現(xiàn)代數(shù)值計算方法習(xí)題答案北京大學(xué)出版社肖筱南

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1、現(xiàn)代數(shù)值計算方法習(xí)題答案 李繼云 現(xiàn)代數(shù)值計算方法習(xí)題答案 習(xí) 題 一 1、解：根據(jù)絕對誤差限不超過末位數(shù)的半個單位，相對誤差限為絕對誤差限除以有效數(shù)字本身，有效數(shù)字的位數(shù)根據(jù)有效數(shù)字的定義來求.因此 4910-2 ： = 0.005； = 0.0102； 2位有效數(shù)字. 0.0490 ： = 0.00005； = 0.00102； 3位有效數(shù)字. 490.00 ： = 0.005； = 0.0000102；5位有效數(shù)字. 2、解： = 3.1428 …… ，

2、 = 3.1415 …… ， 取它們的相同部分3.14，故有3位有效數(shù)字. = 3.1428 - 3.1415 = 0.0013 ； = = = 0.00041. 3、解：的近似值的首位非0數(shù)字 = 1,因此有 || < = 10-4 , 解之得n > = 5，所以 n = 5 . 4、證： 5、解：(1)因為4.4721…… ， 又|| = || = 0.0021 < 0.01, 所以 4.47. (2)的近似值的首位非0數(shù)字 = 4,因此有 || < = 0.01 , 解之得n >

3、= 3 .所以， 4.47. 6、解：設(shè)正方形的邊長為,則其面積為，由題設(shè)知的近似值為= 10 cm . 記為的近似值，則 < = 0.1， 所以 < = 0.005 cm . 7、解：因為, 所以. 8、解： 9、證： 由上述兩式易知，結(jié)論. 10、解：代入求解,經(jīng)過計算可知第(3)個計算結(jié)果最好. 11、解：基本原則為：因式分解，分母分子有理化、三角函數(shù)恒等變形…… （1）通分；（2）分子有理化；（3）三角函數(shù)恒等變形. 12、解： 因為,,所以|| < =

4、 于是有 || = || = 10|| < = || = || = 10|| < = 類推有 || < = 即計算到，其誤差限為，亦即若在處有誤差限為，則的誤差將擴大倍，可見這個計算過程是不穩(wěn)定的. 習(xí) 題 二 1、 解：只用一種方法. （1）方程組的增廣矩陣為： → → → , , . （2）方程組的增廣矩陣為： → → → , , . （3）適用

5、于計算機編程計算. 2、 解：第一步：計算U的第一行，L的第一列，得 第二步：計算U的第二行，L的第二列，得 第三步：計算U的第三行，L的第三列，得 第四步：計算U的第四行，得 從而， = 由 , 解得 =（6，-3，23/5，－955/370）T. 由 , 解得=（1，-1

6、，1，－1）T. 3、（1）解：首先檢驗系數(shù)矩陣的對稱正定性，這可以通過計算其各階順序主子式是否大于零來判斷. ＝ 3 > 0, = 2 > 0, = 4 > 0,所以系數(shù)矩陣是對稱正定的.記系數(shù)矩陣為A，則平方根法可按如下三步進(jìn)行： 第一步 分解：A = L LT. 由公式計算出矩陣的各元素： 因此， L ＝. 第二步 求解方程組LY = b . 解得Y = （，，）T.

7、 第三步 求解方程組LTX = Y . 解得X =（0，2，1）T. （2）解：首先檢驗系數(shù)矩陣的對稱正定性，這可以通過計算其各階順序主子式是否大于零來判斷. ＝ 3 > 0, = 2 > 0, = 6 > 0,所以系數(shù)矩陣是對稱正定的.記系數(shù)矩陣為A，則平方根法可按如下三步進(jìn)行： 第一步 分解：A = L LT. 由公式計算出矩陣的各元素： 因此， L ＝ . 第二步 求解方程組LY = b . 解

