-—— 可得 sin /PFR sin /PF?F、 sin /Pg sin Mi閥「即黑所以 又 \PF\ = e\PF^ 戶用+ |P同=40局+歸用=盧用(6 + 1) = 2 即叫=當’因為…<|”|<"+不（不等式兩邊不能取等號，否則分式中的分母為。，無意義） 所以 〃-c v 二fL v〃 + c，即 1 一<=^<1 + 上，所以 1一6< e+\ a e+\ a e+\ (1—e)(l + e)v2 , ，所以 2<(l + e)2 1 —< 2 l l _ ,解得應— Ivevl,即(衣—1,1

15、),選D. 42<\ + e 8【山東省聊城巾東阿一中2013屆高三上學期期初考試】過橢圓二+二=1 的左焦點寫作X cr b- 軸的垂線交橢圓于點P, F2為右焦點,若以號Pg =60。,則橢圓的離心率為 B. D. 1 【答案】B 【解析】由題意知點 P的坐標為（-c,一 a ），或（-6-一），因為NKP3 = 6（r,那么 a E = V?.t 2ac = >/3b ? b- 這樣根據(jù)a, b,c的關系式化簡得到結論為無，選B 3 Y2 V2 9【北京市東城區(qū)普通校2013屆高三12月聯(lián)考數(shù)學（理）】設月、入分別為雙曲線/-廬=1（。>0,〃>0） 的

16、左、右焦點.若在雙曲線右支上存有點P,滿足|PR| = |百6|，且尸2到直線尸的距離等于雙曲線 的實軸長，則該雙曲線的漸近線方程為 A. 3x4y = 0 B. 3x5y = 0 C. 5x4y = 0 D. 4x3y = 0 【答案】D 【解析】依題意IPF2ITF1F2I,可知三角形P6巴是一個等腰三角形，F(xiàn)2在直線PFi的投影是其中點，由勾 股定理知可知|尸甲=244c2—4cJ =4b,根據(jù)雙曲定義可知4b-2c=2a,整理得c=2b-a,代入c2=a?+b2 整理得3b2 - 4ab=0,求得且 a 3 4 」.雙曲線漸進線方程為y = 4x,即4x3y =

17、 0。故選D. 2 2 10【北京市東城區(qū)普通校2013屆高三12月聯(lián)考數(shù)學（理）】橢圓5+5=1的焦點為"，鳥，點尸在橢 圓上，若IPI=4, 用的小大為 【答案】120 【解析】橢圓9 2 的/=9,〃 = 3, b2=2.c2=a2-b2=7,所以c = ",因為戶周=4,所以 附 |+|*=2〃 = 6 所 以 |尸國=6-4 = 2 cos F}PF2 = 一1,所以 N"PA=120, 2 附「+閥「-出用142+22-(2"尸 2\PFx\\PF2\ - 2x4x2 11【山東省實驗中學2013屆高三第三次診斷性測試理】若焦點在x軸上的橢圓二十

18、二=1的離心率為L , 2 m 2 貝|J加=. 3 【答案】- 2 【解析】因為焦點在x軸上。所以0vmv2.所以/=2萬=肛/=/一從=2_* 橢圓的離心率為 3 解得〃7 = -。 2 12【山東省實驗中學2013屆高三第一次診斷性測試理】已知點P是拋物線f=4x上的動點，點P在y軸 上的射影是X，點A的坐標是（4, a）,則當lal>4時，I P4I+ 1 PM I的最小值是 【答案】7779-1 【解析】當x = 4時，），2=4x4 = 16,所以），=4,即卜| = 4,因為lal>4,所以點A在拋物線的外側, 由拋物線的定義可知 |PN| = |

19、0根+ 1=|夕尸|，當，三點A,P,F共線時，IPAI + IPFI最小,此時為IR4I + IP-l=|AF|, 又焦點坐標為尸(1,0),所以|A目= J(4_l)2+〃2 =的+力,即pM| +1 + |以|的最小值為JcJ+9 , 所以|尸根+|。4|的最小值為十9 -1 0 13【云南省玉溪一中2013屆高三第四次月考理】過橢圓左焦點尸，傾斜角為三的直線交橢圓于4, 8兩 3 2 點，若歸曰=2|尸q,則橢圓的離心率為 ,設橢圓的左準線為1,過A點作ACL1于C,過點B作 BD_L1于D,再過B點作BGLAC于G, 直角AAEG中，ZBAG=60 ,所以AB=2AG,…

