高中數(shù)學 第二章 平面向量 2.1 平面向量的實際背景及基本概念 2.1.1 向量的物理背景與概念 2.1.2 向量的幾何表示 2.1.3 相等向量與共線向量學案 新人教A版必修4

《高中數(shù)學 第二章 平面向量 2.1 平面向量的實際背景及基本概念 2.1.1 向量的物理背景與概念 2.1.2 向量的幾何表示 2.1.3 相等向量與共線向量學案 新人教A版必修4》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《高中數(shù)學 第二章 平面向量 2.1 平面向量的實際背景及基本概念 2.1.1 向量的物理背景與概念 2.1.2 向量的幾何表示 2.1.3 相等向量與共線向量學案 新人教A版必修4（8頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、 2.1　平面向量的實際背景及基本概念 2.1.1　向量的物理背景與概念 2.1.2　向量的幾何表示 2.1.3　相等向量與共線向量 學習目標：1.理解向量的有關概念及向量的幾何表示．(重點)2.理解共線向量、相等向量的概念．(難點)3.正確區(qū)分向量平行與直線平行．(易混點) [自 主 預 習探 新 知] 1．向量與數(shù)量 (1)向量：既有大小，又有方向的量叫做向量． (2)數(shù)量：只有大小，沒有方向的量稱為數(shù)量． 2．向量的幾何表示 (1)帶有方向的線段叫做有向線段．它包含三個要素：起點、方向、長度． (2)向量可以用有向線段表示．向量的大小，也就是向量 的長度(或稱模)

2、，記作||.向量也可以用字母a，b，c，…表示，或用表示向量的有向線段的起點和終點字母表示，例如，，. 思考：(1)向量可以比較大小嗎？ (2)有向線段就是向量嗎？ [提示]　(1)向量不能比較大小，但向量的模可以比較大?。? (2)有向線段只是表示向量的一個圖形工具，它不是向量． 3．向量的有關概念 零向量 長度為0的向量，記作0 單位向量 長度等于1個單位的向量 平行向量 (共線向量) 方向相同或相反的非零向量 向量a，b平行，記作 規(guī)定：零向量與任一向量平行 相等向量 長度相等且方向相同的向量 向量a與b相等，記作a＝b [基礎自測]

3、1．思考辨析 (1)零向量沒有方向．(　　) (2)向量的長度和向量的模相等．(　　) (3)單位向量都平行．(　　) (4)零向量與任意向量都平行．(　　) [解析]　(1)錯誤．零向量的方向是任意的．(2)正確．(3)錯誤．單位向量的方向不一定相同或相反，所以不一定平行．(4)正確． [答案]　(1)　(2)√　(3)　(4)√ 2．有下列物理量：①質(zhì)量；②溫度；③角度；④彈力；⑤風速．其中可以看成是向量的有(　　) A．1個　 B．2個 C．3個 D．4個 B　[①②③不是向量，④⑤是向量．] 3．如圖211，四邊形ABCD是平行四邊形，則圖中相等的向量是_____

4、___(填序號)． 圖211 (1)與；(2)與； (3)與；(4)與. (1)(4)　[由平行四邊形的性質(zhì)和相等向量的定義可知： ＝，≠ ≠，＝.] [合 作 探 究攻 重 難] 向量的有關概念 　判斷下列命題是否正確，請說明理由： (1)若向量a與b同向，且|a|>|b|，則a>b； (2)若向量|a|＝|b|，則a與b的長度相等且方向相同或相反； (3)對于任意向量|a|＝|b|，若a與b的方向相同，則a＝b； (4)由于0方向不確定，故0不與任意向量平行； (5)向量a與向量b平行，則向量a與b方向相同或相反． [思路探究]　解答本題應根據(jù)向量的有

