九年級數(shù)學(xué)上冊 第二章 一元二次方程 2 用配方法求解一元二次方程 拓展資料 配方法拓展與解析素材 新版北師大版

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1、 配方法的拓展與解析 配方法是對數(shù)學(xué)式子進(jìn)行一種定向變形（配成“完全平方”）的技巧，通過配方找到已知和未知的聯(lián)系，從而化繁為簡。何時配方，需要我們適當(dāng)預(yù)測，并且合理運用“裂項”與“添項”、“配”與“湊”的技巧，從而完成配方。有時也將其稱為“湊配法”。 最常見的配方是進(jìn)行恒等變形，使數(shù)學(xué)式子出現(xiàn)完全平方。配方法的配方依據(jù)是二項完全平方公式(a＋b)＝a＋2ab＋b，將這個公式靈活運用，可得到各種基本配方形式，如： a＋b＝(a＋b)－2ab＝(a－b)＋2ab； a＋ab＋b＝(a＋b)－ab＝(a－b)＋3ab。 配方法在數(shù)學(xué)的教與學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用。在初中階段它主要適用于：一元二

2、次方程、二次函數(shù)、二次代數(shù)式的討論與求解。經(jīng)過幾年的教學(xué)實踐發(fā)現(xiàn)：很多情況下用配方法解一元二次方程或者求二次函數(shù)的頂點坐標(biāo)要比用公式法簡單實用。 在應(yīng)用配方法解一元二次方程（ax2+bx+c=0）時有兩種做法： 一種是先移走常數(shù)項，然后方程兩邊同時除以二次項的系數(shù)，把二次項系數(shù)化為1，再兩邊同時加上一次項系數(shù)（除以二次項系數(shù)后的）一半的平方，把原方程化成(x＋m)=n(n≥0)的形式，再兩邊同時開方，把一元二次方程轉(zhuǎn)化為一元一次方程。 典型例題：2x2+6x-3=0 解法1：移項得：2x2+6x=3 兩邊同時除以2得： 兩邊同時加得: 所以： 開方得：或 解得： 另一

3、種方法是先移走常數(shù)項，然后通過“湊”與“配”進(jìn)行配方。 解法2：移項得：2x2+6x=3 原方程變?yōu)椋? 即原方程化為： 兩邊同時開方得：或 解得： 與用配方法解一元二次方程不同的是，在用配方法求二次函數(shù)的頂點坐標(biāo)時，要把二次項和一次項看作一個整體，提出（而不是除以）二次項的系數(shù)，再進(jìn)行配方，但配方時與解一元二次方程的配方有所不同。 典型例題2：用配方法求的頂點坐標(biāo) 解： = = = = 如上例，用配方法求二次函數(shù)頂點坐標(biāo)時，不是等號兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方，而是在中括號里加上一次項系數(shù)一半的平方，但為了保持原有的二次函數(shù)不變，必須在中括號里再減去一次項系

4、數(shù)一半的平方。這是學(xué)生在以后學(xué)習(xí)用配方法求二次函數(shù)頂點坐標(biāo)時經(jīng)常與用配方法解一元二次方程相混淆的地方，也是學(xué)生經(jīng)常出錯的地方。 另外配方法在二次代數(shù)式的討論與求解中應(yīng)用也非常廣泛。 典型例題3：用配方法證明:無論x為何實數(shù)，代數(shù)式的值恒大于零。 與用配方法求二次函數(shù)的頂點坐標(biāo)類似，此題也是把二次項和一次項看作一個整體，并對其進(jìn)行配方。解法如下: ∵ = =＞0 ∴無論x為何實數(shù)，代數(shù)式的值恒大于零。 典型例題4：若，求的值。 此題可以運用“裂項”與“湊”的技巧，把-20xy裂成-18xy與-2xy的和，來完成配方，并根據(jù)完全平方式為非負(fù)數(shù)的性質(zhì)把二元二次方程化為二元一次方程組

5、。其解法如下： ∵ ∴ 即 ∴， ∴ 典型例題5：（2005 卡西歐杯 全國初中數(shù)學(xué)競賽）若M=3x2-8xy+9y2-4x+6y+13(x,y是實數(shù))，則M的值一定是（ ） A 正數(shù) B負(fù)數(shù) C零 D整數(shù) 精析：先將元多項式轉(zhuǎn)化成幾個完全平方式的和的形式，然后就其結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行合理的分析、推理，可達(dá)到目的。 解：因為M=3x2-8xy+9y2-4x+6y+13=2（x-2y）2+（x-2）2+（y+3）2≥0并且2（x-2y）2,（x-2）2,（y+3）2這三個式子不能同時為0，所以M〉0，故選A。 典型例題6 化簡二次根式 精析：復(fù)合

6、二次根式的化簡是競賽中比較常見的問題，化簡的關(guān)鍵是將被開方數(shù)化成完全平方的形式，要用到配方的思想。 解： 同理可得 所以，原式=8 典型例題7 已知三角形的三邊a,b,c滿足a2+b2+c2=ab+ac+bc,請你判斷這個三角形的形狀。 精析：確定三角形的形狀，主要是討論三條邊之間的關(guān)系。代數(shù)式a2+b2+c2=ab+ac+bc之中蘊(yùn)含了完全平方式，我們要重新拆項，組合如下： 2a2+2b2+2c2=2ab+2ac+2bc 2a2+2b2+2c2-2ab-2ac-2bc=0 a2-2ab +b2+ a2-2ac+ c2+b2-2bc+c2=0 (a-b)2+(a-c)2+(b-c)2=0 所以a=b=c 三角形是等邊三角形 我國經(jīng)濟(jì)發(fā)展進(jìn)入新常態(tài)，需要轉(zhuǎn)變經(jīng)濟(jì)發(fā)展方式，改變粗放式增長模式，不斷優(yōu)化經(jīng)濟(jì)結(jié)構(gòu)，實現(xiàn)經(jīng)濟(jì)健康可持續(xù)發(fā)展進(jìn)區(qū)域協(xié)調(diào)發(fā)展，推進(jìn)新型城鎮(zhèn)化，推動城鄉(xiāng)發(fā)展一體化因：我國經(jīng)濟(jì)發(fā)展還面臨區(qū)域發(fā)展不平衡、城鎮(zhèn)化水平不高、城鄉(xiāng)發(fā)展不平衡不協(xié)調(diào)等現(xiàn)實挑戰(zhàn)。