蘇教版 八年級上 數(shù)學 勾股定理 ?？碱}型分類匯總 知識點+經(jīng)典例題+變式題

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1、 中小學1對1課外輔導專家 第二章 勾股定理 類型一：勾股定理的直接用法 1、在Rt△ABC中，∠C=90 (1)已知a=6， c=10，求b； (2)已知a=40，b=9，求c； (3)已知c=25，b=15，求a. 舉一反三 【變式】:如圖∠B=∠ACD=90, AD=13,CD=12, BC=3,則AB的長是多少? 類型二：勾股定理的構(gòu)造應用 2、如圖，已知：在中，，，. 求：BC的長.

2、 舉一反三【變式1】如圖，已知：，，于P. 求證：. 【變式2】已知：如圖，∠B=∠D=90，∠A=60，AB=4，CD=2。求：四邊形ABCD的面積。 類型三：勾股定理的實際應用 （一）用勾股定理求兩點之間的距離問題 3、如圖所示，在一次夏令營活動中，小明

3、從營地A點出發(fā)，沿北偏東60方向走了到達B點，然后再沿北偏西30方向走了500m到達目的地C點。 （1）求A、C兩點之間的距離。 （2）確定目的地C在營地A的什么方向。 舉一反三 【變式】一輛裝滿貨物的卡車，其外形高2.5米，寬1.6米，要開進廠門形狀如圖的某工廠，問這輛卡車能否通過該工廠的廠門? （二）用勾股定理求最短問題 4、國家電力總公司為了改善農(nóng)村用電電費過高的現(xiàn)狀，目前正在全國各地農(nóng)村進行電網(wǎng)改造

4、，某地有四個村莊A、B、C、D，且正好位于一個正方形的四個頂點，現(xiàn)計劃在四個村莊聯(lián)合架設一條線路，他們設計了四種架設方案，如圖實線部分．請你幫助計算一下，哪種架設方案最省電線． 舉一反三 【變式1】如圖，一圓柱體的底面周長為20cm，高ＡＢ為4cm，ＢＣ是上底面的直徑．一只螞蟻從點A出發(fā)，沿著圓柱的側(cè)面爬行到點C，試求出爬行的最短路程． 【變式2】如圖①是一個長方體盒子，長AB＝4，寬BC＝2，高CG＝1． (1) 一只螞蟻從盒子下底面的點A沿盒子表面爬到點G，那么它所 行走的最短路線的長是______． (2)這個長

5、方體盒子內(nèi)能容下的最長木棒的長度為______． 點評：把題中的長方體變成正方體或圓柱時，找直角三角形運用勾股定理的思想方法不變，在計算的過程中，可嘗試總結(jié)計算的公式，如長方體內(nèi)最長線段的長度為． 【變式3】如圖，長方體的長為15，寬為10，高為20，點B到點C的距離為5， 如果一只螞蟻要沿著長方體的表面從點A爬到點B，那么它 需要爬行的最短距離是 ( ) A．5 B．25 C．15 D．35 【變式4】一個長方體同一頂點處的三條棱長分別是3、4、12，則這個長方體內(nèi)能容下的

6、最長木棒的長度為______． 【變式5】如圖，將一根25 cm長的細術(shù)棒放入長、寬、高分別為8 cm、6 cm和cm的長方體無蓋盒子中，則細木棒露在盒外面的最短長度是__________cm． 類型四：利用勾股定理作長為的線段 5、作長為、、的線段。 思路點撥：由勾股定理得，直角邊為1的等腰直角三角形，斜邊長就等于，直角邊為和1的直角三角形斜邊長就是，類似地可作。 作法：如圖所示 （1）作直角邊為1（單位長）的等腰直角△ACB，使AB為斜邊； （2）以AB為一條直角邊，作另一直角邊為1的直角。斜邊為； （3）順次這樣做下去，最后

