一輪創(chuàng)新思維文數(shù)人教版A版練習(xí):第七章 第二節(jié) 簡單幾何體的表面積與體積 Word版含解析

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1、 高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料 2019.5 課時(shí)規(guī)范練 A組 基礎(chǔ)對點(diǎn)練 1.體積為8的正方體的頂點(diǎn)都在同一球面上,則該球的表面積為(  ) A.12π        B.π C.8π D.4π 解析:由正方體的體積為8可知,正方體的棱長a=2.又正方體的體對角線是其外接球的一條直徑,即2R=a(R為正方體外接球的半徑),所以R=,故所求球的表面積S=4πR2=12π. 答案:A 2.平面α截球O的球面所得圓的半徑為1,球心O到平面α的距離為,則此球的體積為(  ) A.π B.4π C.4π D.6π 解

2、析:設(shè)球的半徑為R,由球的截面性質(zhì)得R==,所以球的體積V=πR3=4π. 答案: B 3.已知一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為(  ) A. B. C. D. 解析:該幾何體由一個(gè)三棱錐和一個(gè)三棱柱組合而成,直觀圖如圖所示, V=V柱+V錐=(1+1)12+(1+1)12=,故選C. 答案:C 4.如圖,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,粗線(實(shí)線和虛線)表示的是某幾何體的三視圖,則該幾何體外接球的表面積為(  ) A.24π B.29π C.48π D.58π 解析:如圖,在324的長方體中構(gòu)造符合題意的幾何體(三棱錐ABCD),其外接球

3、即為長方體的外接球,表面積為4πR2=π(32+22+42)=29π. 答案:B 5.(20xx西安質(zhì)量檢測)某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為(  ) A. B. C. D.3 解析:根據(jù)幾何體的三視圖,得該幾何體是下部為直三棱柱,上部為三棱錐的組合體,如圖所示,則該幾何體的體積是V幾何體=V三棱柱+V三棱錐=211+211=.故選A. 答案:A 6.(20xx山西四校聯(lián)考)若三棱錐PABC的最長的棱PA=2,且各面均為直角三角形,則此三棱錐的外接球的體積是________. 解析:如圖,根據(jù)題意,可把該三棱錐補(bǔ)成長方體,則該三棱錐的外接球即該長方體的

4、外接球,易得外接球的半徑R=PA=1,所以該三棱錐的外接球的體積V=π13=π. 答案:π 7.已知矩形ABCD的頂點(diǎn)都在半徑為2的球O的球面上,且AB=3,BC=,過點(diǎn)D作DE垂直于平面ABCD,交球O于E,則棱錐EABCD的體積為________. 解析:如圖所示,BE過球心O,∴DE==2, ∴VE-ABCD=32=2. 答案:2 8.已知H是球O的直徑AB上一點(diǎn),AH∶HB=1∶2,AB⊥平面α,H為垂足,α截球O所得截面的面積為π,則球O的表面積為________. 解析:如圖,設(shè)截面小圓的半徑為r,球的半徑為R,因?yàn)锳H∶HB=1∶2,所以O(shè)H=R.由勾

5、股定理,有R2=r2+OH2,又由題意得πr2=π,則r=1,故R2=1+(R)2,即R2=.由球的表面積公式,得S=4πR2=. 答案: 9.(20xx高考全國卷Ⅱ)如圖,菱形ABCD的對角線AC與BD交于點(diǎn)O,點(diǎn)E,F(xiàn)分別在AD,CD上,AE=CF,EF交BD于點(diǎn)H.將△DEF沿EF折到△D′EF的位置. (1)證明:AC⊥HD′; (2)若AB=5,AC=6,AE=,OD′=2,求五棱錐D′ABCFE的體積. 解析:(1)證明:由已知得AC⊥BD,AD=CD. 又由AE=CF得=,故AC∥EF. 由此得EF⊥HD,EF⊥HD′,所以AC⊥HD′. (2)由EF∥AC得

