高中數(shù)學(xué) 第二章231直線與平面垂直的判定導(dǎo)學(xué)案 新人教A版必修2

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1、 2.3　直線、平面垂直的判定及其性質(zhì) 2.3.1　直線與平面垂直的判定 問題導(dǎo)學(xué) 一、直線與平面垂直的證明 活動(dòng)與探究1 如圖所示，Rt△ABC所在平面外一點(diǎn)S，且SA=SB=SC，點(diǎn)D為斜邊AC的中點(diǎn)． (1)求證：SD⊥平面ABC； (2)若AB＝BC，求證：BD⊥平面SAC． 遷移與應(yīng)用 1．一直線和三角形兩邊所在直線都垂直，則該直線和三角形所在平面的位置關(guān)系是__________． 2．在三棱錐V－ABC中，VA＝VC，BA＝BC，O是AC的中點(diǎn)，則AC與平面VOB的關(guān)系是________． 利用直線與平面垂直的判定定理證明直線與平面垂直，就是在平面內(nèi)

2、找(或作)兩條相交直線，再證明已知直線與這兩條相交直線都垂直． 二、直線與平面垂直定義的應(yīng)用 活動(dòng)與探究2 如下圖，已知AP⊥⊙O所在平面，AB為⊙O的直徑，C是圓周上不同于A，B的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)A作AE⊥PC于點(diǎn)E，求證：AE⊥平面PBC． 遷移與應(yīng)用 1．如圖，P為△ABC所在平面外的一點(diǎn)，且PA，PB，PC兩兩垂直，則PA與BC的關(guān)系是__________． 2．如下圖，α∩β＝CD，EA⊥α，垂足為A，EB⊥β，垂足為B．求證：CD⊥AB． 在立體幾何中，為證兩直線垂直，常需證明一條直線與另一條直線所在的平面垂直．這體現(xiàn)了線線垂直與線面垂直的相互轉(zhuǎn)化，也是

3、證明兩直線垂直的重要方法． 三、直線與平面所成的角 活動(dòng)與探究3 如圖所示，Rt△BMC中，斜邊BM=5，它在平面ABC上的射影AB長為4，∠MBC＝60，求MC與平面CAB所成角的正弦值． 遷移與應(yīng)用 如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E是棱DD1的中點(diǎn)．求直線BE與平面ABB1A1所成的角的正弦值． 求斜線與平面所成角的步驟： ①尋找過直線上一點(diǎn)與平面垂直的直線； ②連接垂足和斜足得出射影，確定出所求角； ③把該角放入三角形中計(jì)算． 當(dāng)堂檢測 1．下列命題中正確的個(gè)數(shù)是(　　) ①如果直線l與平面α內(nèi)的無數(shù)條直線垂直，則l⊥α； ②如果直

4、線l與平面α內(nèi)的一條直線垂直，則l⊥α； ③如果直線l不垂直于α，則α內(nèi)沒有與l垂直的直線； ④如果直線l不垂直于α，則α內(nèi)也可以有無數(shù)條直線與l垂直． A．0 B．1 C．2 D．3 2．在正方體ABCD－A1B1C1D1中，與AD1垂直的平面是(　　) A．平面DD1C1C B．平面A1DB1 C．平面A1B1C1D1 D．平面A1DB 3．直線a⊥平面α，b∥α，則a與b的關(guān)系為(　　) A．a(chǎn)⊥b，且a與b相交 B．a(chǎn)⊥b，且a與b不相交 C．a(chǎn)⊥b D．

5、a與b不一定垂直 4．如圖，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，則AC1與平面A1B1C1D1所成角的正弦值為__________． 5．如圖，在△ABC中，∠C＝90，若PA⊥平面ABC，則圖中直角三角形的個(gè)數(shù)為__________． 提示：用最精練的語言把你當(dāng)堂掌握的核心知識(shí)的精華部分和基本技能的要領(lǐng)部分寫下來并進(jìn)行識(shí)記． 答案： 課前預(yù)習(xí)導(dǎo)學(xué) 【預(yù)習(xí)導(dǎo)引】 1．任意一條　垂直　l⊥α　垂線　垂面　垂足 預(yù)習(xí)交流1　(1)提示：不一定．若平面內(nèi)的無數(shù)條直線是平行的，則直線l與平面可能平行，也可能垂直，也可能是相交但不

