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課時訓(xùn)練(十八) 等腰三角形
|夯實(shí)基礎(chǔ)|
1.[xx臺州] 如圖K18-1,已知等腰三角形ABC,若以點(diǎn)B為圓心,BC長為半徑畫弧,交腰AC于點(diǎn)E,則下列結(jié)論一定正確的是( )
圖K18-1
A.AE=EC B.AE=BE
C.∠EBC=∠BAC D.∠EBC=∠ABE
2.[xx包頭] 若等腰三角形的周長為10 cm,其中一邊長為2 cm,則該等腰三角形的底邊長為 ( )
A.2 cm B.4 cm
C.6 cm D.8 cm
3.如圖K18-2,AD是△ABC中∠BAC的平分線,DE
2、⊥AB于點(diǎn)E,S△ABC=7,DE=2,AB=4,則AC的長是 ( )
圖K18-2
A.3 B.4
C.6 D.5
4.[xx河池] 如圖K18-3,已知等邊三角形ABC的邊長為12,D是AB上的動點(diǎn),過D作DE⊥AC于點(diǎn)E,過E作EF⊥BC于點(diǎn)F,過F作FG⊥AB于點(diǎn)G.當(dāng)G與D重合時,AD的長是 ( )
圖K18-3
A.3 B.4 C.8 D.9
5.如圖K18-4,P是∠AOB外的一點(diǎn),點(diǎn)M,N分別是∠AOB兩邊上的點(diǎn),點(diǎn)P關(guān)于OA的對稱點(diǎn)Q恰好落在線段MN上,點(diǎn)P關(guān)于OB的對稱點(diǎn)R落在MN的延長線上.若PM=2.5 cm,PN=3 c
3、m,MN=4 cm,則線段QR的長為( )
圖K18-4
A.4.5 cm B.5.5 cm
C.6.5 cm D.7 cm
6.[xx麗水] 等腰三角形的一個內(nèi)角為100,則頂角的度數(shù)是 .
7.如圖K18-5,在Rt△ABC中,D,E為斜邊AB上的兩個點(diǎn),且BD=BC,AE=AC,則∠DCE的大小為 .
圖K18-5
8.[xx揚(yáng)州] 如圖K18-6,把等邊三角形ABC沿著DE折疊,使點(diǎn)A恰好落在BC邊上的點(diǎn)P處,且DP⊥BC,若BP=
4 cm,則EC= cm.
圖K18-6
9. [xx南充] 如圖K18-7,在△ABC中,AF平分
4、∠BAC,AC的垂直平分線交BC于點(diǎn)E,∠B=70,∠FAE=19,則
∠C= 度.
圖K18-7
10.[xx淄博] 在邊長為4的等邊三角形ABC中,D為BC邊上的任意一點(diǎn),過點(diǎn)D分別作DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分別為E,F,則DE+DF= .
11.如圖K18-8,點(diǎn)B,D在射線AM上,點(diǎn)C,E在射線AN上,且AB=BC=CD=DE,已知∠EDM=84,求∠A的度數(shù).
圖K18-8
12.如圖K18-9,在△ABC中,CD⊥AB于點(diǎn)D,BE⊥AC于點(diǎn)E,BE與CD相交于點(diǎn)O,且OB=OC.
(1)求證:△ABC為等腰三角形;
(2)試猜想:直線OA與線段BC的
5、位置關(guān)系,并加以證明.
圖K18-9
|拓展提升|
13.在凸四邊形ABCD中,AB=AD=BC,∠BAD=90,AC把四邊形ABCD分成兩個等腰三角形,則∠ABC的度數(shù)為 .
14.[xx紹興] 數(shù)學(xué)課上,張老師舉了下面的例題:
例1 等腰三角形ABC中,∠A=110,求∠B的度數(shù).(答案:35)
例2 等腰三角形ABC中,∠A=40,求∠B的度數(shù).(答案:40或70或100)
張老師啟發(fā)同學(xué)們進(jìn)行變式,小敏編了如下一題:
變式 等腰三角形ABC中,∠A=80,求∠B的度數(shù).
(1)請你解答以上的變式題.
(2)解(1)后,小敏發(fā)現(xiàn),∠A的度數(shù)不同,得到∠B的度數(shù)的
6、個數(shù)也可能不同.如果在等腰三角形ABC中,設(shè)∠A=x,當(dāng)∠B有三個不同的度數(shù)時,請你探索x的取值范圍.
參考答案
1. C [解析] ∵△ABC是等腰三角形,AB=AC,∴∠ABC=∠ACB.又∵BC=BE,∴∠ACB=∠BEC,∴∠BAC=∠EBC,
因此選C.
