2010年陜西高考理科數(shù)學(xué)真題及答案

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1、2010年陜西高考理科數(shù)學(xué)真題及答案 一、選擇題：在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的（本大題共10小題，每小題5分，共50分）。 1.集合A=，B=，則=【D】 （A） （B） （C） （D） 解析：本題考查集合的基本運(yùn)算 2.復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于 【A】 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析：本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算及幾何意義 ，所以點(diǎn)（位于第一象限 3.對(duì)于函數(shù)f(x)=2sinxcosx，下列選項(xiàng)中正確的是 【B】 A.f(x)在（，）上是遞增的 B. f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 C. f(x)的最小正

2、周期為 D. f(x)的最大值為2 解析：本題考查三角函數(shù)的性質(zhì) f (x)=2sinxcosx=sin2x，周期為π的奇函數(shù) 4. 展開式中的系數(shù)為10，則實(shí)數(shù)a等于【D】 A.-1 B. C.1 D.2 解析：本題考查二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式 5.已知函數(shù)f(x)= 若f（f（0））=4a，則實(shí)數(shù)a等于【C】 A. B. C.2 D.9 解析：f（0）=2，f（f（0））=f(2)=4+2a=4a，所以a=2 6.右圖是求樣本，，…，平均數(shù)的程序框圖，圖中空白框中應(yīng)填入的內(nèi)容為【A】 A.S=S+

3、 B.S=S+ C.S=S+n D.S=S+ 7.若某空間幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是【C】 A. B. C.1 D.2 解析：本題考查立體圖形三視圖及體積公式 如圖，該立體圖形為直三棱柱 所以其體積為 8.已知拋物線的準(zhǔn)線與圓相切，則p的值為【C】 A. B. 1 C.2 D.4 解析：本題考查拋物線的相關(guān)幾何性質(zhì)及直線與圓的位置關(guān)系 法一：拋物線y2＝2px（p>0）的準(zhǔn)線方程為，因?yàn)閽佄锞€y2＝2px（p>0）的準(zhǔn)線與圓（x－3）2＋y2＝16相切，所以 法二：作圖可知

4、，拋物線y2＝2px（p>0）的準(zhǔn)線與圓（x－3）2＋y2＝16相切與點(diǎn)（-1,0） 所以 9.對(duì)于數(shù)列，“”是“為遞增數(shù)列”的【B】 A.必要不充分條件 B. 充分不必要條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件 解析：由知所有項(xiàng)均為正項(xiàng)， 且，即為遞增數(shù)列 反之，為遞增數(shù)列，不一定有，如-2，-1,0,1,2，…. 10.某學(xué)校要召開學(xué)生代表大會(huì)，規(guī)定各班每10人推選一名代表 ，當(dāng)各班人數(shù)除以10的余數(shù)大于6時(shí)再增選一名代表，那么，各班可推選代表人數(shù)y與該班人數(shù)x之間的函數(shù)關(guān)系用取整函數(shù)y=[x]( [x]表示不大于x的最大整

5、數(shù))可以表示為 【B】 A. B. C. D. 解析：法一：特殊取值法，若x=56，y=5,排除C、D，若x=57，y=6，排除A，所以選B 法二：設(shè)， ，所以選B 二、填空題：把答案填在答題卡相應(yīng)題號(hào)后的橫線上（本大題共5小題，每小題5分，共25分）. 11.已知向量a=（2，-1），b=（-1，m），c=（-1,2），若（a+b）∥c，則m=-1 解析：，所以m=-1 12.觀察下列等式：，，，…，根據(jù)上述規(guī)律，第五個(gè)等式為。 解析：第i個(gè)等式左邊為1到i+1的立方和，右邊為1+2+...+（i+1）的平方 所以第五個(gè)等式為。

