高中數(shù)學(xué) 第二章 函數(shù)概念與基本初等函數(shù)I 2.3 映射的概念學(xué)案 蘇教版必修1

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1、 2．3　映射的概念 1．理解映射的概念及表達(dá)方法． 2．會(huì)判斷一個(gè)對(duì)應(yīng)是否為映射． 映射的概念 一般地，設(shè)A、B是兩個(gè)非空集合，如果按某種對(duì)應(yīng)法則f，對(duì)于A中的每一個(gè)元素，在B中都有惟一的元素與之對(duì)應(yīng)，那么，這樣的單值對(duì)應(yīng)就叫集合A到集合B的映射．記作f：A→B． 若集合A有n個(gè)元素，集合B有m個(gè)元素，則集合A到集合B的映射有mn個(gè)． 【做一做1－1】根據(jù)對(duì)應(yīng)法則f：x→2x－1，寫出圖中給定元素的對(duì)應(yīng)元素． (1) (2) 答案：(1)1　3　5　(2)4　5　6 【做一做1－2】已知映射f：A→B，其中集合A＝{－3，－2，－1,1,2,3,4}

2、，集合B中的元素都是A中的元素在映射f下的元素，且對(duì)任意的a∈A，在B中和它對(duì)應(yīng)的元素是|a|，則集合B中的元素的個(gè)數(shù)是________． 答案：4 1．怎樣理解映射的概念？ 剖析：(1)映射定義中的兩個(gè)集合A、B是有先后次序的，A到B的映射與B到A的映射是不同的． (2)映射是由集合A、B以及從A到B的對(duì)應(yīng)法則f所確定的． (3)在一個(gè)映射中，在對(duì)應(yīng)法則f的作用下，集合A中的任何一個(gè)元素a對(duì)應(yīng)著集合B中的元素b． (4)符號(hào)“f：A→B”表示集合A到集合B的映射，其中對(duì)應(yīng)法則f的具體內(nèi)容可用漢字?jǐn)⑹觯纭扒笳摇薄俺艘?再加5”等．但在專業(yè)教材中，一般用比較抽象的符號(hào)來表示．

3、 (5)在一個(gè)映射中，集合A、B可以是數(shù)集，也可以是點(diǎn)集或其他集合；集合A、B也可以是同一集合，但在確定的映射中，集合A、B的地位一般是不要求對(duì)等的． 2．為什么說映射是一種特殊的對(duì)應(yīng)？ 剖析：(1)映射也是兩個(gè)集合A與B元素之間存在的某種對(duì)應(yīng)關(guān)系．說其是一種特殊的映射，就是因?yàn)樗辉试S存在“一對(duì)一”與“多對(duì)一”這兩種對(duì)應(yīng)，而不允許存在“一對(duì)多”的對(duì)應(yīng)． (2)映射中所允許的“一對(duì)一”與“多對(duì)一”這兩種對(duì)應(yīng)的特點(diǎn)，從A到B的映射f：A→B實(shí)際是要求集合A中的任一元素都必須對(duì)應(yīng)于集合B中惟一的元素．但對(duì)集合B中的元素并無任何要求，即允許集合B中的元素在集合A中可能有一個(gè)元素與之對(duì)應(yīng)，可能

4、有兩個(gè)或多個(gè)元素與之對(duì)應(yīng)，也可能沒有元素與之對(duì)應(yīng)． 題型一 映射的概念 【例1】下列對(duì)應(yīng)是不是從A到B的映射？ (1)A＝Q，B＝{x∈Q|x＞0}，f：x→|x|； (2)A＝B＝N*，f：x→|x－2|； (3)A＝{x∈N|x≥2}，B＝{y∈Z|y≥0}，f：x→y＝x2－2x＋1； (4)A＝{x|x＞0}，B＝{y|y∈R}，f：x→y＝． 解：(1)中，當(dāng)x＝0∈A時(shí)，|x|＝0B，即A中的元素0按照對(duì)應(yīng)法則在B中找不到應(yīng)該對(duì)應(yīng)的元素，故(1)不是映射． (2)中，當(dāng)x＝2∈A時(shí)，|x－2|＝0B，與(1)類似，(2)也不是映射． (3)中，因?yàn)閥＝(x－

