高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)學(xué)案訓(xùn)練課件北師大版理科: 第6章 不等式、推理與證明 第2節(jié) 基本不等式及其應(yīng)用學(xué)案 理 北師大版

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1、 高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料 2019.5 第二節(jié) 基本不等式及其應(yīng)用 [考綱傳真] (教師用書獨(dú)具)1.了解基本不等式的證明過程.2.會(huì)用基本不等式解決簡單的最大(小)值問題. (對應(yīng)學(xué)生用書第95頁) [基礎(chǔ)知識(shí)填充] 1.基本不等式:≤ (1)基本不等式成立的條件:a≥0,b≥0. (2)等號(hào)成立的條件:當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào). (3)其中稱為正數(shù)a,b的算術(shù)平均數(shù),稱為正數(shù)a,b的幾何平均數(shù),基本不等式可敘述為兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù). 2.幾個(gè)重要的不等式(注意逆應(yīng)用) (1)a2+

2、b2≥2ab(a,b∈R),當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào). (2)ab≤ (a,b∈R),當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào). (3)≥(a,b∈R),當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào). (4)+≥2(a,b同號(hào)),當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào). 3.利用基本不等式求最值 已知x≥0,y≥0,則 (1)如果積xy是定值p,那么當(dāng)且僅當(dāng)x=y(tǒng)時(shí),x+y有最小值是2(簡記:積定和最小). (2)如果和x+y是定值q那么當(dāng)且僅當(dāng)x=y(tǒng)時(shí),xy有最大值是(簡記:和定積最大). [知識(shí)拓展] 1.≤≤≤(a>0,b>0). 2.不等式的恒成立、能成立、恰成立問題 (1)恒成立問題:若f(x)在區(qū)間D上存在最小值,則

3、不等式f(x)>A在區(qū)間D上恒成立?f(x)min>A; 若f(x)在區(qū)間D上存在最大值,則不等式f(x)<B在區(qū)間D上恒成立?f(x)max<B. (2)能成立問題:若f(x)在區(qū)間D上存在最大值,則在區(qū)間D上存在實(shí)數(shù)x使不等式f(x)>A成立?f(x)max>A; 若f(x)在區(qū)間D上存在最小值,則在區(qū)間D上存在實(shí)數(shù)x使不等式f(x)<B成立?f(x)min<B. (3)恰成立問題:不等式f(x)>A恰在區(qū)間D上成立?f(x)>A的解集為D; 不等式f(x)<B恰在區(qū)間D上成立?f(x)<B的解集為D. [基本能力自測] 1.(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤.(正確的打“√”,

4、錯(cuò)誤的打“”) (1)兩個(gè)不等式a2+b2≥2ab與≥成立的條件是相同的.(  ) (2)(a+b)2≥4ab(a,b∈R).(  ) (3)兩個(gè)正數(shù)的等差中項(xiàng)不小于它們的等比中項(xiàng).(  ) (4)函數(shù)y=x+的最小值是2.(  ) (5)函數(shù)f(x)=cos x+,x∈的最小值等于4.(  ) (6)x>0且y>0是+≥2的充分不必要條件.(  ) [答案] (1) (2)√ (3)√ (4) (5) (6)√ 2.(教材改編)設(shè)x>0,y>0,且x+y=18,則xy的最大值為(  ) A.80       B.77 C.81 D.82 C [∵x>0,y>0,∴≥,即

5、xy≤=81,當(dāng)且僅當(dāng)x=y(tǒng)=9時(shí),(xy)max=81.] 3.已知f(x)=x+-2(x<0),則f(x)有(  ) A.最大值0 B.最小值0 C.最大值-4 D.最小值-4 C [∵x<0,∴f(x)=--2≤-2-2=-4,當(dāng)且僅當(dāng)-x=,即x=-1時(shí)取等號(hào). ∴f(x)有最大值-4.] 4.若函數(shù)f(x)=x+(x>2)在x=a處取最小值,則a等于(  ) A.1+ B.1+ C.3 D.4 C [當(dāng)x>2時(shí),x-2>0,f(x)=(x-2)++2≥2+2=4,當(dāng)且僅當(dāng)x-2=(x>2),即x=3時(shí)取等號(hào),即當(dāng)f(x)取得最小值時(shí),x=3,即a=3,選C.] 5

