工程力學教學課件 第4章 扭轉

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1、 第 4章 4.1 概 念 第 4 章 汽 車 傳 動 軸 4.1 概 念 第 4 章 4.1 概 念 第 4 章 絲 錐 攻 絲 4.1 概 念 第 4 章 扭 轉 變 形 是 指 桿 件 受 到 大 小 相 等 ,方 向相 反 且 作 用 平 面 垂 直 于 桿 件 軸 線 的 力 偶 作 用 ,使 桿 件 的 橫 截 面 繞 軸 線 產 生 轉 動 。 受 扭 轉 變 形 桿 件 通 常 為 軸 類 零 件 ， 其 橫截 面 大 都 是 圓 形 的 。 所 以 本 章 主 要 介 紹 圓 軸扭 轉 。 4.1 概 念 第 4 章 KM KM A B 如 圖 ， 圓 軸 在 外 力 偶 作

2、 用 下 發(fā) 生 扭 轉 變 形 。 稱 為 扭 轉 角 。 稱 為 剪 切 角 。 4.1 概 念 第 4 章 直 接 計 算外 力 偶 矩 4.1 概 念 第 4 章 外 力 偶 矩按 輸 入 功 率 和 轉 速 計 算 已 知軸 轉 速 n 轉 /分 鐘輸 出 功 率 Pk 千 瓦求 ： 力 偶 矩 Me電 機 每 秒 輸 入 功 ： 外 力 偶 作 功 完 成 ： )N.m(1000 kPW 602 nMW e kP kP 4.2 第 4 章 扭 矩 和 扭 矩 圖 4.2 第 4 章 扭 矩 和 扭 矩 圖 4.2 第 4 章 扭 矩 和 扭 矩 圖 T = Me 4.2 第 4 章

3、 扭 矩 和 扭 矩 圖 T = Me 4.2 第 4 章 扭 矩 正 負 規(guī) 定 右 手 螺 旋 法 則 右 手 拇 指 指 向 外 法 線 方 向 為 正 (+),反 之 為 負 (-) KM KMmm 4.2 第 4 章 如 圖 求 圓 軸 指 定 截 面 的 內 力 。 由 截 面 法 ： （ 1） 截 開 ， 留 下 左 半 段 ，去 掉 右 半 段 ； （ 3） 考 慮 留 下 部 分 的 平 衡 0:0 Kx MTM KMT 同 樣 ， 亦 可 留 下 右 半 段 作 為 研 究 對 象 ， 可 的 同 樣 的 結 果 ， 如 圖 。 扭 矩 的 符 號 規(guī) 定 ： 自 截 面

4、的 外 法 線 向 截 面 看 ， 逆 時 針 為 正 ， 順 時 針 為 負 。KM mm T （ 2） 用 內 力 代 替 去 掉 部 分 對 留 下 部 分的 作 用 ； T稱 為 扭 矩 。 KMmmT 4.2 第 4 章 扭 矩 圖 4. 2 第4 章 解 : (1)計 算 外 力 偶 矩由 公 式 Pk/n 4. 2 第4 章 (2)計 算 扭 矩(3) 扭 矩 圖 4. 2 第4 章 4.3 薄 壁 圓 管 的 扭 轉 第 4 章 薄 壁 圓 筒 ： 壁 厚 0101 rt （ r0： 為 平 均 半 徑 ） 一、實驗：1.實驗前：繪縱向線，圓周線；兩端施加一對外力偶 m。 4.

