2021高三數(shù)學(xué)北師大版理一輪課后限時(shí)集訓(xùn)：54 直線與橢圓 Word版含解析

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1、 直線與橢圓 建議用時(shí)：45分鐘 一、選擇題 1．直線y＝x＋2與橢圓＋＝1有兩個(gè)公共點(diǎn)，則m的取值范圍是(　　) A．(1，＋∞) B．(1,3)∪(3，＋∞) C．(3，＋∞) D．(0,3)∪(3，＋∞) B　[由得(3＋m)x2＋4mx＋m＝0， 由題意可知 解得又m＞0，且m≠3， ∴m＞1且m≠3.故選B.] 2．(2019棗莊模擬)過橢圓＋＝1的右焦點(diǎn)作一條斜率為2的直線與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則△OAB的面積為(　　) A. B． C. D． B　[由題意知橢圓的右焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(1,0)，則直線AB的方程為y＝2x－2.聯(lián)立

2、 解得交點(diǎn)坐標(biāo)為(0，－2)，，不妨設(shè)A點(diǎn)的縱坐標(biāo)yA＝－2，B點(diǎn)的縱坐標(biāo)yB＝，∴S△OAB＝|OF||yA－yB|＝1＝.] 3．已知F1(－1,0)，F(xiàn)2(1,0)是橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)，過F2且垂直于x軸的直線與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，且|AB|＝3，則C的方程為(　　) A.＋y2＝1 B．＋＝1 C.＋＝1 D．＋＝1 C　[設(shè)橢圓C的方程為＋＝1(a>b>0)，則c＝1.因?yàn)檫^F2且垂直于x軸的直線與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，且|AB|＝3，所以＝，b2＝a2－c2，所以a2＝4，b2＝a2－c2＝4－1＝3，橢圓的方程為＋＝1.] 4．已知橢圓＋＝1(a>b>0)的一條弦所在的直

3、線方程是x－y＋5＝0，弦的中點(diǎn)坐標(biāo)是M(－4,1)，則橢圓的離心率是(　　) A. B． C. D． C　[設(shè)直線與橢圓交點(diǎn)為A(x1，y1)，B(x2，y2)，分別代入橢圓方程，由點(diǎn)差法可知yM＝－xM，代入k＝1，M(－4,1)，解得＝，e＝＝，故選C.] 5．傾斜角為的直線經(jīng)過橢圓＋＝1(a＞b＞0)的右焦點(diǎn)F，與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，且＝2，則該橢圓的離心率為(　　) A. B． C. D． B　[由題意可知，直線的方程為y＝x－c，與橢圓方程聯(lián)立得∴(b2＋a2)y2＋2b2cy－b4＝0，由于直線過橢圓的右焦點(diǎn)，故必與橢圓有交點(diǎn)，則Δ＞0.設(shè)A(x1，y1)，

4、B(x2，y2)，則又＝2，∴(c－x1，－y1)＝2(x2－c，y2)， ∴－y1＝2y2，可得∴＝，∴e＝，故選B.] 二、填空題 6．過橢圓C：＋＝1的左焦點(diǎn)F作傾斜角為60的直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，則＋等于________． 　[由題意可知F(－1,0)，故l的方程為y＝(x＋1)． 由得5x2＋8x＝0，∴x＝0或－. ∴A(0，)，B. 又F(－1,0)，∴|AF|＝2，|BF|＝， ∴＋＝.] 7．已知橢圓＋＝1的左焦點(diǎn)為F，直線x＝m與橢圓交于點(diǎn)A，B，當(dāng)△FAB的周長最大時(shí)，△FAB的面積是________． 3　[如圖，設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為E，連接AE

5、，BE.由橢圓的定義得，△FAB的周長為|AB|＋|AF|＋|BF|＝|AB|＋(2a－|AE|)＋(2a－|BE|)＝4a＋|AB|－|AE|－|BE|.∵|AE|＋|BE|≥|AB|，∴|AB|－|AE|－|BE|≤0，∴|AB|＋|AF|＋|BF|＝4a＋|AB|－|AE|－|BE|≤4a.當(dāng)直線AB過點(diǎn)E時(shí)取等號，此時(shí)直線x＝m＝c＝1，把x＝1代入橢圓＋＝1得y＝，∴|AB|＝3.∴當(dāng)△FAB的周長最大時(shí)，△FAB的面積是3|EF|＝32＝3.] 8．橢圓Γ：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，焦距為2c.若直線y＝(x＋c)與橢圓Γ的一個(gè)交點(diǎn)M滿足∠MF1F2＝2∠

6、MF2F1，則該橢圓的離心率等于________． －1　[直線y＝(x＋c)過點(diǎn)F1(－c,0)，且傾斜角為60，所以∠MF1F2＝60，從而∠MF2F1＝30，所以MF1⊥MF2.在Rt△MF1F2中，|MF1|＝c，|MF2|＝c， 所以該橢圓的離心率e＝＝＝－1.] 三、解答題 9.已知橢圓＋y2＝1上兩個(gè)不同的點(diǎn)A，B關(guān)于直線y＝mx＋對稱，求實(shí)數(shù)m的取值范圍． [解]　由題意知m≠0，可設(shè)直線AB的方程為y＝－x＋b. 由消去y，得 x2－x＋b2－1＝0. 因?yàn)橹本€y＝－x＋b與橢圓＋y2＝1有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，所以Δ＝－2b2＋2＋＞0.① 將線段AB中點(diǎn)代