6、.若把總長為20 m的籬笆圍成一個(gè)矩形場地,則矩形場地的最大面積是__________m2. 25 [設(shè)矩形的一邊為x m,矩形場地的面積為y, 則另一邊為(20-2x)=(10-x)m, 則y=x(10-x)≤=25, 當(dāng)且僅當(dāng)x=10-x,即x=5時(shí),ymax=25.] (對應(yīng)學(xué)生用書第95頁) 利用基本不等式求最值  (1)已知a>0,b>0,且4a+b=1,則ab的最大值為________. (2)已知x<,則f(x)=4x-2+的最大值為________. (3)若正數(shù)x,y滿足x+3y=5xy,則3x+4y的最小值為________. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)

7、:79140194】 (1) (2)1 (3)5  [(1)法一:∵a>0,b>0,4a+b=1,∴1=4a+b≥2=4, 當(dāng)且僅當(dāng)4a=b=,即a=,b=時(shí),等號(hào)成立. ∴≤,∴ab≤.∴ab的最大值為. 法二:∵4a+b=1, ∴ab=4ab≤=, 當(dāng)且僅當(dāng)4a=b=,即a=,b=(滿足a>0,b>0)時(shí),等號(hào)成立,∴ab的最大值為. (2)因?yàn)閤<,所以5-4x>0, 則f(x)=4x-2+=-+3 ≤-2+3=-2+3=1. 當(dāng)且僅當(dāng)5-4x=,即x=1時(shí),等號(hào)成立. 故f(x)=4x-2+的最大值為1. (3)由x+3y=5xy可得+=1, ∴3x+4y=(

8、3x+4y) =+++≥+2=5(當(dāng)且僅當(dāng)=,即x=1,y=時(shí),等號(hào)成立), ∴3x+4y的最小值是5.] 規(guī)律方法] 利用基本不等式求最值的方法 利用基本不等式解決條件最值的關(guān)鍵是構(gòu)造和為定值或積為定值,主要有兩種思路: (1)對條件使用基本不等式,建立所求目標(biāo)函數(shù)的不等式求解.常用的方法有:拆項(xiàng)法、變系數(shù)法、湊因子法、換元法、整體代換法等. (2)條件變形,進(jìn)行“1”的代換求目標(biāo)函數(shù)最值. 易錯(cuò)警示:使用基本不等式求最值,“一正”“二定”“三相等”三個(gè)條件缺一不可. [跟蹤訓(xùn)練] (1)(20xx東北三省四市模擬(一))已知a>0,b>0,則的最小值為(  ) A.   

9、   B.1 C.2 D.4 (2)(20xx山東高考)若直線+=1(a>0,b>0)過點(diǎn)(1,2),則2a+b的最小值為________. (3)(20xx四川樂山一中月考)設(shè)0<x<,則函數(shù)y=4x(3-2x)的最大值為________. (1)D (2)8 (3) [(1)=a+2b+≥2=4,當(dāng)且僅當(dāng)a+2b=,即a+2b=2時(shí)等號(hào)成立,則的最小值為4.故選D. (2)∵直線+=1(a>0,b>0)過點(diǎn)(1,2), ∴+=1, ∴2a+b=(2a+b)=4++≥4+2=8, 當(dāng)且僅當(dāng)=,即a=2,b=4時(shí),等號(hào)成立. 故2a+b的最小值為8. (3)y=4x(3-2

10、x)=2[2x(3-2x)]≤2=,當(dāng)且僅當(dāng)2x=3-2x,即x=時(shí),等號(hào)成立. ∵∈, ∴函數(shù)y=4x(3-2x)的最大值為.] 基本不等式的實(shí)際應(yīng)用  某化工企業(yè)年底將投入100萬元,購入一套污水處理設(shè)備.該設(shè)備每年的運(yùn)轉(zhuǎn)費(fèi)用是0.5萬元,此外每年都要花費(fèi)一定的維護(hù)費(fèi),第一年的維護(hù)費(fèi)為2萬元,由于設(shè)備老化,以后每年的維護(hù)費(fèi)都比上一年增加2萬元.設(shè)該企業(yè)使用該設(shè)備x年的年平均污水處理費(fèi)用為y(單位:萬元). (1)用x表示y; (2)當(dāng)該企業(yè)的年平均污水處理費(fèi)用最低時(shí),企業(yè)需重新更換新的污水處理設(shè)備.則該企業(yè)幾年后需要重新更換新的污水處理設(shè)備. [解] (1)由