6、13.從如圖所示的長(zhǎng)方形區(qū)域內(nèi)任取一個(gè)點(diǎn)M(x，y)，則點(diǎn)M取自陰影部分部分的概率為 解析：長(zhǎng)方形區(qū)域的面積為3，陰影部分部分的面積為，所以點(diǎn)M取自陰影部分部分的概率為 14.鐵礦石A和B的含鐵率a ，冶煉每萬噸鐵礦石的的排放量b及每萬噸鐵礦石的價(jià)格c如下表： a B(萬噸) C（百萬元） A 50％ 1 3 B 70％ 0.5 6 某冶煉廠至少要生產(chǎn)1.9（萬噸）鐵，若要求的排放量不超過2（萬噸）則購買鐵礦石的最少費(fèi)用為15（萬元） 解析：設(shè)購買鐵礦石A和B各x，y萬噸，則購買鐵礦石的費(fèi)用 x,y滿足約束條件

7、 表示平面區(qū)域?yàn)? 則當(dāng)直線過點(diǎn)B（1,2）時(shí)，購買鐵礦石的最少費(fèi)用 z=15 15.（考生注意：請(qǐng)?jiān)谙铝腥}中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題評(píng)分） A．（不等式選做題）不等式的解集為 解析：法一：分段討論 綜上，原不等式解集為 法二：利用絕對(duì)值的幾何意義放在數(shù)軸上研究 法三：借助函數(shù)的圖像研究 B. (幾何證明選做題)如圖，已知Rt△ABC的兩條直角邊AC,BC的長(zhǎng)分別為3cm,4cm，以AC為直徑的圓與AB交于點(diǎn)D，則 解析：,由直角三角形射影定理可得

8、 C.(坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題)已知圓C的參數(shù)方程為（a為參數(shù)）以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為，則直線l與圓C的交點(diǎn)的直角坐標(biāo)系為__(-1,1).(1,1)_____ 解析：直線l的極坐標(biāo)方程為化為普通方程為y=1， 所以直線l與圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,1).(1,1) 三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟（本大題共6小題，共75分） 16.（本小題滿分12分） 已知是公差不為零的等差數(shù)列，且成等比數(shù)列 （1） 求數(shù)列的通項(xiàng)公式 （2） 求數(shù)列的前n項(xiàng)和 解： （1）由題設(shè)知公差d≠0 由且成等比數(shù)列得 解得

9、d=1,d=0（舍去） 故的通項(xiàng) （2）由（1）知，由等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式得 17. （本小題滿分12分 如圖，A，B是海面上位于東西方向相距海里的兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn)，現(xiàn)位于A點(diǎn)北偏東45，B點(diǎn)北偏西60的D點(diǎn)有一艘輪船發(fā)出求救信號(hào)，位于B點(diǎn)南偏西60且與B點(diǎn)相距海里的C點(diǎn)的救援船立即即前往營救，其航行速度為30海里/小時(shí)，該救援船到達(dá)D點(diǎn)需要多長(zhǎng)時(shí)間？ 解：由題意知海里， 在中，由正弦定理得 =（海里）， 又海里， 在中，由余弦定理得 = 30（海里），則需要的時(shí)間（小時(shí)）。 答：救援船到達(dá)D點(diǎn)需要1小時(shí)。 注：如果認(rèn)定為直角三

10、角形，根據(jù)勾股定理正確求得CD，同樣給分。 18. 如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP=AB=2,BC=,E,F分別是AD,PC的中點(diǎn)。 （Ⅰ）證明：PC⊥平面BEF； （Ⅱ）求平面BEF與平面BAP夾角的大小。 解法一： （Ⅰ）如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB,AD,AP所在直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系。 ∵ ，四邊形ABCD是矩形 ∴ A,B,C,D,P的坐標(biāo)為 又E,F分別是AD,PC的中點(diǎn)， ∴ ∴ , ∴ ∴ ∴ ∴ 平面 （Ⅱ） 由（Ⅰ）知平面BEF的法向量, 平面BAP的法向量， ∴ =8

11、 設(shè)平面BEF與平面BAP的家教為θ， 則， ∴ ，∴ 平面BEF與平面BAP的夾角為 解法二： （Ⅰ）連接PE,EC，在和中， PA=AB=CD,AE=DE, ∴ PE=CE,即是等腰三角形， 又F是PC的中點(diǎn)，∴EF⊥PC， 又是PC的中點(diǎn)， ∴ 又 （Ⅱ）∵ PA⊥平面ABCD, ∴ PA⊥BC, 又ABCD是矩形，∴ AB⊥BC, ∴ BC⊥平面BAP，BC⊥PB, 又由（Ⅰ）知PC⊥平面BEF, ∴ 直線PC與BC的夾角即為平面BEF與平面BAP的夾角， 在中，PB=BC, , 所以平面BEF與平面BAP的夾角為 19. （本小題滿分12分）

