2020-2021學(xué)年高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)知識(shí)點(diǎn)專題4-7 正弦定理和余弦定理及其應(yīng)用

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1、專題4.7 正弦定理和余弦定理及其應(yīng)用 【考情分析】 １．能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識(shí)和方法解決一些與測(cè)量和幾何計(jì)算有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題． 【重點(diǎn)知識(shí)梳理】 1．仰角和俯角 與目標(biāo)線在同一鉛垂平面內(nèi)的水平視線和目標(biāo)視線的夾角，目標(biāo)視線在水平視線上方叫仰角，目標(biāo)視線在水平視線下方叫俯角(如圖①)． 圖①　　　　　　圖② 2．方向角 相對(duì)于某正方向的水平角，如南偏東30，北偏西45等． 3．方位角 指從正北方向順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角，如B點(diǎn)的方位角為α(如圖②)． 4．坡度(又稱坡比) 坡面的垂直高度與水平長(zhǎng)度之比． 【典型題分析】 高頻考點(diǎn)一　解三角形中的

2、實(shí)際問(wèn)題 例１．（2020河南省鶴壁市一中模擬）如圖，高山上原有一條筆直的山路BC，現(xiàn)在又新架設(shè)了一條索道AC，小李在山腳 B處看索道AC，發(fā)現(xiàn)張角∠ABC＝120；從B處攀登400米到達(dá)D處，回頭看索道AC，發(fā)現(xiàn)張角∠ADC＝150；從D處再攀登800米可到達(dá)C處，則索道AC的長(zhǎng)為_(kāi)_______米． 【答案】400　 【解析】在△ABD中，BD＝400米，∠ABD＝120.因?yàn)椤螦DC＝150，所以∠ADB＝30.所以∠DAB＝180－120－30＝30.由正弦定理，可得＝，所以＝，得AD＝400(米)．在△ADC中，DC＝800米，∠ADC＝150，由余弦定理得AC2＝AD2＋

3、CD2－2ADCDcos∠ADC＝(400)2＋8002－2400800cos 150＝400213，解得AC＝400(米)．故索道AC的長(zhǎng)為400米． 【方法技巧】利用正、余弦定理解決實(shí)際問(wèn)題的一般步驟 (1)分析——理解題意，分清已知與未知，畫(huà)出示意圖． (2)建模——根據(jù)已知條件與求解目標(biāo)，把已知量與求解量盡量集中在相關(guān)的三角形中，建立一個(gè)解斜三角形的數(shù)學(xué)模型． (3)求解——利用正弦定理或余弦定理有序地解三角形，求得數(shù)學(xué)模型的解． (4)檢驗(yàn)——檢驗(yàn)上述所求的解是否符合實(shí)際意義，從而得出實(shí)際問(wèn)題的解． 【變式探究】（2020山東省淄博市八中模擬）如圖所示，位于A處的信息中心

4、獲悉：在其正東方向相距40海里的B處有一艘漁船遇險(xiǎn)，在原地等待營(yíng)救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30、相距20海里的C處的乙船，現(xiàn)乙船朝北偏東θ的方向沿直線CB前往B處救援，則cos θ的值為_(kāi)_______． 【答案】　 【解析】在△ABC中，AB＝40，AC＝20，∠BAC＝120， 由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2ABACcos 120＝2 800，得BC＝20. 由正弦定理，得＝，即sin∠ACB＝sin∠BAC＝. 由∠BAC＝120，知∠ACB為銳角，則cos∠ACB＝. 由θ＝∠ACB＋30，得cos θ＝cos(∠ACB＋30)＝cos∠ACBcos

5、30－sin∠ACBsin 30＝. 高頻考點(diǎn)二　平面幾何中的解三角形問(wèn)題 例２．【2020全國(guó)Ⅰ卷】如圖，在三棱錐P–ABC的平面展開(kāi)圖中，AC=1，，AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE=30，則cos∠FCB=______________. 【答案】 【解析】，，， 由勾股定理得， 同理得，， 在中，，，， 由余弦定理得， ， 在△BCF中，，，， 由余弦定理得. 【變式探究】（2020江西省貴溪市一中模擬）如圖，在平面四邊形ABCD中，∠ABC＝，AB⊥AD，AB＝1. (1)若AC＝，求△ABC的面積； (2)若∠ADC＝，CD＝4，求sin∠CAD

6、. 【解析】(1)在△ABC中，由余弦定理得，AC2＝AB2＋BC2－2ABBCcos∠ABC， 即5＝1＋BC2＋BC，解得BC＝， 所以△ABC的面積S△ABC＝ABBCsin∠ABC＝1＝. (2)設(shè)∠CAD＝θ，在△ACD中，由正弦定理得＝，即＝，① 在△ABC中，∠BAC＝－θ，∠BCA＝π－－(－θ)＝θ－， 由正弦定理得＝， 即＝，② ①②兩式相除，得＝， 即4(sin θ－cos θ)＝sin θ，整理得sin θ＝2cos θ. 又因?yàn)閟in2θ＋cos2θ＝1， 所以sin θ＝，即sin∠CAD＝. 【方法技巧】 與平面圖形有關(guān)的解三角形問(wèn)題的關(guān)鍵

