新課標(biāo)高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第10篇 離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望與方差學(xué)案 理

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1、 高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料 2019.5 第六十六課時(shí) 隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望與方差 課前預(yù)習(xí)案 考綱要求 1.理解隨機(jī)變量的均值、方差的意義、作用,能解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題. 2.理解二項(xiàng)分布、超幾何分步的數(shù)學(xué)期望與方差. 基礎(chǔ)知識(shí)梳理 1. 離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望與方差 設(shè)一個(gè)離散型隨機(jī)變量X所有可能取的值是x1,x2,…,xn,這些值對(duì)應(yīng)的概率是p1,p2,…,pn. (1)數(shù)學(xué)期望: 稱E(X)= 為離散型隨機(jī)變量X的均值或數(shù)學(xué)期望(簡(jiǎn)稱期望),它刻畫了這個(gè)離散

2、型隨機(jī)變量的 . (2)方差: 稱D(X)= 叫做這個(gè)離散型隨機(jī)變量X的方差,即反映了離散型隨機(jī)變量取值相對(duì)于期望的 (或說(shuō)離散程度), D(X)的算術(shù)平方根叫做離散型隨機(jī)變量X的標(biāo)準(zhǔn)差. 2. 二點(diǎn)分布與二項(xiàng)分布、超幾何分布的期望、方差 期望 方差 變量X服從二點(diǎn)分布 X~B(n,p) X服從參數(shù)為N,M, n的超幾何分布 預(yù)習(xí)自測(cè) 1. 若隨機(jī)變量ξ的分布列如下表,則E(ξ)的值為________. ξ 0

3、 1 2 3 4 5 P 2x 3x 7x 2x 3x x 2.某畢業(yè)生參加人才招聘會(huì),分別向甲、乙、丙三個(gè)公司投遞了個(gè)人簡(jiǎn)歷.假定該畢業(yè)生得到甲公司面試的概率為,得到乙、丙兩公司面試的概率均為p,且三個(gè)公司是否讓其面試是相互獨(dú)立的,記X為該畢業(yè)生得到面試的公司個(gè)數(shù).若P(X=0)=,則隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)=________. 3. 某射手射擊所得環(huán)數(shù)ξ的分布列如下: ξ 7 8 9 10 P x 0.1 0.3 y 已知ξ的期望E(ξ)=8.9,則y的值為 (  ) A.0.4 B.0.6 C.0.7

4、 D.0.9 4. 已知X的分布列為 X -1 0 1 P 設(shè)Y=2X+3,則E(Y)的值為 (  ) A. B.4 C.-1 D.1 5. 設(shè)隨機(jī)變量X~B(n,p),且E(X)=1.6,D(X)=1.28,則 (  ) A.n=8,p=0.2 B.n=4,p=0.4 C.n=5,p=0.32 D.n=7,p=0.45 課堂探究案 典型例題 考點(diǎn)1 離散型隨機(jī)變量的均值、方差 【典例1】(20xx年高考湖北卷)根據(jù)以往的經(jīng)驗(yàn),某工程施工期間的降水量X(單位:mm)對(duì)工期的影響

5、如下表: 降水量X X<300 300≤X<700 700≤X<900 X≥900 工期延誤天數(shù)Y 0 2 6 10 歷年氣象資料表明,該工程施工期間降水量X小于300,700,900的概率分別為0.3,0.7,0.9.求: (1)工期延誤天數(shù)Y的均值與方差; (2)在降水量X至少是300 mm的條件下,工期延誤不超過(guò)6天的概率. 【變式1】某中學(xué)在高三開設(shè)了4門選修課,每個(gè)學(xué)生必須且只需選修1門選修課.對(duì)于該年級(jí)的甲、乙、丙3名學(xué)生,回答下面的問(wèn)題: (1)求這3名學(xué)生選擇的選修課互不相同的概率; (2)某一選修課被這3名學(xué)生選修的人數(shù)的數(shù)學(xué)期望.