20、① 由圓錐曲線統(tǒng)一定義得：已里， AC BD VFA=2FB, ，AC = 2BD 直角梯形ABDC中，AG=AC - BDjAC…② 2 ①、②比較，可得AB二AC, 2 又??? af/ab ，已望望/ 故所求的離心率為. 憾 31W e AC AB 3 , 14【云南師大附中2013屆高三高考適合 性月考卷(三)理科】如圖4,橢圓的中心在坐標原點，F(xiàn)為左焦點，A, B 分別為長軸和短軸上的一個頂點，當FBLAB時，此類橢圓稱為“黃金橢圓”.類比“黃金橢圓”，可 推出“焚金雙曲線”的離心率為. 【答案】芋 【解析】由圖知‘（"心面+H，整理得即入1=。，

21、解得”竽 1 +有 e = ? 2 15.【北京市東城區(qū)普通校2013屆高三12月聯(lián)考數(shù)學（理）】（本小題滿分14分） 已知橢圓C:二十==1（。＞。＞ 0）的離心率為—,橢圓短軸的一個端點與兩個焦 cr 3 點構成的三角形的面積為些. 3 （I）求橢圓C的方程; （II）已知動直線y = A:（x + l）與橢圓C相交于A、B兩點.①若線段A8中點的橫坐標為一 2 7 斜率大的值；②若點M（——,0）,求證：為定值. 3 【答案】解：（I ）因為二十二=1（〃＞人＞0）滿足。2=6+/, = " 2分 cr \r a 3 = x〃x2c =空。解得,尸=5，

22、〃=2,則橢圓方程為 2 3 3 (II) (1)將y = A(x + l)代入上+匚=1中得 5 J 3 (1 + 3 公)/+6入 + 3公- 5 = 0 △ = 36%，- 4(3公 +1)(3公 - 5) = 48公 + 20 > 0 玉+/ = 6k? 3k2+ 1 7分  因為A3中點的橫坐標為-L，所以 2 6% 2 3k?+1 1 八 解得％=Z 9分 6k2 （2）由（1）知*+x）=-R-- ? 3K+1 3公一 5 V2 = 3FTT 7 7 7 7 所以 MA?MB =（內 + 鼻，乃）（々 + 7，K）=（X + -）

23、（^2 + -）+ >i >2 11分 7 7 、 =（* + -）（^2 + Q）+ 小（X + 1）*2 + 1） = （1 + Zr2）x1x2 +（1 + &2）（玉 +x2） + — + k2 =（1 + 二） 3尸-5 3k2+ \ 7 +《+公）（— + 42 9 14分 一3廿一 16k2 - 5 49 逢 4 3r+ 1 9 9 16.【云南省玉溪一中2013屆高三第四次月考理】（本題12分）如圖所示，己知橢圓G和拋物線。2 有公共焦點尸（1,0）, G的中心和G的頂點都在坐標原點，過點M（4,0）的直線/與拋物線C2分別相交于 A,8

24、兩點 （1）寫出拋物線C）的標準方程： （2）若病=1而，求直線/的方程; 一 2 （3）若坐標原點。關于直線/的對稱點尸在拋物線。2上，直線/與橢圓G有公共點，求橢圓G的長軸長 的最小值. 【答案】解：（1） 丫 -4"⑵設 4 4 AM=yMB （4_?,一乃）二；（^十年）2） 陽為=-16 1 ｛尸2二4五 .■?G1+72 =4附 ? ?修 - x = +4 ：. y2 - Amy -16=0 - 2yY = y2 _72 二為二-2屈馮二4虎…m — (3) 1+—溶（1+，） 2 2 橢圓設為, 消元整（2/ -1）72十式1

25、 一 1）丁一一十17川- 16 = 0 x y y +匚"+/1 匕2 兀=、+4 A ＞。斯之年.長軸長的最小值為西 2 2 17 .【云南省玉溪一中2013屆高三上學期期中考試理】（本小題滿分12分）已知橢圓二十二=1上任一點 4 9 P，由點P向X軸作垂線段PQ，垂足為Q，點M在PQ上，且PA/ = 2M0,點M的軌跡為C. （I）求曲線C的方程； 4 （II）過點D （0, -2）作直線1與曲線C交于A、B兩點，設N是過點（（）,-m）且平行于x軸的直線 上一動點，滿足碗= 05 +礪（0為原點），問是否存有這樣的直線1,使得四邊形0ANB為矩形？ 若存有，求