2.A [解析] 考查等腰三角形的性質(zhì)及三角形的三邊關(guān)系.(1)若底邊長為2 cm,則腰長為(10-2)2=4(cm),4+2>4,符合三角形三邊關(guān)系,所以該等腰三角形的底邊長為2 cm;(2)若腰長為2 cm,則底邊長為10-22=6(cm),2+2<6,不符合三角形三邊關(guān)系,所以舍去.
3.A
4.C [解析] 由題
7、易知△DEF為等邊三角形,設(shè)AE=x,則AD=2x,可得DE=DF=3x,BD=x,由x+2x=12,解得x=4,
∴AD=2x=8.
5.A
6.100 [解析] 根據(jù)三角形的內(nèi)角和等于180,又等腰三角形的一個內(nèi)角為100,得這個100的內(nèi)角只可能是頂角,故填100.
7.45
8.(2+23) [解析] 根據(jù)“30角所對的直角邊等于斜邊的一半”可求得BD=8 cm,再由勾股定理求得DP=43 cm.根據(jù)折疊的性質(zhì)可以得到∠DPE=∠A=60,DP=DA=43 cm,易得∠EPC=30,∠PEC=90,所以EC=12PC=12(8+43-4)=2+23(cm).
9.24 [解
8、析] 設(shè)∠C的度數(shù)為x,
∵DE垂直平分AC,∴EA=EC,∴∠EAC=∠C=x.
∵∠FAE=19,
∴∠AFB=∠FAC+∠C=(x+19)+x=2x+19.
∵AF平分∠BAC,∴∠BAF=∠FAC=x+19,
∵∠BAF+∠AFB+∠B=180,
∴70+(2x+19)+(x+19)=180,
解得x=24.故答案為24.
10.23 [解析] 如圖,過點(diǎn)C作CG⊥AB,垂足為G,連結(jié)AD,則AG=BG=2,
∴CG=AC2-AG2=42-22=23.
∵S△ABD+S△ACD=S△ABC,
∴12ABDE+12ACDF=12ABCG,
∴124DE+124DF
9、=124CG,
∴DE+DF=CG=23.
11.解:∵AB=BC=CD=DE,
∴∠A=∠BCA,∠CBD=∠BDC,∠ECD=∠CED.
根據(jù)三角形外角的性質(zhì),∠A+∠BCA=∠CBD,∠A+∠CDB=∠ECD,∠A+∠CED=∠EDM,
∴∠CED=3∠A.
又∵∠EDM=84,
∴∠A+3∠A=84,
∴∠A=21.
12.解:(1)證明:∵OB=OC,
∴∠OBC=∠OCB,即∠EBC=∠DCB.
又∵CD⊥AB于點(diǎn)D,BE⊥AC于點(diǎn)E,
∴∠ABC=∠ACB,∴AB=AC,
∴△ABC為等腰三角形.
(2)OA⊥BC.證明如下:
連結(jié)AO,并延長交BC
10、于點(diǎn)F.
∵AB=AC,
∴點(diǎn)A在線段BC的垂直平分線上.
∵OB=OC,
∴點(diǎn)O在線段BC的垂直平分線上,
∴OA垂直平分BC,即OA⊥BC.
13.60或90或150 [解析] 顯然等腰三角形ABC的兩腰是AB,BC,只需討論△ACD中哪兩邊相等即可.①當(dāng)AC=AD時,AB=BC=AD=AC,∴△ABC是正三角形,即∠ABC=60;②當(dāng)CD=AD時,AB=BC=AD=CD,∴四邊形ABCD是菱形,而
∠BAD=90,∴四邊形ABCD是正方形,即∠ABC=90;③當(dāng)AC=CD時,過點(diǎn)C分別作CE⊥AB于點(diǎn)E,CF⊥AD于點(diǎn)F,則四邊形CEAF是矩形,CE=AF=12AD=1
11、2BC,
∴∠ABC=30(此時,∠BAC=∠ACB=75,∠CDA=∠CAD=15,故∠BCD=360-30-90-15>180,舍去)或∠ABC=150.
14.解:(1)當(dāng)∠A為頂角時,∠B=50,
當(dāng)∠A為底角時,若∠B為頂角,則∠B=20,
若∠B為底角,則∠B=80,
∴∠B=50或20或80.
(2)分兩種情況:
①當(dāng)90≤x<180時,∠A只能為頂角,
∴∠B的度數(shù)只有一個.
②當(dāng)0
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