6、考點(diǎn)2 二項(xiàng)分布的均值、方差 【典例2】某人投彈命中目標(biāo)的概率p=0.8. (1)求投彈一次,命中次數(shù)X的均值和方差; (2)求重復(fù)10次投彈時(shí)命中次數(shù)Y的均值和方差. 【變式2】為防止風(fēng)沙危害,某地決定建設(shè)防護(hù)綠化帶,種植楊樹、沙柳等植物.某人一次種植了n株沙柳,各株沙柳成活與否是相互獨(dú)立的,成活率為p,設(shè)ξ為成活沙柳的株數(shù),數(shù)學(xué)期望E(ξ)=3,標(biāo)準(zhǔn)差為. (1)求n,p的值并寫出ξ的分布列; (2)若有3株或3株以上的沙柳未成活,則需要補(bǔ)種,求需要補(bǔ)種沙柳的概率. 考點(diǎn)3  均值與方差的應(yīng)用 【典例3】現(xiàn)有甲、乙兩個(gè)項(xiàng)目,對(duì)甲項(xiàng)目每投資10萬(wàn)元,一年后利潤(rùn)是1.2

7、萬(wàn)元、1.18萬(wàn)元、1.17萬(wàn)元的概率分別為、、;已知乙項(xiàng)目的利潤(rùn)與產(chǎn)品價(jià)格的調(diào)整有關(guān),在每次調(diào)整中,價(jià)格下降的概率都是p(0

8、的分布列分別為 X1 5% 10% P 0.8 0.2   X2 2% 8% 12% P 0.2 0.5 0.3 (1)在A,B兩個(gè)項(xiàng)目上各投資100萬(wàn)元,Y1和Y2分別表示投資項(xiàng)目A和B所獲得的利潤(rùn),求方差D(Y1),D(Y2); (2)將x(0≤x≤100)萬(wàn)元投資A項(xiàng)目,100-x萬(wàn)元投資B項(xiàng)目,f(x)表示投資A項(xiàng)目所得利潤(rùn)的方差與投資B項(xiàng)目所得利潤(rùn)的方差的和.求f(x)的最小值,并指出x為何值時(shí),f(x)取到最小值. 當(dāng)堂檢測(cè) 1. 已知某一隨機(jī)變量X的概率分布列如下,且E(X)=6.3,則a的值為 (  ) X 4 a 9 P

9、 0.5 0.1 b A.5 B.6 C.7 D.8 2.已知X的分布列為 X -1 0 1 P 且Y=aX+3,E(Y)=,則a的值為 (  ) A.1 B.2 C.3 D.4 3. 一射手對(duì)靶射擊,直到第一次命中為止,每次命中的概率都為0.6,現(xiàn)有4顆子彈,則射擊停止后剩余子彈的數(shù)目X的期望值為 (  ) A.2.44 B.3.376 C.2.376 D.2.4 4. 體育課的排球發(fā)球項(xiàng)目考試的規(guī)則是每位學(xué)生最多可發(fā)球3次,一旦發(fā)球成功,則停止發(fā)球,否則一直發(fā)

10、到3次為止.設(shè)學(xué)生一次發(fā)球成功的概率為p(p≠0),發(fā)球次數(shù)為X,若X的數(shù)學(xué)期望E(X)>1.75,則p的取值范圍是 (  ) A. B. C. D. 5. 在籃球比賽中,罰球命中1次得1分,不中得0分.如果某運(yùn)動(dòng)員罰球命中的概率為0.7,那么他罰球1次的得分X的均值是________. 6. 有一批產(chǎn)品,其中有12件正品和4件次品,有放回地任取3件,若X表示取到次品的件數(shù),則D(X)=________. 7.馬老師從課本上抄錄一個(gè)隨機(jī)變量ξ的概率分布列如下表: x 1 2 3 P(ξ=x) ? ! ? 請(qǐng)小牛同學(xué)計(jì)

11、算ξ的數(shù)學(xué)期望.盡管“!”處完全無(wú)法看清,且兩個(gè)“?”處字跡模糊,但能斷定這兩個(gè)“?”處的數(shù)值相同.據(jù)此,小牛給出了正確答案E(ξ)=________. 課后拓展案 A組全員必做題 1. 若X是離散型隨機(jī)變量,P(X=x1)=,P(X=x2)=,且x1

12、(  ) A. B. C. D. 3. 一個(gè)籃球運(yùn)動(dòng)員投籃一次得3分的概率為a,得2分的概率為b,不得分的概率為c(a、b、c∈(0,1)),已知他投籃一次得分的均值為2,則+的最小值為 (  ) A. B. C. D. 4. 罐中有6個(gè)紅球,4個(gè)白球,從中任取1球,記住顏色后再放回,連續(xù)摸取4次,設(shè)ξ為取得紅球的次數(shù),則ξ的期望E(ξ)=________. 5. 簽盒中有編號(hào)為1、2、3、4、5、6的六支簽,從中任意取3支,設(shè)X為這3支簽的號(hào)碼之中最大的一個(gè),則X的數(shù)學(xué)期望為________. 6.為了某項(xiàng)大型活動(dòng)能夠安全進(jìn)行,警方從武警訓(xùn)