26、出直線的方程：若不存有說明理由 解，（I ）設M （x, y）是曲線C上任一點.因為PMlx軸，兩=2磁，所以點P的 坐標為（又，3y）。 點P在橢圓十乙三1上，所以《十竺匚=1,， A 9 A 9 因此曲線C的方程是= 1 4 （II）當直線/的斜率不存在時，顯然不滿足條件" 所以設直線，的方程為產粒-2與橢圓交于A （九，川），B （摩，”）,經(jīng)N點平行乂軸的 y = kx- 2 直助程為尸二十由歸+小期十研xf 23 16 上 12 / "西=17^’ 由△=［『肥-48（1+軟漪V >之即“正或左.追， .…8分~ 【答案】p 4 2 2 因為麗=次+而，

27、所以四邊形OANB為平行四邊形, 假設存有矩形OANB,則萬｛?麗=0 即匹/ +必為=xixi +%2再必-2k(X] +x2) + 4 = (\ + k2)xlx2 - 2A(再 + x2) + 4 = 0 , 所以(1 + 6)? 12二一2八 16A；+4 = o,即即=4從=2, io 分 1+4K 1+4K 4 即N點在直線y = -一 , 設N(x。，外)，由麗=礪+方，得 / 16k2 . -4 4 y0 = y[ +)1 = k(x. + xJ -4 = 7-4 = 7 = 一一， U . 1 . 1 +軟 2 1 + 軟2 17 所以存有四邊形0AN

28、B為矩形，直線1的方程為y = 2x-2 18 .【云南師大附中2013屆高三高考適合性月考卷（三）理科】（本小題滿分12分） 設拋物線C的方程為/ =4y, X為直線2： y=一m（m>0）上任意一點，過點M作拋物線C的兩 條切線MA, MB，切點分別為A, B. < I）當M的坐標為（0, -1）時，求過M, A, B三點的圓的標準方程，并判斷直線］與此圓的位置 關系： （H）當m變化時，試探究直線1上是否存有點M,使MA_LMB?若存有，有幾個這樣的點，若不存有, 請說明理由， 【答案】解：（I ）當必的坐標為（0, -1）時, 設過必點的切線方程為）=履-1,代入/ =4

29、），，整理得丁-44+4 = 0,① 令A = （4"）2-4x4 = 0,解得4=1, 代入方程①得x = 2，故得A（2, 1）, B（-2, 1）. 因為必到四的中點（0, 1）的距離為2, 從而過M, A, 8三點的圓的標準方程為/+（丫_1）2=4. 易知此圓與直線1：產-1相切. （6分） （II）設切點分別為A , y）、B（x2 , y2） 9直線1上的點為M（小，一）, 過拋物線上點A（x , X）的切線方程為=k（x - X）,因為x：=4V], % =乜， 2 從而過拋物線上點4%, %）的切線方程為）」凹=g（x-X）,又切線過點月）， 2 所以得先

30、 =，xq ~-y > 即 X； -2" +4% =0. 同理可得過點B（x2 , y2）的切線方程為x； -2x0.y2 + 4%=0 , （8分） 因為勺川=寸，% =于且％ , %是方程『-2入內+ 4% = 0的兩實根， 從而，上+“2小， [xw = 4yo, 所以M =彳、『二% , 乙 乙 當yo=-I,即小=1時， 直線/上任意一點M均有物_L陽, （10分） 當先hT,即加戶1時，.3與歷不垂直. 綜上所述，當切二1時，直線/上存有無窮多個點M使物U區(qū) 當。#1時，直線1 上不存有滿足條件的點 " （12分） 19 .【山東省濟南外國語學校2013

31、屆高三上學期期中考試理科】（本小題滿分12分） 如圖，直線I ： y=x+b與拋物線C ： x2=4y相切于點A. (1)求實數(shù)b的值： (11)求以點A為圓心，且與拋物線C的準線相切的圓的方程. 【答案】(I)由《 y = x + b X=4v 得 /一4X一4。= 0 因為直線/與拋物線C相切，所以A = (-4尸—4x(—4〃) = 0,解得力=一1 4分 (II)由 ⑴ 可知8 = - 1,故方程(*)即為/-4工+ 4 = 0,解得了=2,將其代入/=4)，,得y=l,故點A(2,". 因為圓A與拋物線C的準線相切，所以圓心A到拋物線C的準線y=-l的距離等于圓A的半徑r,即r=| 1-(-1) | =2, 所以圓A的方程為“一2尸+(y — l)2 =4 12分