5、關概念，注意向量的大小、方向兩個要素． [解]　(1)不正確．因為向量由兩個因素來確定，即大小和方向，所以兩個向量不能比較大小． (2)不正確．由|a|＝|b|只能判斷兩向量長度相等，不能確定它們的方向關系． (3)正確．因為|a|＝|b|，且a與b同向，由兩向量相等的條件，可得a＝b. (4)不正確．依據(jù)規(guī)定：0與任意向量平行． (5)不正確．因為向量a與向量b若有一個是零向量，則其方向不定． [規(guī)律方法]　1.理解零向量和單位向量應注意的問題 (1)零向量的方向是任意的，所有的零向量都相等． (2)單位向量不一定相等，易忽略向量的方向． 2．共線向量與平行向量． (1)

6、平行向量也稱為共線向量，兩個概念沒有區(qū)別； (2)共線向量所在直線可以平行，與平面幾何中的共線不同； (3)平行向量可以共線，與平面幾何中的直線平行不同． 提醒：解決與向量概念有關題目的關鍵是突出向量的核心——方向和長度． [跟蹤訓練] 1．給出下列命題： ①若a∥b，b∥c，則a∥c. ②若單位向量的起點相同，則終點相同． ③起點不同，但方向相同且模相等的幾個向量是相等向量； ④向量與是共線向量，則A，B，C，D四點必在同一直線上． 其中正確命題的序號是________． ③　[①錯誤．若b＝0，則①不成立； ②錯誤．起點相同的單位向量，終點未必相同； ③正確．對于

7、一個向量只要不改變其大小和方向，是可以任意移動的． ④錯誤．共線向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可．并不要求兩個向量，必須在同一直線上．] 向量的表示及應用 　(1)如圖212，B，C是線段AD的三等分點，分別以圖中各點為起點和終點，可以寫出________個向量． 圖212 (2)在如圖213所示的坐標紙上(每個小方格邊長為1)，用直尺和圓規(guī)畫出下列向量： 圖213 ①，使||＝4，點A在點O北偏東45； ②，使||＝4，點B在點A正東； ③，使||＝6，點C在點B北偏東30. 【導學號：84352172】 (1)12　[(1)可以寫出12個向量，分

8、別是：，，，，，， ，，，，， (2)①由于點A在點O北偏東45處，所以在坐標紙上點A距點O的橫向小方格數(shù)與縱向小方格數(shù)相等．又||＝4，小方格邊長為1，所以點A距點O的橫向小方格數(shù)與縱向小方格數(shù)都為4，于是點A位置可以確定，畫出向量如圖所示． ②由于點B在點A正東方向處，且||＝4，所以在坐標紙上點B距點A的橫向小方格數(shù)為4，縱向小方格數(shù)為0，于是點B位置可以確定，畫出向量如圖所示． ③由于點C在點B北偏東30處，且||＝6，依據(jù)勾股定理可得：在坐標紙上點C距點B的橫向小方格數(shù)為3，縱向小方格數(shù)為3≈5.2，于是點C位置可以確定，畫出向量如圖所示．] [規(guī)律方法]　1.向量的兩

9、種表示方法： (1)幾何表示法：先確定向量的起點，再確定向量的方向，最后根據(jù)向量的長度確定向量的終點． (2)字母表示法：為了便于運算可用字母a，b，c表示，為了聯(lián)系平面幾何中的圖形性質(zhì)，可用表示向量的有向線段的起點與終點表示向量，如，，等． 2．兩種向量表示方法的作用： (1)用幾何表示法表示向量，便于用幾何方法研究向量運算，為用向量處理幾何問題打下了基礎． (2)用字母表示法表示向量，便于向量的運算． [跟蹤訓練] 2．某人從A點出發(fā)向東走了5米到達B點，然后改變方向按東北方向走了10米到達C點，到達C點后又改變方向向西走了10米到達D點． (1)作出向量，，； (2)求