7、做到直角三角形，這樣斜邊、、、的長度就是 、、、。 舉一反三 【變式】在數(shù)軸上表示的點。 解析：可以把看作是直角三角形的斜邊，， 為了有利于畫圖讓其他兩邊的長為整數(shù)， 而10又是9和1這兩個完全平方數(shù)的和，得另外兩邊分別是3和1。 作法：如圖所示在數(shù)軸上找到A點，使OA=3，作AC⊥OA且截取AC=1，以OC為半徑， 以O為圓心做弧，弧與數(shù)軸的交點B即為。 類型五：逆命題與勾股定理逆定理 6、寫出下列原命題的逆命題并判斷是否正確 1．原命題：貓有四只腳．（正確） 2．原命題：對

8、頂角相等（正確） 3．原命題：線段垂直平分線上的點，到這條線段兩端距離相等．（正確） 4．原命題：角平分線上的點，到這個角的兩邊距離相等．（正確） 7、如果ΔABC的三邊分別為a、b、c，且滿足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，判斷ΔABC的形狀。 舉一反三【變式1】四邊形ABCD中，∠B=90，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四邊形ABCD的面積。 【變式2】已知:△ABC的三邊分別為m2－n2,2mn,m2+n2(m,n為正整數(shù),且m＞n),判斷△ABC是否為直角三角形. 【

9、變式3】如圖正方形ABCD，E為BC中點，F(xiàn)為AB上一點，且BF=AB。 請問FE與DE是否垂直?請說明。 經(jīng)典例題精析 類型一：勾股定理及其逆定理的基本用法 1、若直角三角形兩直角邊的比是3：4，斜邊長是20，求此直角三角形的面積。 舉一反三 【變式1】等邊三角形的邊長為2，求它的面積。 注：等邊三角形面積公式：若等邊三角形邊長為a，則其面積為a。 【變式2】直角三角形周長為12cm，斜邊長為5cm，求直角三角形的面積。 【變式3】若直角三

10、角形的三邊長分別是n+1，n+2，n+3，求n。 【變式4】（1）以下列各組數(shù)為邊長，能組成直角三角形的是（ ） A、8，15，17 B、4，5，6 C、5，8，10 D、8，39，40 （2）已知直角三角形的兩邊長分別為3和4，則第三邊的長是______． 【變式5】如圖①是我國古代著名的“趙爽弦圖”的示意圖，它是由四個全等的直角三角形圍成的，在Rt△ABC中，若直角邊AC＝6，BC＝5，將四個直角三角形中邊長為6的直角邊分別向外延長一倍，得到如圖②所示的“數(shù)學

11、風車”，則這個風車的外圍周長(圖②中的實線)是______． 【變式6】如圖，在直線l上依次擺放著七個正方形，其中，斜放置的三個正方形的面積分別是1、2、3，正放置的四個正方形的面積依次是S1、S2、S3、S4，則S1＋S2＋S3＋S4＝______． 【變式7】如圖，已知1號、4號兩個正方形的面積為為7，2號、3號兩個正 方形的面積和為4，則a，b，c三個方形的面積和為 ( ) A．11 B．15 C．10 D．22 【變式8】在△ABC中，∠B＝90，兩直角邊AB＝7，BC＝24

12、，三角形內(nèi)有一點P到各邊的距離相等，則這個距離是______． 類型二：勾股定理的應用 2、如圖，公路MN和公路PQ在點P處交匯，且∠QPN＝30，點A處有一所中學，AP＝160m。假設拖拉機行駛時，周圍100m以內(nèi)會受到噪音的影響，那么拖拉機在公路MN上沿PN方向行駛時，學校是否會受到噪聲影響？請說明理由，如果受影響，已知拖拉機的速度為18km/h，那么學校受影響的時間為多少秒？ 舉一反三 【變式1】如圖學校有一塊長方形花園，有極少數(shù)人為了避開拐角而走“捷徑”，在花園內(nèi)走出了一條“路”。他們僅僅少走了_

