2015屆高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 基礎(chǔ)知識名師講義 第七章 第七節(jié)雙曲線(一) 文

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1、 第七節(jié) 雙曲線(一) 1.了解雙曲線的定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程,知道它的簡單幾何性質(zhì). 2.理解數(shù)形結(jié)合的思想. 知識梳理 一、雙曲線的定義 我們把平面內(nèi)與兩個定點F1,F(xiàn)2的距離的差的絕對值等于常數(shù)(小于|F1F2|)的點的軌跡叫做雙曲線,用符號表示為||AF1|-|AF2||=2a,這兩個定點叫做雙曲線的焦點,兩個焦點之間的距離叫做雙曲線的焦距. 二、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程 當(dāng)雙曲線的焦點在x軸上時,雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為-=1(a>0,b>0),其中焦點坐標(biāo)為F1(c,0),F(xiàn)2(-c,0),且c2=a2+b2; 當(dāng)雙曲線的焦點在y軸上時,雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為-=

2、1(a>0,b>0),其中焦點坐標(biāo)為F1(0,c),F(xiàn)2(0,-c),且c2=a2+b2. 當(dāng)且僅當(dāng)雙曲線的中心在坐標(biāo)原點,其焦點在坐標(biāo)軸上時,雙曲線的方程才是標(biāo)準(zhǔn)形式. 三、雙曲線的幾何性質(zhì) 方程 -=1 -=1 圖形 范圍 x≤-a或x≥a,y∈R y≤-a或y≥a,x∈R 對稱性 關(guān)于x軸、y軸及原點對稱 關(guān)于x軸、y軸及原點對稱 頂點 A1(-a,0),A2(a,0) B1(0,-a),B2(0,a) 離心率 e=(e>1) e=(e>1) 1 / 5 漸近線 y=±x y=±x a,b,c

3、 的關(guān)系 c2=a2+b2 c2=a2+b2 基礎(chǔ)自測 1.(2013·福建卷)雙曲線x2-y2=1的頂點到其漸近線的距離等于(  ) A.       B. C.1 D. 解析:因為雙曲線的兩個頂點到兩條漸近線的距離都相等,故可取雙曲線的一個頂點為(1,0),取一條漸近線為y=x,所以點(1,0)到直線y=x的距離為. 答案:B 2.(2013·北京東城區(qū))若雙曲線-=1的漸近線與圓(x-3)2+y2=r2(r>0)相切,則r=(  ) A.  B.2 C.3  D.6 解析:

4、雙曲線-=1的漸近線方程為y=±x,因為雙曲線的漸近線與圓(x-3)2+y2=r2(r>0)相切,故圓心(3,0)到直線y=±x的距離等于圓的半徑r,則r==. 答案:A 3.過雙曲線x2-y2=8的左焦點F1有一條弦PQ在左支上,若|PQ|=7,F(xiàn)2是雙曲線的右焦點,則△PF2Q的周長是____________. 答案:14+8 4.設(shè)F1,F(xiàn)2分別是雙曲線x2-=1的左、右焦點,若點P在雙曲線上,且·=0,則|+|=________. 解析:因為F1,F(xiàn)2分別是雙曲線x2-=1的左、右焦點,所以F1(-,0),F(xiàn)2(,0).

5、由題意知△F1PF2為直角三角形,∴|+|=2||=|F1F2|=2. 答案:2 1.(2013·遼寧卷)已知F為雙曲線C:-=1的左焦點,P,Q為C上的點.若PQ的長等于虛軸長的2倍,點A(5,0)在線段PQ上,則△PQF的周長為________. 解析:由雙曲線C的方程,知a=3,b=4,c=5, 所以點A(5,0)是雙曲線C的右焦點, 且|PQ|=|QA|+|PA|=4b=16, 由雙曲線定義,|PF|-|PA|=6,|QF|-|QA|=6. 所以|PF|+|QF|=12+|PA|+|QA|=28, 因此△PQF的周長為|PF|+|QF|+|

6、PQ|=28+16=44. 答案:44 2.(2013·湖南卷)設(shè)F1,F(xiàn)2是雙曲線C:-=1(a>b>0)的兩個焦點.若在C上存在一點P.使PF1⊥PF2,且∠PF1F2=30°,則C的離心率為______________. 解析: 在Rt△F1F2P,設(shè)2c=|F1F2|=2,則|PF2|=1,|PF1|=,得2a=|PF1|-|PF2|=-1,所以e===+1. 答案:+1 1.(2013·江門一模)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,若雙曲線-=1的焦距為8,則m=________. 解析:因為在平面直角坐標(biāo)系xOy中,雙

7、曲線-=1的焦距為8,所以m>0,焦點在x軸,所以a2=m,b2=m2+4,所以c2=m2+m+4,又雙曲線-=1的焦距為8,所以:m2+m+4=16,即m2+m-12=0,解得m=3或m=-4(舍). 答案:3 2.(2013·韶關(guān)二模)設(shè)點P是雙曲線-=1(a>0,b>0)與圓x2+y2=a2+b2在第一象限的交點,其中F1,F(xiàn)2分別是雙曲線的左、右焦點,若tan∠PF2F1=3,則雙曲線的離心率為__________. 解析:因為圓x2+y2=a2+b2的半徑r==c,所以|F1F2|是圓的直徑,所以∠F1PF2=90°.依據(jù)雙曲線的定義:|PF1|-|PF2|=2a,又因為在Rt△F1PF2中,tan∠PF2F1=3,即|PF1|=3|PF2|,所以|PF1|=3a,|PF2|=a,在直角三角形F1PF2中由(3a)2+a2=(2c)2,得e==. 答案: 希望對大家有所幫助,多謝您的瀏覽!

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