7、及思路 求解平面圖形中的計(jì)算問(wèn)題，關(guān)鍵是梳理?xiàng)l件和所求問(wèn)題的類型，然后將數(shù)據(jù)化歸到三角形中，利用正弦定理或余弦定理建立已知和所求的關(guān)系． 具體解題思路如下： (1)把所提供的平面圖形拆分成若干個(gè)三角形，然后在各個(gè)三角形內(nèi)利用正弦、余弦定理求解； (2)尋找各個(gè)三角形之間的聯(lián)系，交叉使用公共條件，求出結(jié)果． 【變式探究】(2020湖南衡陽(yáng)第三次聯(lián)考)如圖，在平面四邊形ABCD中，0＜∠DAB＜，AD＝2，AB＝3，△ABD的面積為，AB⊥BC. (1)求sin∠ABD的值； (2)若∠BCD＝，求BC的長(zhǎng)． 【解析】(1)因?yàn)椤鰽BD的面積S＝ADABsin∠DAB＝23s

8、in∠DAB＝， 所以sin∠DAB＝. 又0＜∠DAB＜，所以∠DAB＝，所以cos∠DAB＝cos ＝. 由余弦定理得 BD＝＝， 由正弦定理得sin∠ABD＝＝. (2)因?yàn)锳B⊥BC，所以∠ABC＝， sin∠DBC＝sin(－∠ABD)＝cos∠ABD＝＝. 在△BCD中，由正弦定理＝可得CD＝＝. 由余弦定理DC2＋BC2－2DCBCcos∠DCB＝BD2， 可得3BC2＋4BC－5＝0，解得BC＝或BC＝－(舍去)． 故BC的長(zhǎng)為. 高頻考點(diǎn)三　與三角形有關(guān)的最值(范圍)問(wèn)題 例３．【2020全國(guó)II卷】中，sin2A－sin2B－sin2C= sinB

9、sinC． （1）求A； （2）若BC=3，求周長(zhǎng)的最大值． 【解析】（1）由正弦定理和已知條件得，① 由余弦定理得，② 由①，②得. 因?yàn)?，所? （2）由正弦定理及（1）得， 從而，. 故. 又，所以當(dāng)時(shí)，周長(zhǎng)取得最大值. 【舉一反三】【2020全國(guó)Ⅰ卷】某中學(xué)開(kāi)展勞動(dòng)實(shí)習(xí)，學(xué)生加工制作零件，零件的截面如圖所示．O為圓孔及輪廓圓弧AB所在圓的圓心，A是圓弧AB與直線AG的切點(diǎn)，B是圓弧AB與直線BC的切點(diǎn)，四邊形DEFG為矩形，BC⊥DG，垂足為C，tan∠ODC=，，EF=12 cm，DE=2 cm，A到直線DE和EF的距離均為7 cm，圓孔半徑為1 cm，則圖中陰

10、影部分的面積為_(kāi)_______cm2． 【答案】 【解析】設(shè)，由題意，，所以， 因?yàn)?所以， 因?yàn)椋裕? 因?yàn)榕c圓弧相切于點(diǎn)，所以， 即為等腰直角三角形； 在直角中，，， 因?yàn)?，所以? 解得； 等腰直角的面積為； 扇形的面積， 所以陰影部分的面積為. 故答案為：. 【變式探究】(2019全國(guó)卷Ⅲ)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知asin＝bsin A. (1)求B； (2)若△ABC為銳角三角形，且c＝1，求△ABC面積的取值范圍． 【解析】(1)由題設(shè)及正弦定理得sin Asin＝sin Bsin A. 因?yàn)閟in A≠0，所

11、以sin＝sin B. 由A＋B＋C＝180，可得sin＝cos，故cos＝2sincos. 因?yàn)閏os≠0，故sin＝，因此B＝60. (2)由題設(shè)及(1)知△ABC的面積S△ABC＝a. 由正弦定理得a＝＝＝＋. 由于△ABC為銳角三角形，故0

12、轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域問(wèn)題．這里要利用條件中的范圍限制，以及三角形自身范圍限制，要盡量把角或邊的范圍(也就是函數(shù)的定義域)找完善，避免結(jié)果的范圍過(guò)大． 【變式探究】（2020福建省安溪八中模擬）在△ABC中，b＝，B＝60， (1)求△ABC周長(zhǎng)l的范圍； (2)求△ABC面積最大值。 【解析】(1)l＝＋a＋c， b2＝3＝a2＋c2－2accos 60＝a2＋c2－ac， ∴(a＋c)2－3ac＝3， ∵(a＋c)2－3＝3ac≤3()2， ∴a＋c≤2， 當(dāng)僅僅當(dāng)a＝c時(shí)，取“＝”， 又∵a＋c＞， ∴2＜l≤3. (2)∵b2＝3＝a2＋c2－ac≥2ac－ac， ∴ac≤3， 當(dāng)且僅當(dāng)a＝c時(shí)，取“＝”， S△ABC＝acsin B≤3sin 60＝， ∴△ABC面積最大值為.