5、1)2≥0，所以對(duì)任意x，總有y≥0；又當(dāng)x∈N時(shí)，x2－2x＋1必為整數(shù)，即y∈Z．所以當(dāng)x∈A時(shí)，x2－2x＋1∈B，且對(duì)A中每一個(gè)元素x，在B中都有惟一的y與之對(duì)應(yīng)，故(3)是映射． (4)中，任意一個(gè)x都有兩個(gè)y與之對(duì)應(yīng)，故不是映射． 反思：給定兩集合A、B及對(duì)應(yīng)法則f，判斷是否是從集合A到集合B的映射，其基本方法是利用映射的定義．用通俗的語言講：A→B的對(duì)應(yīng)有“多對(duì)一”“一對(duì)一”及“一對(duì)多”，前兩種對(duì)應(yīng)是A→B的映射，而后一種不是A→B的映射． 題型二 映射的個(gè)數(shù)問題 【例2】已知M＝{a，b，c}，N＝{－2,0,2}，且從M到N的映射滿足f(a)＞f(b)≥f(c)，試

6、確定這樣的映射f的個(gè)數(shù)為__________． 解析：因?yàn)閺腗到N的映射滿足f(a)＞f(b)≥f(c)，所以，(1)當(dāng)f(a)＝2時(shí)，有 或或 (2)當(dāng)f(a)＝0時(shí)，有 綜上，從M到N滿足f(a)＞f(b)≥f(c)的映射f的個(gè)數(shù)是4． 答案：4 反思：對(duì)于這類有條件的映射問題，求解時(shí)要注意考慮周到，注意分情況討論，切勿遺漏情況． 【例3】已知A＝{1,2,3,4}，B＝{6,7}，則以A為定義域，B為值域的不同函數(shù)的個(gè)數(shù)為__________． 解析：當(dāng)A中有三個(gè)元素對(duì)應(yīng)B中元素6時(shí)，另一個(gè)元素必須對(duì)應(yīng)B中元素7，這樣可組成4個(gè)滿足題意的不同函數(shù)； 當(dāng)A中有三個(gè)元素對(duì)應(yīng)

7、B中元素7時(shí)，另一個(gè)元素必須對(duì)應(yīng)B中元素6，這樣可組成4個(gè)滿足題意的不同函數(shù)； 當(dāng)A中有兩個(gè)元素對(duì)應(yīng)B中元素6時(shí)，剩下兩個(gè)元素必對(duì)應(yīng)7，這樣可組成6個(gè)滿足題意的函數(shù)． 所以共可組成4＋4＋6＝14(個(gè))不同函數(shù)． 答案：14 反思：求解此題要特別注意集合B必須為函數(shù)的值域的特別要求，它實(shí)際是要求集合B恰好是集合A中的所有元素所對(duì)應(yīng)的元素組成的． 題型三 映射的應(yīng)用 【例4】為了增加破譯密文的難度，有一種密碼把英文的明文按兩個(gè)字母一組分組，如果最后剩一個(gè)字母，則任意添一個(gè)字母，拼成一組． 例如I am your friend添一個(gè)o，分組為：Ia my ou rf ri en d

8、o，得到 ，，，，，，． 其中9表示I在26個(gè)英文字母中的序號(hào)，1表示a在26個(gè)英文字母中的序號(hào)，依此類推，然后用一個(gè)公式，比如：?來進(jìn)行變換． 由?＝， 2126＝0余21,21對(duì)應(yīng)字母u,1326＝0余13,13對(duì)應(yīng)字母m，即Ia變成um． 將變成x′＝213＋325＝101除以26得余數(shù)為23，即w； y′＝13＋425＝113除以26得余數(shù)為9，即i． 試按上述方法及變換公式將明文I am your friend寫成密文． 解：因26的倍數(shù)除以26所得的余數(shù)為0，英文字母中沒有與0對(duì)應(yīng)的字母，故令與0對(duì)應(yīng)的字母為z． ?＝，即ou不變； ?＝，即rf變成bp； ?