8、得Y = （，，）T . 第三步 求解方程組LTX = Y . 解得X = （，，）T . 4、解： 對 , ； 對 , , , ； 對 , , , , , . 所以數(shù)組A的形式為： 求解方程組LY = b . 解得Y = （4，7，）T . 求解方程組DLTX = Y . 解得X = （，，）T . 5、解：（1）設(shè)A = LU = 計算各元素得： , , , , , , , , . 求解方程

9、組LY = d. 解得Y = （1，，，，）T . 求解方程組UX = Y. 解得X = （，，，，）T . （2）設(shè)A = LU = 計算各元素得： ，， ， ， . 求解方程組LY = d . 解得Y = （17，，）T . 求解方程組UX = Y . 解得X = （3，2，1）T . 6、證：（1）（2）相同. 因為此方程組的系數(shù)矩陣為嚴(yán)格對角占優(yōu)矩陣，所以雅可比迭代法和相應(yīng) 的高斯－賽德爾迭代法都收斂. （1）雅可比迭代公式： 高斯－賽德爾迭代公式： （2）雅可比迭代公式：

10、 高斯－賽德爾迭代公式： 7、(1)證：因為此方程組的系數(shù)矩陣為嚴(yán)格對角占優(yōu)矩陣，所以雅可比迭代法和相 應(yīng)的高斯－賽德爾迭代法都收斂。 (2) 雅可比迭代法： 寫出雅可比迭代法公式： 取 = （－3，1，1）T，迭代到18次達(dá)到精度要求, = （－3.999，2.999，1.999）T . 高斯－賽德爾迭代法： 寫出高斯－賽德爾迭代法公式： 取 = （－3，1，1）T，迭代到8次達(dá)到精度要求, = （－4.000，2.999，2.000）T . 8、SOR方法考試不考。 9、證明

11、：雅可比法的迭代矩陣為： , 解得,所以雅可比迭代法不收斂. 高斯-賽德爾法的迭代矩陣為： , 求得，，則 , 所以高斯-賽德爾迭代法不收斂. 10、證明：雅可比法的迭代矩陣為： , 求得，，，則 , 所以雅可比迭代法不收斂. 高斯-賽德爾法的迭代矩陣為： , 求得，，則 , 所以高斯-賽德爾迭代法收斂. 11、證明：當(dāng) - 0.5 < a < 1 時，由

12、 = 1 - a2 > 0 , = (1 - a)2(1 + 2a) > 0 , 所以A正定. 雅可比迭代矩陣BJ ＝，所以， || = = 所以， , 故當(dāng)-0.5 < < 0.5 時，雅可比迭代法收斂。 12、解： ＝ max {0.6+0.5,0.1+0.3} = 1.1； ＝ max {0.6+0.1,0.5+0.3} = 0.8； ＝ = 0.8426； ATA = = || = = － 0.71 ＋

13、0.0169 ＝ 0 所以 (ATA) = 0.685，所以 ＝ = 0.83. 13、證明：(1)由定義知, 故 (2)由范數(shù)定義知, 故 習(xí) 題 三 1、解：在區(qū)間[0.3,0.4]上，故在區(qū)間[0.3,0.4]上嚴(yán)格單調(diào)減少，又，，所以方程在區(qū)間[0.3,0.4]上有唯一實根。令（0.4－0.3）/ < = ,解得k > = 4 ,即應(yīng)至

14、少分4次,取開始計算,于是有: 當(dāng)k = 1 時,x1 = 0.35 , ,隔根區(qū)間是, 當(dāng)k = 2 時,x2 = 0.325 , ,隔根區(qū)間是, 當(dāng)k = 3 時,x3 = 0.3375 , ,隔根區(qū)間是, 當(dāng)k = 4 時,x4 = 0.34375 , ,隔根區(qū)間是. 所以 (0.3375 + 0.34375)/2 0.341. 2、解：在區(qū)間[1,2]上，故在區(qū)間[1,2]上嚴(yán)格單調(diào)增加，又，，所以方程在區(qū)間[1,2]上有唯一實根. 令< = ,解得k > = 13.3 ,即應(yīng)至少分14次. 3、解：作圖,判斷根的數(shù)目、找

