高考數學理二輪復習練習：第2部分 必考補充專題 數學文化專項練2 Word版含答案

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1、 高考數學精品復習資料 2019.5 數學文化專項練(二) (對應學生用書第121頁) 1．我國古代數學名著《九章算術》有“米谷粒分”題：糧倉開倉收糧，有人送來米1 534石，驗得米內夾谷，抽樣取米一把，數是254粒內夾谷28粒，則這批米內夾谷約為(　　) A．134石　 B．169石 C．338石 D．1 365石 B　[抽樣比是，那么1 534石米夾谷1 534×≈169(石)， 故選B.] 2．(20xx·福建4月教學質量檢測)朱世杰是歷史上最偉大的數學家之一，他所著的《四元玉鑒》卷中“

2、如像招數”五問中有如下問題：“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤．只云初日差六十四人，次日轉多七人．每人日支米三升，共支米四百三石九斗二升，問筑堤幾日．”其大意為：“官府陸續(xù)派遣1 864人前往修筑堤壩．第一天派出64人，從第二天開始，每天派出的人數比前一天多7人．修筑堤壩的每人每天分發(fā)大米3升，共發(fā)出大米40 392升，問修筑堤壩多少天．”在這個問題中，第5天應發(fā)大米(　　) A．894升 B．1 170升 C．1 275升 D．1 467升 B　[由題意，知每天派出的人數構成首項為64，公差為7的等差數列，則第5天的總人數為5×64＋×7＝390，所以第5天應發(fā)大米

3、390×3＝1 170升， 故選B.] 3．《算數書》竹簡于20世紀八十年代在湖北省江陵縣張家山出土，這是我國現存最早的有系統(tǒng)的數學典籍，其中記載有求“囷蓋”的術：“置如其周，令相乘也．又以高乘之，三十六成一”．該術相當于給出了由圓錐的底面周長L與高h，計算其體積V的近似公式V≈l2h.它實際上是將圓錐體積公式中的圓周率π近似取3.那么，近似公式V≈l2h相當于將圓錐體積公式中的π近似取為(　　) 【導學號：07804142】 A. B． C. D． B　[設圓錐的底面圓半徑為r，則圓錐的底面圓周長L＝2πr，所以圓錐底面圓的半徑r＝，則圓錐的體積為V＝Sh＝πr2h＝π

4、·h＝L2h.又V≈L2h，所以L2h≈L2h，解得π≈.] 4．(20xx·福建三明5月質檢)“牟合方蓋”是我國古代數學家劉徽在研究球的體積的過程中構造的一個和諧優(yōu)美的幾何體，它由完全相同的四個曲面構成，相對的兩個曲面在同一圓柱的側面上，好似兩個扣合(牟合)在一起的方形傘(方蓋)．如圖1，正方形ABCD是為體現其直觀性所作的輔助線，若該幾何體的正視圖與側視圖都是半徑為r的圓，根據祖暅原理，可求得該幾何體的體積為(　　) 圖1 A.r3 B．πr3 C.r3 D．πr3 C　[由題意，根據祖暅原理，求得該幾何體的體積與中截面面積為(2r)2＝πR2的球的體積相

5、等，所以幾何體的體積為πR3＝×4r2×r＝r3.] 5．(20xx·四川瀘州四診)《孫子算經》是我國古代內容極為豐富的數學名著，其中一個問題的解答可以用如圖2的算法來實現，若輸入的S，T的值分別為40,126，則輸出a，b的值分別為(　　) 圖2 A．17,23 B．21,21 C．19,23 D．20,20 A　[依據流程圖運行程序：S＝40，T＝126，此時T≥2S成立，(T－2S)÷2＝46÷2＝23，余數為0，則b＝＝23，a＝S－b＝40－23＝17，輸出a，b結束程序運行． 綜上可得輸出a，b的值分別為17,23.