5、3 薄 壁 圓 管 的 扭 轉 第 4 章 2.實驗后：圓周線不變； 各縱向線長度不變，但均傾斜了同一微小角度 。 縱向線變成螺旋線。3.結果： 圓筒表面的各圓周線的形狀、大小和間距均未改 變，只是繞軸線作了相對轉動。圓周線實際代表一個橫截面，此結果表明橫截面仍保持平面，且大小、形狀不變，滿足。所有矩形網(wǎng)格均歪斜成同樣大小的平行四邊形。 4.3 薄 壁 圓 管 的 扭 轉 第 4 章 r KM KM薄 壁 圓 管 扭 轉 時 橫 截 面 上 的 剪 應 力 如 圖 所 示 ， 借 助 實 驗 觀 察 結 合 理 論 分 析 ，可 得 如 下 結 論 ： （ 1） 橫 截 面 上 只 有 剪 應

6、 力 ， 沒 有 正 應力 ； （ 2） 剪 應 力 的 方 向 沿 圓 周 的 切 線 方 向 。 KM x 薄壁筒扭轉時，因長度不變，故橫截面上沒有正應力，只有切應力。因筒壁很薄，切應力沿壁厚分布可視作均勻的，切應力沿圓周切線，方向與扭矩轉向一致。 4.3 薄 壁 圓 管 的 扭 轉 第 4 章 用 截 面 法 ， 考 慮 一 部 分 圓 管 的 平 衡 ： 020 22 0:0 AMrM MTm KK Kx 得 KM x tATtrT TtrrAr TrA AA 2 2 2d d 0 20 000 0 A0為平均半徑所作圓的面積。 4. 3 薄 壁 圓 管 的 扭 轉 第 4 章 二 、

7、 剪 應 力 互 等 定 理 a c ddx b dy tz dxdytdxdytm z ;0 這就是：在單元體相互垂直的兩個截面上，切應力必然成對出現(xiàn)，且數(shù)值相等，兩者都垂直于兩平面的交線，其方向或共同指向交線，或共同背離交線。 4. 3 薄 壁 圓 管 的 扭 轉 第 4 章 該 定 理 具 有 普 遍 性 ， 不 僅 對 純 剪 切 應 力 狀 態(tài) 下 成 立 ， 對 正 應 力 和 剪 應 力 同時 作 用 的 單 元 體 亦 成 立 。 單元體的四個側面上只有切應力而無正應力作用，這種應力狀態(tài)稱為。a c ddx b dy tz 4. 3 薄 壁 圓 管 的 扭 轉 第 4 章 P

8、三 、 剪 切 虎 克 定 律 a c ddx b dy tz 單元體ab 的傾角 稱為，切應變是單元體直角的改變量。實驗表明，在彈性范圍內，切應力與切應變成正比，即 G 這就是，比例常數(shù)G 稱為。 4. 3 薄 壁 圓 管 的 扭 轉 第 4 章 三 、 剪 切 虎 克 定 律 剪切彈性模量G 、與彈性模量E 和泊松比 一樣，都是表征材料力學性質的材料常數(shù)。對于各向同性材料，這三個材料常數(shù)并不是獨立的，它們存在如下關系。 根據(jù)該式，在三個材料常數(shù)中，只要知道任意兩個，就可求出第三個來。)1(2 EG 4. 4 圓 軸 扭 轉 時 的 應 力 和 強 度 條 件 第 4 章 如 圖 所 示 ，

9、 借 助 實 驗 觀 察做 出 平 截 面 假 設 (假 設 橫 截 面 像剛 性 平 面 一 樣 繞 桿 的 軸 線 轉 動 )，得 如 下 推 斷 ： （ 1） 橫 截 面 上 只 有 剪 應 力 ， 沒 有 正 應 力 ； （ 2） 剪 應 力 的 方 向 沿 圓 周 的 切 線 方 向 。 下 面 從 幾 何 方 面 、 物 理 方 面 、 靜 力 方 面 三 個 方 面 推 導 圓 軸 扭 轉 時 橫 截面 上 的 剪 應 力 ： 一 、 橫 截 面 剪 應 力 的 一 般 公 式 4. 4 圓 軸 扭 轉 時 的 應 力 和 強 度 條 件 d d R dx 1、 幾 何 方 面