13、練基地挑選防爆警察,從體能、射擊、反應(yīng)三項(xiàng)指標(biāo)進(jìn)行檢測(cè),如果這三項(xiàng)中至少有兩項(xiàng)通過(guò)即可入選.假定某基地有4名武警戰(zhàn)士(分別記為A、B、C、D)擬參加挑選,且每人能通過(guò)體能、射擊、反應(yīng)的概率分別為,,.這三項(xiàng)測(cè)試能否通過(guò)相互之間沒(méi)有影響. (1)求A能夠入選的概率; (2)規(guī)定:按入選人數(shù)得訓(xùn)練經(jīng)費(fèi)(每入選1人,則相應(yīng)的訓(xùn)練基地得到3 000元的訓(xùn)練經(jīng)費(fèi)),求該基地得到訓(xùn)練經(jīng)費(fèi)的分布列與數(shù)學(xué)期望. B組提高選做題 1. 設(shè)l為平面上過(guò)點(diǎn)(0,1)的直線,l的斜率等可能地?。?,-,-,0,,,2,用ξ表示坐標(biāo)原點(diǎn)到l的距離,則隨機(jī)變量ξ的數(shù)學(xué)期望E(ξ)=________. 2.某市公

14、租房的房源位于A、B、C三個(gè)片區(qū).設(shè)每位申請(qǐng)人只申請(qǐng)其中一個(gè)片區(qū)的房源,且申請(qǐng)其中任一個(gè)片區(qū)的房源是等可能的,求該市的任4位申請(qǐng)人中: (1)恰有2人申請(qǐng)A片區(qū)房源的概率; (2)申請(qǐng)的房源所在片區(qū)的個(gè)數(shù)ξ的分布列與期望. 3.(20xx年高考新課標(biāo)全國(guó)卷)某花店每天以每枝5元的價(jià)格從農(nóng)場(chǎng)購(gòu)進(jìn)若干枝玫瑰花,然后以每枝10元的價(jià)格出售,如果當(dāng)天賣不完,剩下的玫瑰花作垃圾處理. (1)若花店一天購(gòu)進(jìn)16枝玫瑰花,求當(dāng)天的利潤(rùn)y(單位:元)關(guān)于當(dāng)天需求量n(單位:枝,n∈N)的函數(shù)解析式. (2)花店記錄了100天玫瑰花的日需求量(單位:枝),整理得下表: 日需求量n 14 15

15、 16 17 18 19 20 頻數(shù) 10 20 16 16 15 13 10 以100天記錄的各需求量的頻率作為各需求量發(fā)生的概率. ①若花店一天購(gòu)進(jìn)16枝玫瑰花,X表示當(dāng)天的利潤(rùn)(單位:元),求X的分布列、數(shù)學(xué)期望及方差. ②若花店計(jì)劃一天購(gòu)進(jìn)16枝或17枝玫瑰花,你認(rèn)為應(yīng)購(gòu)進(jìn)16枝還是17枝?請(qǐng)說(shuō)明理由. 參考答案 預(yù)習(xí)自測(cè) 1.【答案】 【解析】根據(jù)概率之和為1,求出x=,則E(ξ)=02x+13x+…+5x=40x=. 2.【答案】 【解析】由題意知P(X=0)=(1-p)2=,∴p=. 隨機(jī)變量X的分布列為 X 0 1 2 3

16、 P E(X)=0+1+2+3=. 3.【答案】 A 【解析】 由,可得y=0.4. 4. 【答案】 A 【解析】 E(X)=(-1)+0+1=-.∴E(Y)=2E(X)+3=2+3=. 5. 【答案】 A 【解析】 ∵X~B(n,p),∴E(X)=np=1.6,D(X)=np(1-p)=1.28,∴ 典型例題 【典例1】【解析】 (1)由已知條件和概率的加法公式有P(X<300)=0.3, P(300≤X<700)=P(X<700)-P(X<300)=0.7-0.3=0.4, P(700≤X<900)=P(X<900)-P(X<700)=0.9-0.7