6、==. 由AB=5,AC=6得DO=BO==4. 所以O(shè)H=1,D′H=DH=3. 于是OD′2+OH2=(2)2+12=9=D′H2, 故OD′⊥OH. 由(1)知,AC⊥HD′,又AC⊥BD,BD∩HD′=H, 所以AC⊥平面BHD′,于是AC⊥OD′. 又由OD′⊥OH,AC∩OH=O,所以O(shè)D′⊥平面ABC. 又由=得EF=. 五邊形ABCFE的面積S=68-3=. 所以五棱錐D′ABCFE的體積V=2=. 10.如圖,在四棱錐SABCD中,四邊形ABCD為矩形,E為SA的中點(diǎn),SA=SB=2,AB=2,BC=3. (1)證明:SC∥平面BDE; (2)若B

7、C⊥SB,求三棱錐CBDE的體積. 解析:(1)證明:連接AC,設(shè)AC∩BD=O, ∵四邊形ABCD為矩形,則O為AC的中點(diǎn). 在△ASC中,E為AS的中點(diǎn),∴SC∥OE, 又OE?平面BDE,SC?平面BDE,∴SC∥平面BDE. (2)∵BC⊥AB,BC⊥SB,AB∩SB=B, ∴BC⊥平面SAB,又BC∥AD,∴AD⊥平面SAB. ∵SC∥平面BDE, ∴點(diǎn)C與點(diǎn)S到平面BDE的距離相等, ∴VCBDE=VSBDE=VDSBE, 在△ABS中,SA=SB=2,AB=2, ∴S△ABS=21=. 又∵E為AS的中點(diǎn),∴S△BES=S△ABS=. 又點(diǎn)D

8、到平面BES的距離為AD, ∴VDBES=S△BESAD=3=, ∴VCBDE=,即三棱錐CBDE的體積為. B組 能力提升練 1.一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示,該幾何體外接球的表面積為(  ) A.36π B.π C.32π D.28π 解析:根據(jù)三視圖,可知該幾何體是一個(gè)四棱錐,其底面是一個(gè)邊長為4的正方形,高是2.將該四棱錐補(bǔ)形成一個(gè)三棱柱,如圖所示,則其底面是邊長為4的正三角形,高是4,該三棱柱的外接球即為原四棱錐的外接球.∵三棱柱的底面是邊長為4的正三角形,∴底面三角形的中心到該三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離為2=,∴外接球的半徑R= =,外接球的表面積S=4πR2=

9、4π=,故選B. 答案:B 2.(20xx廣州模擬)《九章算術(shù)》中,將底面為長方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱為陽馬;將四個(gè)面都為直角三角形的三棱錐稱為鱉臑.若三棱錐PABC為鱉臑,PA⊥平面ABC,PA=AB=2,AC=4,三棱錐PABC的四個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上,則球O的表面積為(  ) A.8π B.12π C.20π D.24π 解析:如圖,因?yàn)樗膫€(gè)面都是直角三角形,所以PC的中點(diǎn)到每一個(gè)頂點(diǎn)的距離都相等,即PC的中點(diǎn)為球心O,易得2R=PC=,所以R=,球O的表面積為4πR2=20π,選C. 答案:C 3.在封閉的直三棱柱ABCA1B1C1內(nèi)有一個(gè)體積為

10、V的球.若AB⊥BC,AB=6,BC=8,AA1=3,則V的最大值是(  ) A.4π B. C.6π D. 解析:由題意可得若V最大,則球與直三棱柱的部分面相切,若與三個(gè)側(cè)面都相切,可求得球的半徑為2,球的直徑為4,超過直三棱柱的高,所以這個(gè)球放不進(jìn)去,則球可與上下底面相切,此時(shí)球的半徑R=,該球的體積最大,Vmax=πR3==. 答案:B 4.四棱錐SABCD的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上,底面ABCD是正方形且和球心O在同一平面內(nèi),當(dāng)此四棱錐體積取得最大值時(shí),其表面積等于8+8,則球O的體積等于(  ) A. B. C.16π D. 解析:依題意,設(shè)球O的半徑為R,