10、dxd 2、 物 理 方 面 dxdGG dxdR R dx 2o1oA BD Ca bd cBC cb ddx1o 2oA BCD CB (橫截面上b 點的切應變)(橫截面上b 點的切應力) 4. 4 圓 軸 扭 轉 時 的 應 力 和 強 度 條 件 第 4 章 3、 靜 力 方 面 如 圖 所 示 ， 在 整 個 橫 截 面 上 ， 所 有 微 力 矩 之 和等 于 該 截 面 的 扭 矩 ， 即 TdAA dxdGG 將 代 入 上 式 ， 得 dAdxdGdAdxdGdAT AAA 2 令 ， 稱 為 橫 截 面 對 圓 心 的 極 慣 性 矩 。 于 是dAI AP 2 dxdGI

11、T P O2dA dAb TdxdGG 而 : 4. 4 圓 軸 扭 轉 時 的 應 力 和 強 度 條 件 第 4 章 PIT令 抗 扭 截 面 系 數(shù) 4. 4 圓 軸 扭 轉 時 的 應 力 和 強 度 條 件 第 4 章 二 、 最 大 扭 轉 剪 應 力 強 度 條 件 對 整 個 圓 軸 m a xm a x pTW 于 是 可 得 強 度 條 件 為 m a xm a x pTW 其中容許切應力是由扭轉時材料的極限切應力除以安全系數(shù)得到。 322 420 32 DddAI DAP dAI AP 2由 ， 對 于 圓 ， 如 圖 ， 則 4. 4 圓 軸 扭 轉 時 的 應 力 和

12、 強 度 條 件 第 4 章 三 、 極 慣 性 矩 抗 扭 截 面 模 量 O dDddA 2 163m ax DIW Pn ODd對 于 空 心 圓 )1(32)(32 4444 DdDIP 34 4 4( ) (1 )16 16 p DW D dD 其 中 。Dd 剪 應 力 分 布 圖 如 圖 。 4. 4 圓 軸 扭 轉 時 的 應 力 和 強 度 條 件 第 4 章 例 2 圖 示 階 梯 狀 圓 軸 ， AB段 直 徑 d1=120mm， BC段 直 徑 d2=100mm。 外力 偶 矩 為 MKA=22kN.m, MKB=36 kN.m , MKC=14 kN.m 。 已 知

13、材 料 的 許 用 剪 應力 ， 試 校 核 該 軸 的 強 度 。 MPa80A B CKAM KBM KCM 解 ： 用 截 面 法 求 得 AB、 BC的 扭 矩 分別 為 mkNT mkNT 1422 21扭 矩 圖 如 圖 所 示 。 mkN22 mkN14圖T 3 611m ax 31 22 10: 64.8 10 64.8(0.12)16pTAB Pa MPaW 段 3 622 m ax 32 14 10: 71.3 10 71.3(0.1)16pTBC Pa MPaW 段故 ， 該 軸 滿 足 強 度 要 求 。 4. 4 圓 軸 扭 轉 時 的 應 力 和 強 度 條 件 第

14、 4 章 例 3 某 傳 動 軸 ， 橫 截 面 上 的 最 大 扭 矩 Mn=1.5kN.m， 許 用 剪 應力 ， 試 按 下 列 兩 種 方 案 確 定 軸 的 截 面 尺 寸 ， 并 比 較 其 重 量 。 （ 1） 橫 截 面 為 實 心 圓 截 面 ； （ 2） 橫 截 面 為 的 空 心 圓 截 面 。 MPa50 9.0 解 ： （ 1） 確 定 實 心 軸 的 直 徑 由 強 度 條 件 ， 其 中 ， 得 pTW 316p DW 3 30 616 16 1.5 10 53.5 10 53.550 10pMD m mm 3 3取 。mmD 540 4. 4 圓 軸 扭 轉 時