12、 為了解學(xué)生升高情況，某校以10%的比例對(duì)全校700名學(xué)生按性別進(jìn)行分層抽樣調(diào)查，測(cè)得身高情況的統(tǒng)計(jì)圖如下： （Ⅰ）估計(jì)該校男生的人數(shù)； （Ⅱ）估計(jì)該校學(xué)生身高在170~185cm之間的概率； （Ⅲ）從樣本中身高在165~180cm之間的女生中任選2人，求至少有1人身高在170~18cm之間的概率。 解： （Ⅰ）樣本中男生人數(shù)為40，由分層抽樣比例為10%估計(jì)全校男生人數(shù)為400人。 （Ⅱ）由統(tǒng)計(jì)圖知，樣本中身高在170~185cm之間的學(xué)生有14+13+4+3+1=35人，樣本容量為70，所以樣本中學(xué)生身高在170~180cm之間的概率p=0.5 （Ⅲ）樣本中女生身高在16

13、5~180cm之間的人數(shù)為10，身高在170~180cm之間的人數(shù)為4， 設(shè)A表示事件“從樣本中身高在165~180cm之間的女生中任取2人，至少有1人身高在170~180cm之間”， 則（或） 20. （本小題滿分13分） 如圖，橢圓的頂點(diǎn)為，焦點(diǎn)為 ， （Ⅰ）求橢圓C的方程； （Ⅱ）設(shè)n是過原點(diǎn)的直線，是與n垂直相交于F點(diǎn)、與橢圓相交于A,B亮點(diǎn)的直線，||=1，是否存在上述直線使成立？若存在，求出直線的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由。 解： （Ⅰ） 由知， ① 由知a=2c， ② 又 ，

14、 ③ 由①②③解得， 故橢圓C的方程為 （Ⅱ） 設(shè)A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為， 假設(shè)使成立的直線存在， （?。┊?dāng)不垂直于x軸時(shí)，設(shè)的方程為， 由與垂直相交于P點(diǎn)且||=1得 ，即 ∵，||=1， ∴ = = 1+0+0-1=0, 即 將代入橢圓方程，得 由求根公式可得， ④ ⑤ = = 將④，⑤代入上式并化簡(jiǎn)得 ⑥ 將代入⑥并化簡(jiǎn)得，矛盾 即此時(shí)直線不存

15、在 （ⅱ）當(dāng)垂直于x軸時(shí)，滿足的直線的方程為x=1或x=-1， 當(dāng)X=1時(shí)，A,B,P的坐標(biāo)分別為， ∴， ∴ 當(dāng)x=-1時(shí)，同理可得，矛盾 即此時(shí)直線也不存在 綜上可知，使成立的直線不存在 21. （本小題滿分14分） 已知函數(shù) （Ⅰ）若曲線與曲線相交，且在交點(diǎn)處有共同的切線，求a的值和該切線方程； （Ⅱ）設(shè)函數(shù)，當(dāng)存在最小值時(shí)，求其最小值的解析式； （Ⅲ）對(duì)（Ⅱ）中的和任意的，證明： 解： （Ⅰ）， 由已知得 解得， ∴ 兩條直線交點(diǎn)的坐標(biāo)為，切線的斜率為， ∴ 切線的方程為 （Ⅱ）由條件知 ∴ （ⅰ）當(dāng)a>0時(shí)，令，解得， ∴ 當(dāng)時(shí)，在上遞減； 當(dāng)時(shí)，在上遞增 ∴是在上的唯一極值點(diǎn)，從而也是的最小值點(diǎn) ∴最小值 （ⅱ）當(dāng)時(shí)，在上遞增，無最小值， 故的最小值的解析式為 （Ⅲ）由（Ⅱ）知 對(duì)任意的 ① ② ③ 故由①②③得