11、四棱錐SABCD的底面邊長為a、高為h,則有h≤R,即h的最大值是R,又AC=2R,則四棱錐SABCD的體積VSABCD=2R2h≤.因此,當(dāng)四棱錐SABCD的體積最大,即h=R時(shí),其表面積等于(R)2+4R =8+8,解得R=2,因此球O的體積等于=,選A. 答案:A 5.多面體的三視圖如圖所示,則該多面體的體積為________cm3. 解析:由三視圖可知該幾何體是一個(gè)三棱錐,如圖所示,在三棱錐DABC中,底面ABC是等腰三角形,設(shè)底邊AB的中點(diǎn)為E,則底邊AB及底邊上的高CE均為4,側(cè)棱AD⊥平面ABC,且AD=4,所以三棱錐DABC的體積V=S△ABCAD=444

12、=(cm3). 答案: 6.已知正四棱錐OABCD的體積為,底面邊長為,則以O(shè)為球心,OA為半徑的球的表面積為________. 解析:過O作底面ABCD的垂線段OE(圖略),則E為正方形ABCD的中心.由題意可知()2OE=,所以O(shè)E=,故球的半徑R=OA==,則球的表面積S=4πR2=24π. 答案:24π 7.如圖,已知正三棱錐PABC的側(cè)面是直角三角形,PA=6.頂點(diǎn)P在平面ABC內(nèi)的正投影為點(diǎn)D,D在平面PAB內(nèi)的正投影為點(diǎn)E,連接PE并延長交AB于點(diǎn)G. (1)證明:G是AB的中點(diǎn); (2)在圖中作出點(diǎn)E在平面PAC內(nèi)的正投影F(說明作法及理由),并求四面體PD

13、EF的體積. 解析:(1)證明:因?yàn)镻在平面ABC內(nèi)的正投影為D,所以AB⊥PD. 因?yàn)镈在平面PAB內(nèi)的正投影為E,所以AB⊥DE. 因?yàn)镻D∩DE=D, 所以AB⊥平面PED,故AB⊥PG. 又由已知,可得PA=PB,所以G是AB的中點(diǎn). (2)在平面PAB內(nèi),過點(diǎn)E作PB的平行線交PA于點(diǎn)F,F(xiàn)即為E在平面PAC內(nèi)的正投影. 理由如下:由已知可得PB⊥PA,PB⊥PC,又EF∥PB,所以EF⊥PA,EF⊥PC.因此EF⊥平面PAC,即點(diǎn)F為E在平面PAC內(nèi)的正投影. 連接CG,因?yàn)镻在平面ABC內(nèi)的正投影為D,所以D是正三角形ABC的中心. 由(1)知,G是AB的中

14、點(diǎn),所以D在CG上,故CD=CG. 由題設(shè)可得PC⊥平面PAB,DE⊥平面PAB,所以DE∥PC,因此PE=PG,DE=PC. 由已知,正三棱錐的側(cè)面是直角三角形且PA=6,可得DE=2,PE=2. 在等腰直角三角形EFP中,可得EF=PF=2, 所以四面體PDEF的體積V=222=. 8.如圖所示,平行四邊形ABCD中,∠DAB=60,AB=2,AD=4.將△CBD沿BD折起到△EBD的位置,使平面EBD⊥平面ABD. (1)求證:AB⊥DE; (2)求三棱錐EABD的側(cè)面積和體積. 解析:(1)證明:在△ABD中,∵AB=2,AD=4,∠DAB=60, ∴BD==2

15、. ∴AB2+BD2=AD2,∴AB⊥BD. 又平面EBD⊥平面ABD,平面EBD∩平面ABD=BD,AB?平面ABD, ∴AB⊥平面EBD.又DE?平面EBD,∴AB⊥DE. (2)由(1)知AB⊥BD. ∵CD∥AB,∴CD⊥BD,從而DE⊥BD. 在Rt△DBE中,∵DB=2,DE=DC=AB=2, ∴S△EDB=DBDE=2. ∵AB⊥平面EBD,BE?平面EBD,∴AB⊥BE. ∵BE=BC=AD=4, ∴S△EAB=ABBE=4. ∵DE⊥BD,平面EBD⊥平面ABD, ∴ED⊥平面ABD,而AD?平面ABD, ∴ED⊥AD,∴S△EAD=ADDE=4. 綜上,三棱錐EABD的側(cè)面積S=S△EDB+S△EAB+S△EAD=8+2. ∵DE⊥平面ABD, 且S△ABD=S△EBD=2,DE=2, ∴VEABD=S△ABDDE=22=.

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