6、] 6．(20xx·廣州一模)《九章算術》中，將底面為長方形且有一條側棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬；將四個面都為直角三角形的三棱錐稱之為鱉臑．若三棱錐P­ABC為鱉臑，PA⊥平面ABC，PA＝AB＝2，AC＝4，三棱錐P­ABC的四個頂點都在球O的球面上，則球O的表面積為(　　) A．8π B．12π C．20π D．24π C　[法一：(還原幾何法)將三棱錐P­ABC放入長方體中，如圖，三棱錐P­ABC的外接球就是長方體的外接球．因為PA＝AB＝2，AC＝4，△ABC為直角三角形，所以BC＝＝2.設外接球的半徑為R，依題意可得(2R

7、)2＝22＋22＋(2)2＝20，故R2＝5，則球O的表面積為4πR2＝20π，選C. 法二：(直接法)利用鱉臑的特點求解，如圖，因為四個面都是直角三角形，所以PC的中點到每一個頂點的距離都相等，即PC的中點為球心O，易得2R＝PC＝，所以球O的表面積為4πR2＝20π，選C.] 7．《九章算術》是我國古代著名數學經典，其中對勾股定理的論術比西方早一千多年，其中有這樣一個問題：“今有圓材埋在壁中，不知大??；以鋸鋸之，深一寸，鋸道長一尺．問徑幾何？”其意為：今有一圓柱形木材，埋在墻壁中，不知其大小，用鋸去鋸該材料，鋸口深1寸，鋸道長1尺．問這塊圓柱形木料的直徑是多少？長為1丈的圓柱形木材部分

8、鑲嵌在墻體中，截面圖如圖3所示(陰影部分為鑲嵌在墻體內的部分)，已知弦AB＝1尺，弓形高CD＝1寸，估算該木材鑲嵌在墻中的體積約為(注：1丈＝10尺，1尺＝10寸，π≈3.14，sin 22.5°≈)(　　) 圖3 A．600立方寸 B．610立方寸 C．620立方寸 D．633立方寸 D　[連接OA，OB，OD，設⊙O的半徑為R，則(R－1)2＋52＝R2，∴R＝13.sin∠AOD＝＝. ∴∠AOD≈22.5°，即∠AOB≈45°.故∠AOB≈.∴S弓形ACB＝S扇形OACB－S△OAB＝××169－×10×

9、;12≈6.33(平方寸)，則V＝633(立方寸)，故選D.] 8．(20xx·石家莊一模)祖暅是南北朝時代的偉大數學家，5世紀末提出體積計算原理，即祖暅原理：“冪勢既同，則積不容異”．意思是：夾在兩個平行平面之間的兩個幾何體，被平行于這兩個平面的任何一個平面所截，如果截面面積都相等，那么這兩個幾何體的體積一定相等．現有以下四個幾何體：圖4①是從圓柱中挖去一個圓錐所得的幾何體，圖4②、圖4③、圖4④分別是圓錐、圓臺和半球，則滿足祖暅原理的兩個幾何體為(　　) 圖4 A．①② B．①③ C．②④ D．①④ D　[設截面與底面的距離為h，則①中截面內圓的半徑為h，則截面圓環(huán)

10、的面積為π(R2－h(huán)2)；②中截面圓的半徑為R－h(huán)，則截面圓的面積為π(R－h(huán))2；③中截面圓的半徑為R－，則截面圓的面積為π2；④中截面圓的半徑為，則截面圓的面積為π(R2－h(huán)2)．所以①④中截面的面積相等，故其體積相等，選D.] 9．(20xx·湖北七市聯考)秦九韶是我國南宋時期的數學家，他在所著的《數書九章》中提出的多項式求值的秦九韶算法，至今仍是比較先進的算法．如圖5所示的程序框圖給出了利用秦九韶算法求某多項式值的一個實例，若輸入n，x的值分別為3,4，則輸出的v的值為(　　) 【導學號：07804143】 圖5 A．6 B．25 C．100 D．400 C　

11、[輸入n＝3，x＝4，第一步：v＝1，i＝3－1＝2；第二步：v＝1×4＋2＝6，i＝2－1＝1；第三步：v＝6×4＋1＝25，i＝1－1＝0；第四步：v＝25×4＝100，i＝0－1＝－1＜0.程序結束，輸出的v＝100，故選C.] 10．假設“嫦娥四號”衛(wèi)星將沿地月轉移軌道飛向月球后，在月球附近一點P變軌進入月球球心F為一個焦點的橢圓軌道Ⅰ繞月飛行，之后衛(wèi)星在P點第二次變軌進入仍以F為一個焦點的橢圓軌道Ⅱ繞月飛行．若用2c1和2c2分別表示橢圓軌道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a1和2a2分別表示橢圓軌道Ⅰ和Ⅱ的長軸長，給出下列式子： 圖6 ①a1＋c1＝a2＋