15、 的 應 力 和 強 度 條 件 第 4 章 （ 2） 確 定 空 心 軸 的 內 、 外 徑 由 強 度 條 件 ， 其 中 ， 得 pTW 3 4(1 )16p DW 3 34 4 616 16 1.5 10 76 10 76(1 ) (1 0.9 ) 50 10pMD m mm 3 3 mmDd 4.68769.09.0 故取 mmdmmD 68,76 （ 3） 重 量 比 較 395.054 68764 )(4 2 2220 22 D dDAA 實空重 量 比 4. 5 圓 軸 扭 轉 時 的 變 形 和 剛 度 條 件 第 4 章 一 、 扭 轉 角 的 計 算 由 上 節(jié) 知 ，

16、所 以 ， 于 是dxdGIT P dxGITd PdxGITd P 對 于 扭 矩 為 常 數(shù) 的 等 截 面 圓 軸 ， 扭 轉 角 為 PGITlPGI 稱 為 截 面 的 抗 扭 剛 度 。 4. 5 圓 軸 扭 轉 時 的 變 形 和 剛 度 條 件 第 4 章 二 、 剛 度 條 件 (rad/m ) dd pGITx (rad/m ) m ax pGIT /m )( 180 m ax pGIT 稱為。若單位扭轉角給的是 ，則上式改寫為m/ 例4圖示圓軸，已知mA ， mB ， mC ；l1 ，l2 ；=60MPa， =0.3/m，G=80GPa；試選擇該軸的直徑。A B CmA

17、mB mC l 1 l2解：按強度條件 m axm ax 316 cpT mW d mmmd C 4.55 10106020001616 33 63 4. 4 圓 軸 扭 轉 時 的 應 力 和 強 度 條 件 第 4 章 A B CmA mB mC l1 l2按剛度條件 /m )( 180 m ax pGIT 18032 m ax4 GTdIP mmGTd 5.83103.01080 18020003218032 34 294 2m ax 該圓軸直徑應選擇：dmm. 4. 4 圓 軸 扭 轉 時 的 應 力 和 強 度 條 件 第 4 章 MPaPaWTt 3.94103.941606.01

18、04 633111m ax 4. 5 圓 軸 扭 轉 時 的 變 形 和 剛 度 條 件 第 4 章 例 5 圖 示 圓 軸 ， AB段 為 實 心 圓 截 面 ， 直 徑 d1=60mm， BC段 為 實 心 圓 截面 ， 直 徑 D=80mm， CD段 為 空 心 圓 截 面 ， 內 徑 d2=60mm， 外 徑 D=80mm，所 受 外 力 偶 矩 如 圖 。 各 段 桿 的 容 許 剪 應 力 為 。 （ 1） 試 校 核 該軸 的 強 度 ； （ 2） 如 材 料 的 剪 切 彈 性 模 量 ， 求 此 軸 總 扭 轉角 。 MPa100 MPaG 4108mkN4 mkN6mkN1

19、0m4.0 m3.0 m6.0 解 ： （ 1） 作 扭 矩 圖 如 圖 所 示 。 mkN4 mkN6圖nM A B C D （ 2） 強 度 校 核 最 大 剪 應 力 可 能 出 現(xiàn) 在 AB段 或 CD段 ， 其 最 大 剪 應 力 為 4. 5 圓 軸 扭 轉 時 的 變 形 和 剛 度 條 件 第 4 章 3 62m ax2 3 42 6 10 16 87.3 10 87.30.08 1 (3 4)pT Pa MPaW MPa3.941m axm ax故 滿 足 強 度 條 件 。 mkN4 mkN6mkN10m4.0 m3.0 m6.0A B C D （ 3） 求 總 扭 轉 角

20、 CDBCAB rad00626.032)43(108.0108 6.0106 3208.0108 3.01063206.0108 4.0104 4410 3 410 3410 3 例6 圖示圓軸，已知mA ， mB ， mC ；d1 =40mm，d2 =70mm； l1 ，l2 ；=60MPa， =1/m，G=80GPa；試校核該軸的強度和剛度，并計算兩端面的相對扭轉角。A BC mA mB mC l 1l2 解：按強度核該 11 31 131616 600 47.74 BpT mW d MPa d1d2 4. 5 圓 軸 扭 轉 時 的 變 形 和 剛 度 條 件 第 4 章 A BC m