10、的模． [解]　(1)作出向量，，，如圖所示： (2)由題意得，△BCD是直角三角形，其中∠BDC＝90，BC＝10米，CD＝10米，所以BD＝10米．△ABD是直角三角形，其中∠ABD＝90，AB＝5米，BD＝10米，所以AD＝＝5(米)，所以||＝5米. 尋找相等向量和共線向量 [探究問題] 1．兩個相等的非零向量的起點與終點是否都分別重合？ 提示：不一定．因為向量都是自由向量，只要大小相等，方向相同就是相等向量，與起點和終點位置無關． 2．若∥，則從直線AB與直線CD的關系和與的方向關系兩個方面考慮有哪些情況？ 提示：分四種情況 (1)直線AB和直線CD重合，與同向

11、； (2)直線AB和直線CD重合，與反向； (3)直線AB∥直線CD，與同向； (4)直線AB∥直線CD，與反向． 　如圖214，四邊形ABCD為邊長為3的正方形，把各邊三等分后，共有16個交點，從中選取兩個交點作為向量的起點和終點，則與平行且長度為2的向量有哪些？(在圖中標出相關字母，寫出這些向量) 【導學號：84352173】 圖214 [思路探究]　所求向量有以下兩個特征：(1)表示此向量的有向線段所在直線與AC平行或重合．(2)長度是邊長為2的正方形的對角線． 8　[如圖所示，滿足與平行且長度為2的向量有，，，，，，，共8個．] 母題探究：1.本例中，與向量

12、同向且長度為2的向量有幾個？ [解]　與向量同向且長度為2的向量占與向量平行且長度為2的向量中的一半，共4個． 2．本例中，如圖215，與向量相等的向量有多少個？ 圖215 [解]　圖中每個小正方形的對角線所在的向量中，與向量方向相同的向量與其相等，共有8個． [規(guī)律方法]　　相等向量與共線向量的探求方法 (1)尋找相等向量：先找與表示已知向量的有向線段長度相等的向量，再確定哪些是同向共線． (2)尋找共線向量：先找與表示已知向量的有向線段平行或共線的線段，再構造同向與反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向線段的終點為起點，起點為終點的向量． 提醒：與向量平行相關的問

13、題中，不要忽視零向量． [當 堂 達 標固 雙 基] 1．下列結論正確的個數(shù)是(　　) (1)溫度含零上和零下溫度，所以溫度是向量； (2)向量的模是一個正實數(shù)； (3)向量a與b不共線，則a與b都是非零向量； (4)若|a|>|b|，則a>b. A．0　　　　 B．1　　　　 C．2　　　　 D．3 B　[(1)錯誤．溫度是數(shù)量不是向量；(2)錯誤．零向量的模為0.(3)正確．因為零向量與任意向量共線；(4)錯誤．向量不能比較大?。甝 2．設O是正方形ABCD的中心，則向量，，，是(　　) A．相等的向量 B．平行的向量 C．有相同起點的向量 D．模相等的向量

14、D　[由正方形的性質(zhì)知||＝||＝||＝||.] 3．在下列判斷中，正確的是(　　) ①長度為0的向量都是零向量； ②零向量的方向都是相同的； ③單位向量的長度都相等； ④單位向量都是同方向； ⑤任意向量與零向量都共線. 【導學號：84352174】 A．①②③ B．②③④ C．①②⑤ D．①③⑤ D　[由定義知①正確，②由于零向量的方向是任意的，故兩個零向量的方向是否相同不確定，故不正確．顯然③⑤正確，④不正確，故選D.] 4．在下列命題中：①平行向量一定相等；②不相等的向量一定不平行；③共線向量一定相等；④相等向量一定共線；⑤長度相等的向量是相等

15、向量；⑥平行于同一個非零向量的兩個向量是共線向量．正確的命題是________． ④⑥　[由向量的相關概念可知④⑥正確．] 5．如圖216所示菱形ABCD中，對角線AC，BD相交于O點，∠DAB＝60，分別以A，B，C，D，O中的不同兩點為始點與終點的向量中， 圖216 (1)寫出與平行的向量； (2)寫出與模相等的向量． [解]　由題圖可知，(1)與平行的向量有：，，；(2)與模相等的向量有： ，，，，，，，，. 6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375