9、＝，即ri變成kb； ?＝，即en變成zi； ?＝，即do變成al． 故密文為umwioubpkbzial． 反思：密碼學(xué)問題涉及到很多的知識(shí)，上面的例題只是一種很簡(jiǎn)單的形式，也是一類很好的映射應(yīng)用問題，解決此類問題既要讀懂題意，又要看準(zhǔn)對(duì)應(yīng)法則，按照題目的引例進(jìn)行計(jì)算． 1下圖中表示的是從集合X到集合Y的對(duì)應(yīng)，其中能構(gòu)成映射的是__________． 解析：圖象中必須滿足對(duì)于x的每一個(gè)值，y都有惟一的值與之對(duì)應(yīng)． 答案：① 2若A＝{(x，y)|x∈Z，|x|＜2，y∈N*，x＋y＜3}，B＝{0,1,2}，從A到B的對(duì)應(yīng)關(guān)系f：(x，y)→x＋y，說明f是A到B的映

10、射，并畫出對(duì)應(yīng)圖，指出B中的元素2與A中的哪個(gè)元素對(duì)應(yīng)． 分析：按照映射的定義，對(duì)于集合A中的每一元素，在集合B中都要有惟一的元素與它對(duì)應(yīng)，但要注意集合A中的多個(gè)元素是可以對(duì)應(yīng)于B中的同一個(gè)元素的． 解：集合A的元素共有六個(gè)，用列舉法表示為{(－1,2)，(－1,3)，(－1,1)，(0,1)，(0,2)，(1,1)}．對(duì)應(yīng)圖如下圖所示：∵集合A中的每一元素，集合B中都有惟一的元素與之對(duì)應(yīng)，∴f是A到B的映射． 2與A中對(duì)應(yīng)的元素有三個(gè)， 即(－1,3)、(0,2)、(1,1)． 3(1)已知集合A＝{a1，a2}，B＝{b1，b2}，試問從集合A到集合B的所有不同的映射有多少個(gè)

11、？ (2)已知集合A＝{a1，a2}，B＝{b1，b2，b3}，試問從集合A到集合B的所有不同的映射有多少個(gè)？ 分析：當(dāng)所給集合中的元素?cái)?shù)目不大時(shí)，可直接用圖示的方法展現(xiàn)所有不同的映射；若不然，可采用分析的方法解之． 解：(1)用圖示的方法可以清楚地看到從A到B能建立4個(gè)不同的映射(見下圖)． (2)分A中元素對(duì)應(yīng)B中同一元素和A中元素對(duì)應(yīng)B中不同元素兩種情況考慮．A中2個(gè)元素對(duì)應(yīng)B中相同元素的對(duì)應(yīng)有3個(gè)，這時(shí)有3個(gè)不同的映射；A中2個(gè)元素同時(shí)對(duì)應(yīng)B中2個(gè)不同的元素的對(duì)應(yīng)有6個(gè)，這時(shí)有6個(gè)不同的映射．所以，集合A到集合B的所有不同的映射一共有9個(gè)． 已知集合A＝R，B＝{(x，y

12、)|x，y∈R}，f：A→B是A到B的映射，規(guī)定為：f：x→(x＋1，x2＋1)，試求在B中的對(duì)應(yīng)元素及在A中的對(duì)應(yīng)元素． 解：由條件知當(dāng)x＝時(shí)，x＋1＝＋1，x2＋1＝3． 所以在B中的對(duì)應(yīng)元素為(＋1,3)； 再由得x＝， 說明點(diǎn)在A中的對(duì)應(yīng)元素為． 5已知集合A到集合B＝的映射是f：x→，那么集合A中的元素最多有幾個(gè)？并寫出元素最多時(shí)的集合A． 解：∵f是映射， ∴A中的每一個(gè)元素在B中都有惟一元素與它對(duì)應(yīng)，但≠0， ∴0在集合A中不存在元素與它對(duì)應(yīng)． 當(dāng)＝1時(shí)，得x＝2； 當(dāng)＝時(shí)，得x＝3； 當(dāng)＝時(shí)，得x＝4． ∴A中元素最多只能有6個(gè)， 即A＝{－4，－3，－2,2,3,4}． 6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375