11、題意得, y=, 即y=x++1.5(x∈N+). (2)由基本不等式得: y=x++1.5≥2+1.5=21.5, 當(dāng)且僅當(dāng)x=,即x=10時(shí)取等號(hào). 故該企業(yè)10年后需要重新更換新的污水處理設(shè)備. [易錯(cuò)警示] 解實(shí)際應(yīng)用題的三個(gè)注意點(diǎn) (1)設(shè)變量時(shí)一般要把求最大值或最小值的變量定義為函數(shù). (2)根據(jù)實(shí)際問題抽象出函數(shù)的解析式后,只需利用基本不等式求得函數(shù)的最值. (3)在求函數(shù)的最值時(shí),一定要在定義域(使實(shí)際問題有意義的自變量的取值范圍)內(nèi)求解. [跟蹤訓(xùn)練] 要制作一個(gè)容積為4 m3,高為1 m的無蓋長方體容器.已知該容器的底面造價(jià)是每平方米20元,側(cè)面造價(jià)是

12、每平方米10元,則該容器的最低總造價(jià)是(  ) A.80元 B.120元 C.160元 D.240元 C [設(shè)底面相鄰兩邊的邊長分別為x m,y m,總造價(jià)為T元,則xy1=4?xy=4. T=420+(2x+2y)110=80+20(x+y)≥80+202=80+204=160(當(dāng)且僅當(dāng)x=y(tǒng)時(shí)取等號(hào)). 故該容器的最低總造價(jià)是160元.] 利用基本不等式求參數(shù)的取值范圍  (1)(20xx河南平頂山一模)若對任意x>0,≤a恒成立,則a的取值范圍是(  ) A.a(chǎn)≥ B.a(chǎn)> C.a(chǎn)< D.a(chǎn)≤ (2)已知函數(shù)f(x)=4x+(x>0,a>0)在x=3時(shí)取得

13、最小值,則a=________. (1)A (2)36 [(1)∵對任意x>0,≤a恒成立, ∴對x∈(0,+∞),a≥max, 而對x∈(0,+∞),=≤=, 當(dāng)且僅當(dāng)x=時(shí)等號(hào)成立,∴a≥. (2)∵x>0,a>0, ∴f(x)=4x+≥2=4, 當(dāng)且僅當(dāng)4x=,即4x2=a時(shí),f(x)取得最小值. 又∵f(x)在x=3時(shí)取得最小值, ∴a=432=36.] [規(guī)律方法] 求解含參數(shù)不等式的求解策略 (1)觀察題目特點(diǎn),利用基本不等式確定相關(guān)成立條件,從而得參數(shù)的值或取值范圍. (2)在處理含參數(shù)的不等式恒成立問題時(shí),往往將已知不等式看作關(guān)于參數(shù)的不等式,體現(xiàn)了主元

14、與次元的轉(zhuǎn)化. [跟蹤訓(xùn)練] (1)已知不等式(x+y)≥9對任意的正實(shí)數(shù)x,y恒成立,則正實(shí)數(shù)a的最小值為(  ) A.2 B.4 C.6 D.8 (2)已知正數(shù)x,y滿足x+2≤λ(x+y)恒成立,則實(shí)數(shù)λ的最小值為________. 【導(dǎo)學(xué)號(hào):79140195】 (1)B (2)2 [(1)(x+y)=1+a++≥1+a+2=(+1)2(x,y,a>0),當(dāng)且僅當(dāng)y=x時(shí)取等號(hào),所以(x+y)的最小值為(+1)2,于是(+1)2≥9恒成立.所以a≥4,故選B. (2)依題意得x+2≤x+(x+2y)=2(x+y),即≤2(當(dāng)且僅當(dāng)x=2y時(shí)取等號(hào)),即的最大值為2.又λ≥,因此有λ≥2,即λ的最小值為2.]

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