17、=0.2, P(X≥900)=1-P(X<900)=1-0.9=0.1. 所以Y的分布列為 Y 0 2 6 10 P 0.3 0.4 0.2 0.1 于是,E(Y)=00.3+20.4+60.2+100.1=3; D(Y)=(0-3)20.3+(2-3)20.4+(6-3)20.2+(10-3)20.1=9.8. 故工期延誤天數(shù)Y的均值為3,方差為9.8. (2)由概率的加法公式,得P(X≥300)=1-P(X<300)=0.7, 又P(300≤X<900)=P(X<900)-P(X<300)=0.9-0.3=0.6. 由條件概率,得P(Y≤6|X≥300)

18、=P(X<900|X≥300)===. 故在降水量X至少是300 mm的條件下,工期延誤不超過(guò)6天的概率是. 【變式1】【解析】 (1)3名學(xué)生選擇的選修課互不相同的概率:p1==; (2)設(shè)某一選修課被這3名學(xué)生選擇的人數(shù)為ξ, 則ξ=0,1,2,3.P(ξ=0)==,P(ξ=1)==,P(ξ=2)==,P(ξ=3)==. 所以ξ的分布列為 ξ 0 1 2 3 P 數(shù)學(xué)期望E(ξ)=0+1+2+3=. 【典例2】【解析】(1)隨機(jī)變量X的分布列為 X 0 1 P 0.2 0.8 因?yàn)閄服從二點(diǎn)分布,故E(X)=p=0.8,D(X)=p(

19、1-p)=0.80.2=0.16. (2)由題意知,命中次數(shù)Y服從二項(xiàng)分布, 即Y~B(10,0.8),∴E(Y)=np=100.8=8,D(Y)=np(1-p)=100.80.2=1.6. 探究提高 若X~B(n,p),則E(X)=np,D(X)=np(1-p). 【變式2】【解析】(1)由E(ξ)=np=3,D(ξ)=np(1-p)=,得1-p=,從而n=6,p=. ξ的分布列為 ξ 0 1 2 3 4 5 6 P (2)記“需要補(bǔ)種沙柳”為事件A,則P(A)=P(ξ≤3),得 P(A)== 【典例3】【解析】 (1)X1的概率

20、分布列為 X1 1.2 1.18 1.17 P E(X1)=1.2+1.18+1.17=1.18. 由題設(shè)得X~B(2,p),即X的概率分布列為 X 0 1 2 P (1-p)2 2p(1-p) p2 故X2的概率分布列為 X2 1.3 1.25 0.2 P (1-p)2 2p(1-p) p2 所以E(X2)=1.3(1-p)2+1.252p(1-p)+0.2p2=1.3(1-2p+p2)+2.5(p-p2)+0.2p2 =-p2-0.1p+1.3. (2)由E(X1)1.18, 整理

21、得(p+0.4)(p-0.3)<0,解得-0.4

22、Y1)+2D(Y2) =[x2+3(100-x)2] =(4x2-600x+31002). 當(dāng)且僅當(dāng)x==75時(shí),f(x)=3為最小值. 當(dāng)堂檢測(cè) 1. 【答案】C 【解析】由分布列性質(zhì)知:0.5+0.1+b=1,∴b=0.4. ∴E(X)=40.5+a0.1+90.4=6.3,∴a=7. 2.【答案】B 【解析】先求出E(X)=(-1)+0+1=-. 再由Y=aX+3得E(Y)=aE(X)+3.∴=a+3.解得a=2. 3.【答案】C 【解析】X的所有可能取值為3,2,1,0,其分布列為 X 3 2 1 0 P 0.6 0.24 0.096 0

23、.064 ∴E(X)=30.6+20.24+10.096+00.064=2.376. 4. 【答案】C 【解析】由已知條件可得P(X=1)=p,P(X=2)=(1-p)p,P(X=3)=(1-p)2p+(1-p)3=(1-p)2, 則E(X)=P(X=1)+2P(X=2)+3P(X=3)=p+2(1-p)p+3(1-p)2=p2-3p+3>1.75,解得p>或p<,又由p∈(0,1),可得p∈. 5. 【答案】 0.7 【解析】 E(X)=10.7+00.3=0.7. 6. 【答案】 【解析】由題意知取到次品的概率為,∴X~B,∴D(X)=3=. 7.【答案】2 【解析】設(shè)

24、“?”處的數(shù)值為x,則“!”處的數(shù)值為1-2x,則E(ξ)=1x+2(1-2x)+3x=x+2-4x+3x=2. A組全員必做題 1. 【答案】C 【解析】分析已知條件,利用離散型隨機(jī)變量的均值和方差的計(jì)算公式得: 解得或又∵x10,也就是a,b必須同號(hào), ∴ξ的分布列為 ξ 0 1 2 P ∴E(ξ)=0+1+2=. 3. 【答案】D 【解析】由已知得,3a+2b+0c=2,即3a+2b=2,其中0

