一輪優(yōu)化探究理數(shù)蘇教版練習(xí):第九章 第九節(jié) 曲線與方程 Word版含解析

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1、 高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料 2019.5 一、填空題 1.長度為定值a的線段,兩端點分別在x軸,y軸上移動,則線段中點P的軌跡方程是________. 解析:設(shè)線段在x軸、y軸上的端點分別為A(xA,0),B(0,yB),線段AB的中點P的坐標(biāo)為(x,y), 由中點坐標(biāo)公式,得x=, y=,則xA=2x,yB=2y,又|AB|=a, 所以==a,即x2+y2=()2,即線段中點P的軌跡方程是x2+y2=()2. 答案:x2+y2=()2 2.已知點F(,0),直線l:x=-,點B是l上的動點.若過B垂直于y軸的直

2、線與線段BF的垂直平分線交于點M,則點M的軌跡是________. 解析:由已知:|MF|=|MB|.由拋物線定義知,點M的軌跡是以F為焦點,l為準(zhǔn)線的拋物線. 答案:拋物線 3.已知直線l:y=kx+1與圓C:(x-2)2+(y-3)2=1相交于A、B兩點,則弦AB的中點M的軌跡方程為________. 解析:直線l與y軸的交點為N(0,1),圓心C(2,3), 設(shè)M(x,y),∵MN與MC所在直線垂直, ∴·=-1(x≠0且x≠2), 當(dāng)x=0時不符合題意,當(dāng)x=2時,y=3符合題意, ∴AB中點的軌跡方程為: x2+y2-2x-4y+3=0(<x<

3、). 答案:x2+y2-2x-4y+3=0(<x<) 4.設(shè)圓(x+1)2+y2=25的圓心為C,A(1,0)是圓內(nèi)一定點,Q為圓周上任一點,線段AQ的垂直平分線與CQ的連線交于點M,則M的軌跡方程為________. 解析:M為AQ垂直平分線上一點,則 |AM|=|MQ|, ∴|MC|+|MA|=|MC|+|MQ|=|CQ|=5, ∴點M的軌跡是以C、A為焦點的橢圓. ∴a=,c=1,則b2=a2-c2=, ∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為+=1. 答案:+=1 5.已知定點F1、F2和動點P滿足|-|=2,|+|=4,則點P的軌跡為________. 解析:以F1F2所

4、在直線為x軸,以F1F2的垂直平分線為y軸,建立直角坐標(biāo)系如圖. ∵|-|=||=2, ∴F1(-1,0),F(xiàn)2(1,0). 設(shè)P(x,y),則=(-1-x,-y), =(1-x,-y), ∴+=(-2x,-2y). ∴|+|==4,即x2+y2=4. ∴點P的軌跡是圓. 答案:圓 6.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點P到點F(3,0)的距離的4倍與它到直線x=2的距離的3倍之和記為d,當(dāng)點P運動時,d恒等于點P的橫坐標(biāo)與18之和,則點P的軌跡C是____________________________________________. 解析:設(shè)點P的坐標(biāo)為(x,y), 則d

5、=4+3|x-2|,由題設(shè)知, d=18+x,即4+3|x-2|=18+x.① 當(dāng)x>2時,由①得=6-x, 化簡得+=1. 當(dāng)x≤2時,由①得=3+x, 化簡得y2=12x. 故點P的軌跡C是由橢圓C1:+=1在直線x=2的右側(cè)部分與拋物線C2:y2=12x在直線x=2的左側(cè)部分(包括它與直線x=2的交點)所組成的曲線. 答案:由橢圓C1:+=1在直線x=2的右側(cè)部分與拋物線C2:y2=12x在直線x=2的左側(cè)部分(包括它與直線x=2的交點)所組成的曲線 7.△ABC中,A為動點,B、C為定點,B(-,0),C(,0),且滿足條件sin C-sin B=sin A,則動