15、隔根的區(qū)間. (1)有唯一實根,隔根區(qū)間[0,],收斂迭代公式:. (2)有唯一實根,隔根區(qū)間[1,2],收斂迭代公式:. 4、解：取的鄰域[1.3,1.6]來考察. (1)當(dāng)[1.3,1.6]時,[1.3,1.6] ,||< = 0.522 = L < 1,所以，在[1.3,1.6]上收斂. (2)當(dāng)[1.3,1.6]時,[1.3,1.6] ,||< = 0.91 = L < 1, 所以，在[1.3,1.6]上收斂. (3)當(dāng)[1.3,1.6]時,[1.3,1.6] ,|| = L > 1,所以， 在[1.3,1.6]上發(fā)散. (4)當(dāng)[1.3,1.6]時

16、,[1.3,1.6] ,所以，在[1.3,1.6]上發(fā)散. 取開始計算,于是有： = 1.481448 , = 1.472705 , = 1.468817 , = 1.467047 , = 1.466243 , = 1.465876 . 由于|| < ,故可取 = 1.466. 5、解：方程的等價形式為=,迭代公式為. 作函數(shù)和的圖像,可知其正根區(qū)間為[0.5,1.5]. 當(dāng)[0.5,1.5]時,[0.5,1.5] ,||< = 0.3 = L < 1,所以，在[0.5,1.5]上收斂

17、. 取開始計算,于是有： = 0.93114992, = 1.0249532 , = 1.04141516 , = 1.04419321, = 1.0446673 , = 1.04474582, = 1.04475903, = 1.0447613 , = 1.04476123. 由于|| < ,故可取 = 1.04476. 6、解：當(dāng)[0,0.5]時,[0,0.5] ,||< = 0.825 = L < 1, 所以在區(qū)間[0,0.5]上收斂. 取開始計算,于是有： = 0.10000000, = 0.08

18、948290 , = 0.09063913 , = 0.09051262, = 0.09052647 , = 0.09052495. 由于|| < ,故可取 = 0.0905. 7、解：由于在根附近變化不大, = - 0.607 = q. 迭代--加速公式為 取開始計算,于是有： = 0.5662917, = 0.5671223, = 0.56714277. 由于|| < ,故可取 = 0.5671. 8、解：埃特金加速公式為：

19、 取開始計算,于是有: = 1.32489918, = 1.32471796, = 1.32471637. 由于|| < ,故可取 = 1.3247. 9、解：對于,,因此牛頓迭代法為 ,0,1,2,3,… 對于,,因此牛頓迭代法為 ,0,1,2,3,… 因為 所以， 對于, . 對于, . 10、解：在區(qū)間[1,2]上,，, ，. 又因為，所以收斂且以作初值。 取,用牛頓迭代法, 計算得 = 1.8889, = 1.8794,

20、 = 1.8794, 由于|| < ,故可取 = 1.879. 11、解：設(shè) ,則 ， .牛頓法迭代公式為： 0,1,2,3,… 當(dāng)時, ， , 當(dāng)時, ， . 因此,對于,當(dāng)時,,牛頓序列收斂到. 當(dāng)時,, 所以,因此,從起 , 牛頓序列收斂到 . 對于,當(dāng)時,,牛頓序列收斂到. 當(dāng)時,, 所以,因此,從起 , 牛頓序列收斂到 . 當(dāng)時,迭代式變?yōu)?