6、垂直，也可能直線l在平面內(nèi)． (2)提示：l⊥a． 2．(1)兩條相交直線　(3)a?α，b?α，a∩b＝P，l⊥a，l⊥b 預(yù)習(xí)交流2　(1)提示：定理中“相交”二字不可去掉，否則直線與平面不一定垂直． (2)提示：設(shè)法在平面內(nèi)找(或作)兩條相交直線與已知直線垂直． 3．(1)斜線　斜足　(2)垂足O和斜足A　(3)射影　銳角　(4)直角　0　0≤θ≤90 課堂合作探究 【問題導(dǎo)學(xué)】 活動(dòng)與探究1　思路分析：由于D是AC中點(diǎn)，SA＝SC，則SD是△SAC的高，可證△SDB≌△SDA．由AB＝BC，則Rt△ABC是等腰直角三角形，則BD⊥AC，利用線面垂直的判定定理即可得證．

7、 證明：(1)∵SA＝SC，D為AC的中點(diǎn)，∴SD⊥AC．在Rt△ABC中，AD＝DC＝BD，又SA＝SB， ∴△ADS≌△BDS． ∴SD⊥BD．又AC∩BD＝D， ∴SD⊥平面ABC． (2)∵BA＝BC，D為AC的中點(diǎn)，∴BD⊥AC． 又由(1)知SD⊥BD， 于是BD垂直于平面SAC內(nèi)的兩條相交直線．∴BD⊥平面SAC． 遷移與應(yīng)用　1．垂直 2．AC⊥平面VOB 活動(dòng)與探究2　思路分析：要證AE⊥平面PBC，∵AE⊥PC，只需證AE⊥BC； 要證AE⊥BC，只需證BC⊥平面PAC． 證明：∵PA⊥⊙O所在平面，而BC在⊙O所在平面內(nèi)，∴PA⊥BC． 又∵AB為

8、⊙O直徑，∴AC⊥BC． 又PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC．∵AE?平面PAC， ∴BC⊥AE． 又∵AE⊥PC，BC∩PC＝C， ∴AE⊥平面PBC． 遷移與應(yīng)用　1．垂直 2．證明：∵EA⊥α，CD?α， 根據(jù)直線和平面垂直的定義，則有CD⊥EA．同樣，∵EB⊥β，CD?β，則有EB⊥CD． 又EA∩EB＝E， ∴CD⊥平面AEB．又∵AB?平面AEB，∴CD⊥AB． 活動(dòng)與探究3　解：由題意知，A是M在平面ABC內(nèi)的射影， ∴MA⊥平面ABC．∴MC在平面CAB內(nèi)的射影為AC． ∴∠MCA即為直線MC與平面CAB所成的角． 又∵在Rt△MBC中，BM＝5，∠

9、MBC＝60，∴MC＝BMsin∠MBC＝5sin 60＝5＝． 在Rt△MAB中，MA＝＝＝3． 在Rt△MAC中，sin∠MCA＝＝＝．即MC與平面CAB所成角的正弦值為． 遷移與應(yīng)用　解：取AA1的中點(diǎn)M，連接EM，BM．因?yàn)镋是DD1的中點(diǎn)，四邊形ADD1A1為正方形，所以EM∥AD．又在正方體ABCD－A1B1C1D1中，AD⊥平面ABB1A1，所以EM⊥平面ABB1A1， 從而BM為直線BE在平面ABB1A1上的射影，∠EBM即為直線BE與平面ABB1A1所成的角． 設(shè)正方體的棱長為2，則EM＝AD＝2，BE＝＝3，于是在Rt△BEM中，sin∠EBM＝＝，即直線BE與平面ABB1A1所成的角的正弦值為． 【當(dāng)堂檢測】 1．B　2．B　3．C　4．　5．4 4