6、點A的軌跡方程是________. 解析:由正弦定理:-=×, ∴|AB|-|AC|=|BC|,且為雙曲線的右支. ∴動點A的軌跡方程為-=1(x>0且y≠0). 答案:-=1(x>0且y≠0) 8.平面內(nèi)與定點(-1,2)和直線3x+4y-5=0的距離相等的點的軌跡是________. 解析:∵(-1,2)在直線3x+4y-5=0上, ∴軌跡是過定點(-1,2)且垂直于3x+4y-5=0的直線. 答案:直線 9.已知定點A(2,0),它與拋物線y2=x上的動點P連線的中點M的軌跡方程是________. 解析:設(shè)P(x1,y1),M(x,y),則y=

7、x1.① 又M為AP中點, ∴, ∴代入①得 (2y)2=2x-2,即y2=(x-1). 答案:y2=(x-1) 二、解答題 10.已知拋物線y2=2x,O為頂點,A、B為拋物線上兩動點,且滿足OA⊥OB,如果OM⊥AB,垂足為M,求M點的軌跡. 解析:解法一 設(shè)直線OA的方程為y=kx, 則直線OB的方程為y=-x. 由得k2x2=2x,則x=0或x=, ∴A點坐標(biāo)為(,),將A點坐標(biāo)中的k換為-, 可得B點坐標(biāo)(2k2,-2k), 則直線AB的方程為y+2k=(x-2k2), 即y=(x-2).① 又直線OM的方程為y=x,② ①×②整理得(x-1

8、)2+y2=1(x≠0) 所求軌跡為以(1,0)為圓心,半徑為1的圓(去掉原點). 解法二 求直線AB的方程同解法一.直線AB過N(2,0)點,因此△OMN為直角三角形, ∴點M在以O(shè)N為直徑的圓上運動,點M的軌跡方程為(x-1)2+y2=1(x≠0). 11.已知曲線C:y=x2與直線l:x-y+2=0交于兩點A(xA,yA)和B(xB,yB),且xA<xB.記曲線C在點A和點B之間那一段L與線段AB所圍成的平面區(qū)域(含邊界)為D.設(shè)點P(s,t)是L上的任一點,且點P與點A和點B均不重合. 若點Q是線段AB的中點,試求線段PQ的中點M的軌跡方程. 解析: 如圖所示,由題

9、意得A(-1,1),B(2,4),Q(,),-1<s<2. 設(shè)線段PQ的中點M的坐標(biāo)為(x,y),則 ∴ 又P(s,t)在曲線y=x2上, ∴t=s2(-1<s<2). 即2y-=(2x-)2(-1<2x-<2), 整理得y=2x2-x+(-<x<). ∴線段PQ的中點M的軌跡方程為: y=2x2-x+(-<x<). 12.設(shè)動圓M滿足條件p:經(jīng)過點F(,0),且與直線l:x=-相切.記動圓圓心M的軌跡為C. (1)求軌跡C的方程; (2)已知點M1為軌跡C上縱坐標(biāo)為m的點,以M1為圓心滿足條件p的圓與x軸相交于

10、點F、A(A在F的右側(cè)),又直線AM1與軌跡C相交于兩個不同點M1、M2,當(dāng)OM1⊥OM2(O為坐標(biāo)原點)時,求直線M1M2的斜率. 解析:(1)由題意可知點M到點F(,0)的距離與點M到直線x=-的距離相等, ∴點M的軌跡C是以點F為焦點,以l為準(zhǔn)線的拋物線, 故所求軌跡C的方程為y2=2x. (2)∵M1在拋物線y2=2x上, ∴M1的坐標(biāo)為(,m), 則點A的坐標(biāo)為(m2-,0), 又點A在點F的右側(cè),∴必有m2->,即m2>1, ∴直線AM1的方程為y=(x-m2+). 設(shè)M1(x1,y1),M2(x2,y2), 由 ?y2-y+=0,顯然Δ>0, ∴y1+y2=,y1y2=1-2m2, ∴x1x2=(y1y2)2=, 當(dāng)OM1⊥OM2時, 有·=0,即x1x2+y1y2=0, ∴+1-2m2=(1-2m2)(+1)=0. 又m2>1,∴m2=,m=±, 此時M1的坐標(biāo)為(,±),則點A的坐標(biāo)為(2,0), ∴直線M1M2的斜率為k==±.

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