21、 . 該迭代對任何均收斂,但收斂速度是線性的. 取開始計算,于是有： = 1.66666667 , = 1.23111111 , = 1.48053039 , = 1.44323083 , = 1.44225024 , = 1.44224957 , = 1.44224957 . 由于|| < ,故可取 = 1.442250 . 12、解：令,取,開始計算, 經(jīng)過4次計算可以得到 = 0.51098 . 習(xí) 題 五 1、解：

22、 . 2、解： . 3、解： .(直接代入數(shù)據(jù)，因較復(fù)雜，省略) 4、證：（1）當(dāng)（2）中的時，即可得結(jié)論. （2）函數(shù)及均為被插值函數(shù)的關(guān)于互異節(jié)點的不超過次的插值多項式，利用插值多項式的唯一性可知結(jié)論. 5、證：以和為插值點，建立的不超過一次的插值多項式： 應(yīng)用插值余項公式有： ，因此可得結(jié)論。 6、解：選，，為節(jié)點，計算得： . 7、解： . 8、解：（略） 9、證：設(shè)，.

23、 將差商（均差）用函數(shù)值表示，則有： 取得結(jié)論（1），取得結(jié)論（2）. 10、證：. 11、解：制造向前查分表： 0 1 2 3 0 1 2 3 1 2 17 64 1 15 47 14 32 18 由題意，，.當(dāng)時，. 將查分表上部那些畫橫線的數(shù)及代入公式，有 . 當(dāng)時，.將查分表下部那些畫橫線的數(shù)及代入公式，有 . 12、解：制造向前查分表： 0 1 2

24、3 -1 0 1 2 -2 -1 1 2 1 2 1 1 -1 -2 由于其根在[-1,2]之間，故采用牛頓后插公式， 計算得 ，所以. 13、證：采用差分的定義來證明. 14、解：方法同第11題. 15、解：以，和為插值節(jié)點的插值多項式的截斷誤差，則有 ， 式中 ，， 則 令 得 . 習(xí) 題 六 1、解：由題意得 , , 所以 , . 又 , 所以 . 2、解

25、：設(shè)擬合曲線為一次多項式: . 計算各元素: ,,,,, 故法方程組為=, 解得 ,.所以. 二次多項式擬合曲線與一次多項式擬合曲線類似(略). 3、解：設(shè)擬合曲線為二次多項式: . 計算各元素: ,,,,, 故法方程組為=, 解得 ,.所以. 4、解：經(jīng)描圖發(fā)現(xiàn)和符合二次曲線. 設(shè)擬合曲線為二次多項式: . 計算各元素: ,,, , ,, 故法方程組為=, 解得 , , .所以. 5、略. 6、解：對公式兩邊取常用對數(shù)有 . 令,,,則得線性模

26、型 .計算各元素: ,,,,, 故法方程組為=, 解得 ,,得,. 所以 . 7、解：對公式兩邊取常用對數(shù)有 . 令,,,則得線性模型 .計算各元素: ,,,,, 故法方程組為=, 解得 ,,得,. 所以 . 8、解：令,則 .計算各元素: ,,,,, 故法方程組為=, 解得 ,,所以. 習(xí) 題 七 1、解：利用梯形公式: . 利用辛普

27、森公式: . 計算誤差: . . 5、解：利用復(fù)化梯形公式: . 利用復(fù)化辛普森公式: 6、解：由 , 得 又, 解出,故用復(fù)化梯形公式至少取671,即需672個節(jié)點. 7、解：計算如下: 0 1 2 3 0.7717433 0.7280699 0.7169828 0.7142002 0.7135121 0.7132870 0.7132726 0.7132720 0.7132717

28、0.7132717 故. 習(xí) 題 八 1、解：將代入相關(guān)公式. (1)歐拉公式計算: (2)預(yù)估-校正公式計算: 分別計算,其結(jié)果如下: 歐拉公式 預(yù)估-校正公式 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 1 0.9 0.82 0.75676 0.70849 0.67430 1 0.91 0.83680 0.77858 0.73435 0.70364 2、證明：將代入歐拉預(yù)估-校正公式，可得 又因為 ， 所以結(jié)論可得。 3、解：利用經(jīng)典四階龍格-庫塔公式有, 計算結(jié)果見下表: 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1 1.72755 2.74295 4.09204 5.82617 7.99184 6、解： 根據(jù)對應(yīng)關(guān)系，可得： ， ， . 26