7、入直線方程y＝mx＋，解得b＝－.② 由①②得m＜－或m＞. 故m的取值范圍為∪. 10．(2019合肥調(diào)研)已知橢圓C：＋(a＞b＞0)的離心率為，左、右頂點(diǎn)分別是A1，A2，上頂點(diǎn)為B(0，b)，△A1A2B的面積等于2. (1)求橢圓C的方程； (2)設(shè)點(diǎn)Q(1,0)，P(4，m)，直線PA1，PA2分別交橢圓C于點(diǎn)M，N，證明：M，Q，N三點(diǎn)共線． [解]　(1)由離心率為得，＝，① 由△A1A2B的面積為2得，ab＝2.② ∵a2＝b2＋c2③，聯(lián)立①②③解得，a＝2，b＝1， ∴橢圓C的方程為＋y2＝1. (2)記點(diǎn)M，N的坐標(biāo)分別為M(x1，y1)，N(x2，

8、y2)． 又A1(－2,0)，∴直線PA1的方程為y＝(x＋2)，與橢圓＋y2＝1方程聯(lián)立并整理得(m2＋9)x2＋4m2x＋4m2－36＝0，由－2＋x1＝得x1＝， 代入直線PA1的方程得y1＝，即M，同理可得N. 因?yàn)镼(1,0)，所以＝，＝， 由＝知，M，Q，N三點(diǎn)共線． 1．已知P(x0，y0)是橢圓C：＋y2＝1上的一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2是C的兩個(gè)焦點(diǎn)，若12<0，則x0的取值范圍是(　　) A. B． C. D． A　[由題意可知F1(－，0)，F(xiàn)2(，0)，則12＝(x0＋)(x0－)＋y＝x＋y－3<0.因?yàn)辄c(diǎn)P在橢圓上，所以y＝1－.所以x＋－3<0，解得－<

9、x0<，即x0的取值范圍是.] 2．已知橢圓E：＋＝1(a＞b＞0)的右焦點(diǎn)為F，短軸的一個(gè)端點(diǎn)為M，直線l：3x－4y＝0交橢圓E于A，B兩點(diǎn)．若|AF|＋|BF|＝4，點(diǎn)M到直線l的距離不小于，則橢圓E的離心率的取值范圍是(　　) A. B． C. D． A　[根據(jù)橢圓的對稱性及橢圓的定義可得A，B兩點(diǎn)到橢圓左、右焦點(diǎn)的距離和為4a＝2(|AF|＋|BF|)＝8，所以a＝2.又d＝≥，所以1≤b＜2，所以e＝＝＝.因?yàn)?≤b＜2，所以0＜e≤.] 3．已知A，B分別為橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)在x軸正半軸、y軸正半軸上的頂點(diǎn)，原點(diǎn)O到直線AB的距離為，且|AB|＝ . (1)

10、求橢圓C的離心率； (2)直線l：y＝kx＋m與圓x2＋y2＝2相切，并與橢圓C交于M，N兩點(diǎn)，若|MN|＝，求k的值． [解]　(1)由|AB|＝＝， ＝，a＞b＞0， 計(jì)算得出a＝2，b＝，則橢圓C的離心率為e＝＝. (2)由(1)知橢圓方程為＋＝1，設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，則消去y得，(3k2＋4)x2＋6kmx＋3m2－12＝0，直線l與橢圓相交，則Δ＞0， 即48(3k2－m2＋4)＞0， 且x1＋x2＝－，x1x2＝. 又直線l與圓x2＋y2＝2相切， 則＝，即m2＝2(k2＋1)． 而|MN|＝ ＝ ＝＝， 又|MN|＝， 所以＝， 即

11、5k4－3k2－2＝0，解得k＝1，且滿足Δ＞0，故k的值為1. 1．平行四邊形ABCD內(nèi)接于橢圓＋＝1，直線AB的斜率k1＝2，則直線AD的斜率k2等于(　　) A． B．－ C．－ D．－2 C　[設(shè)AB的中點(diǎn)為G，則由橢圓的對稱性知，O為平行四邊形ABCD的對角線的交點(diǎn)，則GO∥AD. 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則有 兩式相減得 ＝－， 整理得＝－＝－k1＝－2， 即＝－.又G， 所以kOG＝＝－，即k2＝－，故選C.] 2．過橢圓＋＝1(a>b>0)上的動點(diǎn)M作圓x2＋y2＝的兩條切線，切點(diǎn)分別為P和Q，直線PQ與x軸和y軸的交點(diǎn)分別為E和F，

12、則△EOF面積的最小值為________． 　[設(shè)M(x0，y0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 由題意知PQ斜率存在，且不為0，所以x0y0≠0， 則直線MP和MQ的方程分別為x1x＋y1y＝，x2x＋y2y＝.因?yàn)辄c(diǎn)M在MP和MQ上，所以有x1x0＋y1y0＝，x2x0＋y2y0＝，則P，Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程x0x＋y0y＝，所以直線PQ的方程為x0x＋y0y＝，可得E和F， 所以S△EOF＝|OE||OF|＝， 因?yàn)閎2y＋a2x＝a2b2，b2y＋a2x≥2ab|x0y0|， 所以|x0y0|≤，所以S△EOF＝≥， 當(dāng)且僅當(dāng)b2y＝a2x＝時(shí)取“＝”， 故△EOF面積的最小值為.]