12、c2；②a1－c1＝a2－c2；③＜； ④c1a2＞a1c2. 其中正確的式子的序號是(　　) A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ D　[①由題圖知2a1＞2a2,2c1＞2c2；即a1＞a2，c1＞c2，∴a1＋c1＞a2＋c2，∴①不正確． ②∵a1－c1＝|PF|，a2－c2＝|PF|，∴a1－c1＝a2－c2，∴②正確． ③∵c1a2＞a1c2，a1＞0，a2＞0， ∴＞.即＞，∴③不正確． ④∵a1＞a2＞0，c1＞c2＞0.∴a＞a，c＞c， 又∵a1－c1＝a2－c2.即a1＋c2＝a2＋c1，即a＋c＋2a1c2＝a＋c＋2a2c1. ∴a－c＋c－a＋

13、2a1c2＝2a2c1，即(a1－c1)(a1＋c1)－(a2－c2)(a2＋c2)＋2a1c2＝2a2c1，整理得(a1－c1)(a1－a2＋c1－c2)＋2a1c2＝2a2c1，∵a1＞c1，a1＞a2，c1＞c2， ∴2a1c2＜2a2c1. 即c1a2＞a1c2，∴④正確．故選D.] 11．(20xx·湖北黃岡3月模擬)關于圓周率π，數學發(fā)展史上出現過許多很有創(chuàng)意的求法，如著名的蒲豐試驗和查理斯試驗．受其啟發(fā)，我們也可以通過設計下面的試驗來估計π的值：先請200名同學，每人隨機寫下一個都小于1的正實數對(x，y)，再統(tǒng)計兩數能與1構成鈍角三角形三邊的數對(x，y)的個數

14、m；最后再根據統(tǒng)計數m來估計π的值，假如統(tǒng)計結果是m＝56，那么可以估計π≈________.(用分數表示) 　[由題意得，所以＝，＝π－，π＝.] 12．(20xx·江西4月新課程教學質量檢測)我國古代，9是數字之極，代表尊貴之意，所以中國古代皇家建筑中包含許多與9相關的設計．例如，北京天壇圓丘的底面由扇環(huán)形的石板鋪成(如圖7)，最高一層是一塊天心石，圍繞它的第一圈有9塊石板，從第二圈開始，每一圈比前一圈多9塊，共有9圈，則前9圈的石板總數是________． 圖7 405　[前9圈的石板數依次組成一個首項為9，公差為9的等差數列，S9＝9×9＋×9

15、＝405.] 13．(20xx·衡水三模)公元前3世紀，古希臘歐幾里得在《幾何原本》里提出：“球的體積(V)與它的直徑(D)的立方成正比”，此即V＝kD3，歐幾里得未給出k的值.17世紀日本數學家們對求球的體積的方法還不了解，他們將體積公式V＝kD3中的常數k稱為“立圓率”或“玉積率”．類似地，對于等邊圓柱(軸截面是正方形的圓柱)、正方體也可利用公式V＝kD3求體積(在等邊圓柱中，D表示底面圓的直徑；在正方體中，D表示棱長)．假設運用次體積公式求得球(直徑為a)、等邊圓柱(底面積的直徑為a)、正方體(棱長為a)的“玉積率”分別為k1，k2，k3，那么k1∶k2∶k3＝_______

16、_. ∶∶1　[由題意得，球的體積為V1＝πR3＝π＝a3?k1＝； 等邊圓柱的體積為V2＝πR2a＝πa＝a3?k2＝； 正方體的體積V3＝a3?k3＝1，所以k1∶k2∶k3＝∶∶1.] 14．在我國南宋數學家楊輝所著的《詳解九章算法》(1261年)一書中，用如圖8(1)所示的三角形，解釋二項和的乘方規(guī)律．在歐洲直到1623年以后，法國數學家布萊士·帕斯卡的著作(1655年)介紹了這個三角形．近年來國外也逐漸承認這項成果屬于中國，所以有些書上稱這是“中國三角形”(Chinese triangle)，如圖8(1).17世紀德國數學家萊布尼茨發(fā)現了“萊布尼茨三角形”如圖8(2)．在楊輝三角中相鄰兩行滿足關系式：C＋C＝C，其中n是行數，r∈N.請類比上式，在萊布尼茨三角形中相鄰兩行滿足的關系式是________. 【導學號：07804144】 1　1 1　2　1 1　3　3　1 1　4　6　4　1 1　5　10　10　5　1 …… C　C…C…　CC 圖8(1) 　 　　 　　　 　　　　 　　　　　 … 　……　 圖8(2) ＝＋　[類比觀察得，將萊布尼茨三角形的每一行都能提出倍數，而相鄰兩項之和是上一行的兩者相拱之數，所以類比式子C＋C＝C，有＝＋.]