21、A mB mC l1l2 22 32 231616 800 11.97 Cp mTW d MPa d1d2滿足強度條件。按剛度核該mGIT P /71.118010401080 60032180 1249111 mGITP /24.018010701080 80032180 1249222 4. 5 圓 軸 扭 轉 時 的 變 形 和 剛 度 條 件 第 4 章 A BC mA mB mC l1l2 d1d2 m/71.11m ax此軸不滿足剛度條件。)(32 41114222 11122212 dlTdlTG GIlTGIlT PPCB 245.0 180101)40 2.060070 4.

22、0800(108032 12449 CB 4. 5 圓 軸 扭 轉 時 的 變 形 和 剛 度 條 件 第 4 章 例7 長為 l =2m 的圓桿受均布力偶 m=20Nm/m 的作用，如圖，若桿的內外徑之比為 =0.8 ，G=80GPa ，許用切應力 =30MPa，試設計桿的外徑；=2/m ，試校核此桿的剛度，并求右端面轉角。解：設計桿的外徑 3 4D 1 16pW （ ） 3 4m ax)1(16 TD m axpTW mKNmm /20 m2 4. 5 圓 軸 扭 轉 時 的 變 形 和 剛 度 條 件 第 4 章 x xmxxT 20)( NmmlT 40m ax mmTD 57.22

23、101030)8.01( 4016)1(16 33 643 4m ax mKNmm /20 m2 4. 5 圓 軸 扭 轉 時 的 變 形 和 剛 度 條 件 第 4 章 剛度校核 180m axm ax PGIT 89.1)1(1080 1804032 4429 D右端面轉角 radGIGIxGIxdxGI dxxT PPPl P 033.0)8.01(106.221080 4032 401020)( 41249 20220 4. 5 圓 軸 扭 轉 時 的 變 形 和 剛 度 條 件 第 4 章 例 8 圖示圓桿BC 段為空心，已知 D =50mm，d=25mm； a =250mm，b =

24、150mm；G=80GPa；試求該桿的最大切應力和自由端的扭轉角。A B Caa b b D d11 22 33 44解：本題應分4段考慮。32421 DII PP )(32 4443 dDII PP 16321 DWW tt )1(16 44343 DdDWW tt 4. 5 圓 軸 扭 轉 時 的 變 形 和 剛 度 條 件 第 4 章 A B Caa b b D d11 22 33 44 MPaDTWTP74.40 5100016 163 31111 MPaD TWT P 76.34)5.01(5 80016)1(16 4343 4444 MPa74.401m ax 4. 5 圓 軸 扭

25、 轉 時 的 變 形 和 剛 度 條 件 第 4 章 A B Caa b b D d11 22 33 44 72.00126.0 )(151632 )1(32)1(323232 42214 44 444 24241 44332211 rad aTbTbTaTDG DG aTDG bTDG bTDG aT GIaTGIbTGIbTGIaT PPPP 4. 5 圓 軸 扭 轉 時 的 變 形 和 剛 度 條 件 第 4 章 4. 5 圓 軸 扭 轉 時 的 變 形 和 剛 度 條 件 第 4 章 例 9 階 梯 圓 軸 AB兩 端 固 定 ， 受 外 力 偶 矩 .m作 用 ， 若 d1=70mm