25、+2=, 當(dāng)且僅當(dāng)=,即a=2b時(shí)取“等號(hào)”,又3a+2b=2, 即當(dāng)a=,b=時(shí),+的最小值為,故選D. 4.【答案】 【解析】因?yàn)槭怯蟹呕氐孛颍悦看蚊?試驗(yàn))摸得紅球(成功)的概率均為,連續(xù)摸4次(做4次試驗(yàn)),ξ為取得紅球(成功)的次數(shù),則ξ~B,從而有E(ξ)=np=4=. 5.【答案】5.25 【解析】由題意可知,X可以取3,4,5,6,P(X=3)==,P(X=4)==, P(X=5)==,P(X=6)==.由數(shù)學(xué)期望的定義可求得E(X)=5.25. 6.解 (1)設(shè)A通過(guò)體能、射擊、反應(yīng)分別記為事件M、N、P,則A能夠入選包含以下幾個(gè)互斥事件:MN,MP,

26、NP,MNP. ∴P(A)=P(MN)+P(MP)+P(NP)+P(MNP)=+++==. 答 A能夠入選的概率為. (2)P(沒(méi)有入選任何人)=4=,P(入選了一人)=C3=, P(入選了兩人)=C22=,P(入選了三人)=C3=, P(入選了四人)=C4=, 記ξ表示該訓(xùn)練基地得到的訓(xùn)練經(jīng)費(fèi),該基地得到訓(xùn)練經(jīng)費(fèi)的分布列為 ξ 0 3 000 6 000 9 000 12 000 P E(ξ)=3 000+6 000+9 000+12 000=8 000(元) 所以,該基地得到訓(xùn)練經(jīng)費(fèi)的數(shù)學(xué)期望為8 000元. B組提高選做題 1.【

27、答案】 【解析】當(dāng)l的斜率k為2時(shí),直線l的方程為2x-y+1=0,此時(shí)坐標(biāo)原點(diǎn)到l的距離d=;當(dāng)k為時(shí),d=;當(dāng)k為時(shí),d=;當(dāng)k為0時(shí),d=1,由古典概型的概率公式可得分布列如下: ξ 1 P 所以E(ξ)=+++1=. 2.解 (1)方法一 所有可能的申請(qǐng)方式有34種,恰有2人申請(qǐng)A片區(qū)房源的申請(qǐng)方式有C22種,從而恰有2人申請(qǐng)A片區(qū)房源的概率為=. 方法二 設(shè)對(duì)每位申請(qǐng)人的觀察為一次試驗(yàn),這是4次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn). 記“申請(qǐng)A片區(qū)房源”為事件A,則P(A)=. 從而,由獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A恰發(fā)生k次的概率計(jì)算公式知,恰有2人申請(qǐng)A片區(qū)房源的概率

28、為 P4(2)=C22=. (2)ξ的所有可能值為1,2,3.又P(ξ=1)==,P(ξ=2)== , P(ξ=3)==. 綜上知,ξ的分布列為 ξ 1 2 3 P 從而有E(ξ)=1+2+3=. 3解 (1)當(dāng)日需求量n≥16時(shí),利潤(rùn)y=80.當(dāng)日需求量n<16時(shí),利潤(rùn)y=10n-80. 所以y關(guān)于n的函數(shù)解析式為y=(n∈N). (2)①X可能的取值為60,70,80,并且P(X=60)=0.1,P(X=70)=0.2,P(X=80)=0.7. X的分布列為 X 60 70 80 P 0.1 0.2 0.7 X的數(shù)學(xué)期望為E(X)

29、=600.1+700.2+800.7=76. X的方差為D(X)=(60-76)20.1+(70-76)20.2+(80-76)20.7=44. ②法一 花店一天應(yīng)購(gòu)進(jìn)16枝玫瑰花.理由如下: 若花店一天購(gòu)進(jìn)17枝玫瑰花,Y表示當(dāng)天的利潤(rùn)(單位:元),那么Y的分布列為 Y 55 65 75 85 P 0.1 0.2 0.16 0.54 Y的數(shù)學(xué)期望為E(Y)=550.1+650.2+750.16+850.54=76.4. Y的方差為D(Y)=(55-76.4)20.1+(65-76.4)20.2+(75-76.4)20.16+(85-76.4)20.54=112.

30、04. 由以上的計(jì)算結(jié)果可以看出,D(X)

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