13、_________步路（假設2步為1m），卻踩傷了花草。 【變式2】如圖中的虛線網(wǎng)格我們稱之為正三角形網(wǎng)格，它的每一個小三角形都是邊長為1的正三角形，這樣的三角形稱為單位正三角形。 （1）直接寫出單位正三角形的高與面積。 （2）圖中的平行四邊形ABCD含有多少個單位正三角形？平行四邊形ABCD的面積是多少？ （3）求出圖中線段AC的長（可作輔助線）。 類型三：數(shù)學思想方法 （1） 轉(zhuǎn)化的思想方法 我們在求三角形的邊或角，或進行推理論證時，常常作垂線，構(gòu)造直角三角形，將問題轉(zhuǎn)化為直角三角形問題來解決． 3

14、、如圖所示，△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，D是斜邊BC的中點，E、F分別是AB、AC邊上的點，且DE⊥DF，若BE=12，CF=5．求線段EF的長。 （二）方程的思想方法 4、如圖所示，已知△ABC中，∠C=90，∠A=60，，求、、的值。 總結(jié)升華：在直角三角形中，30的銳角的所對的直角邊是斜邊的一半。 舉一反三： 【變式】如圖所示，折疊矩形的一邊AD，使點D落在BC邊的點F處，已知AB=8cm

15、，BC=10cm，求EF的長。 類型四：平方根、立方根與實數(shù) 5、(1)若，則x－y的值為 ( ) A．－1 B．1 C．2 D．3 (2)已知a為實數(shù)，那么等于 ( ) A．a(chǎn) B．－a C．－1 D．0 【變式】（1）已若“＋(b＋27) 2＝0，則_____

16、_． （2）已知x、y都是實數(shù)，且y＝，則xy＝_______． （3）若＋(y＋6) 2＝0，則x＋y＝_______． (4)若，則a－b＋c＝_______． 6、 已知的整數(shù)部分是a，小數(shù)部分是b，則(－a)3＋(b＋2)2＝______． 【變式1】（1）估計20的算術(shù)平方根在 ( ) A．2與3之間 B．3與4之間 C．4與5之間 D．5與6之間 （2）估算－2的值在 ( ) A．1和2之間

17、 B．2和3之間 C．3和4之間 D．4和5之間 （3）估算＋1的值在 ( ) A．2和3之間 B．3和4之間 C．4和5之間 D．5和6之間 【變式2】若的整數(shù)部分為a，的整數(shù)部分為b，求的值． 7、已知2a－l的平方根是，3a－2b＋l的平方根是3，求4a－b的算術(shù)平方根． 【變式】（1）若5x＋6的平方根是1，則x＝_______ 。 (2)一個正數(shù)x的算術(shù)平方根是a，那么x＋2的算術(shù)平方根是_____，x＋1的立方根是

18、_____． (3)一個數(shù)的算術(shù)平方根是8，則這個數(shù)的立方根是______；的平方根是_______． （4）已知(x＋y＋2)(x＋y－2)＝45，則x＋y的值是______． （5）如果一個數(shù)的平方根是a＋3與2a－15，那么這個數(shù)是_______； （6）如果5x＋4的平方根是1，那么x＝_______． (7)如果3x+12的立方根是3，求2x+6的平方根； (8)已知一個正數(shù)的平方根是2a－1與－a+2．求a2009的值． 8、在實數(shù)－，－，，57，0.121 121 112

19、…，π，18，0.351，，3.141 59中，無理數(shù)有 ( ) A．2個 B．3個 C．4個 D．5個 【變式】 下列各數(shù)：3.5，，3. 141 6，－π，902，3.51，，，4.121121112…，7.030 303中，有理數(shù)有____________________________，無理數(shù)有_________________________． 類型五：科學記數(shù)法與有效數(shù)字 9、用四舍五入法，按括號內(nèi)的要求取下列各數(shù)的近似數(shù)． (1) 60 340(保留2個有效數(shù)字)； (2)0.038 49(保留2個有效數(shù)字)； (3)0.000 077(精確到0.000 01)； (4) 81595(精確到百位)． 【變式】 (1) 3.4萬精確到_______位，有_______個有效數(shù)字． (2)5.82104精確到_______位，有_______個有效數(shù)字． （3）6.510104精確到______位，有______個有效數(shù)字，分別是_______． 10