26、, d2=55mm, l1=1m, l2。 材 料 的 G=80GPa,=60MPa, ,o/m,試 對 該 軸 進 行 強 度 和 剛 度 校 核 。A BC 1l 2lmmA C BAm Bm 解 ： （ 1） 靜 力 平 衡 0mmm:0m BAx （ 2） 變 形 幾 何 關 系 0 CBACAB （ 3） 物 理 關 系 1 1 1 2 2 21 1 2 2,A BAC CBP P P Pm l m l m l m lGI GI GI GI 代 入 幾 何 關 系 ， 得 補 充 方 程 0 2211 PBPA GI lmGI lm 第 4 章 4. 5 圓 軸 扭 轉 時 的 變

27、形 和 剛 度 條 件 補 充 方 程 與 平 衡 方 程 聯(lián) 立 求 解 得 ： mkNllmlm mkNllmlmBA 8.15.11 15.4 7.25.11 5.15.421 121 2故 由 截 面 法 可 得 mkNmmmkNmm BnAn 8.1;7.2 21軸 力 圖 如 圖 所 示 。 A BC1l 2lmmkN 7.2 mkN 8.1圖nM （ 4） 強 度 校 核 MPaPadmCB MPaPadmAC nn 55105516/1055 108.116/: 1.40101.4016/1070 107.216/: 693 332 22 693 331 11 段段 第 4 章

28、 4. 5 圓 軸 扭 轉 時 的 變 形 和 剛 度 條 件軸 的 最 大 剪 應 力 ： MPa55m ax故 軸 滿 足 強 度 條 件 。 （ 5） 剛 度 校 核 mGIm mmdIAC Pn P /82.01036.21080 180107.2180 1036.2327032: 69 3111 264411 段 mGIm mmdICB PnP /44.11098.81080 180108.1180 1098.8325532: 79 3222 254422 段 m/44.12m ax 該 軸 滿 足 剛 度 條 件 。 六 、 材 料 扭 轉 時 的 力 學 性 質 第 4 章 4-

29、6、 材 料 扭 轉 時 的 力 學 性 質 非圓截面等直桿：平面假設不成立。即各截面發(fā)生翹曲不保持平面。因此，由等直圓桿扭轉時推出的應力、變形公式不適用，須由彈性力學方法求解。第 4 章 47 矩 形 截 面 桿 自 由 扭 轉 hb h 1 T max 注 意 ！ b 自由扭轉：桿件扭轉時，橫截面的翹曲不受限制，任意兩相鄰截面的翹曲程度完全相同。第 4 章 47 矩 形 截 面 桿 自 由 扭 轉 hb h 1 T max 注 意 ！ b 一、矩形桿橫截面上的切應力分布 形心與角點的切應力等于零； 周邊的切應力與周邊相切，方向與扭矩的轉向一致； 截面的最大切應力發(fā)生在長邊的中點，短邊的最大

30、切應力發(fā)生在短邊的中點。第 4 章 47 矩 形 截 面 桿 自 由 扭 轉 二、最大切應力及單位扭轉角hb h 1 T max 注 意 ！ b m ax pTW pTGI 。截面最大切應力：單位扭轉角：其中：3bWt 4bI t 。系數(shù) 、 隨長短邊的比值m=h/b 而變化，可查表獲得。 第 4 章 47 矩 形 截 面 桿 自 由 扭 轉 切應力流的方向與扭矩方向一致。 開口薄壁截面桿在自由扭轉時的切應力分布如圖（a），厚度中點處，應力為零。 閉口薄壁截面桿在自由扭轉時的切應力分布如圖（b），同一厚度處，應力均勻分布。第 4 章 4-8 、 薄 壁 桿 扭 轉 第 4 章 1、 受 扭 物 體 的 受 力 和 變 形 特 點2、 扭 矩 計 算 ， 扭 矩 圖 繪 制3、 圓 軸 扭 轉 時 橫 截 面 上 的 應 力 計 算 及 強 度 計 算 m axm ax pTW PIT 4、 圓 軸 扭 轉 時 的 變 形 及 剛 度 計 算 180PGITPGITl 小 結 第 4 章 4. 5 圓 軸 扭 轉 時 的 變 形 和 剛 度 條 件